Lichtkegel

In der relativistischen Physik bezeichnet der Lichtkegel eines Ereignisses $$ E $$ die Menge aller Ereignisse $$ E' $$ , die sich mit Lichtgeschwindigkeit $$ c $$ auf $$ E $$ auswirken oder von $$ E $$ mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Lichtkegel in einer Raumzeit mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.
Der Beobachter eines Ereignisses E befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel (Gegenwart).

Der Lichtkegel ist ein Doppelkegel im vierdimensionalen Minkowski-Raum. Er besteht aus

dem Rückwärtslichtkegel, der aus Ereignissen $$ E' $$ besteht, die vor $$ E $$ stattgefunden haben (Vergangenheit, $$ t'<t $$ ) und $$ E $$ mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können, und
dem Vorwärtslichtkegel, das sind Ereignisse $$ E', $$ die später als $$ E $$ stattfinden (Zukunft, $$ t'>t $$ ) und von $$ E $$ mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.

Definition

Seien

$$ (t,x,y,z) $$ die Orts- und Zeitkoordinaten von $E\,$
$$ (t',x',y',z') $$ die Koordinaten von $$ E' $$ und
$$ (t'-t,x'-x,y'-y,z'-z) $$ die Komponenten des Differenzvektors $$ E'-E $$
$\mathrm {d} s^{2}:=c^{2}\cdot \mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}$ das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit, der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete Signatur ist $$ (+,-,-,-) $$ . Für eine Signatur $$ (-,+,+,+) $$ gelten für $\mathrm {d} s^{2}$ analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.

Wenn der Differenzvektor lichtartig ist:

{\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&=0\\\Leftrightarrow &&\left({\frac {x'-x}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {y'-y}{t'-t}}\right)^{2}+\left({\frac {z'-z}{t'-t}}\right)^{2}&=c^{2}\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&=c^{2},\end{aligned}}

dann liegt $$ E' $$ in der speziellen Relativitätstheorie auf dem Lichtkegel von $$ E. $$ Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter sichtbar, der sich in $$ E $$ aufhält (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Ist der Differenzvektor zeitartig:

{\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&>0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&<c^{2},\end{aligned}}

so liegt $$ E' $$ im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von $$ E $$ , je nachdem ob es vor oder nach $$ E $$ stattgefunden hat. Dann kann es sich bei $$ E' $$ um die Ursache oder um die Auswirkung von $$ E $$ handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie $$ E $$ (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Ist der Differenzvektor raumartig:

{\begin{aligned}&&\mathrm {d} s^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&c^{2}\,(t'-t)^{2}-(x'-x)^{2}-(y'-y)^{2}-(z'-z)^{2}&<0\\\Leftrightarrow &&v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}&>c^{2},\end{aligned}}

so liegt $$ E' $$ außerhalb des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit Überlichtgeschwindigkeit auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels und vor $$ E $$ sind für einen Beobachter, der sich in $$ E $$ aufhält, (noch) nicht sichtbar (Ereignishorizont, ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).

Folgen für die Lösung relativistischer Differentialgleichungen

Die Lösung der inhomogenen Klein-Gordon-Gleichung, gültig für Bosonen, hängt für das Ereignis $$ E $$ nur ab von den früheren Anfangsbedingungen sowie der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von $$ E $$ und in seinem Inneren.

Die Lösung der homogenen Klein-Gordon-Gleichung (verschwindende Masse, entspricht der Wellengleichung) hängt nur ab von den Anfangsbedingungen und der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von $$ E $$ , aber nicht mehr von der Inhomogenität in seinem Inneren. Anfangsbedingungen und Inhomogenität wirken sich in diesem Fall nur mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Folgen für die Lösung anderer grundlegender relativistischer Gleichungen (z. B. der Dirac-Gleichung, gültig für Fermionen) sind entsprechend.

Siehe auch

Kausalität #Relativitätstheorie

Literatur

Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN 0073-1684).

Weblinks

Wiktionary: Lichtkegel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,5 MB)