Quelltext der Seite Phasengeschwindigkeit

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[[Datei:Wave phase.gif|mini|Der rote Punkt ist immer am Punkt gleicher Phase (Wellenberg) und bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit der blauen, monochromatischen Welle.|201x201px]]
[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif|mini|Ein Wellenpaket breitet sich in einem nicht-dispersiven Medium aus (z.&nbsp;B. eine [[elektromagnetische Welle]] im [[Vakuum]]).]]
[[Datei:Wave packet (dispersion).gif|mini|Ein Wellenpaket breitet sich in einem dispersiven Medium aus.]]
Die '''Phasengeschwindigkeit''' ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher [[Phasenwinkel|Phasen]] einer [[Monochromatische Welle|monochromatischen Welle]].<ref>{{Literatur|Autor=[[Paul A. Tipler]], [[Gene Mosca]]|Titel=Physik|TitelErg=Für Wissenschaftler und Ingenieure|Herausgeber=Dietrich Pelte|Auflage=2.|Verlag=Spektrum akademischer Verlag|Jahr=2007|ISBN=978-3-8274-1164-8}}</ref> 

In [[Dispersion (Physik)|dispersiven Medien]] breiten sich Wellen unterschiedlicher [[Frequenz]] mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten aus. Bei der Ausbreitung von [[Wellenpaket|Wellenpaketen]] (also der Summe mehrerer überlagerter monochromatischer Wellen) in dispersiven Medien sind folglich auch die [[Phasendifferenz]]en zwischen einzelnen Komponenten nicht konstant, sondern zeitabhängig: Die [[Einhüllende|Form]] des Wellenpaktes ändert sich (es „zerfließt“).

In der oberen Abbildung bewegt sich der rote Punkt mit der Phasengeschwindigkeit. Die zweite Abbildung zeigt ein Wellenpaket, dessen [[Gruppengeschwindigkeit]] gleich der Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten ist. In der dritten Abbildung sind die Phasengeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten unterschiedlich.

Die Phasengeschwindigkeit <math>v_\mathrm{p}</math> berechnet sich aus der [[Wellenlänge]] <math>\lambda\,</math> (die Strecke, die zurückgelegt wird) und der [[Periodendauer]] <math>T\,</math> (die Zeit, die dafür benötigt wird) zu
:<math>
v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.
</math>

Aufgrund der Definitionen von [[Frequenz]] <math>f\,</math>, [[Kreisfrequenz]] <math>\omega\,</math> und [[Kreiswellenzahl]] <math>k\,</math> ergibt sich die äquivalente Darstellung
:<math>
v_\mathrm{p} = \lambda \cdot f = \frac{\omega}{k}.
</math>
Die [[Lichtgeschwindigkeit]] im Vakuum ist die Obergrenze für die Übertragungsgeschwindigkeit von Energie und Information. Jedoch gibt es zahlreiche Fälle, in denen Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit auftreten. Beispiele sind [[Materiewelle]]n und Wellen in [[Hohlleiter]]n.
[[Datei:Wave group.gif|mini|424x424px|Die grünen Punkte bewegen sich mit [[Gruppengeschwindigkeit]], der rote mit Phasengeschwindigkeit.]]

== Zusammenhang mit Gruppengeschwindigkeit und Dispersion ==
{| class="wikitable float-right"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Bezeichnung
! Symbol
! Beziehungen
|-
| [[Amplitude]]
|align="center" | <math>\vec A_0</math>
|
  {|
   | <math>\vec A_0\perp\vec k</math>
   | Transversalwelle
   |-
   | <math>\vec A_0\|\vec k</math>
   | Longitudinalwelle
   |}
|-
| [[Wellenvektor]]
|align="center" | <math>\vec k</math>
| Ausbreitungsrichtung
|-
| [[Kreiswellenzahl]]
|align="center" | <math>k\,</math>
| <math>k=|\vec k|</math>
|-
| [[Wellenlänge]]
|align="center" | <math>\mathbf\lambda</math>
| <math>\lambda= \frac{2\pi}{k}</math>
|-
| [[Kreisfrequenz]]
|align="center" | <math>\mathbf\omega</math>
| <math>\mathbf\omega\big(\vec k\big)</math> Dispersionsrelation
|-
| [[Frequenz]]
|align="center" | <math>f</math>
| <math>f=\frac{\omega}{2\pi}</math>
|-
| Phasengeschwindigkeit
|align="center" | <math>v_\mathrm{p}</math>
| <math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}=\lambda f</math>
|-
| [[Gruppengeschwindigkeit]]
|align="center" | <math>v_\mathrm{g}</math>
| <math>v_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}</math>
|-
| [[Phasenwinkel]]
|align="center" | <math>\varphi</math>
| <math>\varphi=\vec k\cdot \vec r-\omega t</math>
|}

Zur mathematischen Beschreibung einer Welle in einem speziellen Medium benötigt man ihre [[Wellenform]], [[Amplitude]], [[Frequenz]], [[Phasenwinkel]] und die zugehörige [[Wellengleichung]] – gegebenenfalls mit [[Randbedingungen]]. Einer so eindeutig definierten Welle können trotzdem verschiedene Geschwindigkeiten zugeordnet werden, die nicht mit der Phasengeschwindigkeit verwechselt werden sollten.

Die Geschwindigkeit, mit der eine Welle Energie oder Informationen überträgt, ist die [[Signalgeschwindigkeit]]. Diese ist für ein verlustfreies Medium gleich der [[Gruppengeschwindigkeit]], also der Geschwindigkeit eines [[Wellenpaket]]es.
Ein solches Wellenpaket ist aus monochromatischen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen <math>f</math> zusammengesetzt.
Jede dieser monochromatischen Wellen hat eine eigene Phasengeschwindigkeit:
:<math>v_\mathrm{p} = v_\mathrm{p}(f)</math>.
Der funktionale Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit und Frequenz wird als [[Dispersionsrelation|Dispersion]] bezeichnet.

Für [[elektromagnetische Welle]]n ist die Phasengeschwindigkeit <math>v_\mathrm{p}</math> und die Gruppengeschwindigkeit <math>v_\mathrm{g}</math> im [[Vakuum]] gleich der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math>, d.&nbsp;h., das Vakuum ist nicht dispersiv.
In Materie ist die Phasengeschwindigkeit dagegen im Allgemeinen abhängig von der Frequenz. Aufgrund der Beziehung für den [[Brechungsindex]] <math>n = c / v_\mathrm{p}</math> wird hier die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex <math>n(f)</math> als [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] bezeichnet.

== Beispiele ==
=== Körperschall ===
[[Datei:Sym asym sigma0.27 und 0.34 edited2.svg|mini|Lambmoden für zwei verschiedene Materialien mit [[Poissonzahl]]<br /><math>\sigma = 0{,}34</math> (z.&nbsp;B. [[Titan (Element)|Titan]]) und <math>\sigma = 0{,}27</math> (z.&nbsp;B. [[Stahl]])]]
In [[Festkörper]]n können sich [[Schallwelle]]n als [[Körperschall]] ausbreiten. Die Phasengeschwindigkeiten sind dabei je nach [[Moden|Wellentyp]] verschieden. Beispielsweise beträgt die Phasengeschwindigkeit der [[Longitudinalwelle]] bei Raumtemperatur in [[Edelstahl]] etwa 5980&nbsp;m/s; die Phasengeschwindigkeit der [[Transversalwelle]] ist um etwa den Faktor 1,8 kleiner: ca. 3300&nbsp;m/s. In dünnen Platten existieren noch weitere Wellentypen, sogenannte [[Lambwelle]]n. Im nebenstehenden Bild entspricht jeder Ast einem Lambwellentyp (Mode). Vertikal ist die Phasengeschwindigkeit <math>v</math> in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit <math>v_\mathrm s</math> dargestellt, horizontal die Frequenz als Produkt von [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> und Plattendicke <math>d</math> in Einheiten der Transversalwellengeschwindigkeit. Die höheren Moden <math>S_1,A_1,S_2,A_2,\dots</math> existieren erst ab bestimmten Mindestfrequenzen und breiten sich dann mit sehr hohen Phasengeschwindigkeiten aus. Die <math>A_0</math>-Mode hat für kleine Frequenzen eine verschwindende Phasengeschwindigkeit.

=== Materiewelle ===
Gemäß dem [[Welle-Teilchen-Dualismus]] kann man einem Teilchen, z.&nbsp;B. einem [[Elektron]] mit der [[Energie]] <math>E</math> und dem [[Impuls]] <math>p</math>, eine Wellenlänge <math>\lambda</math> zuordnen und somit eine Phasengeschwindigkeit
:<math>v_\mathrm p=f\lambda=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}</math>.
Mit [[Albert Einstein|Einsteins]] Formel
:<math>E=mc^2</math>

oder in der Formulierung mit dem [[Lorentzfaktor]] <math>\gamma</math>
:<math>E=m_0\gamma c^2</math>

und der Definition des [[Relativistischer Impuls|relativistischen Impulses]] <math>p=m_0\gamma v</math> folgt
:<math>v_\mathrm p=\frac{m_0\gamma c^2}{m_0\gamma v_\mathrm g}=\frac{c^2}{v_\mathrm g}.</math>

Hier ist <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]], die höchste Geschwindigkeit, mit der sich Energie oder Informationen ausbreiten können. Die Gruppengeschwindigkeit <math>v_\mathrm g=\frac{\mathrm d \omega}{\mathrm d k}</math> ist die Teilchengeschwindigkeit,<ref>{{Literatur|Autor=Gunnar Lindström, Rudolf Langkau, Wolfgang Scobel|Titel=Physik kompakt 3: Quantenphysik und Statistische Physik|Verlag=Springer|Jahr=2013|Seiten=54|ISBN=3-642-56017-2|Online={{Google Buch|BuchID=_u7zBQAAQBAJ|Seite=54}}}}</ref> die immer kleiner als <math>c</math> ist. Daher ist
:<math>v_\mathrm p>c</math>.

Die [[Louis de Broglie|de Broglie]]-Phasengeschwindigkeit ist also immer größer als die Lichtgeschwindigkeit.<ref name="Demtröder2010">{{Literatur|Autor=[[Wolfgang Demtröder]]|Titel=Experimentalphysik 3|TitelErg=Atome, Moleküle und Festkörper|Verlag=Springer DE|Jahr=2010|ISBN=978-3-642-03911-9|Seiten=97|Online={{Google Buch|BuchID=DFEzhuWhoTsC|Seite=97}}}}</ref> Diese sog. ''superluminale'' Geschwindigkeit von [[Materiewelle]]n widerspricht nicht der [[Relativitätstheorie]], da die Signalgeschwindigkeit <math>v_\mathrm g</math> ist.

=== Hohlleiter ===
Auch [[elektromagnetische Welle]]n in normalen, zur Leistungsübertragung genutzten [[Hohlleiter]]n bewegen sich mit Phasengeschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit.<ref name="Schmüser2012">{{Literatur|Autor=Peter Schmüser|Titel=Theoretische Physik Für Studierende Des Lehramts 1: Quantenmechanik|Verlag=Springer DE|Jahr=2012|ISBN=978-3-642-25395-9|Seiten=125|Online={{Google Buch|BuchID=WCaAvctKSJMC|Seite=125}}}}</ref> Im [[Linearbeschleuniger#Wanderwellenbeschleuniger|Wanderwellenbeschleuniger]] muss die Phasengeschwindigkeit künstlich durch regelmäßig angeordnete leitfähige Blenden auf Werte unterhalb der Lichtgeschwindigkeit verringert werden.

== Literatur ==
* DIN 1311, Blatt 1: ''Schwingungen und schwingungsfähige Systeme.'' Teil 1: ''Grundbegriffe, Einteilung.'' Ausgabe 2000–2002.

== Weblinks ==
* [http://vento.pi.tu-berlin.de/STROEMUNGSAKUSTIK/APPLETS/applets/gruppe.html Java-Animation, welche die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wellengeschwindigkeit}}

[[Kategorie:Wellenlehre]]

[[fr:Vitesse d'une onde#Vitesse de phase]]
[[nl:Voortplantingssnelheid#Fase- en groepssnelheid]]
Folgende Vorlagen werden auf dieser Seite verwendet:
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Abgerufen von „https://www.cosmos-indirekt.de/Physik-Schule/Phasengeschwindigkeit“
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