Langevin-Funktion
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- Mathematische Funktion
- Statistische Physik
Die Langevin-Funktion $ L(x) $ (nach dem Physiker Paul Langevin) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.
Definition
Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch
- $ L(x)=\coth(x)-{1 \over x} $,
wobei $ \coth $ den Kotangens Hyperbolicus bezeichnet.
Eine Anwendung
Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter $ \xi $ eingeführt:
- $ \xi ={\frac {mB}{k_{B}T}} $
Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- m - Magnetisches Moment eines Teilchens
- B - Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
- $ k_{B} $ - Boltzmann-Konstante
- T - Absolute Temperatur
Für die Magnetisierung M eines Paramagneten ergibt sich dann:
- $ M=NmL(\xi ) $
N steht dabei für die Stoffmenge und m für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.
Näherungen
Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für $ |x|\ll 1 $ ist
- $ L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}\approx {\frac {x}{3}} $.
Für $ x\gg 1 $ gilt die Näherung[1]
- $ L(x)\approx 1-{\frac {1}{x}} $.
Umkehrfunktion
Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall (−1, 1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]
- $ L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}. $
Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um |x| = 0,8. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben[3].
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
- ↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.
- ↑ R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
