Quelltext der Seite Majorana-Fermion

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'''Majorana-Fermionen''' sind in der Elementar[[teilchenphysik]] Teilchen mit [[halbzahlig]]em [[Spin]] ([[Fermionen]]), deren [[Antiteilchen]] die gleichen [[Elementarteilchen#Eigenschaften aller Elementarteilchen|Eigenschaften]] haben wie die Teilchen selbst. Sie wurden nach [[Ettore Majorana]] benannt.

Majorana-Fermionen tragen insbesondere keine [[elektrische Ladung]], denn andernfalls trügen Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzte Ladungen und wären somit klar unterscheidbar, wie z.&nbsp;B. [[Elektron]]en und [[Positron]]en. Solche Fermionen, die eine Ladung tragen können, werden als [[Dirac-Fermion]]en bezeichnet.

Von den Majorana-Fermionen zu unterscheiden sind außerdem die [[Hypothese|hypothetischen]] Majoronen, die zwar ebenfalls nach Ettore Majorana benannt sind, aber als [[Goldstonetheorem|Goldstone-Bosonen]] ganzzahligen Spin tragen.

== Auftreten ==
=== Im Standardmodell: ungeklärte Stellung der Neutrinos ===
Im [[Standardmodell der Teilchenphysik]] (SM) ist keines der [[Elementarteilchen]] ein Majorana-Fermion. Stattdessen werden hier alle Fermionen durch [[Dirac-Spinor]]en beschrieben, auch die [[Neutrino]]s, die also standardmäßig von Antineutrinos unterscheidbar sind. Allerdings sind die Neutrinos im Standardmodell masselos, im Widerspruch zu experimentellen Ergebnissen. Eine populäre Erklärung für die wegen der beobachteten [[Neutrinooszillation]] vermuteten Neutrinomassen, der ''See-Saw-Mechanismus,'' erfordert dagegen die Beschreibung der Neutrinos durch Majorana-Spinoren und damit die Gleichheit von Neutrinos und Antineutrinos. Dies würde wiederum eine Verletzung der [[Leptonenzahl]]erhaltung implizieren.

Ob zwischen Neutrinos und Antineutrinos unterschieden werden kann, ist derzeit noch offen. Eine Möglichkeit zur experimentellen Klärung bietet ein fraglicher Zerfallsmodus, der [[Neutrinoloser doppelter Betazerfall|neutrinolose Doppel-Betazerfall]], der nur möglich ist, falls Neutrinos '''Majorana-Spinoren''' und keine Dirac-Spinoren sind. Nach diesem Zerfallsmodus wird in Experimenten wie dem [[Enriched Xenon Observatory]]<ref>[http://www-project.slac.stanford.edu/exo/ Enriched Xenon Observatory]</ref> (EXO200) gesucht.

=== Im MSSM ===
In [[Supersymmetrie|supersymmetrischen]] Erweiterungen des Standardmodells wie dem [[Minimales supersymmetrisches Standardmodell|minimalen supersymmetrischen Standardmodell]] (MSSM) werden sowohl die [[Gluino]]s als auch die [[Neutralino]]s durch Majorana-Spinoren beschrieben. Neutralinos sind Kandidaten für [[WIMP]]s und [[Dunkle Materie]].

=== Festkörperphysik ===
In der Festkörperphysik tritt an die Stelle der Teilchen-Antiteilchen-Identität die Teilchen-Loch-Identität. In Supraleitern kommt es zur Bildung von Anregungen ([[Quasiteilchen]]), die sich aus Teilchen- (Elektron-) und Loch-Zuständen zusammensetzen und bei geeigneter (allerdings in gewöhnlichen Supraleitern nicht vorliegender) Spin-Bahn-Kopplung gleich ihren Antiteilchen sind, sogenannten gebundenen Majorana-Zuständen oder Majorana-Nullmoden (Majorana zero modes). Die Bezeichnung ist der Bezeichnung „Majorana-Fermionen“ hier vorzuziehen, da sie statt Fermi-Statistik eine komplexere [[Anyon]]en-Statistik haben. Sie spielen deshalb eine Rolle bei topologischen, fehlertoleranten Quantenrechnern ([[Alexei Kitaev]]). Der Name Nullmode kommt daher, dass sie als Teilchen-Loch-Überlagerung verschwindende Anregungsenergie haben. Da die Majorana-Zustände topologisch geschützt sind, spricht man auch von topologischen Supraleitern.

Dass Majorana-Zustände in Supraleitern mit Triplett-Paarung (p-Wellen-Supraleiter in einer Dimension, <math>p_x \pm i p_y</math>-Paarung in zwei Dimensionen) auftreten können, war schon länger bekannt, diese waren aber bis dahin noch nicht im Experiment beobachtet worden. Eine realistischere Möglichkeit zur Erzeugung solcher Majorana-Zustände schlugen [[Charles L.&nbsp;Kane]] und [[Liang Fu]] 2008 vor, die Kopplung eines Supraleiters an einen [[Topologischer Isolator|topologischen Isolator]], wo eine <math>p_x \pm i p_y</math>-Paarung an der Oberfläche des Kontakts des topologischen Isolators mit dem gewöhnlichen s-Wellen-Supraleiter auftritt.<ref>Liang Fu, [[Charles L. Kane]]: ''Superconducting proximity effect and Majorana fermions at the surface of a topological insulator.'' Phys. Rev. Lett., Band 100, 2008, S. 096407, [https://arxiv.org/abs/0707.1692 Arxiv.]</ref> 2010 schlugen unabhängig Sankar Das Sarma (University of Maryland)<ref>R. M. Lutchyn, J. D. Sau, S. Das Sarma: ''Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures.'' Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 077001, [https://arxiv.org/abs/1002.4033 Arxiv.]</ref> und Felix von Oppen (FU Berlin)<ref>Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen: ''Helical liquids and Majorana bound states in quantum wires.'' Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 177002, [https://arxiv.org/abs/1003.1145 Arxiv.]</ref> mit ihren Mitarbeitern vor, dass man Heterostrukturen aus gewöhnlichen Supraleitern und geeigneten Halbleitern benutzen könnte: Ein Draht aus einem Halbleitermaterial mit starker Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen wird in Kontakt mit einem Supraleiter gebracht und so selbst teilweise supraleitend. Außerdem wird ein Magnetfeld angelegt, das eine Bandlücke zwischen den Bändern für beide Spinrichtungen erzeugt. Dann sollte sich an den beiden Enden des Drahtes jeweils ein robuster (topologisch gegen Störungen geschützter) Majorana-Zustand ausbilden. Auch andere Realisierungen von Majorana-Zuständen wurden diskutiert.<ref>Jason Alicea: ''New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems.'' Reports on Progress in Physics, Band 75, 2012, S. 076501, [https://arxiv.org/abs/1202.1293 Arxiv.]</ref> 2015 wiesen [[Arnab Banerjee]] und Mitarbeiter Majorana-Fermionen in einer [[Quantenspinflüssigkeit]] aus Schichten von α-Ruthenium(III)-chlorid nach.<ref name="DOI10.1038/nmat4604">A. Banerjee, C. A. Bridges, J.-Q. Yan, A. A. Aczel, L. Li, M. B. Stone, G. E. Granroth, M. D. Lumsden, Y. Yiu, J. Knolle, S. Bhattacharjee, D. L. Kovrizhin, R. Moessner, D. A. Tennant, D. G. Mandrus, S. E. Nagler: ''Proximate Kitaev quantum spin liquid behaviour in a honeycomb magnet.'' In: ''Nature Materials.'' 2016, [[doi:10.1038/nmat4604]].</ref>

Eine Gruppe um [[Leo P. Kouwenhoven]] und Sergey Frolov (Universität Delft) fand nach diesem Vorschlag 2012 Hinweise auf Majorana-Zustände. Sie benutzten einen Nanodraht aus Indium-Antimon-Halbleitermaterial mit einem normalen Gold-Kontakt und einem Supraleiter-Kontakt. Normalerweise wäre im Draht nur bei einer äußeren Spannung ein Strom messbar, bei Majorana-Nullmoden würde dies aber auch ohne äußere Spannung gelingen, was auch im Experiment gefunden wurde.<ref>V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven: ''Signatures of Majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices.'' Science, Band 336, 2012, S. 1003–1007, [https://arxiv.org/abs/1204.2792 Arxiv.]</ref><ref>Rainer Scharf: ''[http://www.pro-physik.de/details/news/1797005/Majoranas_Spuren.html Majoranas Spuren.]'' Pro-Physik, 13. April 2012.</ref>

Weitere Bestätigungen von Majorana-Zuständen in Festkörpern wurden danach von anderen Gruppen erbracht, so von einer Gruppe der Princeton University mit Rastertunnelmikroskopie.<ref>''[http://phys.org/news/2014-10-majorana-fermion-physicists-elusive-particle.html Majorana fermion: Physicists observe elusive particle that is its own antiparticle.]'' Phys.org, Oktober 2014.</ref><ref>Stevan Nadj-Perge, Ilya K. Drozdov, Jian Li, Hua Chen, Sangjun Jeon, Jungpil Seo, Allan H. MacDonald, [[Andrei Bernevig]], Ali Yazdani: ''Observation of Majorana fermions in ferromagnetic atomic chains on a superconductor.'' Science, Band 346, 2014, S. 602–607.</ref><ref>Jian Li, Hua Chen, Ilya K. Drozdov, A. Yazdani, B. Andrei Bernevig, A. H. MacDonald: ''Topological Superconductivity induced by Ferromagnetic Metal Chains.'' Phys. Rev. B, Band 90, 2014, S. 235433, [https://arxiv.org/abs/1410.3453 Arxiv,] für die theoretische Behandlung.</ref>

Es gibt auch weitere Anwendungen in der statistischen Mechanik: 1964 führten [[Elliott Lieb]], Daniel C. Mattis und Theodore D. Schultz eine Beschreibung des zweidimensionalen [[Ising-Modell]]s mit Majorana-Fermionen ein.<ref>[[John Kogut]]: ''An introduction to lattice gauge theory and spin systems.'' In: ''Reviews of Modern Physics.'' Bd.&nbsp;51, 1979, S.&nbsp;659–713. [http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i4/p659_1 Abstract.]</ref><ref>T. D. Schultz, D. C. Mattis, E. H. Lieb: ''Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermions.'' In: ''Reviews of Modern Physics.'' Bd. 36, 1964, S.&nbsp;856.</ref>

== Mathematische Beschreibung ==
Ähnlich den masselosen [[Weyl-Fermion]]en, für welche die [[Dirac-Gleichung]] entkoppelt (siehe [[Weyl-Gleichung]]), sind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch mit Majorana-Masse.

Die [[Lagrangedichte]] eines Majorana-Teilchens <math>\psi_M</math> ist
:<math>\mathcal{L}=\frac{1}{2} \bar{\psi}_M\Bigl( \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M,</math>
wobei wie in der [[relativistisch]]en [[Quantenmechanik]] üblich <math>\bar\psi_M=\psi_M^\dagger\gamma^0</math> gilt.

Die zugehörige Dirac-Gleichung für <math>\psi_M</math> lautet:
:<math>\Bigl( \mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu - m \Bigr)\, \psi_M = 0</math>

Setzt man wie bei den Weyl-Fermionen <math>\psi_M=\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}</math> und beachtet, dass unter einer [[Lorentztransformation]]
:<math>\psi_R = i\sigma^2 \psi_L^*</math>

gilt, so kann man
:<math>\psi_M=\begin{pmatrix} \chi \\i \sigma^2 \chi^* \end{pmatrix}</math>

setzen und es ergibt sich die ''Majorana-Gleichung'' für das 2-Komponenten-Feld <math>\chi</math>:
:<math>i\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu\chi - i m \sigma^2\chi^* =0</math>

Dabei enthält <math>\bar\sigma</math> gemäß <math>\bar\sigma=(1,-\vec\sigma)</math> die drei [[Pauli-Spinmatrizen]], und <math>\sigma^2 </math> ist die zweite Paulimatrix.

Die Majorana-Gleichung ist [[Lorentzinvarianz|lorentzinvariant]] und impliziert die [[Klein-Gordon-Gleichung]], welche die [[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]] festlegt.

== Sonstiges ==
2021 wurde die theoretische Existenz von Majorana-Bosonen vorgeschlagen, die theoretisch eigentlich nicht existieren dürften, nach den Autoren aber als Bestandteile z.&nbsp;B. von Photonen in Wechselwirkung mit Materie in metastabilen topologischen Phasen existieren könnten.<ref>Vincent P. Flynn, Emilio Cobanera, Lorenza Viola: ''Topology by Dissipation: Majorana Bosons in Metastable Quadratic Markovian Dynamics'', Physical Review Letters, Band 127, 2021, S. 245701. [https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.127.245701 Abstract], [https://arxiv.org/abs/2104.03985 arxiv]</ref>

== Literatur ==
* Andreas Aste: ''A direct road to Majorana fields.'' 2008. {{arXiv|0806.1690}}. Eine kompakte Einführung in den Majorana-Formalismus.
* Martin Leijnse, Karsten Flensberg: ''[https://arxiv.org/abs/1206.1736 Introduction to topological superconductivity and Majorana fermions.]'' Semic. Sci. Techn., Band 27, 2012, S. 124003.

== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Fermion]]
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