Quelltext der Seite Multiplizität

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{{Redundanztext
|3=Entartung (Quantenmechanik)
|4=Multiplizität
|12=f|2=September 2016|1=[[Benutzer:Biggerj1|biggerj1]] ([[Benutzer Diskussion:Biggerj1|Diskussion]]) 19:02, 9. Sep. 2016 (CEST)}}

{{Dieser Artikel|erläutert den '''quantenmechanischen''' Begriff der Multiplizität; zu anderen Bedeutungen siehe [[Multiplizität (Begriffsklärung)]].}}

Unter '''Multiplizität''' oder [[Entartungsgrad]] versteht man in der [[Quantenmechanik]] die Anzahl der linear unabhängigen Zustände, die zu einer bestimmten [[Quantenmechanik#Observable und Zustände|Observable]] einen bestimmten [[Eigenwert]] gemeinsam haben. Diese Zustände sind also [[Entartung (Quantenmechanik)|entartete]]  [[Eigenzustand|Eigenzustände]] zu dieser Observablen.

Ein Beispiel ist die '''Spinmultiplizität''', die sich auf die Observable [[Spin-Bahn-Kopplung#LS-Kopplung bei mehreren Elektronen|Gesamtspin]] einer [[Atomhülle]] bezieht. Im einfachsten Beispiel, dem [[Wasserstoffatom]], kann das [[Elektron]] im [[Grundzustand]] zwei linear unabhängige [[Spin]]zustände einnehmen. Ohne äußeres Magnetfeld haben die beiden Zustände denselben Eigenwert für die [[Energie]] und können also energetisch nicht unterschieden werden, d.&nbsp;h., sie bilden ein [[Energieniveau]]. Die Multiplizität ist hier 2, das Niveau ist ein Dublett.

Allgemein hat ein System mit Gesamtspin <math>S</math> die Spinmultiplizität <math>2S+1</math>. Die <math>2S+1</math> unabhängigen Zustände (und alle ihre Linearkombinationen) haben in vielen Fällen dieselbe Energie, unterscheiden sich aber z.&nbsp;B. in der Orientierung des Spins bezüglich einer ausgezeichneten Achse. Dies wird  durch die <math>2S+1</math> verschiedenen Eigenwerte <math>m_S</math> der z-Komponente des Spins ausgedrückt (siehe z.&nbsp;B. [[Richtungsquantelung]] in einem [[Magnetismus|Magnetfeld]]):
:<math>m_S = \underbrace {-S, -S+1, ..., S-1, S}_{2S+1 \, \text{Werte: Multiplizität}}.</math>

Ein [[Energieniveau]] mit Spinmultiplizität <math>2S+1</math> kann sich bei Auftreten zusätzlicher Wechselwirkungen in maximal <math>2S+1</math> Niveaus aufspalten. In den [[Linienspektrum|Linienspektren]] von Atomen führt dies zu einer [[Feinstruktur (Physik)|Feinstruktur]].

{| class="wikitable" style="text-align:center"
 |+Spin-Multipletts
 ! class = "hintergrundfarbe5" | Spinquantenzahl<br /><math>S\!\,</math>
 ! class = "hintergrundfarbe5" | magn. QZ des Spins<br /><math>m_S</math>
 ! class = "hintergrundfarbe5" | Multiplizität<br /><math>2S+1\!\,</math>
 ! class = "hintergrundfarbe5" | Bezeichnung
 ! class = "hintergrundfarbe5" | Typ
 |-
 | 0
 | 0
 | class = "hintergrundfarbe8" | 1
 | Singulett
 | Skalar[[boson]]
 |-
 | 1/2
 | −1/2, +1/2
 | class = "hintergrundfarbe8" | 2
 | Dublett
 | [[Fermion]]
 |-
 | 1
 | −1, 0, +1
 | class = "hintergrundfarbe8" | 3
 | Triplett
 | Vektorboson
 |-
 | 3/2
 | −3/2, −1/2, +1/2, +3/2
 | class = "hintergrundfarbe8" | 4
 | Quartett
 | Fermion
 |-
 | 2
 | −2, −1, 0, +1, +2
 | class = "hintergrundfarbe8" | 5
 | Quintett
 | Tensorboson
 |}

== Multiplizität von Atomen und Molekülen ==
Bei Systemen aus mehreren [[Elektron]]en und/oder [[Atomkern]]en wird zwischen der Spin-Multiplizität der Elektronen und der Spin-Multiplizität der Atomkerne unterschieden.

=== Multiplizität des [[Elektronenspin]]s ===
==== Einelektronen-Systeme ====
Der Eigendrehimpuls eines Elektrons hat als Quantenzahl eines Elementarteilchens mit dem [[Spin]] <math>\textstyle S = \frac{1}{2}</math> projiziert auf eine beliebige Raumrichtung zwei mögliche Einstellungen: parallel oder antiparallel. Es liegt demnach ein elektronischer ''Dublett''-Zustand vor. Die Multiplizität des Einelektronen-Systems ist <math>\textstyle2S+1 = 2\!\,</math>. 
* Beispiel: Das Elektron eines einzelnen [[Wasserstoff]]-Atoms H• (So könnte es auch als Beispiel für ein ''Radikal'' mit null gepaarten Elektronen in der Tabelle unten stehen.)

==== Mehrelektronen-Systeme ====
Bei [[Atom]]en (bzw. [[Ion]]en) mit mehreren Elektronen und bei [[Molekül]]en muss zunächst die Gesamtspin-Quantenzahl&nbsp;<math>S\!\,</math> des gesamten elektronischen Systems ermittelt werden. Für ein Atom mit <math>i</math> Elektronen ist <math>S</math> gegeben durch
:<math>S = \left|\sum_i m_{s_i}\right|,</math>
wobei <math>m_{s_i}</math> die Spinquantenzahl des i-ten Elektrons ist. Da die individuellen Spins gepaarter Elektronen aufgrund entgegengesetzter Ausrichtung nicht zum Gesamtspin beitragen, reicht es aus, die ''ungepaarten'' Elektronen zu zählen. Ihre individuellen Spin-Quantenzahlen <math>s = +1/2\!\,</math> addieren sich zur Gesamtspin-Quantenzahl <math>S = n_\text{ungepaart}/2.</math>

{| class="wikitable" style="text-align:center"
 ! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | System
 ! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Beispiel
 ! class = "hintergrundfarbe5" colspan = 2 | Elektronen im [[Grundzustand]]
 ! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Gesamtspin-Quantenzahl<br /><math>S\!\,</math>
 ! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Multiplizität<br /><math>2S+1\!\,</math>
 ! class = "hintergrundfarbe5" rowspan = 2 | Grundzustand
 |- class = "hintergrundfarbe5"
 | gepaart
 | ungepaart
 |- style="border-bottom: 2pt black solid"
 | die meisten Moleküle
 | Wasserstoff-Molekül H-H
 | alle<br />(hier 1x2)
 | 0
 | 0/2 = 0
 | class = "hintergrundfarbe8" | 2x0+1 = 1
 | Singulett
 |-
 | [[Radikal (Chemie)|Radikale]]
 | [[Stickstoffmonoxid]] •N=O bzw. N-O•
 | hier 5x2
 | 1
 | 1/2
 | class = "hintergrundfarbe8" | 2x(1/2)+1 = 2
 | Dublett
 |-
 | Biradikale
 | [[Sauerstoff]]-Molekül •O-O•
 | hier 5x2
 | 2
 | 2/2 = 1
 | class = "hintergrundfarbe8" | 2x1+1 = 3
 | Triplett
 |-
 | [[Metallion]]en, vor allem der [[Nebengruppe]],<br />und [[Komplexchemie|Komplexe]]
 |
 | …x2
 | <math>\ge 2</math>
 | <math>\ge 1</math>
 | class = "hintergrundfarbe8" | <math>\ge 3</math>
 | Triplett, Quartett, …
 |}

Der Zahlenwert der Multiplizität wird in den [[Termsymbol]]en links hochgestellt angegeben, die häufig zur Kennzeichnung der [[Quantenmechanischer Zustand|Quantenzustände]] von Atomen und Molekülen verwendet werden.

* Beispiel: Für Wasserstoffatome (H) im Grundzustand ist das Termsymbol <sup>2</sup>S<sub>1/2</sub> (Multiplizität 2).

==== Bedeutung: Auswahlregeln, Interkombinationsverbot ====
Die Spinmultiplizität spielt eine wichtige Rolle für die [[Auswahlregel]]n in der [[Spektroskopie]] bei Mehrelektronensystemen.
So erfolgen elektrische Übergänge besonders gut, wenn die Kopplung der Spins und damit die Multiplizität erhalten bleibt (erlaubter Übergang, z.&nbsp;B. [[Fluoreszenz]] aus dem ersten angeregten Singulett-Zustand in den Singulett-Grundzustand).

Dagegen gelten Prozesse, bei denen sich die Multiplizität ändert ([[Intersystem Crossing|Interkombination]]), nach dem in der Spektroskopie üblichen Sprachgebrauch als ''verboten'' (''Interkombinationsverbot''). Genauer ist damit ausgedrückt, dass sie meist nur in geringem Ausmaß bzw. „langsam“ (d.&nbsp;h. statistisch selten) stattfinden, wie z.&nbsp;B. in der [[Phosphoreszenz]] (Übergang aus dem tiefsten angeregten Triplett-Zustand in den Singulett-Grundzustand).

=== Multiplizität des [[Kernspin]]s ===
{{Quelle}}
Der Gesamtspin <math>I\!\,</math> der Atomkerne in einem Molekül setzt sich zusammen aus den Kernspins <math>i\!\,</math> der einzelnen Atomkerne: <math>I = \Sigma i\!\,</math>. Anders als bei den Elektronen ist der Kernspin der Atomkerne jedoch nicht immer gleich, sondern hängt von der Zusammensetzung des jeweiligen Kerns ab. Auch hier ergibt sich dann die Multiplizität nach der Formel <math>2I+1\!\,</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur | Autor=Walter Greiner | Titel=Theoretische Physik: Quantenmechanik – Einführung | Verlag=Harri Deutsch Verlag |Datum=2005| ISBN=978-3-8171-1765-9 | Online={{Google Buch | BuchID=q93fXYTmcYkC | Seite=381 }}}}
* {{Literatur | Autor=Hermann Haken, Hans Christoph Wolf | Titel=Atom- und Quantenphysik | Verlag=Springer |Datum=2003| ISBN=978-3-642-18519-9 | Online={{Google Buch | BuchID=xCif8kBEXp0C | Seite=321 }}}}

== Siehe auch ==
* [[Zeeman-Effekt]]
* [[Kernspinresonanz]]
* [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie in der Thermodynamik]]
* [[Spinpolarisation]]

{{SORTIERUNG:Multiplizitat}}
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Spektroskopie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]
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