Quelltext der Seite Potentialströmung

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Die [[Strömung]] eines [[Fluid]]s (Flüssigkeit oder Gas) ist eine '''Potentialströmung''', wenn das [[Vektorfeld]] der [[Geschwindigkeitsfeld| Geschwindigkeiten]] mathematisch so geartet ist, dass es ein [[Potential (Physik)| Potential]] besitzt. Ein solches Potential ist in einem [[homogen]]en Fluid vorhanden, wenn die Strömung [[Rotation (Mathematik)|rotationsfrei]], ([[Wirbel (Strömungslehre)| wirbel-]] bzw. [[vortizität]]sfrei) ist und keine [[Viskosität|Zähigkeit]]skräfte ([[Reibung]]skräfte) auftreten oder diese vernachlässigbar klein sind. Jede aus der Ruhe heraus beginnende Strömung eines homogenen, reibungsfreien Fluids besitzt ein solches Potential.

Eine Potentialströmung ist der rotationsfreie Spezialfall der Strömung eines homogenen, reibungsfreien Fluids, das durch die [[Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)| Euler’schen Gleichungen]] beschrieben wird; diese gelten auch für Strömungen mit Rotation (Wirbelströmung). Wenn jedoch bei [[Scherung (Mechanik)| Scherbewegungen]] die Zähigkeit berücksichtigt werden muss, wie z.&nbsp;B. bei [[Fluiddynamische Grenzschicht| Grenzschichten]] oder im Zentrum eines Wirbels, so ist mit den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] zu rechnen.

Potentialströmungen können als sehr gute Näherung von [[Laminare Strömung| laminaren Strömungen]] bei niedrigen [[Reynolds-Zahl]]en verwendet werden, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. In der stationären Potentialströmung inkompressibler Fluide gilt die [[bernoullische Druckgleichung]] global, die  technische Rohrströmungen gut beschreibt. Wegen ihrer einfachen Berechenbarkeit werden Potentialströmungen auch als Anfangsnäherung bei der iterativen Berechnung der [[Navier-Stokes-Gleichungen]] in der [[Numerische Strömungsmechanik| numerischen Strömungsmechanik]] verwendet.

== Definition ==
Eine Potentialströmung ist eine Strömung, die ein Geschwindigkeitsfeld <math>\vec{v}(\vec{x},t)</math> besitzt, das vom Ort <math>\vec{x}</math>  und von der Zeit t abhängt und sich aus dem [[Gradient (Mathematik)| Gradient]] „grad“ eines [[Geschwindigkeitspotential]]s <math>\phi(\vec{x},t)</math> berechnet:

:<math>\vec{v}=\operatorname{grad}(\phi)
\quad\Leftrightarrow\quad
v_i = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}\,,\; i=1,2,3
\,.</math>

Deshalb werden solche Strömungen Potentialströmungen genannt. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, während die rechten Gleichungen in [[kartesische Koordinaten| kartesischen Koordinaten]] <math>x_{1,2,3}</math> gelten.

Jedes Gradientenfeld ist [[Rotation (Mathematik)| rotationsfrei]], weshalb Potentialströmungen immer rotationsfrei sind. Umgekehrt existiert nach dem [[Poincaré-Lemma]] immer dann ein Geschwindigkeitspotential, wenn die Strömung rotationsfrei ist.

== Anwendungsbereiche und Limitierungen ==
Potentialströmungen enthalten nicht alle Charakteristika von realen Strömungen. Die inkompressible Potentialströmung macht eine Reihe von falschen Voraussagen, wie beispielsweise das [[d’Alembertsches Paradoxon| d’Alembert’sche Paradoxon]], demgemäß von der Strömung auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird. Alle Phänomene, die eine [[hydrodynamische Grenzschicht]] oder [[turbulente Strömung]] nebst Dissipation von Energie beinhalten, wie z.&nbsp;B. [[Strömungsabriss]]e, können mit Potentialströmungen nicht abgebildet werden.

Nichtsdestotrotz ist das Verständnis von Potentialströmungen in vielen Bereichen der Strömungsmechanik hilfreich. So können für nicht zu komplizierte Geometrien analytische Lösungen ihrer Umströmung berechnet werden und auch die von der Strömung geleistete Auftriebskraft angegeben werden. So wird ein tieferes Verständnis der Strömung erreicht.

Potentialströmungen finden viele Anwendungen in der Auslegung von Flugzeugen. Wie eingangs erwähnt können Potentialströmungen als sehr gute Näherung von [[Laminare Strömung| laminaren Strömungen]] bei niedrigen [[Reynolds-Zahl]]en verwendet werden, wenn die [[hydrodynamische Grenzschicht]] an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Eine Technik in der [[Numerische Strömungsmechanik| numerischen Strömungsmechanik]] koppelt eine viskose Grenzschichtströmung an eine Potentialströmung außerhalb der Grenzschicht. In einer Potentialströmung kann jede Stromlinie durch eine Wand ersetzt werden, ohne die Strömung dadurch zu verändern, eine Technik, die im Flugzeugdesign angewendet wird.

== Bestimmungsgleichungen für die Strömung ==
Nicht jedes Geschwindigkeitspotential repräsentiert eine physikalisch plausible Strömung. Damit das Geschwindigkeitspotential unter den getroffenen Annahmen im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist, muss es der [[Kontinuumsmechanik#Impulsbilanz| Impulsbilanz]] in Form der Euler’schen Gleichungen gehorchen und die [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz| Massenbilanz]] erfüllen.

=== Bilanzgleichungen ===
Die Impulsbilanz in Form der Euler’schen Gleichungen lautet

:<math>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}
+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)=\vec{k}</math>

und die [[Kontinuumsmechanik#Massenbilanz| Massenbilanz]]

:<math>\dot{\rho}+\rho\operatorname{div}(\vec{v})=0\,.</math>

Darin ist ρ die Dichte und der [[Punkt (Oberzeichen)#Als wissenschaftliches Symbol|aufgesetzte Punkt]] die [[Substantielle Ableitung|substantielle Zeitableitung]], „div“ die [[Divergenz eines Vektorfeldes]], p der Druck und <math>\vec{k}</math> ein Beschleunigungsfeld (z.&nbsp;B. Schwerebeschleunigung). Dieses System aus vier Gleichungen mit fünf Unbekannten (drei Geschwindigkeiten, Druck und Dichte) wird durch eine [[Zustandsgleichung]] geschlossen, die den Druck als Funktion der Dichte darstellt.

Einsetzen des Potentials in die Euler’schen Gleichungen liefert mit der Graßmann-Entwicklung<ref group="F"><math>\operatorname{grad}(\vec{f})\cdot\vec{f}
=\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{f}\cdot\vec{f})-\vec{f}\times\operatorname{rot}(\vec{f})</math></ref>:

:<math>\begin{align}
\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}
+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)
&=\vec{k}
\\
\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}
+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\vec{v}\cdot\vec{v})
-\vec{v}\times\operatorname{rot}(\vec{v})
+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)
&=\vec{k}
\\
\Rightarrow
\operatorname{grad}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2\right)
+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)
&=\vec{k}\,,
\end{align}</math>

weil die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet. Die Massenbilanz formt sich mit dem Geschwindigkeitspotential und dem [[Laplace-Operator]] <math>\Delta=\operatorname{div\circ grad}</math> um zu:

:<math>\dot{\rho}+\rho\operatorname{div(grad}(\phi))=\dot{\rho}+\rho\Delta\phi=0\,.</math>

Nun handelt es sich um ein System aus vier Gleichungen mit drei Unbekannten (Potential, Druck und Dichte), das nur lösbar ist, wenn die Differenz <math>\vec f:=\vec k-\tfrac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)</math> die ''[[Gradientenfeld#Integrabilitätsbedingung| Integrabilitätsbedingung]]'' <math>\operatorname{rot}(\vec f)=\vec 0</math> erfüllt. Dies ist in barotropen Fluiden in einem konservativen Schwerefeld der Fall.

=== Barotropes Fluid in konservativem Schwerefeld ===
In einem [[Barotropie| barotropen]] Fluid ist die Dichte eine Funktion nur des Drucks. Dann kann die Integration der Euler-Gleichungen vorab erfolgen, was die Berechnung wesentlich vereinfacht.

Dazu wird eine Funktion P mit der Eigenschaft

:<math>P:=\int \frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}
\quad\Leftrightarrow\quad
\mathrm{d}P=\frac{\mathrm{d}p}{\rho}
\quad\Leftrightarrow\quad
\operatorname{grad}P=\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}p\,.
</math>

definiert. In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant und P=p/ρ. Einsetzen der Funktion P in die Euler-Gleichung erlaubt es, den Gradientenoperator heraus zu ziehen:

:<math>\operatorname{grad}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2\right)
+\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)
=
\operatorname{grad}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2+P\right)
=\vec{k}\,.
</math>

Damit diese Gleichung erfüllt werden kann, muss das Beschleunigungsfeld <math>\vec{k}</math> der Integrabilitätsbedingung <math>\operatorname{rot}\vec{k}=\vec{0}</math> entsprechen. Dann gibt es nach dem [[Poincaré-Lemma]] ein Potential V mit der Eigenschaft <math>\vec{k}=-\operatorname{grad}V</math> und die obige Gleichung führt auf ein Gradientenfeld

:<math>\operatorname{grad}\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}
+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2+P+V\right)
=\vec{0}
\,,</math>

das überall verschwindet, weshalb der Term in den großen Klammern ortsunabhängig ist:

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{1}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2+P+V=C\,.</math>

Die Integrationskonstante C könnte noch von der Zeit abhängen aber diese Zeitabhängigkeit kann dem Potential <math>\phi</math> zugeschlagen werden, ohne dass sich dessen physikalische Bedeutung <math>\operatorname{grad}(\phi)=\vec{v}</math> ändern würde<ref group="L">{{Literatur| Autor=R. Greve| Titel=Kontinuumsmechanik|Jahr=2003| Seiten=147}}</ref>.

Nun handelt es sich um ein geschlossenes System aus drei Gleichungen (inklusive ρ=ρ(p) und der Massenbilanz) mit drei Unbekannten Potential, Dichte und Druck.

=== Stationäre Strömung ===
In einer stationären Potentialströmung ohne Beschleunigungsfeld gilt<ref name="Anderson" group="L">{{Literatur| Autor=[[John D. Anderson (Ingenieur)|John D. Anderson]]| Titel=Modern compressible flow. With historical perspective | Jahr=2002 | Verlag=McGraw-Hill | Ort= New York NY| ISBN=0-07-242443-5| Seiten=358–359}}</ref>:

:<math>\left( 1 - M_x^2 \right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \left( 1 - M_y^2 \right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \left( 1 - M_z^2 \right) \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} - 2 M_x M_y \frac{\partial^2 \phi}{\partial x\, \partial y} - 2 M_y M_z \frac{\partial^2 \phi}{\partial y\, \partial z} - 2 M_z M_x \frac{\partial^2 \phi}{\partial z\, \partial x} = 0,</math>

mit den [[Machzahl]]en

:<math>M_x = \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial x}, \qquad M_y = \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial y}, \qquad \text{und} \qquad M_z = \frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial z},</math>

und der lokalen [[Schallgeschwindigkeit]] ''c''. Die Strömungsgeschwindigkeit <math>\vec{v}=\operatorname{grad}(\phi)</math> ergibt sich aus dem Gradient des Geschwindigkeitspotentials. Diese Gleichungen sind bei  [[Schallgeschwindigkeit| sub-]], [[Transsonische_Strömung| trans-]] und [[Überschallgeschwindigkeit| supersonischer]] Strömung anwendbar, so lange ihre Rotationsfreiheit gegeben ist.<ref name="Anderson"  group="L" />

{| class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Beweis
|-
| In einer stationären Strömung ohne Beschleunigungsfeld lautet die Eulergleichung und die Massenbilanz:<br /><math>\begin{align}
\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}
&=-\frac{1}{\rho}\operatorname{grad}(p)=-\frac{c^2}{\rho}\operatorname{grad}(\rho)
\\
\operatorname{div}(\rho\vec{v})&=\operatorname{grad}(\rho)\cdot\vec{v}+\rho\operatorname{div}(\vec{v})=0
\end{align}</math> <br />Hier tritt die [[Schallgeschwindigkeit]]<br /><math>c=\sqrt{\left.\frac{\partial p}{\partial\rho}\right|_S}</math><br />auf, die die [[Wurzel (Mathematik)| Wurzel]] aus der Ableitung des Drucks nach der Dichte bei konstanter [[Entropie]] S ist. Skalare Multiplikation der Euler-Gleichung mit der Geschwindigkeit und Einsetzen der Massenbilanz liefert:<br /><math>\vec{v}\cdot\operatorname{grad}(\vec{v})\cdot\vec{v}
=-\frac{c^2}{\rho}\operatorname{grad}(\rho)\cdot\vec{v}
=\frac{c^2}{\rho}\rho\operatorname{div}(\vec{v})
=c^2\operatorname{div}(\vec{v})\,.</math><br />Division durch <math>c^2</math> ergibt mit dem Geschwindigkeitspotential und der [[Machzahl]] <math>\vec{M}:=\vec{v}/c=\operatorname{grad}(\phi)/c</math>:<br /><math>\vec{M}\cdot\operatorname{grad(grad}(\phi))\cdot\vec{M}=\operatorname{div(grad}(\phi))
=\Delta\phi
\quad\Leftrightarrow\quad
\sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2\phi}{\partial x_i^2}
-\sum_{i,j=1}^3 M_i M_j \frac{\partial^2\phi}{\partial x_i\partial x_j}
=0\,.
</math>
|}

Im sub- oder supersonischen Bereich (aber nicht im transsonischen) kann bei kleinen Anströmwinkeln von schlanken Körpern eine weitere Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine Parallelströmung <math>v_\infty x</math> und ein kleines Störungsfeld <math>\varphi</math> aufgeteilt: <math>\phi=v_\infty x + \varphi\,.</math> In diesem Fall kann die linearisierte Potentialgleichung – eine Näherung der kompletten Gleichung – benutzt werden<ref name="Anderson"  group="L" />:

:<math>(1-M_x^2)\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}
+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0\,.</math>

=== Schallwellen ===
Schallwellen mit geringer Amplitude können mit dem folgenden Potentialströmungsmodell approximiert werden<ref group="L">[[Horace Lamb]]: ''Hydrodynamics.'' 6th edition. Cambridge University Press, Cambridge 1993, ISBN 0-521-05515-6, S. 492–495.</ref>:

:<math>\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=\bar{c}^2\Delta\phi\,.</math>

Darin ist <math>\bar c</math> die mittlere [[Schallgeschwindigkeit]] im homogenen Fluid. Diese Gleichung ist eine [[Wellengleichung]], die für das Geschwindigkeitspotential Φ und gleichfalls für den Druck sowie die Dichte gilt.

=== Randbedingungen ===
Die [[Dirichlet-Randbedingung]]en geben den Wert des Geschwindigkeitspotentials auf einer Fläche vor, woraus sich die Tangentialgeschwindigkeit des Fluids auf der Fläche ergibt. Mit [[Neumann-Randbedingung]]en werden die Ableitungen des Potentials senkrecht zu Flächen festgelegt, was hier der Vorgabe von Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Fläche entspricht. Ansonsten gilt das bei den [[Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)#Randbedingungen| Euler’schen Gleichungen zu den Randbedingungen]] gesagte.

== Potentialströmung eines inkompressiblen Fluids ==
Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. In diesem Fall entkoppeln sich die Bestimmungsgleichungen für die Geschwindigkeit und den Druck: Aus der Laplace-Gleichung bestimmt sich mit den Randbedingungen das Potential und aus den Euler-Gleichungen, die sich auf die Bernoulli’sche Druckgleichung reduzieren, der Druck.

=== Bestimmungsgleichungen ===
Bei Inkompressibilität ist das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei

:<math>\operatorname{div}\vec{v}=\operatorname{div(grad}(\phi))=\Delta\phi=0\,,</math>

weswegen das Potential die [[Laplace-Gleichung]] erfüllt. Auf Grund der Massenbilanz <math>\dot{\rho}+\rho\Delta\phi=\dot{\rho}=0</math> ist die Dichte zeitlich wie räumlich konstant. Bei konstanter Dichte vereinfacht sich die bei den [[#Barotropes Fluid| barotropen Fluiden]] eingeführte Funktion P zu P=p/ρ. Multiplikation der Euler-Gleichungen mit der Dichte liefert dann:

:<math>\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2+p+\rho V=E\,.</math>

In einer stationären Strömung entfällt der erste Term und es verbleibt die [[Bernoullische Druckgleichung| Bernoulli’sche Druckgleichung]], die hier im gesamten Strömungsgebiet gilt. Die Konstante Energie E ist die Summe aus kinetischer, innerer (Druck p) und äußerer Energie (Schwerefeld ρV) eines Fluidpartikels und diese Gesamtenergie ist für alle Partikel in der stationären Strömung gleich.

=== Analogon der Wärmeleitung ===
{{Hauptartikel| Wärmeleitung}}
[[Datei: waermeprofil.png | mini | Vergleich der über Wärmeleitung berechneten Strömung (farbig und schwarz) mit den analytischen Stromlinien (weiß)]]
[[Datei: profildruck.png | mini | Das Betragsquadrat des Wärmestromes entspricht der Druckverteilung]]
Eine Potentialströmung kann mit [[Finite-Elemente-Methode| Finite-Elemente]]-Programmen berechnet werden, in denen die [[Wärmeleitungsgleichung]] implementiert ist, was in vielen gängigen Programmen der Fall ist. Die stationäre Wärmeleitung in einem homogenen Festkörper ohne innere Wärmequellen gehorcht der [[Laplace-Gleichung]]

:<math>\Delta T=0\,,</math>

weshalb die Temperatur T dort derselben Bestimmungsgleichung unterliegt wie das Geschwindigkeitspotential Φ in einem inkompressiblen Fluid. Wird die Temperatur in einem Festkörper als Geschwindigkeitspotential aufgefasst, dann entspricht der Temperaturgradient, zu dem der Wärmestrom proportional ist, der Strömungsgeschwindigkeit. Die [[Dirichlet-Randbedingung]]en legen die Temperaturen auf Oberflächen fest, wodurch sich der Temperaturgradient und mithin die tangentiale Strömungsgeschwindigkeit in der Fläche vorgeben lässt. [[Neumann-Randbedingung]]en bestimmen die Wärmestromdichte, die in der Potentialströmung die Normalgeschwindigkeit zur Wand einstellt.

Das obere Bild zeigt einen Ausschnitt der Temperaturverteilung aus einer Wärmeleitungsrechnung mit der [[Finite-Elemente-Methode]] in einer quadratischen Scheibe mit einem mittig ausgesparten Profil, das im Beispiel unten behandelt wird. Die Temperatur ist farbkodiert von rot nach blau (rot hoch, blau gering) gezeichnet und die von oben nach unten verlaufenden schwarzen Linien sind ihre Höhenlinien. Die von links nach rechts orientierten kurzen, schwarzen Striche stellen Wärmeströme dar. Um Randeffekte gering zu halten, ist die Scheibe zehn mal so groß wie das Profil, denn die im Beispiel unten, analytisch berechneten, weiß gezeichneten Stromlinien gelten für eine Strömung in der gesamten, wandfreien Ebene. An den Grenzen der Scheibe (außerhalb des Bildes) oben und unten sowie am Profil wurden keine Randbedingungen definiert. Am linken Rand wurde die Wärmestromdichte von eins vorgegeben und am rechten Rand die Wärmestromdichte von minus eins sowie mittig die Temperatur null festgelegt. Mit einer konstanten Temperatur an der rechten Begrenzung wäre ein senkrechter Ausfluss bestimmt worden. Die Höhenlinien der Temperatur entsprechen den Höhenlinien des Geschwindigkeitspotentials und sind im Einklang mit der Theorie augenscheinlich senkrecht zu den weißen Stromlinien und die Wärmeströme sind mit den Stromlinien verträglich.

Das untere Bild zeigt das Betragsquadrat des Wärmestromes (rot groß, blau klein), von dem nach der Bernoulli-Gleichung ohne Schwerebeschleunigung

:<math>p=E-\frac{\rho}{2}\operatorname{grad}(\phi)^2</math>

der Druck eine lineare Funktion ist. Wegen des negativen Vorzeichens herrscht also in den blauen Bereichen ein hoher Druck und in den roten ein niedriger.

=== Ebene Potentialströmung ===
Wenn die Strömung in der Ebene stattfindet, dann können die Eigenschaften komplexer Funktionen ausgenutzt werden. Es wird ein komplexes Geschwindigkeitspotential definiert, dessen Realteil das reelle Geschwindigkeitspotential und dessen Imaginärteil die [[Stromfunktion]] ist. Beide Funktionen beschreiben dieselbe Strömung. Deshalb gelten die aus der Stromfunktion abgeleiteten Aussagen: Die Höhenlinien der Stromfunktion sind [[Stromlinie]]n, zwischen denen der Volumenstrom überall gleich ist. Komplexe Geschwindigkeitspotentiale können aus einfacheren zusammengesetzt und transformiert werden, so dass mit einfachen Mitteln komplizierte Strömungen untersucht werden können. Insbesondere kann auch die von der Strömung auf den Körper ausgeübte Kraft exakt berechnet werden.

==== Komplexes Geschwindigkeitspotential ====
Die Ebene wird als komplexe Zahlenebene aufgefasst, in der der Wert des Potentials als Realteil einer [[Holomorphe Funktion| holomorphen Funktion]] f dargestellt wird:

:<math>f(z)=\phi(x,y)+\mathrm{i}\,\psi(x,y)\quad\text{mit}\quad z=x+\mathrm{i}\,y\in\mathbb{C}\,.</math>

Die Menge <math>\mathbb{C}</math> enthält alle komplexen Zahlen und i ist die [[imaginäre Einheit]]. Die Funktion f ist das komplexe Geschwindigkeitspotential, aus dem sich die Geschwindigkeit über die Ableitungen
:<math>
v_x = \frac{\partial\phi}{\partial x}
\;,\quad
v_y = \frac{\partial\phi}{\partial y}
\quad\text{oder}\quad
w:=v_x-\mathrm{i}\,v_y=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}
</math>

ergibt. Hier ist w die ''komplexe Geschwindigkeit''. Der Imaginärteil des Potentials ist die [[Stromfunktion]], deren Höhenlinien [[Stromlinie]]n sind. Weil die Funktion f holomorph ist, gelten die [[Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen| Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen]]

:<math>\frac{\partial\phi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial y}
\quad\text{und}\quad
\frac{\partial\phi}{\partial y}=-\frac{\partial\psi}{\partial x}\,.
</math>

weswegen die Gradienten des reellen Geschwindigkeitspotentials und der Stromfunktion zueinander senkrecht sind:

:<math>\operatorname{grad}(\phi)\cdot\operatorname{grad}(\psi)=0\,.</math>

Die Gradienten sind wiederum orthogonal zu den Höhenlinien, so dass auch diese sich im rechten Winkel schneiden. Weitere Differentiation offenbart

:<math>\begin{align}
\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}&=\frac{\partial^2\psi}{\partial y\partial x}=-\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2}
\quad\Rightarrow\quad
\Delta\phi = 0
\\
\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}&=\frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial y}=-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}
\quad\Rightarrow\quad
\Delta\psi = 0\,,
\end{align}</math>

weswegen sowohl der real- als auch der imaginäre Teil des komplexen Geschwindigkeitspotentials die Laplace-Gleichung in der Ebene erfüllt. Die obere Gleichung legt die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenzfreiheit]] und die untere die [[Rotation (Mathematik)| Rotationsfreiheit]] der Strömung fest.

Aus den Randbedingungen berechnet sich das Potential, aus dem sich über die Ableitungen das Geschwindigkeitsfeld berechnet, und der Druck wird aus der Bernoulli’schen-Druckgleichung ermittelt.

==== Näherungsweise rechnerische Lösung ====
Der Laplace-Operator hat in der Ebene in einem regelmäßigen Netz mit Maschenweite <math>\triangle x=\triangle y=h</math> den [[Differenzenquotient#Höhere Differenzenquotienten|Differenzenquotient]]

:<math>\begin{align}
\Delta\psi=& \frac{\triangle^2\psi}{\triangle x^2}+\frac{\triangle^2\psi}{\triangle y^2}
\\=&
\frac{\psi(x+h,y)+\psi(x-h,y)-2\psi(x,y)}{h^2}
+\frac{\psi(x,y+h)+\psi(x,y-h)-2\psi(x,y)}{h^2}
\stackrel{\displaystyle !}{=}0
\\
\rightarrow
\psi(x,y)
=&
\frac{\psi(x+h,y)+\psi(x-h,y)+\psi(x,y+h)+\psi(x,y-h)}{4}
\end{align}</math>

Die Differenzen wurden mit <math>\triangle</math> geschrieben um eine Verwechselung mit dem Laplace-Operator zu vermeiden. Die Formel gestattet eine einfache Lösung der Laplace-Gleichung<ref group="L" name="malcherek">{{Internetquelle
| autor=A. Malcherek
| hrsg=Universität der Bundeswehr München
| url=https://dokumente.unibw.de/pub/bscw.cgi/1424365
| format=pdf
| sprache=deutsch
| titel=Hydromechanik für Bauingenieure
| seiten=48ff
| zugriff=2016-10-09
}}</ref>: In das Strömungsgebiet wird ein Netz mit quadratischen Maschen mit Kantenlänge ''h'' gelegt. Der Wert der Stromfunktion am Knoten mit Koordinaten (''x'', ''y'') ist dann der Mittelwert der in x- und y-Richtung benachbarten Knotenwerte. Bei einem durchflossenen Kanal wird auf einem Rand die Stromfunktion zu null gesetzt und auf dem gegenüberliegenden Rand derjenige Wert festgelegt, der dem verlangten Volumenstrom entspricht. Für die Knotenwerte im Strömungsgebiet werden zunächst geschätzte Werte eingesetzt und dann iterativ mittels obiger Gleichung angepasst, bis eine zufriedenstellende Genauigkeit erreicht ist. 

==== Zeichnerische Ermittlung von  Potentialströmungen ====
{{Hauptartikel|Strömungsnetz}}
[[Datei:Stroemungsnetz.png|mini|In sechs Schritten manuell erstellte Zeichnung einer Potentialströmung um eine offene [[Schütz (Wasserbau)|Hubschütze]] mittels [[Xfig]]]]
Potentialströmungen können auch von Hand skizziert werden, was in der [[Geotechnik]] und [[Hydromechanik]] angewendet wird<ref group="L" name="malcherek"/>. Die oben aufgeführten Eigenschaften von ebenen Potentialströmungen geben dazu Anhaltspunkte:
* Undurchlässige Ränder oder freie Oberflächen sind Stromlinien,
* Stromlinien dürfen sich nicht schneiden,
* Potentiallinien dürfen sich nicht schneiden,
* Potentiallinien und Stromlinien schneiden sich rechtwinklig und
* das Netz aus Potential- und Stromlinien kann so gestaltet werden, dass es aus annähernd quadratischen Maschen besteht.

Zu Anfang werden die Ränder des Strömungsgebiets gezeichnet (Schritt 1 im Bild) und die Richtung der Strömung am Ein- und Auslass festgelegt (2). Dann werden (3) zwischen den Rändern des Strömungsgebiets einige wenige parallele Stromlinien mit gleichen Abständen gelegt unter Beachtung der Tatsache das die Ränder ebenfalls Stromlinien sind. Die Potentiallinien werden so eingezeichnet (4), dass sie diese Stromlinien im rechten Winkel kreuzen und quadratische Maschen entstehen. Durch Eintragung weiterer Strom- und Potentiallinien (5,6) wird das Netz bis zum gewünschten Maß verdichtet.

==== Konstruktion von Geschwindigkeitspotentialen ====
Weil die Laplace-Gleichung linear ist, ist die Strömung, die sich aus der Summe zweier Geschwindigkeitspotentiale ergibt, wieder eine Potentialströmung. So lassen sich komplexe Strömungen durch Superposition aus einfachen Strömungen zusammensetzen, von denen einige  – siehe die unten stehenden Bilder – angegeben seien:
# Eine Parallelströmung mit konstanter komplexer Geschwindigkeit <math>w=v_x-\mathrm{i}\,v_y</math> ergibt sich aus <math>f(z)=w z</math>.
# Eine ''Staupunktströmung'' mit Staupunkt im Ursprung ergibt sich mit <math>f(z)=z^n\,,\;n=2,3,4,\dots</math>
# Eine ''Multipolströmung'' im Ursprung hat das Potential <math>f(z)=z^{-n}\,,\;n=1,2,3,4,\dots</math>
# ''Quellen'' haben ein Potential der Form <math>f(z)=\frac{Q}{2\pi}\ln(z-z_0)\,.</math> Der Ort der Quelle ist <math>z_0</math>, ihre Stärke ist Q und ln ist der [[Natürlicher Logarithmus| Natürliche Logarithmus]]. An der Stelle <math>z=z_0</math> befindet sich eine Singularität, in der die Laplace-Gleichung verletzt wird. ''Senken'' sind Quellen mit negativer Stärke.
# Der ''Potentialwirbel'' – siehe unten – ergibt sich durch Vertauschung der Real- und Imaginärteile bei einer Quellströmung, was durch Multiplikation des Potentials mit -i geschieht: <math>f(z)=-\mathrm{i}\,\frac{\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0)\,.</math>
# ''Strudel'' ergeben sich aus der Überlagerung von Quellen/Senken und Potentialwirbel: <math>f(z)=\frac{Q-\mathrm{i}\,\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0)\,.</math>

<gallery>
potparallel.png| Parallelströmung
potstaupunkt.png| Staupunktströmung
potdipol.png| Multipolströmung
potquelle.png| Quelle/Senke
potwirbel.png| Wirbel 
potstrudel.png| Strudel
</gallery>
In den obigen Bildern sind die Höhenlinien des reellen Potentials rot und die der Stromfunktion blau gezeichnet. Der Abstand der roten Linien gibt einen Eindruck von der Strömungsgeschwindigkeit wobei in Bereichen mit geringen Abständen die Geschwindigkeit hoch ist. Die blauen Linien sind Stromlinien. Die Funktionen, deren Höhenlinien bei den Quellen/Senken, Wirbeln oder Strudeln radial verlaufen, machen irgendwo einen Sprung, was eine Folge der nicht-Differenzierbarkeit der Logarithmusfunktion ist.

Mit der ''Methode der [[Bildladung]]en'' kann durch geschicktes Einbringen von ''gedachten'' Quellen und Senken ''außerhalb'' des durchströmten Gebiets die Strömung so umgelenkt werden, dass sie vorgegebene Randbedingungen erfüllt.

Mit ''[[konforme Abbildung| konformen Abbildungen]]'' können Strömungsfelder um einfache Grundkörper auf komplizierte Geometrien übertragen werden. Die Übertragung geschieht mit einer zweiten, komplexen Funktion w gemäß <math>\Pi(z)=w(f(z))\,,</math> die nach dem [[Riemannscher Abbildungssatz| Riemannschen Abbildungssatz]] konform ist. Die [[Kutta-Schukowski-Transformation]] überträgt die Umströmung eines Kreiszylinders auf ein Flügelprofil, siehe das Beispiel unten. Mit der [[Schwarz-Christoffel-Transformation]] kann die Parallelströmung in der oberen Halbebene auf beliebige, mit geraden Linien berandete, einfach zusammenhängende Gebiete (und auch das innere von [[Polygon]]en) übertragen werden.

==== Kraftwirkungen auf umströmte Körper ====
Das [[d’Alembertsches Paradoxon| d’Alembert’sche Paradoxon]] besagt, dass auf einen beliebig geformten Körper keine Kraft in Richtung der Strömung wirkt. In einem komplex differenzierbaren Geschwindigkeitsfeld übt die Strömung auch keine Kraft senkrecht zur Strömungsrichtung auf von ihr umströmte Körper aus, was eine Folgerung aus dem [[Integralsatz von Cauchy]] ist. Wenn das  Geschwindigkeitspotential irgendwo innerhalb der  Kontur eines Körpers nicht komplex differenzierbar ist, dann kann die Zirkulation der Geschwindigkeit längs der Kontur ungleich null sein und der Körper erfährt nach dem [[Satz von Kutta-Joukowski]] eine zu dieser Zirkulation proportionale Auftriebskraft. Mit der 1902 entdeckten Formel konnten erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden.

Eine bei der Berechnung der Kraftwirkung auf umströmte Körper wichtige Größe ist die [[Zirkulation (Feldtheorie)| Zirkulation]] Γ der Geschwindigkeit längs eines Weges W, die mit einem [[Kurvenintegral]] berechnet wird:

:<math>\Gamma:=\oint_W (v_x\mathrm{d}x+v_y\,\mathrm{d}y)\,.</math>

Wenn die Kurve eine umströmte Kontur ist, dann kann die Zirkulation mit der komplexen Geschwindigkeit berechnet werden:

:<math>\Gamma=\oint_W w(z)\,\mathrm{d}z\quad(\in\R)\,.</math>

Der [[Integralsatz von Cauchy]] besagt, dass das Kurvenintegral einer komplexen Funktion zwischen zwei Punkten wegunabhängig ist, wenn die Funktion holomorph also komplex differenzierbar ist. Das Kurvenintegral verschwindet demnach entlang einer geschlossenen Kontur, wenn die Funktion in dem von der Kontur umschlossenen Gebiet holomorph ist. Die Zirkulation kann nur dann von null verschieden sein, wenn das Geschwindigkeitsfeld irgendwo innerhalb der Kontur nicht komplex differenzierbar ist
<ref  group="L">M. Bestehorn: ''Hydrodynamik und Strukturbildung.'' 2006, S. 95.</ref>.

Die komplexe Kraft <math>F=F_x-\mathrm{i}F_y</math> (wobei <math>F_y</math> in ''positiver'' y-Richtung wirkt), die auf einen von einer ebenen Potentialströmung umströmten Körper wirkt, dessen konstanter Querschnitt die ebene Kontur W ist und dessen Ausdehnung senkrecht zum Querschnitt gleich L ist, berechnet sich mit der ersten [[Blasiussche Formeln|  Blasius’schen Formel]]

:<math>F=\mathrm{i}L\frac{\rho}{2}\oint_W w^2(z)\,\mathrm{d}z</math>

mit dem Kurvenintegral des Geschwindigkeitsquadrats entlang der Kontur. Der [[Satz von Kutta-Joukowski]] besagt, dass die Kraft, die auf den umströmten Körper wirkt, proportional zu seiner Zirkulation ist:

:<math>F=\mathrm{i}L\rho\Gamma w_{\infty}=L\rho\Gamma  e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}w_{\infty}\,.</math>

Weil die Kraft immer senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit <math>w_\infty</math> im Unendlichen ist, wird die Kraft auch ''Auftriebskraft'' genannt. In wirbelfreien Strömungen verschwindet die Zirkulation, so dass eine wirbelfreie Potentialströmung keine Kraft auf von ihr umströmte Körper ausübt.

==== Potentialwirbel ====
Der [[Wirbel (Strömungslehre) #Potentialwirbel| Potentialwirbel]] oder „freie Wirbel“ ist eine echte (rotationsfreie) Potentialströmung, die dennoch kreist, d.&nbsp;h. in einem [[Topologie (Mathematik)| topologisch]] [[Zusammenhängender Raum| zweifach zusammenhängenden Gebiet]] (wie beispielsweise dem Luftraum in einem Saal mit Mittelsäule) eine [[Zirkulation (Feldtheorie)| Zirkulation]] aufweist. Ein besonderer Potentialwirbel ist an einer freien Wasseroberfläche zu beobachten, wenn der Druck im Zentrum so gering wird, dass sich die Oberfläche merklich einsenkt und einen Wirbeltrichter&nbsp;([[Strudel (Physik)| Strudel]]) bildet. Reicht der Trichter unbegrenzt weit in die Tiefe, so herrscht im ganzen Flüssigkeitsgebiet Potentialströmung, nicht jedoch im luftgefüllten Kern.

Beim freien Wirbel bewegen sich alle Fluidpartikel auf [[konzentrisch]]en Kreisbahnen mit [[Geschwindigkeit|Geschwindigkeitsbeträgen]] <math>v(r)</math>, die (außer im Kerngebiet) dem [[Abstandsgesetz]] mit Konstante&nbsp;<math>c</math> und Achsenabstand&nbsp;<math>r</math> entsprechen:
:<math>v(r) = \frac{c}{r}</math>

Es handelt sich um eine [[reziproke Proportionalität]], d.&nbsp;h. je weiter entfernt von der Achse die Partikel sind, desto ''langsamer'' bewegen sie sich, und die innersten Partikel bewegen sich am schnellsten. Dadurch ist eine völlig andere Geschwindigkeits- und [[Druck (Physik)| Druck]]verteilung gegeben als beim quasi-starren Wirbel, der kein Potential besitzt und dessen Geschwindigkeit [[proportional]] zum Achsenabstand ist: <math>v = \omega \cdot r.</math>

In ''realen'' Fluiden bilden sich freie Wirbel nur näherungsweise als Potentialströmungen aus, da in ihrer Mitte Zähigkeitskräfte zu einer quasi-starren Rotation führen und das Geschwindigkeitsfeld hier Vortizität besitzt.

Nach Bestehorn ist der Potentialwirbel eigentlich ein Punktwirbel<ref group="L">M. Bestehorn: ''Hydrodynamik und Strukturbildung.'' 2006, S. 87.</ref>: Das komplexe Potential des Wirbels lautet mit <math>z-z_0=r e^{\mathrm{i}\,\varphi}</math> wie oben angedeutet:
:<math>f(z)=-\mathrm{i}\,\frac{\Gamma}{2\pi}\ln(z-z_0)
=-\mathrm{i}\,\frac{\Gamma}{2\pi}\ln\left(r e^{\mathrm{i}\,\varphi}\right)
=\frac{\Gamma}{2\pi}\varphi-\mathrm{i}\,\frac{\Gamma}{2\pi}\ln(r)\,.
</math>
Auf der negativen reellen Achse bei <math>\varphi=\pm n\pi\,,\; n=1,3,5,\ldots</math> ist der [[Natürlicher Logarithmus#Komplexer Logarithmus| komplexe Natürliche Logarithmus]] nicht differenzierbar, weswegen das Potential gar keines ist. Wohl benutzbar ist aber die Stromfunktion <math>\psi=-\frac{\Gamma}{2\pi}\ln(r)\,,</math> die den Wirbel vollständig beschreibt. Die Wirbelstärke ist

:<math>\omega=-\frac{1}{2}\Delta\psi=\frac{1}{2}\Gamma\delta(z-z_0)\,,</math>

mit dem [[Dirac-Delta]] „δ“, weshalb es sich beim Potentialwirbel um einen unendlich starken Punktwirbel an der Stelle <math>z=z_0</math> handelt, siehe [[Hamel-Oseenscher-Wirbel]].

== Beispiel ==
[[Datei: zylprofilstrom.gif| mini| Ebene Potentialströmung um einen Zylinder und ein Flügelprofil]]
Das komplexe Geschwindigkeitspotential
:<math>f(z)=z+\frac{1}{z}
=x+\mathrm{i}\,y + \frac{1}{x+\mathrm{i}\,y}
=\underbrace{x+\frac{x}{x^2+y^2}}_{=\phi}
+\mathrm{i}\underbrace{\left(y - \frac{y}{x^2+y^2}\right)}_{=\psi}
</math>

beschreibt die Umströmung eines Zylinders, denn dessen Umfang bei <math>x^2+y^2=1</math> ist eine Stromlinie mit ψ=0, siehe den oberen Bildteil. Die Stromlinien sind Höhenlinien der Stromfunktion ψ und haben die Gleichung

:<math>y - \frac{y}{x^2+y^2}=\psi
\quad\Rightarrow\quad
x=\pm\sqrt{\frac{y}{y-\psi}-y^2}
</math>

und sind im Bild im Abstand von Δψ=0,3 weiß gezeichnet. Die Stromlinie mit ψ=0 ist rot gezeichnet. Die Geschwindigkeit ergibt sich durch Ableitung des Geschwindigkeitspotentials:
:<math>v_x-\mathrm{i}\,v_y=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}=1-\frac{1}{z^2}
\quad\Rightarrow\quad
v^2 = \left(1-\frac{1}{z^2}\right)\overline{\left(1-\frac{1}{z^2}\right)}=1+\frac{2(y^2-x^2)+1}{(x^2+y^2)^2}
\,.</math>

In Abwesenheit eines Schwerefeldes liefert die Bernoulli-Gleichung den Druck:

:<math>\frac{\rho}{2}v^2+p=E
\quad\Rightarrow\quad
p=E-\frac{\rho}{2}\left(1+\frac{2(y^2-x^2)+1}{(x^2+y^2)^2}\right)
</math>

Mit der konformen Abbildung

:<math>w(z)=z+z_0+\frac{R^2}{z+z_0}
\quad\text{mit}\quad
R = \Re(z_0)+\sqrt{1-\Im(z_0)^2}
</math>

wird der Zylinder auf eine Kontur transformiert, die einem Flügelprofil ähnelt<ref group="L">M. Bestehorn: ''Hydrodynamik und Strukturbildung.'' 2006, S. 91 ff.</ref>, siehe den unteren Bildteil, wo <math>z_0=0{,}15\, e^{\mathrm{i}\frac{5}{6}\pi}</math> und <math>R=0{,}8672</math> ist. Die Funktionen <math>\Re</math> und <math>\Im</math> extrahieren den Real- bzw. Imaginärteil ihres komplexen Arguments. Der Betrag von <math>z_0</math> kontrolliert die Bauchigkeit wohingegen die Phase die Wölbung des Profils beeinflusst.

Die Strömung wird wie die Kontur transformiert, so dass sich die Stromlinien in der w-Ebene mit

:<math>w(z)=z+z_0+\frac{R^2}{z+z_0}
\quad\text{und}\quad
z=\pm\sqrt{\frac{y}{y-\psi}-y^2}+\mathrm{i}\,y
</math>

ergeben. Sie sind im unteren Bildteil weiß gezeichnet. Die Stromlinien dieses Profils wurden oben, im Abschnitt [[#Analogon der Wärmeleitung]], mit den Ergebnissen aus einer Wärmeleitungsanalyse verglichen.

== Fußnoten ==
<references group="F"/>

== Einzelnachweise ==
<references group="L"/>

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor=Michael Bestehorn| Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung|WerkErg= Mit einer kurzen Einführung in die Kontinuumsmechanik | Verlag=Springer| Ort=Berlin u. a. |Jahr=2006| ISBN=3-540-33796-2}}
* {{Literatur| Autor=Ralf Greve| Titel=Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker| Verlag=Springer| Ort=Berlin u. a. |Jahr=2003| ISBN=3-540-00760-1}}
* Hans J. Lugt: ''Wirbelströmung in Natur und Technik.'' G. Braun, Karlsruhe 1979, ISBN 3-7650-2028-1.
* [[Herbert Oertel]] (Hrsg.): ''Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene.'' 11., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-48209-5.
* Heinz Schade, Ewald Kunz: ''Strömungslehre.'' 2., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011873-4.
* Jürgen Zierep: ''Grundzüge der Strömungslehre.'' 4., überarbeitete Auflage. G. Braun, Karlsruhe 1990, ISBN 3-7650-2039-7.

== Weblinks ==
* [http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/c2003/SchwarzChristoffelMod.html mathfaculty.fullerton.edu mit vielen Beispielen zur konformen Abbildung], aufgerufen am 16. August 2015.

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