Quelltext der Seite Lennard-Jones-Potential

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Das '''Lennard-Jones-[[Potential (Physik)|Potential]]''' <math>V</math> (nach [[John Lennard-Jones]]) beschreibt in der [[Physikalische Chemie|physikalischen Chemie]] und in der [[Atomphysik|Atom-]] und [[Molekülphysik]] die Bindungsenergie in der Einheit Joule. Es nähert die Wechselwirkung zwischen ungeladenen, nicht chemisch aneinander gebundenen [[Atom]]en an.
[[Datei:12-6-Lennard-Jones-Potential.svg|mini|hochkant=1.5|Das Lennard-Jones-(12,6)-Potential<math>V</math>, aufgetragen über dem Teilchenabstand <math>r</math>.<br />Abstoßendes Potential zählt positiv, anziehendes negativ.]]

== Beschreibung ==
Für große Entfernungen zwischen zwei [[Teilchen]] überwiegen die anziehenden Kräfte; bei ihnen handelt es sich vor allem um [[Van-der-Waals-Kräfte]], aber auch um ''permanente'' [[Dipol-Dipol-Wechselwirkung]]en.

Nähert man die jeweiligen Teilchen an, so überwiegt unterhalb eines bestimmten Abstandes <math>\sigma</math> (s. Abbildung) der abstoßende Anteil, und die [[potentielle Energie]] steigt schnell an. Die abstoßenden Kräfte kommen dadurch zustande, dass die [[Elektron]]en bei Annäherung der [[Atomhülle]]n teilweise auf energetisch höhere [[Atomorbital|Orbitale]] ausweichen müssen, weil sie nach dem [[Pauli-Prinzip]] nicht zu mehreren den gleichen Zustand besetzen können.

Der anziehende Anteil des Lennard-Jones-Potentials wird abgeleitet aus der [[London-Kraft|London-Formel]] ([[Approximation|Näherung]]):

::<math>V = - \frac{C}{r^6}</math>,

wobei
* <math>C</math> ein relativ komplizierter Term ist, der [[Stoffkonstante|stoffspezifische Konstanten]] wie die [[Ionisierungsenergie]] für beide betrachteten Teilchen enthält, und
* <math>r</math> der Abstand zwischen den Teilchen.

Der abstoßende Anteil wird durch eine ähnliche Gleichung beschrieben:

::<math>V = \frac {C^n} {r^n}</math>

Hierbei ist <math>n > 6</math>.

Im '''Lennard-Jones-(n,6)-Potential''' werden die beiden Anteile zusammengefasst:

:<math>V(r) = \frac{C^n}{r^n} - \frac{C}{r^6}</math>

Aus praktischen Gründen wird oft <math>n = 12</math> gewählt, weil dann bei der Berechnung der Wert <math>1/r^6</math> nur quadriert werden muss. Es entsteht das '''Lennard-Jones-(12,6)-Potential''', das typischerweise in einer der beiden folgenden Formen geschrieben wird:

:<math>\begin{alignat}{2}
V(r) &  = 4 \varepsilon \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{12} -           \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6     \right]
     && = 4 \varepsilon \cdot  \left( \frac{\sigma}{r} \right)^{6} \cdot \left[ \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 - 1 \right]\\
     &  =   \varepsilon \left[ \left( \frac{r_m}   {r} \right)^{12} -  2        \left( \frac{r_m}   {r} \right)^6     \right]
     && =   \varepsilon \cdot  \left( \frac{r_m}   {r} \right)^{6} \cdot \left[ \left( \frac{r_m}   {r} \right)^6 - 2 \right]
\end{alignat}</math>

Hierbei ist
* <math>\varepsilon > 0</math> die „Tiefe“ der [[Potentialmulde]] in Einheiten Joule, die durch die beiden Einflüsse entsteht.
* <math>\sigma</math> der Teilchenabstand, an dem das Lennard-Jones-Potential eine [[Nullstelle]] besitzt: <math>V(r = \sigma) = 0</math>.
* <math>r_m = \sqrt[6]{2} \cdot \sigma \approx 1,12 \cdot \sigma</math> der Teilchenabstand, in dem das Lennard-Jones-Potential sein Minimum erreicht. In diesem Abstand sind anziehender und abstoßender Anteil des Potentials gleich groß und heben sich auf, so dass in diesem Abstand keine Kraft zwischen den Teilchen wirkt.

Das Lennard-Jones-Potential ist ein Spezialfall des '''Mie-Potential'''s

:<math>V = \frac{C_n}{r^n} - \frac{C_m}{r^m}</math>

das 1903 von [[Gustav Mie]] eingeführt wurde.<ref>Mie-Potential [http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Mie_potential (Online)]</ref>

== Sonstiges ==
Eine weitere Form des Lennard-Jones-Potentials ist das '''Lennard-Jones-(exp,6)-Potential''', bei dem der abstoßende Term [[Exponentialfunktion|exponentiell]] ist.<ref>{{Literatur|DOI=10.1063/1.1740026|Autor=Edward A. Mason|Titel=Transport Properties of Gases Obeying a Modified Buckingham (Exp‐Six) Potential|Sammelwerk=Journal of Chemical Physics|Nummer=22|Seiten=169–186|Jahr=1954}}</ref> Es ist ein Spezialfall des [[Buckingham-Potential]]s:<ref>{{Literatur|DOI=10.1098/rspa.1938.0173|Autor=R. A. Buckingham|Titel=The Classical Equation of State of Gaseous Helium, Neon and Argon|Sammelwerk=Proceedings of the Royal Society of London|Band=Series A, Mathematical and Physical Sciences|Nummer=168|Seiten=264–283|Jahr=1938}}</ref>

:<math> V(r) = \frac{\varepsilon}{1 - 6/\alpha} \cdot \left\langle \frac6{\alpha} \cdot
\exp \left[ \alpha \left( 1 - \frac{r}{\sigma} \right) \right] - \left( \frac{\sigma}{r} \right)^6 \right\rangle</math>

mit
* der „Steilheit“ <math>\alpha</math> der abstoßenden Kraft.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Physikalische Chemie]]
[[Kategorie:Festkörperphysik]]
[[Kategorie:Atomphysik]]
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