Normalschwingungen: Unterschied zwischen den Versionen

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-[[Bild:Drum vibration mode01.gif|thumb|Drei monopolare Normalschwingungen einer kreisrunden [[Schwingungsmembran|Membran]].<br />Oben die (0,1)-Mode, ...]]
+#WEITERLEITUNG [[Eigenmode]]
-[[Bild:Drum vibration mode02.gif|thumb|... in der Mitte die (0,2)-Mode ...]]
-[[Bild:Drum vibration mode03.gif|thumb|... und unten die (0,3)-Mode.]]
-Die '''Normalschwingungen''' in einem [[oszillierend]]en System sind voneinander [[linear unabhängig]]e Schwingungszustände. Dieses Konzept ist von zentraler Bedeutung in der [[Mechanik]], der [[Optik]], der [[Quantenmechanik]] und der [[Kristallographie]].
-Jede [[harmonische Schwingung]] eines Systems, auch wenn es [[Impuls]]e abgibt (z.&nbsp;B. [[Modenkopplung|modengekoppelter]] [[Laser]]), kann z.&nbsp;B. mittels der [[Fouriertransformation]] aus einer [[Linearkombination]]en seiner Normalschwingungen beschrieben werden. Dazu wird das zugehörige gekoppelte mehrdimensionale Schwingungsproblem gelöst, indem man die [[Bewegungsgleichung]]en seiner gekoppelten [[Oszillator]]en zunächst in Form eines Systems von [[Differentialgleichung]]en
-:<math>\ddot x_i = \sum_j A_{ij} \cdot x_j</math>
-modelliert. Dadurch reduziert sich das Problem auf ein [[Eigenwertproblem]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Die Normalschwingungen sind dann durch die [[Eigenvektor]]en der [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> und die Normalfrequenzen durch die Eigenwerte gegeben.
-{{Anker|Normalkoordinaten}}
-Die '''Normalkoordinaten''' geben an, zu welchem Anteil eine Schwingung aus den durch die Eigenvektoren dargestellten Normalschwingungen besteht.
-Zum Ermitteln der Normalschwingungen kann das Verhalten bei [[Anregung]] mit variablen [[Frequenz]]en untersucht werden.
-== Normalschwingungen von Molekülen ==
-Ein gewinkeltes N-atomiges [[Molekül]] hat <math>3N</math> [[Freiheitsgrad#Thermodynamik_und_statistische_Mechanik|Freiheitsgrade]] und davon sind <math>3N - 6</math> Normalschwingungen, ein lineares Molekül hat <math>3N - 5</math> Normalschwingungen. Die [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] dieser [[Molekülschwingung]]en können durch die [[Gruppentheorie|gruppentheoretischen]] [[Charaktertafel]]n beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine [[Verknüpfungsbasis|Basis]] für eine [[irreduzible Darstellung]] der [[Punktgruppe]] des schwingenden Moleküls dar. Die Frequenz <math>f</math> bzw. die [[Wellenzahl]] <math>\nu</math> der jeweiligen Normalschwingung berechnet sich dem Modell des [[harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] nach:
-:<math>f = \nu \cdot c = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{\mu}}</math>
-wobei
-* <math>c</math> die [[Lichtgeschwindigkeit]]
-* <math>k</math> die [[Kraftkonstante]] und
-* <math>\mu</math> die [[reduzierte Masse]] darstellen.
-=== Normalkoordinaten ===
-Wird z.&nbsp;B. die Bewegungsgleichung für die [[Molekülschwingung|Schwingungen der Atome in einem Molekül]] gelöst, so beschreiben die Normalkoordinaten diese Schwingungen als Abweichungen der [[Atom]]e von den [[Gleichgewichtslage]]n im Ruhesystem des Moleküls, wobei sich der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] nicht verändert.
-Durch die Transformation von [[kartesische Koordinaten|kartesischen]] zu Normalkoordinaten werden die Schwingungsgleichungen entkoppelt und zugleich gelöst. Im Gegenzug (Rücktransformation) können die Normalschwingungen bei einem&nbsp;''N''-atomigen Molekül mit Hilfe eines ''3N''-dimensionalen kartesischen [[Vektor]]s dargestellt werden.
-==== Beispiele ====
-* [[Kohlenmonoxid]] hat nur eine Schwingung, nämlich eine [[Streckschwingung]]: ↔ <sup>12</sup>C-<sup>16</sup>O ↔
-Damit sich der Schwerpunkt des Moleküls nicht verschiebt, muss <sup>12</sup>C sich (16/12)-mal so weit wie <sup>16</sup>O von der Gleichgewichtsposition wegbewegen.
-* Bei [[Wasserstoff]] können sich beide H-Atome nur gleich weit vom Schwerpunkt entfernen.
-Wenn gerade die Hälfte eines Schwingungsvorgangs erfolgt ist, wäre Q = 1/2.
-== Normalschwingungen in der Quantenmechanik ==
-In der [[Quantenmechanik]] wird der Zustand eines Systems durch eine [[Wellenfunktion]] <math>\psi(x,t)</math> beschrieben, die eine Lösung der [[Schrödingergleichung]] darstellt. Das [[Betragsquadrat]] der Wellenfunktion
-:<math>\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2</math>
-ist die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]], das [[Teilchen]] an einem Ort&nbsp;''x'' zur Zeit&nbsp;''t'' wahrzunehmen.
-Normalerweise wird, wenn man irgendeine Art von [[Potential (Physik)|Potential]] einführt, die Wellenfunktion in eine [[Superposition (Physik)|Superposition]] (Linearkombination) von [[Eigenzustand|Eigenzuständen]] zerlegt, wobei jeder Eigenzustand mit einer Frequenz <math> \omega = E_n / \hbar </math> oszilliert und einer Normalschwingung entspricht. Deshalb schreibt man
-:<math>|\psi (t) \rang = \sum_n |n \rang \left \langle n | \psi (t=0) \right \rangle e^{-i E_n t/\hbar}</math>
-mit
-* der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>
-* dem reduzierten [[plancksches Wirkungsquantum|planckschen Wirkungsquantum]] <math>\hbar</math>.
-== Siehe auch ==
-* [[Schwingungsspektroskopie]]
-* Begriffsklärung [[Normalkoordinaten]]
-* [[Moden]]
-== Literatur ==
-* ''[[Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik]]'' Band IV Teil 1: ''Aufbau der Materie'' 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin, 1987, ISBN 3-11-008074-5
-* D. M. Riffe, Utah State University: ''[http://www.physics.usu.edu/riffe/3750/Lecture%203.pdf Two Coupled Oscillators / Normal Modes]'' Vorlesungsscript (PDF, engl.; 328&nbsp;kB)
-[[Kategorie:Schwingung]]
-[[Kategorie:Theoretische Chemie]]
 [[Kategorie:Schwingungslehre]]