Periode (Physik): Unterschied zwischen den Versionen
imported>Boehm (Die letzte Textänderung von 62.204.119.142 wurde verworfen und die Version 161793423 von Horst Gräbner wiederhergestellt.) |
imported>Saure (Änderung 209455274 von 2003:C3:6722:900:5860:BB7:ED05:8B73 rückgängig gemacht: zu viele Fehler) |
||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
== Schwingungen == | == Schwingungen == | ||
=== Festlegungen === | === Festlegungen === | ||
Schwingungen sind ausschließlich Funktionen der Zeit. Die Periode heißt hierbei auch '''Periodendauer''' oder '''Schwingungsdauer''' (selten: ''Schwingungszeit''). Man bezeichnet sie üblicherweise mit dem [[Formelzeichen]] <math>T</math> und gibt sie an in der [[Maßeinheit]] [[Sekunde]] mit dem [[Einheitenzeichen]] s. Beispiele für periodische | Schwingungen sind ausschließlich Funktionen der Zeit. Die Periode heißt hierbei auch '''Periodendauer''' oder '''Schwingungsdauer''' (selten: ''Schwingungszeit''). Man bezeichnet sie üblicherweise mit dem [[Formelzeichen]] <math>T</math> und gibt sie an in der [[Maßeinheit]] [[Sekunde]] mit dem [[Einheitenzeichen]] s. Beispiele für [[periodische Funktion]]en in Form von [[Wechselspannung]]en zeigt das Bild. | ||
[[Datei:Wechselspannungsformen.svg|mini|Beispiele für nach einer Zeit <math>T</math> periodische Funktionen]] | [[Datei:Wechselspannungsformen.svg|mini|Beispiele für nach einer Zeit <math>T</math> periodische Funktionen]] | ||
Kennzeichnend für die | Kennzeichnend für die Periodizität nach der Zeit <math>T</math> ist die Beziehung | ||
:<math>f(t)=f(t+T)</math> für eine beliebige Zeit <math>t</math> und für <math>T</math> = konst > 0. | :<math>f(t)=f(t+T)</math> für eine beliebige Zeit <math>t</math> und für <math>T</math> = konst > 0. | ||
Der Kehrwert <math>1/T</math> wird als [[Frequenz]] (Formelzeichen: <math>f</math> oder <math>\nu</math> (ny)) bezeichnet. | Der Kehrwert <math>1/T</math> wird als [[Frequenz]] (Formelzeichen: <math>f</math> oder <math>\nu</math> (ny)) bezeichnet. | ||
:<math>f= \frac 1T\ .</math> | :<math>f= \frac 1T\ .</math> | ||
:''Beispiel'': Der in Europa übliche [[Wechselstrom]] hat eine Frequenz von 50 Hz und damit eine Periodendauer von | :''Beispiel'': Der in Europa übliche [[Wechselstrom]] hat eine Frequenz von 50 Hz und damit eine Periodendauer von | ||
::<math>T_{50}= \frac1{50\;\mathrm{Hz}} = 1/50\;\mathrm s= 20\;\mathrm {ms}\ .</math> | ::<math>T_{50}= \frac1{50\;\mathrm{Hz}} = 1/50\;\mathrm s= 20\;\mathrm {ms}\ .</math> | ||
Die sinusförmige oder [[harmonische Schwingung]] wird häufig nicht als Funktion der Zeit <math>t</math>, sondern als Funktion des [[Phasenwinkel]]s <math>\varphi</math> beschrieben.<ref name="D11-1">DIN 1311-1:2000-02 ''Schwingungen und Schwingungsfähige Systeme – Grundbegriffe, Einteilung''</ref> | Die sinusförmige oder [[harmonische Schwingung]] wird häufig nicht als Funktion der Zeit <math>t</math>, sondern als Funktion des [[Phasenwinkel]]s <math>\varphi</math> beschrieben.<ref name="D11-1">DIN 1311-1:2000-02 ''Schwingungen und Schwingungsfähige Systeme – Grundbegriffe, Einteilung''.</ref> | ||
:<math>\varphi(t) =\omega t+\varphi_0=2\pi \frac tT+\varphi_0</math> | :<math>\varphi(t) =\omega t+\varphi_0=2\pi \frac tT+\varphi_0</math> | ||
mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega = 2\pi f =\frac{2\pi}T\ .</math> | mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega = 2\pi f =\frac{2\pi}T\ .</math> | ||
| Zeile 19: | Zeile 19: | ||
Dann entspricht der Periodendauer genau ein Umlauf mit dem [[Vollwinkel]] <math>\omega T =2\pi =2\pi\,\mathrm{rad} =360^\circ.</math> | Dann entspricht der Periodendauer genau ein Umlauf mit dem [[Vollwinkel]] <math>\omega T =2\pi =2\pi\,\mathrm{rad} =360^\circ.</math> | ||
Bei der [[Frequenzmodulation]] wird die Periodendauer | Bei der [[Frequenzmodulation]] wird die Periodendauer mitmoduliert, sie bleibt aber im zeitlichen Mittel doch konstant. | ||
Neben den harmonischen Schwingungen gibt es ''allgemein periodische Schwingungen''.<ref name="D11-1" /> Dazu gehören beispielsweise periodisch geschaltete Vorgänge ([[Puls (Elektrotechnik)|Impulsfolgen]]) und gestufte periodische Vorgänge ([[Digitalsignal]]e), so dass für diese ebenfalls eine Periodendauer kennzeichnend ist. Beispielsweise arbeitet die [[Pulsweitenmodulation]] mit einer konstanten ''Pulsperiodendauer'' bei modulierter Pulsdauer.<ref>DIN 5483-1:1983-06 ''Zeitabhängige Größen''</ref> | Neben den harmonischen Schwingungen gibt es ''allgemein periodische Schwingungen''.<ref name="D11-1" /> Dazu gehören beispielsweise periodisch geschaltete Vorgänge ([[Puls (Elektrotechnik)|Impulsfolgen]]) und gestufte periodische Vorgänge ([[Digitalsignal]]e), so dass für diese ebenfalls eine Periodendauer kennzeichnend ist. Beispielsweise arbeitet die [[Pulsweitenmodulation]] mit einer konstanten ''Pulsperiodendauer'' bei modulierter Pulsdauer.<ref>DIN 5483-1:1983-06 ''Zeitabhängige Größen''.</ref> | ||
=== Messung === | === Messung === | ||
| Zeile 33: | Zeile 33: | ||
*''Periodendauer'' für sich nach einem festen [[Zeitintervall]] wiederholende Vorgänge (''zeitlich'' periodisch) und | *''Periodendauer'' für sich nach einem festen [[Zeitintervall]] wiederholende Vorgänge (''zeitlich'' periodisch) und | ||
*'''Periodenlänge''' für sich nach einem festen Abstand im Raum wiederholende Vorgänge (''räumlich'' periodisch). | *'''Periodenlänge''' für sich nach einem festen Abstand im Raum wiederholende Vorgänge (''räumlich'' periodisch). | ||
Für eine einfache sinusförmige Welle mit der Ortskoordinate <math>x</math> wird in der Sinusfunktion das Argument <ref>DIN 1311-4:1974-04 ''Schwingungslehre – Schwingende Kontinua, Wellen''</ref> | Für eine einfache sinusförmige Welle mit der Ortskoordinate <math>x</math> wird in der Sinusfunktion das Argument<ref>DIN 1311-4:1974-04 ''Schwingungslehre – Schwingende Kontinua, Wellen''.</ref> | ||
:<math>\varphi=2\pi\,\left(\frac tT \pm \frac x\lambda\right)+\varphi_0</math> | :<math>\varphi=2\pi\,\left(\frac tT \pm \frac x\lambda\right)+\varphi_0</math> | ||
verwendet. Hierbei steht <math>\lambda</math> für die Periodenlänge oder ''[[Wellenlänge]]'', der Kehrwert <math>1/\lambda</math> für die [[Ortsfrequenz]] oder [[Wellenzahl]]. Für eine in <math>x</math>-Richtung fortschreitende Welle gilt das Minuszeichen. | verwendet. Hierbei steht <math>\lambda</math> für die Periodenlänge oder ''[[Wellenlänge]]'', der Kehrwert <math>1/\lambda</math> für die [[Ortsfrequenz]] oder [[Wellenzahl]]. Für eine in <math>x</math>-Richtung fortschreitende Welle gilt das Minuszeichen. | ||
Aktuelle Version vom 5. März 2021, 08:28 Uhr
Bei einer nicht konstanten, aber sich regelmäßig wiederholenden physikalischen Erscheinung ist die Periode das kleinste örtliche oder zeitliche Intervall, nach dem sich der Vorgang wiederholt. Der Begriff Periode wird vorzugsweise bei Schwingungen und Wellen angewendet.
Schwingungen
Festlegungen
Schwingungen sind ausschließlich Funktionen der Zeit. Die Periode heißt hierbei auch Periodendauer oder Schwingungsdauer (selten: Schwingungszeit). Man bezeichnet sie üblicherweise mit dem Formelzeichen $ T $ und gibt sie an in der Maßeinheit Sekunde mit dem Einheitenzeichen s. Beispiele für periodische Funktionen in Form von Wechselspannungen zeigt das Bild.
Kennzeichnend für die Periodizität nach der Zeit $ T $ ist die Beziehung
- $ f(t)=f(t+T) $ für eine beliebige Zeit $ t $ und für $ T $ = konst > 0.
Der Kehrwert $ 1/T $ wird als Frequenz (Formelzeichen: $ f $ oder $ \nu $ (ny)) bezeichnet.
- $ f={\frac {1}{T}}\ . $
- Beispiel: Der in Europa übliche Wechselstrom hat eine Frequenz von 50 Hz und damit eine Periodendauer von
- $ T_{50}={\frac {1}{50\;\mathrm {Hz} }}=1/50\;\mathrm {s} =20\;\mathrm {ms} \ . $
Die sinusförmige oder harmonische Schwingung wird häufig nicht als Funktion der Zeit $ t $, sondern als Funktion des Phasenwinkels $ \varphi $ beschrieben.[1]
- $ \varphi (t)=\omega t+\varphi _{0}=2\pi {\frac {t}{T}}+\varphi _{0} $
mit der Kreisfrequenz $ \omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}\ . $
Dann entspricht der Periodendauer genau ein Umlauf mit dem Vollwinkel $ \omega T=2\pi =2\pi \,\mathrm {rad} =360^{\circ }. $
Bei der Frequenzmodulation wird die Periodendauer mitmoduliert, sie bleibt aber im zeitlichen Mittel doch konstant.
Neben den harmonischen Schwingungen gibt es allgemein periodische Schwingungen.[1] Dazu gehören beispielsweise periodisch geschaltete Vorgänge (Impulsfolgen) und gestufte periodische Vorgänge (Digitalsignale), so dass für diese ebenfalls eine Periodendauer kennzeichnend ist. Beispielsweise arbeitet die Pulsweitenmodulation mit einer konstanten Pulsperiodendauer bei modulierter Pulsdauer.[2]
Messung
Die Periodendauer wird vorwiegend durch elektronische Zählschaltungen gemessen. Es wird ein Takt-Signal gezählt, das möglichst genau mit einer ganzzahligen Zehnerpotenz der Einheit Hertz schwingt. Dabei wird die Dauer der Zählung durch genau eine Periode der zu messenden Frequenz begrenzt (oder ein Zehnerpotenz-Vielfaches davon). Um eine kleine relative Quantisierungsabweichung zu erzielen, wird ein hoher Zählerstand angestrebt.
- Beispiel: Ein Referenztakt schwingt exakt mit 106 Hz = 1 MHz und erzeugt Zählimpulse in einem Abstand von 1 μs. Wird dieser Takt befristet gezählt für die Dauer einer unbekannten Periode und kommt man auf einen Zählerstand 50, so beträgt die Periodendauer 50 μs.
Wird über 1000 Perioden gezählt, wird der Zählerstand tausendfach größer. Dieser wird durch 1000 geteilt durch Komma-Verschiebung; beim Zählerstand 50020 beträgt die Periodendauer 50,020 μs.
Statt die Periodendauer zu messen, kann bei relativ kleiner Periodendauer auch die Frequenz gemessen und dann umgerechnet werden. Dann wird die Anzahl der Perioden in einer festen Zeit gezählt. Dazu wird die Zeit aus dem Referenztakt abgeleitet.
- Beispiel mit denselben Daten wie zuvor: Bei $ T $ = 50 μs wird $ f $ = 20 kHz erwartet. Wird während 106 Perioden der Referenzfrequenz, also während 1 s die Anzahl der Schwingungsperioden gezählt, so beträgt bei einem Zählerstand 19992 der Messwert 19992 Hz und umgerechnet das Messergebnis 50,020 μs.
Wellen
Wellen sind sowohl Funktionen der Zeit als auch des Ortes. Hier ist zu unterscheiden zwischen
- Periodendauer für sich nach einem festen Zeitintervall wiederholende Vorgänge (zeitlich periodisch) und
- Periodenlänge für sich nach einem festen Abstand im Raum wiederholende Vorgänge (räumlich periodisch).
Für eine einfache sinusförmige Welle mit der Ortskoordinate $ x $ wird in der Sinusfunktion das Argument[3]
- $ \varphi =2\pi \,\left({\frac {t}{T}}\pm {\frac {x}{\lambda }}\right)+\varphi _{0} $
verwendet. Hierbei steht $ \lambda $ für die Periodenlänge oder Wellenlänge, der Kehrwert $ 1/\lambda $ für die Ortsfrequenz oder Wellenzahl. Für eine in $ x $-Richtung fortschreitende Welle gilt das Minuszeichen.
