Inkompressibilität: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 30. Dezember 2021, 23:28 Uhr

Von Inkompressibilität spricht man, wenn das Volumen eines Körpers trotz einer Krafteinwirkung oder Druckänderung als konstant angenommen werden kann.^[1] Inkompressibilität ist das Gegenteil von Kompressibilität. Während aber die Kompressibilität eine wahre Eigenschaft der Materie ist, ist die Inkompressibilität nur eine idealisierende Annahme zur vereinfachten Beschreibung physikalischer Vorgänge.

Ist bei dem physikalischen Vorgang auch die Temperatur konstant (isotherme Zustandsänderung), so beinhaltet die Annahme der Inkompressibilität auch eine konstante Dichte. Es gilt

\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}=0

mit

\partial V

= infinitesimale Volumenänderung

\partial p

= infinitesimale Druckänderung

T = Temperatur (konstant während der Veränderung)

Das Volumen enthält hierbei stets dieselbe Anzahl von Teilchen, d. h. die Masse bleibt konstant. Weiterhin finden keine chemische Reaktion und auch keine Phasenübergänge statt (fest – flüssig – gasförmig).

Inkompressibilität bei Festkörpern

Bei den meisten Vorgängen mit festen Körpern können diese als inkompressibel angesehen werden. Die Folgen starker Kraft bzw. Druckwirkung sind dann Verformung oder Zerteilen, d. h. eine Gestaltänderung aber keine Volumenänderung. Verformungen können elastisch und damit reversibel sein (Spiralfeder, Gummi) oder plastisch und damit irreversibel (Schmieden, Verbiegen).

Inkompressibilität bei Flüssigkeiten

Obwohl Flüssigkeiten durchschnittlich um den Faktor 10 kompressibler als Festkörper sind, können auch Flüssigkeiten in den meisten Fällen als inkompressibel angesehen werden.

In der Betrachtung ruhender Flüssigkeiten machen sich Kompressibilitätseffekte nur bei sehr extremen Druckverhältnissen bemerkbar. So ist z. B. die Wasserdichte in 12 km Wassertiefe (ca. 1.200 bar) nur um ca. 5 % größer als an der Wasseroberfläche. Andererseits muss z. B. für die korrekte Berechnung bei der Schwingungsdämpfung von Öldruckstoßdämpfern (ca. 100 bar) die Kompressibilität des Öls berücksichtigt werden.^[2]

In der Betrachtung strömender Flüssigkeiten kann in der Regel von Inkompressibilität ausgegangen werden. Bleibt in einer Strömung die Temperatur konstant, so ist die Folge von Kraft oder Druckwirkung auf Flüssigkeiten eine Fließbewegung oder Umströmung bei konstanter Dichte. Unter dieser Annahme werden z. B. Strömungen in Rohrleitungen berechnet oder die Wellenbildung bei einem fahrenden Schiff.

Inkompressibilität bei Gasen

Lineare Druckzunahme mit der Wassertiefe im Vergleich zu der exponentiellen Druckabnahme in der Atmosphäre. (Beachte die unterschiedliche Skalenteilung auf der Druckachse)

Gase haben eine bis um den Faktor 10.000 höhere Kompressibilität als Flüssigkeiten. Daher müssen ruhende Gase in der Praxis stets als kompressibel angesehen werden. Es ist gerade das Charakteristikum eines Gases, dass es jeden zur Verfügung stehenden Raum ausfüllt, also in Abhängigkeit von dem von außen wirkenden Druck sein Volumen und damit seine Dichte ändert. Eine deutliche Auswirkung der stark unterschiedlichen Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen zeigt sich beim Vergleich des linearen Verlaufs des hydrostatischen Drucks in inkompressiblen Flüssigkeiten (bei konstanter Dichte) und des exponentiellen Druck- und Dichteverlaufs in der kompressiblen Luft der Erdatmosphäre.

Bei einer Veränderung des Strömungsquerschnitts bleibt die Durchflussmenge konstant, dazu verändern sich die Strömungsgeschwindigkeit und bei hohen Geschwindigkeiten vermehrt die Dichte

Eine wichtige Ausnahme gibt es jedoch bei strömenden Gasen. Bei konstanter Temperatur $$ T $$ und geringer Geschwindigkeit können Gase in guter Näherung als inkompressibel betrachtet werden. In der Praxis werden Kompressibilitätseffekte meist nur bei höheren Strömungsgeschwindigkeiten berücksichtigt. Das ist u. a. von der Schallgeschwindigkeit in dem Gas abhängig^[3].

Eine Grundbeobachtung der Strömungsmechanik ist, dass bei einer Verengung eines Strömungsquerschnitts kein Stau entsteht, sondern die durchfließende Menge pro Zeit an allen Orten der Strömung konstant ist. Diese Erfahrung wird mit der Kontinuitätsgleichung beschrieben, sie lautet in vereinfachter Form:

\rho _{1}\cdot v_{1}\cdot A_{1}=\rho _{2}\cdot v_{2}\cdot A_{2}=\rho _{3}\cdot v_{3}\cdot A_{3}=konstant

mit

\rho

= Dichte

$ v $

= Strömungsgeschwindigkeit

$ A $

= Strömungsquerschnitt

Die Kontinuitätsgleichung besagt z. B., dass - bei einer Verringerung des Strömungsquerschnitts $$ A $$ - das strömende Fluid (Flüssigkeit oder Gas) auf zweierlei Weise reagiert. Das Fluid...

...beschleunigt sich auf eine höhere Geschwindigkeit $$ v $$ ,
...komprimiert sich auf eine höhere Dichte $\rho$

In der Praxis überwiegt bei kleinen Geschwindigkeiten der 1. Effekt (Beschleunigung), erst bei höheren Geschwindigkeiten von strömender Luft wird der 2. Effekt (Kompressibilität) bedeutsam.

Beschränkt man sich auf den 1. Effekt spricht man von einer inkompressiblen Strömung ( $\rho =konstant,T=konstant$ ). Dann wird die Kontinuitätsgleichung zu einem direkten Zusammenhang von Querschnittsfläche $$ A $$ und Strömungsgeschwindigkeit $$ v $$ :

v_{1}\cdot A_{1}=v_{2}\cdot A_{2}=v_{3}\cdot A_{3}=konstant

Dieser Zusammenhang kann – je nach erforderlicher Genauigkeit – bei Strömungsgeschwindigkeiten bis etwa 1/3 der Schallgeschwindigkeit (z. B. Umströmung bei üblichen Windstärken, von Autos und Kleinflugzeugen) benutzt werden.^[3] Darüber hinaus werden die Kompressibilitätseffekte immer größer und können nicht mehr vernachlässigt werden (z. B. Verkehrsflugzeuge, Militärjets, Raketen).

Einzelnachweise

↑ Inkompressibilität. In: Lexikon der Geowissenschaften. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000, abgerufen am 26. November 2021.
↑ Anja Stretz: Komfortrelevante Wechselwirkung von Fahrzeugschwingungsdämpfern und den elastischen Dämpferlagern. In: Dissertation. Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universität Darmstadt, Darmstadt 2011, S. 137 (docplayer.org).
↑ ^3,0 ^3,1 Leopold Böswirth, Sabine Bschorer: Technische Strömungslehre. 9. überarbeite Auflage. Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-8647-7, S. 266 (springer.com).

[1] Inkompressibilität. In: Lexikon der Geowissenschaften. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2000, abgerufen am 26. November 2021.

[2] Anja Stretz: Komfortrelevante Wechselwirkung von Fahrzeugschwingungsdämpfern und den elastischen Dämpferlagern. In: Dissertation. Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universität Darmstadt, Darmstadt 2011, S. 137 (docplayer.org).

[:0-3] 3,0 ^3,1 Leopold Böswirth, Sabine Bschorer: Technische Strömungslehre. 9. überarbeite Auflage. Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-8647-7, S. 266 (springer.com).

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-[[Datei:incompressible flow.png|miniatur|Mögliche Verformung eines Volumenelements eines inkompressiblen Stoffes]]
+Von '''Inkompressibilität''' spricht man, wenn das Volumen eines Körpers trotz einer Krafteinwirkung oder Druckänderung als konstant angenommen werden kann.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/inkompressibilitaet/7521 |titel=Inkompressibilität |werk=Lexikon der Geowissenschaften |hrsg=Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg |datum=2000 |abruf=2021-11-26 |sprache=de}}</ref>
+Inkompressibilität ist das Gegenteil von [[Kompressionsmodul|Kompressibilität]]. Während aber die Kompressibilität eine wahre Eigenschaft der Materie ist, ist die Inkompressibilität nur eine [[Idealisierung (Physik)|idealisierende Annahme]] zur vereinfachten Beschreibung physikalischer Vorgänge.
-'''Inkompressibilität''' bezeichnet die [[Stoffeigenschaft|Eigenschaft]] eines [[Stoff (Chemie)|Stoffes]], unter [[Druck (Physik)|Druck]]<nowiki />einwirkung bei konstanter Temperatur sein [[Volumen]] ''nicht'' zu ändern, sich also nicht [[Kompressionsmodul|komprimieren]] zu lassen:
+Ist bei dem physikalischen Vorgang auch die Temperatur konstant ([[isotherme Zustandsänderung]]), so beinhaltet die Annahme der Inkompressibilität auch eine konstante [[Dichte]]. Es gilt
+:<math>\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T = 0</math>
+:mit
+:<math>\partial V</math> = [[Infinitesimalzahl|infinitesimale]] Volumenänderung
+:<math>\partial p</math> = infinitesimale Druckänderung
+:T = Temperatur (konstant während der Veränderung)
-:<math>\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T = 0</math>
+Das Volumen enthält hierbei stets dieselbe Anzahl von Teilchen, d.&nbsp;h. die Masse bleibt konstant. Weiterhin finden keine [[chemische Reaktion]] und auch keine [[Phasenübergang|Phasenübergänge]] statt (fest – flüssig – gasförmig).
-Das Volumen besteht hierbei aus immer derselben Anzahl von [[Teilchen]] (d.&nbsp;h. die [[Masse (Physik)|Masse]] bleibt konstant).
+== Inkompressibilität bei Festkörpern ==
+Bei den meisten Vorgängen mit festen Körpern können diese als inkompressibel angesehen werden. Die Folgen starker Kraft bzw. Druckwirkung sind dann Verformung oder Zerteilen, d.&nbsp;h. eine Gestaltänderung aber keine Volumenänderung. Verformungen können [[Elastizität (Physik)|elastisch]] und damit [[Reversibler Prozess|reversibel]] sein ([[Spiralfeder]], [[Gummi]]) oder [[Plastizität (Physik)|plastisch]] und damit [[Irreversibler Prozess|irreversibel]] ([[Schmieden]], Verbiegen).
-Völlige Inkompressibilität kommt in der Realität nicht vor, alle realen Materialien sind kompressibel, wenn auch z.&nbsp;T. in nur sehr geringem Maße. Dazu wird meist als [[physikalische Größe|Größe]] angegeben:
+== Inkompressibilität bei Flüssigkeiten ==
-* für [[Fluide]] die [[isotherm]]e [[Kompressibilität]]
+Obwohl Flüssigkeiten durchschnittlich um den Faktor 10 kompressibler als Festkörper sind, können auch Flüssigkeiten in den meisten Fällen als inkompressibel angesehen werden.
-* für [[Festkörper]] der [[Kehrwert|reziproke Wert]], der isotherme [[Kompressionsmodul]].
-Inkompressibilität steht also für die [[Näherungswert|Näherung]] einer unendlich geringen Kompressibilität bzw. eines unendlich hohen Kompressionsmoduls. [[Gummi]] wird häufig als inkompressibel betrachtet, weil sein Kompressionsmodul sehr groß ist im Vergleich zu seinem [[Schermodul]].
-Gegenüber [[Gas]]en werden [[Flüssigkeit]]en und Festkörper oft als inkompressibel betrachtet. Die meisten Flüssigkeiten haben nämlich bei [[Normaldruck]] eine um den Faktor&nbsp;1000 bis&nbsp;10.000 geringere Kompressibilität als Gase, und Festkörper sind meist noch zehnmal weniger kompressibel.
+In der Betrachtung [[Hydrostatik|'''ruhender Flüssigkeiten''']] machen sich Kompressibilitätseffekte nur bei sehr extremen Druckverhältnissen bemerkbar. So ist z.&nbsp;B. die Wasserdichte in 12&nbsp;km Wassertiefe (ca.&nbsp;1.200&nbsp;bar) nur um ca. 5 % größer als an der Wasseroberfläche. Andererseits muss z.&nbsp;B. für die korrekte Berechnung bei der [[Schwingungsdämpfung]] von [[Öldruckstoßdämpfer]]n (ca.&nbsp;100&nbsp;bar) die Kompressibilität des Öls berücksichtigt werden.<ref>{{Literatur |Autor=Anja Stretz |Titel=Komfortrelevante Wechselwirkung von Fahrzeugschwingungsdämpfern und den elastischen Dämpferlagern |Sammelwerk=Dissertation |Verlag=Fachbereich Maschinenbau der Technischen Universität Darmstadt |Ort=Darmstadt |Datum=2011 |Seiten=137 |Online=https://docplayer.org/20533406-Komfortrelevante-wechselwirkung-von-fahrzeugschwingungsdaempfern-und-den-elastischen-daempferlagern-dissertation.html}}</ref>
-Inkompressible Körper erfahren durch eine Druckänderung zwar keine ''Volumen''änderung, können jedoch eine ''Gestalt''änderung erfahren.
+In der Betrachtung [[Fluiddynamik|'''strömender Flüssigkeiten''']] kann in der Regel von Inkompressibilität ausgegangen werden. Bleibt in einer Strömung die Temperatur konstant, so ist die Folge von Kraft oder Druckwirkung auf Flüssigkeiten eine Fließbewegung oder Umströmung bei konstanter Dichte. Unter dieser Annahme werden z.&nbsp;B. [[Strömungen in Rohrleitungen]] berechnet oder die [[Oberflächenwelle|Wellenbildung]] bei einem fahrenden Schiff.
-In der [[Hydrodynamik]] wird für die Inkompressibilität&nbsp;– unter Annahme einer [[Inkompressibles Fluid|inkompressiblen Flüssigkeit]]&nbsp;– folgende vereinfachte mathematische Formulierung verwendet:
+== Inkompressibilität bei Gasen ==
+[[Datei:Pressure water air (de).svg|mini|Lineare Druckzunahme mit der Wassertiefe im Vergleich zu der exponentiellen Druckabnahme in der Atmosphäre. (Beachte die unterschiedliche Skalenteilung auf der Druckachse)]]
+Gase haben eine bis um den Faktor 10.000 höhere Kompressibilität als Flüssigkeiten. Daher müssen '''[[Aerostatik|ruhende Gase]]''' in der Praxis stets als kompressibel angesehen werden. Es ist gerade das Charakteristikum eines Gases, dass es jeden zur Verfügung stehenden Raum ausfüllt, also in Abhängigkeit von dem von außen wirkenden Druck sein Volumen und damit seine Dichte ändert. Eine deutliche Auswirkung der stark unterschiedlichen Kompressibilität von Flüssigkeiten und Gasen zeigt sich beim Vergleich des linearen Verlaufs des [[Hydrostatik|hydrostatischen Drucks in inkompressiblen Flüssigkeiten]] (bei konstanter Dichte) und des exponentiellen Druck- und Dichteverlaufs in der kompressiblen Luft der [[Erdatmosphäre]].
+[[Datei:Kontinuitätsgleichung.jpg|mini|Bei einer Veränderung des Strömungsquerschnitts bleibt die Durchflussmenge konstant, dazu verändern sich die Strömungsgeschwindigkeit und bei hohen Geschwindigkeiten  vermehrt die Dichte]]
+Eine wichtige Ausnahme gibt es jedoch bei [[Strömungsmechanik|'''strömenden Gasen''']]. Bei konstanter Temperatur <math>T</math>  und geringer Geschwindigkeit können Gase in guter  Näherung als inkompressibel betrachtet werden. In der Praxis werden Kompressibilitätseffekte meist nur bei höheren [[Strömungsgeschwindigkeit]]en berücksichtigt. Das ist u.&nbsp;a. von der [[Schallgeschwindigkeit]] in dem Gas abhängig<ref name=":0" />.
-:<math>\begin{align}
+Eine Grundbeobachtung der Strömungsmechanik ist, dass bei einer Verengung eines Strömungsquerschnitts kein Stau entsteht, sondern die durchfließende Menge pro Zeit an allen Orten der Strömung konstant ist. Diese Erfahrung wird mit der [[Kontinuitätsgleichung#Hydrodynamik|Kontinuitätsgleichung]] beschrieben, sie lautet in vereinfachter Form:
-\vec \nabla \cdot \vec v & = 0\\
-\Leftrightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} & = 0   \qquad \qquad (1)
-\end{align}</math>
-Dabei ist <math>\vec v = (v_x,v_y,v_z)</math> die [[Strömungsgeschwindigkeit]].
+:<math>\rho_1 \cdot v_1 \cdot A_1 = \rho_2 \cdot v_2 \cdot A_2  = \rho_3 \cdot v_3 \cdot A_3= konstant</math>
+:mit
+:<math>\rho </math> = Dichte
+:<math>v</math> = Strömungsgeschwindigkeit
+:<math>A</math> = Strömungsquerschnitt
-Diese Beziehung nennt man [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]<nowiki/>freiheit, da <math>\vec \nabla \cdot \vec v</math> die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit darstellt.
+Die Kontinuitätsgleichung besagt z.&nbsp;B., dass -&nbsp;bei einer Verringerung des Strömungsquerschnitts&nbsp;<math>A</math>&nbsp;- das strömende Fluid (Flüssigkeit oder Gas) auf zweierlei Weise reagiert. Das Fluid...
-Das Bild versucht diesen Zusammenhang zu verdeutlichen: Z.&nbsp;B. bewirkt eine beidseitige horizontale Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten <math>v_x</math> und <math>v_y</math> in das Volumenelement hinein eine gleichzeitige vertikale Strömung mit der Geschwindigkeitskomponente <math>v_z</math> aus dem Volumenelement hinaus.
+# ...beschleunigt sich auf eine höhere Geschwindigkeit&nbsp;<math>v</math>,
+# ...komprimiert sich auf eine höhere Dichte&nbsp;<math>\rho</math>
-Gleichung (1) wurde hergeleitet mit Hilfe der [[Kontinuitätsgleichung]]:
+In der Praxis überwiegt bei kleinen Geschwindigkeiten der 1.&nbsp;Effekt (Beschleunigung), erst bei höheren Geschwindigkeiten von strömender Luft wird der 2.&nbsp;Effekt (Kompressibilität) bedeutsam.
-::<math>{\partial \rho \over \partial t}
+Beschränkt man sich auf den 1.&nbsp;Effekt spricht man von einer inkompressiblen Strömung (<math>\rho = konstant, T = konstant</math>). Dann wird die Kontinuitätsgleichung zu einem direkten Zusammenhang von Querschnittsfläche&nbsp;<math>A</math> und Strömungsgeschwindigkeit&nbsp;<math>v</math>:
-  = - \nabla \cdot ( \rho \vec v )
-  = - \vec v \cdot \nabla \rho - \rho \nabla \cdot \vec v  \qquad \qquad  (2)</math>
-Für inkompressible Strömung bedeutet die Definition für ein Teilchen, dass sich seine Dichte nicht ändert:
+:<math>v_1 \cdot A_1 = v_2 \cdot A_2  = v_3 \cdot A_3= konstant</math>
-::<math>\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\rho(t,\mathbf x(t))
+Dieser Zusammenhang kann – je nach erforderlicher Genauigkeit – bei Strömungsgeschwindigkeiten bis etwa 1/3 der Schallgeschwindigkeit (z.&nbsp;B. Umströmung bei üblichen Windstärken, von Autos und Kleinflugzeugen) benutzt werden.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Leopold Böswirth, Sabine Bschorer |Titel=Technische Strömungslehre |Auflage=9. überarbeite |Verlag=Vieweg +Teubner Verlag {{!}} Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH |Ort=Wiesbaden |Datum=2012 |ISBN=978-3-8348-8647-7 |Seiten=266 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-8348-8647-7_11}}</ref> Darüber hinaus werden die Kompressibilitätseffekte immer größer und können nicht mehr vernachlässigt werden (z.&nbsp;B. Verkehrsflugzeuge, Militärjets, Raketen).
-  = {\partial \rho \over \partial t} + \vec v \cdot \nabla \rho
-  = 0  \qquad \qquad (3)</math>
-Der Vergleich von (2) und (3) führt unmittelbar zu Gleichung (1).
+== Einzelnachweise ==
+<references />
 {{SORTIERUNG:Inkompressibilitat}}
 [[Kategorie:Strömungsmechanik]]
 [[Kategorie:Thermodynamik]]