Neper (Hilfsmaßeinheit)

Das Neper (Einheitenzeichen Np) ist eine nach dem Schotten John Napier (1550–1617, latinisiert: Neper) benannte Hilfsmaßeinheit zur Kennzeichnung von Pegeln und Maßen (zur Bedeutung beider Begriffe siehe im Artikel Logarithmische Größe). Angewendet wird es unter anderem in der Elektrotechnik und Akustik.

Definition, Umrechnungen

Das Neper dient zur Kennzeichnung des natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungswurzelgrößen (frühere Bezeichnung „Feldgrößen“). Mit dem mathematischen Zeichen $ \ln $ und den reellen Größen $ F_{1} $ und $ F_{2} $ schreibt man:^[1][3]

$ L=\ln {\frac {F_{1}}{F_{2}}}\,\mathrm {Np} $

Es gilt:

$ L=1\,\mathrm {Np} \quad {\text{wenn}}\quad {\frac {F_{1}}{F_{2}}}=\mathrm {e} \quad {\text{(= Basis des natürlichen Logarithmus)}} $

Das Neper wird vom BIPM zur Verwendung mit dem internationalen Einheitensystem (SI) und von der Internationalen Fernmeldeunion als mit dem SI kohärente Einheit angesehen. Wenn die logarithmischen Größen durch Übereinkunft unter Verwendung des natürlichen Logarithmus definiert werden, „wird das Neper die kohärente Einheit, die durch eins, Einheitenzeichen 1, ersetzt werden kann“ (^[2] in Kap. 4.1 und ^[1] in Kap. 0.5):

$ 1\;\mathrm {Np} =1 $

Die Einheit Neper ist kohärent mit dem SI, aber bis jetzt noch nicht vom CGPM als eine SI-Einheit akzeptiert.^[4]

Eine Angabe in Neper lässt sich aufgrund der Beziehung^[2]

$ \ln {\frac {F_{1}}{F_{2}}}\,\mathrm {Np} =20\;\lg {\frac {F_{1}}{F_{2}}}\,\mathrm {dB} $

in eine Angabe in Dezibel (dB) umrechnen, wobei

$ 1\,\mathrm {Np} ={\frac {20}{\ln 10}}\,\mathrm {dB} \approx 8{,}686\,\mathrm {dB} \;;\quad 1\,\mathrm {dB} ={\frac {\ln 10}{20}}\,\mathrm {Np} \approx 0{,}1151\,\mathrm {Np} $

Anwendung

Bei komplexen Leistungswurzelgrößen (Feldgrößen), beispielsweise $ {\underline {F}}_{1}=|{\underline {F}}_{1}|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{1}} $, lässt sich mit dem natürlichen Logarithmus auch das Verhältnis dieser komplexen Größen elegant behandeln und so z. B. ein komplexer Dämpfungsfaktor in Dämpfungsmaß (in Neper) und Phasenverschiebungswinkel (in Radiant) trennen:

$ \ln {\frac {{\underline {F}}_{1}}{{\underline {F}}_{2}}}=\ln \left|{\frac {{\underline {F}}_{1}}{{\underline {F}}_{2}}}\right|+\mathrm {j} (\varphi _{1}-\varphi _{2}) $

Eine solche Rechnung ist mit dem Dezibel nicht möglich, ohne Faktoren mit aufzunehmen. Da das Neper dimensionslos ist und den Wert 1 hat (ebenso wie der Radiant), kann man die Einheiten in Berechnungen einfach weglassen.

In der Praxis wird das Neper unter anderem aus historischen Gründen eher für Verhältnisse von Leistungswurzelgrößen als für Verhältnisse von Leistungsgrößen verwendet. Bei der Anwendung auf Leistungsgrößen $ P $, die dem Quadrat der Leistungswurzelgrößen proportional sind, also bei $ P_{1}/P_{2}=(F_{1}/F_{2})^{2} $ gilt:^[1][2]

$ L=\ln {\frac {F_{1}}{F_{2}}}=\ln \left({\frac {F_{1}^{2}}{F_{2}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {P_{1}}{P_{2}}} $

Einzelnachweise