Quelltext der Seite Modell harter Kugeln

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'''Harte Kugeln''' sind ein häufig verwendetes Teilchenmodell für [[Fluid]]e und [[Festkörper]] in der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]]. Sie sind definiert als nicht-durchdringbare Kugeln im Raum, die sich nicht überlappen können, und modellieren die starke Abstoßung, die Atome und kugelförmige [[Molekül]]e auf sehr kleinen Distanzen zueinander erfahren. Untersucht werden harte Kugeln mittels analytischer Methoden, durch Simulation [[Molekulardynamik-Simulation|molekularer Dynamik]] sowie die experimentelle Untersuchung von bestimmten [[Kolloid]]-Modellsystemen. Siehe auch [[Hard-core-Prozess]].

== Formale Definition ==
Harte Kugeln mit Durchmesser <math>\sigma</math> sind Teilchen mit dem folgenden paarweisen Wechselwirkungspotential:
:<math>V\left(\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2}\right)=\begin{cases}
0 & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|\geq\sigma\\
\infty & \left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}\right|<\sigma
\end{cases}</math>
wobei <math>\mathbf{r}_1</math> und <math>\mathbf{r}_2</math> die Positionen der beiden Teilchen beschreiben.

== Harte-Kugeln-Modell für ein Gas ==
Die ersten drei [[Virialgleichungen#Virialkoeffizienten|Virialkoeffizienten]] für harte Kugeln können analytisch ermittelt werden:
{| style="margin-left:2em"
|<math>\frac{B_2}{v_0}</math>||=||<math>4{\frac{}{}}</math>
|-
|<math>\frac{B_3}{{v_0}^2}</math>||=|| <math>10{\frac{}{}}</math>
|-
|<math>\frac{B_4}{{v_0}^3}</math>||=|| <math>-\frac{712}{35}+\frac{219 \sqrt{2}}{35 \pi}+\frac{4131}{35 \pi} \arccos{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 18{,}365</math>
|}
Koeffizienten höherer Ordnung können durch Monte-Carlo-Integration numerisch gefunden werden. Beispielhaft seien die folgenden aufgelistet:
{| style="margin-left:2em"
|<math>\frac{B_5}{{v_0}^4}</math>||=|| <math>28{,}24 \pm 0{,}08</math>
|-
|<math>\frac{B_6}{{v_0}^5}</math>||=|| <math>39{,}5 \pm 0{,}4</math>
|-
|<math>\frac{B_7}{{v_0}^6}</math>||=|| <math>56{,}5 \pm 1{,}6</math>
|}
Eine Tabelle von Virialkoeffizienten für bis zu acht Dimensionen können im SklogWiki<ref>{{Internetquelle |url=http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Hard_sphere:_virial_coefficients |titel=Hard sphere: virial coefficients page |werk=SklogWiki – a wiki for statistical mechanics and thermodynamics |autor= |sprache=en |datum=2014-05-20 |zugriff=2015-07-20}}</ref> gefunden werden.

Das Harte-Kugeln-System bildet einen Flüssig-Fest-Phasenübergang zwischen den [[Packungsdichte (Kristallographie)|Packungsdichten]] für Gefrieren <math>\eta_\mathrm{f}\approx 0{,}494</math> und Schmelzen <math>\eta_\mathrm{m}\approx 0{,}545</math>. Der Druck divergiert bei der [[Dichteste Zufallspackung|dichtesten Zufallspackung]] <math>\eta_\mathrm{rcp}\approx 0{,}644</math> für den metastabilen Flüssigkeitszweig und bei [[Dichteste Kugelpackung|dichtesten Kugelpackung]] <math>\eta_\mathrm{cp}=\sqrt{2}\pi/6 \approx 0{,}74048</math> für den stabilen festen Zweig.

== Harte-Kugeln-Modell für eine Flüssigkeit ==
Der [[Strukturfaktor]] für eine Flüssigkeit aus harten Kugeln kann über die [[Jerome K. Percus|Percus]]-Yevick-Näherung berechnet werden.

[[Datei:Hard-sphere phase diagram pressure packing fraction.svg|mini|Phasendiagramm eines Systems harter Kugeln (Durchgezogene Line – stabiler Ast, gestrichelte Line – metastabiler Ast): Druck <math>P</math> als Funktion der [[Packungsdichte (Kristallographie)]] <math>\eta</math>]]

== Verallgemeinerungen ==
Nicht nur Kugeln können mit einem harten Wechselwirkungspotential ausgestattet werden, sondern auch Körper beliebiger Geometrie.

== Literatur ==
* J. P. Hansen, I. R. McDonald: ''Theory of Simple Liquids.'' 4. Auflage, Academic Press, London 2013, ISBN 978-0-12-387032-2.

== Weblinks ==
* [http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Hard_sphere_model ''Hard sphere model.''] SklogWiki (zum Harte-Kugeln-Modell).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Thermodynamisches Modell]]

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