Nutation (Astronomie): Unterschied zwischen den Versionen

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Nutation (Astronomie): Unterschied zwischen den Versionen

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{{Dieser Artikel|behandelt die Präzession unter schwankendem äußeren Einfluss. Für die Bewegung der Figurenachse eines ''frei'' rotierenden Körpers siehe [[Nutation (Physik)]].}}
{{Dieser Artikel|behandelt die Präzession unter schwankendem äußeren Einfluss. Für die Bewegung der Figurenachse eines ''frei'' rotierenden Körpers siehe [[Nutation (Physik)]].}}


[[Datei:Praezession.svg|miniatur|Die Erde rotiert um ihre Achse (grün). Die Richtung der Achse im Raum verändert sich (rot). Die Nutation ist die Abweichung dieser Bewegung vom mittleren Verlauf (blau), der als Präzession bezeichnet wird.]]
[[Datei:Nutation2015-2033.jpg|mini|Nutation der Erdachse für den Zeitraum von 2015 bis 2033]]
Die [[Astronomie|astronomische]] '''Nutation''' (zu [[lateinisch]] ''nutare''‚ nicken‘) ist der relativ schnell schwankende Teil der Richtungsänderung der [[Erdachse]] im Raum unter dem Einfluss der [[Gezeitenkräfte]] von [[Sonne]] und [[Mond]], siehe [[Präzession]]. Die stärkste dieser Schwankungen wird durch die Präzession der [[Mondbahn]] verursacht, deren [[Knoten (Astronomie)|Knotenlinie]] mit einer Periode von 18,6 Jahren umläuft. Die [[Amplitude]] dieser Komponente beträgt ±9,2[[Bogensekunde|″]] und ±6,8″ rechtwinklig bzw. parallel zur [[Ekliptik]]. Weitere Komponenten der Nutation haben Amplituden unter 1″ und kürzere Perioden.
Die [[Astronomie|astronomische]] '''Nutation''' (zu {{laS|nutare|de=nicken}}) ist der relativ schnell schwankende Teil der [[Präzession]] der [[Erdachse]] im Raum unter dem Einfluss von [[Sonne]] und [[Mond]]. Die stärkste dieser Schwankungen wird durch die Präzession der [[Mondbahn]] verursacht, deren [[Knoten (Astronomie)|Knotenlinie]] mit einer [[Periode (Physik)|Periode]] von 18,6 Jahren umläuft. Die [[Amplitude]] dieser Komponente beträgt
* ±9,2[[Bogensekunde|″]] rechtwinklig zur [[Ekliptik]] und
* ±6,8″ parallel zur Ekliptik.
Weitere Komponenten der Nutation haben Amplituden unter 1″ und kürzere Perioden.


Zusammen mit der Richtung der Erdachse ändert sich auch die Orientierung des [[Äquatoriales Koordinatensystem|äquatorialen Koordinatensystems]] für die [[Sternörter]].
Zusammen mit der Richtung der Erdachse ändert sich auch die Orientierung des [[Äquatoriales Koordinatensystem|äquatorialen Koordinatensystems]] für die [[Sternörter]].


Entdeckt wurde die Nutation der Erdachse 1728 von [[James Bradley]], als er genaue Analysen von [[Sternörter|Sternkoordinaten]] vornahm. Die Ursache konnte man aber erst 20 Jahre später klären. Die ebenfalls von Bradley entdeckte [[Aberration (Astronomie)|Aberration]] des Lichtes ist ähnlich groß.
Entdeckt wurde die Nutation der Erdachse 1728 von [[James Bradley]], als er genaue Analysen von [[Sternörter|Sternkoordinaten]] vornahm. Die Ursache konnte man aber erst 20 Jahre später klären. Die ebenfalls von Bradley entdeckte [[Aberration (Astronomie)|Aberration]] des Lichtes ist ähnlich groß.


== Einfluss auf die Sternkoordinaten ==
== Einfluss auf die Sternkoordinaten ==
Da Erdachse und Ekliptik das [[astronomisches Koordinatensystem|astronomische Koordinatensystem]] definieren, verändern sich mit der Richtung der Erdachse die Koordinaten aller Himmelskörper. Für die etwa 2000 [[Fundamentalstern]]e – die den meisten Messungen am Himmel zugrunde liegen – werden die Sternörter unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation in 10-Tages-Abständen vorausberechnet und in [[Astronomisches Jahrbuch|astronomischen Jahrbüchern]] bzw. im [[Internet]] publiziert. Das wichtigste dieser Jahrbücher heißt [[Apparent Places of Fundamental Stars]] und wird vom [[Astronomisches Rechen-Institut|Astronomischen Recheninstitut]] (ARI) in Heidelberg jeweils jährlich im Voraus herausgegeben.
Da Erdachse und Ekliptik das [[astronomisches Koordinatensystem|astronomische Koordinatensystem]] definieren, verändern sich mit der Richtung der Erdachse die Koordinaten aller Himmelskörper. Für die etwa 2000 [[Fundamentalstern]]e – die den meisten Messungen am Himmel zugrunde liegen – werden die Sternörter unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation in 10-Tages-Abständen vorausberechnet und in [[Astronomisches Jahrbuch|astronomischen Jahrbüchern]] bzw. im [[Internet]] publiziert. Das wichtigste dieser Jahrbücher heißt [[Apparent Places of Fundamental Stars]] und wird vom [[Astronomisches Rechen-Institut|Astronomischen Recheninstitut]] (ARI) in Heidelberg jährlich im Voraus herausgegeben.


Der Einfluss der „kurzperiodischen“ Nutationsanteile mit Perioden unter 35 Tagen ist jedoch bei Sternen, deren Örter in Zeitabständen von zehn Tagen tabelliert sind, nicht berücksichtigt; sie müssen mit Hilfstabellen oder kleinen Zusatzprogrammen berechnet und zu den publizierten Sternörtern addiert werden. Der Einfluss der [[Polbewegung]] wird hingegen an den Messungen selbst angebracht, ebenso wie die [[Zeitkorrektur]] [[dUT1]] der Erdrotation.
Der Einfluss der „kurzperiodischen“ Nutationsanteile mit Perioden unter 35 Tagen ist jedoch bei Sternen, deren Örter in Zeitabständen von zehn Tagen tabelliert sind, nicht berücksichtigt; sie müssen mit Hilfstabellen oder kleinen Zusatzprogrammen berechnet und zu den publizierten Sternörtern addiert werden.


== Berechnungsmodell für die Nutation ==
Der Einfluss der [[Polbewegung]] wird hingegen an den Messungen selbst angebracht, ebenso die Zeitkorrektur [[dUT1]] der [[Erdrotation]].
[[Datei:nutation perioden.svg|miniatur|600px|Die verschiedenen Perioden der Nutation]]Um die Nutation der Erde zu berechnen, wurden von der [[Internationale Astronomische Union|IAU]] Modelle veröffentlicht. Dabei werden die Lage von Mond und Sonne berücksichtigt (IAU 1980 Theory of Nutation<ref>P. K. Seidelmann: ''1980 IAU Theory of Nutation: The final report of the IAU Working Group on Nutation.'' In: ''Celestial Mechanics.'' 27, 1982, S.&nbsp;79–106, {{DOI|10.1007/BF01228952}}.</ref>), beim neuesten Modell auch die Planetenpositionen (IAU2000A Theory of Nutation). Mit der Theorie von 1980 kann eine Genauigkeit von 0,0001″ erzielt werden, die für die meisten astronomischen Anwendungen ausreicht.


Die Grundlage bilden die periodischen Elemente der Nutation mit ihrer unterschiedlichen Periodendauer (siehe Grafik). Für eine näherungsweise Berechnung kann daher die nachstehende Tabelle insofern abgekürzt werden, dass nur die Elemente mit den höchsten Koeffizienten der Sinus- bzw. Cosinus-Funktion berücksichtigt werden.
== Berechnungsmodell ==
[[Datei:nutation perioden.svg|miniatur|600px|Die verschiedenen Perioden der Nutation]]
Um die Nutation der Erde zu berechnen, wurden von der [[Internationale Astronomische Union|IAU]] Modelle veröffentlicht. Dabei werden die Positionen von Mond und Sonne berücksichtigt ''(IAU 1980 Theory of Nutation)'',<ref>P. K. Seidelmann: ''1980 IAU Theory of Nutation: The final report of the IAU Working Group on Nutation.'' In: ''Celestial Mechanics.'' 27, 1982, S.&nbsp;79–106, {{DOI|10.1007/BF01228952}}.</ref> beim neuesten Modell auch die Planetenpositionen ''(IAU 2000A Theory of Nutation)''. Mit der Theorie von 1980 kann eine Genauigkeit von 0,0001″ erzielt werden, die für die meisten astronomischen Anwendungen ausreicht.


Sei T die Anzahl der Julianischen Jahrhunderte mit <math>T = \frac{{JDE - 2451545}}{{36525}}</math>, <math>\Delta \psi</math> die Nutation der [[Ekliptikale Länge|Länge]] und <math>\Delta \epsilon</math> die der [[Ekliptik#Schwankung der Erdachse und der Ekliptikschiefe|Schiefe]]. JDE bedeutet traditionell nach [[Ephemeridenzeit]] gezähltes [[Julianisches Datum]], welches beinahe identisch mit dem Datums- und Zeitwert in [[Dynamische Zeit|TDB]] übergeben werden kann. Für eine Umrechnung von UTC her ist insbesondere der Wert von deltaT erforderlich, der im Jahr 2010 etwa 61 Sekunden beträgt.
Die Grundlage bilden die periodischen Elemente der Nutation mit ihrer unterschiedlichen Periodendauer (siehe Grafik).


Für die weitere Berechnung werden noch fünf Einflussgrößen<ref>Standards of Fundamental Astronomy FORTRAN Library: [http://www.iausofa.org/2009_0201_F/CompleteList.html SOFA Library Issue 2009-02-01 for Fortran 77: Complete List]</ref> benötigt:
Sei
* Mittlere Elongation des Mondes<br /><math>D = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1072260{,}703692 + 1602961601{,}2090T - 6{,}3706{T^2} + 0{,}006593{T^3} - 0{,}00003169{T^4}} \right)</math>
* T die Anzahl der [[Julianisches Jahrhundert|Julianischen Jahrhunderte]] mit <math>T = \frac{JDE - 2451545}{36525}</math>
* Mittlere Anomalie der Sonne<br /><math>M = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1287104{,}793048 + 129596581{,}0481T - 0{,}5532{T^2} + 0{,}000136{T^3} - 0{,}00001149{T^4}} \right)</math>
* <math>\Delta \psi</math> die Nutation der [[Ekliptikale Länge|Länge]] und
* Mittlere Anomalie des Mondes<br /><math>M' = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {485868{,}249036 + 1717915923{,}2178T + 31{,}8792{T^2} + 0{,}051635{T^3} - 0{,}00024470{T^4}} \right)</math>
* <math>\Delta \epsilon</math> die der [[Ekliptik#Schwankung der Erdachse und der Ekliptikschiefe|Schiefe]].
* Mittleres Argument des Perigäums<br /><math>F = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {335779{,}526232 + 1739527262{,}8478T - 12{,}7512{T^2} - 0{,}001037{T^3} + 0{,}00000417{T^4}} \right)</math>
JDE bedeutet traditionell nach [[Ephemeridenzeit]] gezähltes [[Julianisches Datum]], welches beinahe identisch mit dem Datums- und Zeitwert in [[Baryzentrische Dynamische Zeit|TDB]] übergeben werden kann. Für eine Umrechnung von [[UTC]] ist insbesondere der Wert von [[Delta T]] erforderlich, der im Jahr 2010 etwa 61&nbsp;Sekunden beträgt.
* Mittlere Länge des aufsteigenden Knotens der Mondbahn:<br /><math>\Omega  = \frac{{1^\circ }}{{3600}}\left( {450160{,}398036 - 6962890{,}5431T + 7{,}4722{T^2} + 0{,}007702{T^3} - 0{,}00005939{T^4}} \right)</math>
 
Die Amplituden betragen:
* ± 9,2″ für <math>\Delta \epsilon</math>
* ±17,2″ für <math>\Delta \psi</math> (=&nbsp;±6,8″/sin <math>\epsilon</math>)
:mit <math>\epsilon = 23^\circ \, 26'</math> der mittleren aktuellen [[Schiefe der Ekliptik]].
 
Für die weitere Berechnung werden noch fünf Einflussgrößen benötigt:<ref>Standards of Fundamental Astronomy FORTRAN Library: [http://www.iausofa.org/2009_0201_F/CompleteList.html SOFA Library Issue 2009-02-01 for Fortran 77: Complete List]</ref>
* Mittlere [[Elongation (Astronomie)|Elongation]] des Mondes
::<math>D = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1072260{,}703692 + 1602961601{,}2090T - 6{,}3706{T^2} + 0{,}006593{T^3} - 0{,}00003169{T^4}} \right)</math>
* Mittlere [[Anomalie (Astronomie)|Anomalie]] der Sonne
::<math>M = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {1287104{,}793048 + 129596581{,}0481T - 0{,}5532{T^2} + 0{,}000136{T^3} - 0{,}00001149{T^4}} \right)</math>
* Mittlere Anomalie des Mondes
::<math>M' = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {485868{,}249036 + 1717915923{,}2178T + 31{,}8792{T^2} + 0{,}051635{T^3} - 0{,}00024470{T^4}} \right)</math>
* Mittleres [[Argument des Knotens|Argument]] des [[Perigäum]]s
::<math>F = \frac{1^\circ}{{3600}}\left( {335779{,}526232 + 1739527262{,}8478T - 12{,}7512{T^2} - 0{,}001037{T^3} + 0{,}00000417{T^4}} \right)</math>
* Mittlere Länge des [[aufsteigender Knoten|aufsteigenden Knotens]] der Mondbahn
::<math>\Omega  = \frac{{1^\circ }}{{3600}}\left( {450160{,}398036 - 6962890{,}5431T + 7{,}4722{T^2} + 0{,}007702{T^3} - 0{,}00005939{T^4}} \right)</math>.
Zum Weiterrechnen empfiehlt es sich, den Winkel auf den Wertebereich 0°…360° zu reduzieren.
Zum Weiterrechnen empfiehlt es sich, den Winkel auf den Wertebereich 0°…360° zu reduzieren.


Mit nachfolgender Tabelle werden nun die einzelnen Ausdrücke nach folgender Vorschrift aufsummiert:
Mit nachfolgender Tabelle werden die einzelnen Ausdrücke wie folgt summiert:
: <math>\Delta \psi  = 10^{-4} \cdot \sum\limits_i \left( S_i' + S_i'' \cdot T \right)\sin \left( D_i \cdot D + M_i \cdot M + M_i' \cdot M' + F_i \cdot F + \Omega _i \cdot \Omega  \right)</math>
: <math>\Delta \varepsilon  = 10^{-4} \cdot \sum\limits_i \left( C_i' + C_i'' \cdot T \right)\cos \left( D_i \cdot D + M_i \cdot M + M_i' \cdot M' + F_i \cdot F + \Omega _i \cdot \Omega  \right)</math>
Falls Sinus und Cosinus Argumente in Bogenmaß verlangen, sind die Werte der vorigen Berechnungen in rad umzurechnen. Das Ergebnis liegt in Bogensekunden vor.


=== Tabelle der IAU1980 Theory of Nutation ===
:<math>\Delta \psi = 10^{-4} \cdot \sum\limits_i \left( S_i' + S_i'' \cdot T \right) \cdot \sin \left( D_i \cdot D + M_i \cdot M + M_i' \cdot M' + F_i \cdot F + \Omega _i \cdot \Omega  \right)</math>
{| class="wikitable" width="50%"
:<math>\Delta \varepsilon = 10^{-4} \cdot \sum\limits_i \left( C_i' + C_i'' \cdot T \right) \cdot \cos \left( D_i \cdot D + M_i \cdot M + M_i' \cdot M' + F_i \cdot F + \Omega _i \cdot \Omega  \right)</math>
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Falls Sinus und Cosinus Argumente in [[Bogenmaß]] verlangen, sind die Werte der vorigen Berechnungen in [[Radiant (Einheit)|rad]] umzurechnen. Das Ergebnis (<math>\Delta \psi, \Delta \varepsilon</math>) liegt in [[Bogensekunden]] vor.
 
=== Tabelle der IAU 1980 Theory of Nutation ===
{| class="wikitable" width="50%" style="text-align:center"
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! rowspan="3" | <math>i</math>
! rowspan="3" | <math>i</math>
! colspan="5" | Periodische Argumente
! colspan="5" | Periodische Argumente
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! colspan="4"  | Nichtperiodische Argumente


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! colspan="2" | Latitude<br /><math>(10^{-4}\mathrm{arcsec})</math>
! colspan="2" | Latitude<br /><math>(10^{-4}\mathrm{arcsec})</math>


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! <math>S_i''</math>
! <math>S_i''</math>
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! <math>C_i''</math>
! <math>C_i''</math>


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| 82
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| 83
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| 85
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|-
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| 89
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| 1
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|-
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| 90
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| 91
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| 95
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| 2
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|-
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|-
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| 102
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|-
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| 103
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| 2
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|-
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| 104
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| 2
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| 2
| 2
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| 1
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|- align="center"
|-
| 105
| 105
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| 4
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| 2
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| 0
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|- align="center"
|-
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| 106
| 0
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| 1
| 1
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|}
|}


=== Beispielwerte ===
=== Beispielwerte ===
{| class="wikitable"
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|- align="center"
|-
! Datum<br />(<math>0^h</math> TDB)
! Datum<br />(<math>0^h</math> TDB)
! <math>T</math>
! <math>T</math>
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! <math>\Delta \epsilon['']</math>
! <math>\Delta \epsilon['']</math>


|- align="right"
|-
| 20.6.1964
| 20. Juni 1964
| −0,355331964408
| −0,355331964408
| 120,2126
| 120,2126
Zeile 1.352: Zeile 1.374:
| −0,787239
| −0,787239


|- align="right"
|-
| 17.8.1967
| 17. August 1967
| −0,323764544832
| −0,323764544832
| 136,1463
| 136,1463
Zeile 1.363: Zeile 1.385:
| 7,88539
| 7,88539


|- align="right"
|-
| 12.3.2080
| 12. März 2080
| 0,801930184805
| 0,801930184805
| 250,9860
| 250,9860
Zeile 1.374: Zeile 1.396:
| 9,33751
| 9,33751


|- align="right"
|-
| 13.12.1924
| 13. Dezember 1924
| −0,750513347023
| −0,750513347023
| 198,9391
| 198,9391
Zeile 1.385: Zeile 1.407:
| −7,33544
| −7,33544


|- align="right"
|-
| 4.11.2047
| 4. November 2047
| 0,478398357290
| 0,478398357290
| 192,9045
| 192,9045
Zeile 1.396: Zeile 1.418:
| 1,67236
| 1,67236


|- align="right"
|-
| 28.6.1974
| 28. Juni 1974
| −0,255126625599
| −0,255126625599
| 98,35445
| 98,35445
Zeile 1.407: Zeile 1.429:
| −2,25946
| −2,25946


|- align="right"
|-
| 15.5.2032
| 15. Mai 2032
| 0,323682409309
| 0,323682409309
| 62,98143
| 62,98143
Zeile 1.418: Zeile 1.440:
| −7,39013
| −7,39013


|- align="right"
|-
| 25.1.2083
| 25. Januar 2083
| 0,830650239562
| 0,830650239562
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| 79,08177
Zeile 1.429: Zeile 1.451:
| 6,7399
| 6,7399


|- align="right"
|-
| 26.8.2048
| 26. August 2048
| 0,486502395619
| 0,486502395619
| 201,3662
| 201,3662
Zeile 1.440: Zeile 1.462:
| −0,434817
| −0,434817


|- align="right"
|-
| 7.9.1940
| 7. September 1940
| −0,593169062286
| −0,593169062286
| 59,17461
| 59,17461
Zeile 1.450: Zeile 1.472:
| 4,16406
| 4,16406
| −8,59891
| −8,59891
|}
|}


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=== Die IAU 2000 Theory of Nutation ===
=== Die IAU 2000 Theory of Nutation ===
Die Theorie aus dem Jahr 2000 besteht aus einer lunisolaren und einer planetarischen Tabelle.<ref>[http://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003_c5.html IERS Conventions Center]</ref> Hier kann die Genauigkeit auf <math>0{,}3 \cdot 10^{-6}</math> Bogensekunden gesteigert werden, allerdings haben diese Tabellen etwa 470 Terme, und die exakte Position der Planeten ist ebenfalls erforderlich.
Die Theorie aus dem Jahr 2000 besteht aus einer lunisolaren und einer planetarischen Tabelle.<ref>[http://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003_c5.html IERS Conventions Center]</ref> Hier kann die Genauigkeit auf <math>0{,}3 \cdot 10^{-6}</math> Bogensekunden gesteigert werden; allerdings haben diese Tabellen etwa 470&nbsp;Terme. Die exakte Position der Planeten ist ebenfalls erforderlich.


== Literatur ==
== Literatur ==
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== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Commonscat|Nutation}}
* [http://www.physik.uni-frankfurt.de/Dechend/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm Präzession und Nutation] – Beschreibung mit anschaulichen Grafiken
* [http://www.physik.uni-frankfurt.de/Dechend/Dateien/Pr%E4zession%20und%20Nutation.htm Präzession und Nutation] – Beschreibung mit anschaulichen Grafiken


Aktuelle Version vom 29. April 2021, 19:00 Uhr

Nutation der Erdachse für den Zeitraum von 2015 bis 2033

Die astronomische Nutation (zu lateinisch nutare ‚nicken‘) ist der relativ schnell schwankende Teil der Präzession der Erdachse im Raum unter dem Einfluss von Sonne und Mond. Die stärkste dieser Schwankungen wird durch die Präzession der Mondbahn verursacht, deren Knotenlinie mit einer Periode von 18,6 Jahren umläuft. Die Amplitude dieser Komponente beträgt

  • ±9,2″ rechtwinklig zur Ekliptik und
  • ±6,8″ parallel zur Ekliptik.

Weitere Komponenten der Nutation haben Amplituden unter 1″ und kürzere Perioden.

Zusammen mit der Richtung der Erdachse ändert sich auch die Orientierung des äquatorialen Koordinatensystems für die Sternörter.

Entdeckt wurde die Nutation der Erdachse 1728 von James Bradley, als er genaue Analysen von Sternkoordinaten vornahm. Die Ursache konnte man aber erst 20 Jahre später klären. Die ebenfalls von Bradley entdeckte Aberration des Lichtes ist ähnlich groß.

Einfluss auf die Sternkoordinaten

Da Erdachse und Ekliptik das astronomische Koordinatensystem definieren, verändern sich mit der Richtung der Erdachse die Koordinaten aller Himmelskörper. Für die etwa 2000 Fundamentalsterne – die den meisten Messungen am Himmel zugrunde liegen – werden die Sternörter unter Berücksichtigung der Präzession und der Nutation in 10-Tages-Abständen vorausberechnet und in astronomischen Jahrbüchern bzw. im Internet publiziert. Das wichtigste dieser Jahrbücher heißt Apparent Places of Fundamental Stars und wird vom Astronomischen Recheninstitut (ARI) in Heidelberg jährlich im Voraus herausgegeben.

Der Einfluss der „kurzperiodischen“ Nutationsanteile mit Perioden unter 35 Tagen ist jedoch bei Sternen, deren Örter in Zeitabständen von zehn Tagen tabelliert sind, nicht berücksichtigt; sie müssen mit Hilfstabellen oder kleinen Zusatzprogrammen berechnet und zu den publizierten Sternörtern addiert werden.

Der Einfluss der Polbewegung wird hingegen an den Messungen selbst angebracht, ebenso die Zeitkorrektur dUT1 der Erdrotation.

Berechnungsmodell

Die verschiedenen Perioden der Nutation

Um die Nutation der Erde zu berechnen, wurden von der IAU Modelle veröffentlicht. Dabei werden die Positionen von Mond und Sonne berücksichtigt (IAU 1980 Theory of Nutation),[1] beim neuesten Modell auch die Planetenpositionen (IAU 2000A Theory of Nutation). Mit der Theorie von 1980 kann eine Genauigkeit von 0,0001″ erzielt werden, die für die meisten astronomischen Anwendungen ausreicht.

Die Grundlage bilden die periodischen Elemente der Nutation mit ihrer unterschiedlichen Periodendauer (siehe Grafik).

Sei

  • T die Anzahl der Julianischen Jahrhunderte mit $ T={\frac {JDE-2451545}{36525}} $
  • $ \Delta \psi $ die Nutation der Länge und
  • $ \Delta \epsilon $ die der Schiefe.

JDE bedeutet traditionell nach Ephemeridenzeit gezähltes Julianisches Datum, welches beinahe identisch mit dem Datums- und Zeitwert in TDB übergeben werden kann. Für eine Umrechnung von UTC ist insbesondere der Wert von Delta T erforderlich, der im Jahr 2010 etwa 61 Sekunden beträgt.

Die Amplituden betragen:

  • ± 9,2″ für $ \Delta \epsilon $
  • ±17,2″ für $ \Delta \psi $ (= ±6,8″/sin $ \epsilon $)
mit $ \epsilon =23^{\circ }\,26' $ der mittleren aktuellen Schiefe der Ekliptik.

Für die weitere Berechnung werden noch fünf Einflussgrößen benötigt:[2]

$ D={\frac {1^{\circ }}{3600}}\left({1072260{,}703692+1602961601{,}2090T-6{,}3706{T^{2}}+0{,}006593{T^{3}}-0{,}00003169{T^{4}}}\right) $
$ M={\frac {1^{\circ }}{3600}}\left({1287104{,}793048+129596581{,}0481T-0{,}5532{T^{2}}+0{,}000136{T^{3}}-0{,}00001149{T^{4}}}\right) $
  • Mittlere Anomalie des Mondes
$ M'={\frac {1^{\circ }}{3600}}\left({485868{,}249036+1717915923{,}2178T+31{,}8792{T^{2}}+0{,}051635{T^{3}}-0{,}00024470{T^{4}}}\right) $
$ F={\frac {1^{\circ }}{3600}}\left({335779{,}526232+1739527262{,}8478T-12{,}7512{T^{2}}-0{,}001037{T^{3}}+0{,}00000417{T^{4}}}\right) $
  • Mittlere Länge des aufsteigenden Knotens der Mondbahn
$ \Omega ={\frac {1^{\circ }}{3600}}\left({450160{,}398036-6962890{,}5431T+7{,}4722{T^{2}}+0{,}007702{T^{3}}-0{,}00005939{T^{4}}}\right) $.

Zum Weiterrechnen empfiehlt es sich, den Winkel auf den Wertebereich 0°…360° zu reduzieren.

Mit nachfolgender Tabelle werden die einzelnen Ausdrücke wie folgt summiert:

$ \Delta \psi =10^{-4}\cdot \sum \limits _{i}\left(S_{i}'+S_{i}''\cdot T\right)\cdot \sin \left(D_{i}\cdot D+M_{i}\cdot M+M_{i}'\cdot M'+F_{i}\cdot F+\Omega _{i}\cdot \Omega \right) $
$ \Delta \varepsilon =10^{-4}\cdot \sum \limits _{i}\left(C_{i}'+C_{i}''\cdot T\right)\cdot \cos \left(D_{i}\cdot D+M_{i}\cdot M+M_{i}'\cdot M'+F_{i}\cdot F+\Omega _{i}\cdot \Omega \right) $

Falls Sinus und Cosinus Argumente in Bogenmaß verlangen, sind die Werte der vorigen Berechnungen in rad umzurechnen. Das Ergebnis ($ \Delta \psi ,\Delta \varepsilon $) liegt in Bogensekunden vor.

Tabelle der IAU 1980 Theory of Nutation

$ i $ Periodische Argumente Nichtperiodische Argumente
$ M_{i}' $ $ M_{i} $ $ F_{i} $ $ D_{i} $ $ \Omega _{i} $ Longitude
$ (10^{-4}\mathrm {arcsec} ) $ 		Latitude
$ (10^{-4}\mathrm {arcsec} ) $
$ S_{i}' $ $ S_{i}'' $ $ C_{i}' $ $ C_{i}'' $
1 0 0 0 0 1 −171996 −174,2 92025 8,9
2 0 0 2 −2 2 −13187 −1,6 5736 −3,1
3 0 0 2 0 2 −2274 −0,2 977 −0,5
4 0 0 0 0 2 2062 0,2 −895 0,5
5 0 1 0 0 0 1426 −3,4 54 −0,1
6 1 0 0 0 0 712 0,1 −7 0,0
7 0 1 2 −2 2 −517 1,2 224 −0,6
8 0 0 2 0 1 −386 −0,4 200 0,0
9 1 0 2 0 2 −301 0,0 129 −0,1
10 0 −1 2 −2 2 217 −0,5 −95 0,3
11 1 0 0 −2 0 −158 0,0 −1 0,0
12 0 0 2 −2 1 129 0,1 −70 0,0
13 −1 0 2 0 2 123 0,0 −53 0,0
14 0 0 0 2 0 63 0,0 −2 0,0
15 1 0 0 0 1 63 0,1 −33 0,0
16 −1 0 2 2 2 −59 0,0 26 0,0
17 −1 0 0 0 1 −58 −0,1 32 0,0
18 1 0 2 0 1 −51 0,0 27 0,0
19 2 0 0 −2 0 48 0,0 1 0,0
20 −2 0 2 0 1 46 0,0 −24 0,0
21 0 0 2 2 2 −38 0,0 16 0,0
22 2 0 2 0 2 −31 0,0 13 0,0
23 2 0 0 0 0 29 0,0 −1 0,0
24 1 0 2 −2 2 29 0,0 −12 0,0
25 0 0 2 0 0 26 0,0 −1 0,0
26 0 0 2 −2 0 −22 0,0 0 0,0
27 −1 0 2 0 1 21 0,0 −10 0,0
28 0 2 0 0 0 17 −0,1 0 0,0
29 0 2 2 −2 2 −16 0,1 7 0,0
30 −1 0 0 2 1 16 0,0 −8 0,0
31 0 1 0 0 1 −15 0,0 9 0,0
32 1 0 0 −2 1 −13 0,0 7 0,0
33 0 −1 0 0 1 −12 0,0 6 0,0
34 2 0 −2 0 0 11 0,0 0 0,0
35 −1 0 2 2 1 −10 0,0 5 0,0
36 1 0 2 2 2 −8 0,0 3 0,0
37 1 1 0 −2 0 −7 0,0 0 0,0
38 0 1 2 0 2 7 0,0 −3 0,0
39 0 −1 2 0 2 −7 0,0 3 0,0
40 0 0 2 2 1 −7 0,0 3 0,0
41 −2 0 0 2 1 −6 0,0 3 0,0
42 1 0 0 2 0 6 0,0 0 0,0
43 2 0 2 −2 2 6 0,0 −3 0,0
44 0 0 0 2 1 −6 0,0 3 0,0
45 1 0 2 −2 1 6 0,0 −3 0,0
46 0 −1 2 −2 1 −5 0,0 3 0,0
47 0 0 0 −2 1 −5 0,0 3 0,0
48 1 −1 0 0 0 5 0,0 0 0,0
49 2 0 2 0 1 −5 0,0 3 0,0
50 2 0 0 −2 1 4 0,0 −2 0,0
51 0 1 2 −2 1 4 0,0 −2 0,0
52 1 0 0 −1 0 −4 0,0 0 0,0
53 0 1 0 −2 0 −4 0,0 0 0,0
54 1 0 −2 0 0 4 0,0 0 0,0
55 0 0 0 1 0 −4 0,0 0 0,0
56 −2 0 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
57 1 −1 0 −1 0 −3 0,0 0 0,0
58 1 1 0 0 0 −3 0,0 0 0,0
59 1 0 2 0 0 3 0,0 0 0,0
60 1 −1 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
61 −1 −1 2 2 2 −3 0,0 1 0,0
62 3 0 2 0 2 −3 0,0 1 0,0
63 0 −1 2 2 2 −3 0,0 1 0,0
64 0 −2 2 −2 1 −2 0,0 1 0,0
65 −2 0 0 0 1 −2 0,0 1 0,0
66 1 1 2 0 2 2 0,0 −1 0,0
67 −1 0 2 −2 1 −2 0,0 1 0,0
68 2 0 0 0 1 2 0,0 −1 0,0
69 1 0 0 0 2 −2 0,0 1 0,0
70 3 0 0 0 0 2 0,0 0 0,0
71 0 0 2 1 2 2 0,0 −1 0,0
72 −1 0 2 4 2 −2 0,0 1 0,0
73 2 0 −2 0 1 1 0,0 0 0,0
74 2 1 0 −2 0 1 0,0 0 0,0
75 0 0 −2 2 1 1 0,0 0 0,0
76 0 1 −2 2 0 −1 0,0 0 0,0
77 0 1 0 0 2 1 0,0 0 0,0
78 −1 0 0 1 1 1 0,0 0 0,0
79 0 1 2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
80 −1 0 0 0 2 1 0,0 −1 0,0
81 1 0 0 −4 0 −1 0,0 0 0,0
82 −2 0 2 2 2 1 0,0 −1 0,0
83 2 0 0 −4 0 −1 0,0 0 0,0
84 1 1 2 −2 2 1 0,0 −1 0,0
85 1 0 2 2 1 −1 0,0 1 0,0
86 −2 0 2 4 2 −1 0,0 1 0,0
87 −1 0 4 0 2 1 0,0 0 0,0
88 1 −1 0 −2 0 1 0,0 0 0,0
89 2 0 2 −2 1 1 0,0 −1 0,0
90 2 0 2 2 2 −1 0,0 0 0,0
91 1 0 0 2 1 −1 0,0 0 0,0
92 0 0 4 −2 2 1 0,0 0 0,0
93 3 0 2 −2 2 1 0,0 0 0,0
94 1 0 2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
95 0 1 2 0 1 1 0,0 0 0,0
96 −1 −1 0 2 1 1 0,0 0 0,0
97 0 0 −2 0 1 −1 0,0 0 0,0
98 0 0 2 −1 2 −1 0,0 0 0,0
99 0 1 0 2 0 −1 0,0 0 0,0
100 1 0 −2 −2 0 −1 0,0 0 0,0
101 0 −1 2 0 1 −1 0,0 0 0,0
102 1 1 0 −2 1 −1 0,0 0 0,0
103 1 0 −2 2 0 −1 0,0 0 0,0
104 2 0 0 2 0 1 0,0 0 0,0
105 0 0 2 4 2 −1 0,0 0 0,0
106 0 1 0 1 0 1 0,0 0 0,0

Beispielwerte

Datum
($ 0^{h} $ TDB) 		$ T $ $ D[^{\circ }] $ $ M[^{\circ }] $ $ M'[^{\circ }] $ $ F[^{\circ }] $ $ \Omega [^{\circ }] $ $ \Delta \psi [''] $ $ \Delta \epsilon [''] $
20. Juni 1964 −0,355331964408 120,2126 165,9158 130,9535 116,1496 92,30525 −17,3256 −0,787239
17. August 1967 −0,323764544832 136,1463 222,3130 74,89018 249,5905 31,24952 −7,41725 7,88539
12. März 2080 0,801930184805 250,9860 66,25406 135,1452 227,5530 14,00364 −3,70677 9,33751
13. Dezember 1924 −0,750513347023 198,9391 339,7613 190,8491 323,7067 136,6408 −12,4542 −7,33544
4. November 2047 0,478398357290 192,9045 299,4156 186,1198 136,3227 279,7574 15,2424 1,67236
28. Juni 1974 −0,255126625599 98,35445 173,2129 68,82716 295,5717 258,4943 17,0891 −2,25946
15. Mai 2032 0,323682409309 62,98143 129,7884 155,8435 257,2649 218,9989 10,0856 −7,39013
25. Januar 2083 0,830650239562 79,08177 20,14875 160,3232 65,14120 318,4552 12,3513 6,7399
26. August 2048 0,486502395619 201,3662 231,1533 93,35776 92,21031 264,0831 18,1016 −0,434817
7. September 1940 −0,593169062286 59,17461 244,0062 35,36172 32,78325 192,3151 4,16406 −8,59891

Näherungsweise Berechnung

Berücksichtigt man bei den fünf Polynomen nur die Terme bis zum Grad 1 und verwendet man nur die ersten vier Tabellenzeilen (diese haben die höchsten Koeffizienten), so lässt sich eine vereinfachte Formel herleiten. Dazu wird das Argument jedes Sinus- und Cosinuswertes, welches eine Linearkombination aus den fünf Eingangswerten ist, explizit berechnet. Die Umwandlung in rad wird ebenfalls durchgeführt, da die meisten Implementierungen diese Angaben benötigen.

$ A=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&1\\0&0&2&-2&2\\0&0&2&0&2\\0&0&0&0&2\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{rr}{485868{,}249036}&{1717915923{,}2178}\\{1287104{,}793048}&{129596581{,}0481}\\{335779{,}526232}&{1739527262{,}8478}\\{1072260{,}703692}&{1602961601{,}2090}\\{450160{,}398036}&{-6962890{,}5431}\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{rr}1\\T\\\end{array}}\right)\cdot {\frac {\pi }{3600\cdot 180}}=\left({\begin{array}{r}2{,}18243920-33{,}7570460T\\-2{,}77624462+1256{,}66393T\\7{,}62068856+16799{,}4182T\\4{,}36487839-67{,}5140919T\end{array}}\right) $

Die Nutation ergibt sich dann aus

$ \Delta \psi =10^{-4}\cdot \left({\begin{array}{r}-171996-174{,}2T\\-13187-1{,}6T\\-2274-0{,}2T\\2062+0{,}2T\end{array}}\right)\cdot \sin A $
$ \Delta \epsilon =10^{-4}\cdot \left({\begin{array}{r}92025+8{,}9T\\5736-3{,}1T\\977-0{,}5T\\-895+0{,}5T\\\end{array}}\right)\cdot \cos A $

wobei der Sinus und Cosinus aus einem Vektor als Vektor der Sinus bzw. Cosinus-Werte definiert ist. Das anschließende Skalarprodukt multipliziert schließlich die Werte mit den Koeffizienten aus der Tabelle.

Der Fehler beträgt für |T|<1 (also von 1900 bis 2100) bei $ \Delta \psi $ maximal 0,33" und bei $ \Delta \epsilon $ maximal 0,09″.

Die IAU 2000 Theory of Nutation

Die Theorie aus dem Jahr 2000 besteht aus einer lunisolaren und einer planetarischen Tabelle.[3] Hier kann die Genauigkeit auf $ 0{,}3\cdot 10^{-6} $ Bogensekunden gesteigert werden; allerdings haben diese Tabellen etwa 470 Terme. Die exakte Position der Planeten ist ebenfalls erforderlich.

Literatur

  • Wolfgang Vollmann. Wandelgestirnörter. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Zeiss Planetarium der Stadt Wien und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102 (weblink, 27. Juli 2010)

Weblinks

Commons: Nutation – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

  1. ↑ P. K. Seidelmann: 1980 IAU Theory of Nutation: The final report of the IAU Working Group on Nutation. In: Celestial Mechanics. 27, 1982, S. 79–106, doi:10.1007/BF01228952.
  2. ↑ Standards of Fundamental Astronomy FORTRAN Library: SOFA Library Issue 2009-02-01 for Fortran 77: Complete List
  3. ↑ IERS Conventions Center
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