Quelltext der Seite Quellfrei

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Als '''quellfrei''' oder '''quellenfrei''' wird in der [[Physik]] und [[Potentialtheorie]] ein [[Vektorfeld]] bezeichnet, dessen [[Feldlinien]] im betrachteten Gebiet keinen Anfangspunkt besitzen. Quellfrei ist z.&nbsp;B. der Außenraum eines [[Kraftfeld (Physik)|Kraft-]] oder [[Schwerefeld]]es, wenn er keinerlei [[Massenpunkt]]e oder Ladungen enthält.

In der Natur ist dieser Idealfall kaum gegeben, weil es fast überall – auch im [[interplanetarer Raum| interplanetaren Raum]] – restliche Gasmoleküle, Staubteilchen und freie Elektronen gibt. Für die naturwissenschaftliche Praxis und in der [[Astronomie]] ist Quellfreiheit hingegen überall dort gegeben, wo die Materie- bzw. Gas[[dichte]] unter einigen Teilchen pro cm<sup>3</sup> liegt. Für die Laborphysik kann das beste technisch erzeugbare [[Hochvakuum]] der Referenzwert sein, der mit einem Restgasdruck von etwa 10<sup>−11</sup> [[Millibar]] weit darüber liegt.

== Feldlinien und Divergenz ==
In der [[Elektrodynamik]] und [[Strömungslehre]] werden quellfreie Räume dadurch charakterisiert, dass im betrachteten Raumabschnitt ebenso viele [[Feldlinie]]n eintreten wie austreten. Dieses Verhalten der Feldlinien lässt sich mathematisch durch die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] des Vektorfeldes beschreiben.

Die [[Mathematik]] nennt den Begriff „quellfrei“ auch '''divergenzfrei''', denn das Fehlen von Quellen ist mit dem Verschwinden der Divergenz gekoppelt: in einem quellfreien Vektorfeld <math>\vec a</math> gilt:

:<math>\operatorname{div} \, \vec a \, = \, 0 </math>

Hierbei steht <math>\operatorname{div}</math> für den Divergenz-Operator (siehe auch [[Nabla-Operator]]).

Umgekehrt wird das Vorhandensein von Quellen charakterisiert durch <math>\operatorname{div} \, \vec a > 0</math> und das Vorhandensein von Senken durch <math>\operatorname{div} \, \vec a < 0.</math>

== Interpretation und Beispiele ==
Physikalisch lässt sich die Divergenz eines Vektorfeldes als Maß für die Quellstärke interpretieren, denn nach dem [[Gaußscher Integralsatz|Satz von Gauß]] ist das [[Integralrechnung|Integral]] der Divergenz über ein Volumen gleich dem [[Fluss (Physik)|Fluss]] durch die Oberfläche des Volumens. Dementsprechend bezeichnet man ein Vektorfeld, dessen Divergenz Null ist, als quellfrei, denn hier ist für beliebige ''geschlossene'' Flächen der Fluss gleich Null, d.&nbsp;h., netto fließt nicht mehr heraus als herein. Es gibt also im Inneren des Volumens, das von der Fläche umschlossen wird, weder [[Quelle und Senke|Quellen noch Senken]].

Wichtige Beispiele für quellfreie Felder in der Physik sind das [[magnetische Flussdichte| Magnetfeld]], genauer: die [[magnetische Flussdichte|magnetische Induktion]], und die [[Geschwindigkeitsfeld]]er von [[inkompressibles Fluid|inkompressiblen]] Strömungen, die aufgrund der [[Kontinuitätsgleichung]] quellfrei sind.

Für alle zweimal stetig-differenzierbaren Vektorfelder <math>\vec V(\vec r)</math> gilt nach dem [[Satz von Schwarz]]

:<math>\mbox{div} \, (\mbox{rot} \, \vec V(\vec r)) \, \equiv \, 0.</math>

Somit ist die [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] eines zweimal stetig differenzierbaren  Vektorfelds immer quellfrei. 

(Für ein Vektorfeld <math>\vec V(\vec r)</math> ergibt <math>\mbox{div}\, \vec V</math> die ''Quellendichte'' und <math>\mbox{rot}\, \vec V</math> die sog. ''Wirbeldichte''.)

Die Umkehrung gilt auch:  Ein einmal stetig differenzierbares, überall quellfreies Vektorfeld <math>\vec B(\vec r),</math> wie z.&nbsp;B. das Magnetfeld, also mit <math>\mbox{div} \vec B (\vec r)\equiv 0</math> für alle <math>\vec r,</math>  besitzt überall ein zweimal stetig differenzierbares Vektorpotential <math>\vec A(\vec r),</math> sodass also <math>\vec B(\vec r)=\mbox{rot}\,\vec A(\vec r) \ \ (=\vec \nabla\times \vec A(\vec r))</math> gilt, wobei <math>\vec A(\vec r)</math> zudem aus den Wirbeldichten von <math>\vec B(\vec r)</math> durch Integration berechnet werden kann. Der Beweis ist nicht  trivial (siehe [[Poincaré-Lemma|Poincarésches Lemma]]).

Wenn das Feld dagegen wie im elektrischen Fall, also bei <math> \vec E(\vec r),</math> nicht quellfrei, sondern wirbelfrei ist, besitzt es statt des Vektorpotentials <math>\vec A(\vec r)</math> ein skalares Potential <math>\Phi (\vec r),</math> aus dem es durch Gradientenbildung abgeleitet werden kann, <math>\vec E(\vec r)=-\mbox{grad}\,\Phi (\vec r) \ \ (=-\vec \nabla\Phi(\vec r)).</math> Das skalare Potential kann  aus den Quellendichten von <math>\vec E</math> durch Integration berechnet werden. Die Beweisschritte sind analog wie oben (siehe theoretische [[Elektrodynamik]]).

== Siehe auch ==
* [[Wirbelfrei]]
* [[Vektorpotential]]
* [[Helmholtz-Theorem]]
*[[Vektoranalysis#Fundamentalzerlegung|Fundamentalzerlegung in der Vektoranalysis]]

== Literatur und Weblinks ==
* [[Bernhard Hofmann-Wellenhof]] et al: ''Physical Geodesy.''  Springer-Verlag, Wien 2005, ISBN 978-3211335444 (Lehrbuch).
* E.Fromm: ''[http://www-user.tu-chemnitz.de/~doto/pdf/elektrodynamik-ss07.pdf Elektrodynamik] (PDF; 231&nbsp;kB).''  TU Chemnitz, 2007 (Vorlesungsskript).

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Vektoranalysis]]
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