Induzierter Luftwiderstand

Schematische Darstellung von Auftriebsverteilung, Umströmung der Flügelenden und Randwirbel

Ein Körper, der einer Strömung eines Fluids ausgesetzt ist, erfährt einen Widerstand. Dieser Widerstand kann in einzelne Komponenten zerlegt werden, die verschiedene Ursachen haben.

Eine dieser Komponenten ist der induzierte Widerstand (auch: induzierter Luftwiderstand). Er wird durch nicht in Fluss- bzw. Bewegungsrichtung fließende Ausgleichsströmungen hervorgerufen, die durch strömungsbedingte Druckunterschiede entstehen. Der induzierte Widerstand geht additiv mit dem Oberflächenwiderstand (Reibung) und dem Formwiderstand (Stirnfläche) in den Gesamtwiderstand ein.

Anders als oft angenommen, entsteht der induzierte Widerstand bei Flugzeugen nicht nur an den Tragflächenenden, sondern an jeder Fläche, die Auftrieb erzeugt.

Induzierter Widerstand bei einem Flugzeug

Bei der Tragfläche eines Flugzeuges lässt sich der induzierte Widerstand besonders gut veranschaulichen. Das Flugzeug erzeugt dynamischen Auftrieb, indem es eine Tragfläche mit einem bestimmten Anstellwinkel durch die Luft bewegt. Dadurch entsteht oberhalb des Flügels relativer Unterdruck und unterhalb des Flügels relativer Überdruck. An den Enden der Flügel stoßen die Gebiete mit den unterschiedlichen Druckverhältnissen zusammen, und es findet eine ausgleichende Strömung vom Gebiet höheren Druckes zum Gebiet niedrigeren Druckes statt, also von der Unterseite zur Oberseite. Es entstehen an den Flügelenden zwei gegenläufige Randwirbel, die keinen Beitrag zum Auftrieb leisten. Die stete Erzeugung dieser Wirbel benötigt jedoch Energie und wird „induzierter Widerstand“ genannt. Der Widerstandsbeiwert ist bei optimaler Auftriebsverteilung (siehe unten) nur abhängig von der Flügelstreckung und vom Auftriebsbeiwert nach der Formel:

$ C_{W_{i}}={\frac {{C_{A}}^{2}}{\pi \Lambda }} $         ($ {C_{A}} $ ist der Auftriebsbeiwert, $ {\Lambda } $ ist die Streckung)

Der induzierte Widerstand kann auch in Form des zusätzlichen Anstellwinkels gegenüber den reinen Profildaten (mit Λ = ∞) angegeben werden:

$ \alpha _{\mathrm {ind} }={\frac {C_{A}}{\pi \Lambda }} $     (in rad)      oder      $ \alpha _{\mathrm {ind} }={\frac {C_{A}\cdot 57{,}3}{\pi \Lambda }} $     (in Winkelgrad °)

Der induzierte Widerstand hat bei Flugzeugen im Langsamflug einen Anteil von über 50 % am gesamten Widerstand.

Streckung

Der Luftstrom am äußersten Teil des Flügels wird durch die Ausgleichsströmung am meisten beeinflusst. Flügel mit einer großen Streckung erzeugen daher bei gleicher Fläche und gleichem Auftrieb umgekehrt proportional zur Streckung einen geringeren induzierten Widerstand als tiefe Flügel mit kleiner Streckung.

Reduktion des Profil-Auftriebsbeiwertes

Profilpolare sind immer als Flügel mit unendlicher Streckung aufgeführt. Der induzierte Widerstand kann auch in Form einer Auftriebsverminderung, und somit einer Leistungsreduktion angegeben werden.^[1] Die Formel lautet:

$ C_{a\,{\text{gestreckt}}}=C_{a\,{\text{Profilpolare}}}\cdot {\frac {\Lambda }{\Lambda +2}} $

Einfluss der Geschwindigkeit

Bei steigender Geschwindigkeit eines Flugzeuges im Horizontalflug wird der Anstellwinkel kleiner, da die Auftriebskraft immer das Flugzeuggewicht kompensieren muss und somit gleich bleibt. Aufgrund des geringeren Anstellwinkels ist der induzierte Widerstand dann geringer. Umgekehrt ist im Langsamflug, z. B. bei Start und Landung, der induzierte Widerstand am größten.

Auftriebsverteilung

Oswaldfaktor

Die Supermarine Spitfire hatte einen fast elliptischen Flügelgrundriss

Da der induzierte Widerstand quadratisch mit dem Auftriebsbeiwert steigt, soll der Auftriebsbeiwert möglichst konstant über der gesamten Tragfläche bleiben. Das Optimum entspricht einer elliptischen Auftriebsverteilung über die Spannweite. Der dazugehörende optimale Flügelgrundriss ist nur ungefähr elliptisch, da der Auftrieb nur ungefähr proportional zur Flügeltiefe ist (Re-Zahl-Änderung mit der Flügeltiefe). Dies lässt sich mathematisch aus der Prandtl'schen Traglinientheorie (nach Ludwig Prandtl) herleiten. In dieser Theorie wird die Strömung um den Tragflügel als Potentialströmung modelliert, und es werden noch einige Annahmen getroffen, die eine analytische Lösung des Problems ermöglichen.

Sobald der Flügel einen anderen Grundriss aufweist, beispielsweise einen rechteckigen oder spitzigen, erhöht sich der induzierte Widerstand. Der Oswaldfaktor kann als Formeffizienzfaktor betrachtet werden und ist somit immer kleiner als eins. Je höher der Oswaldfaktor, desto günstiger ist die Geometrie des Flügels. Im Idealfall (Ellipse) ist der Oswaldfaktor gleich eins. Üblicherweise liegt er im Bereich von 0,6 bis 0,9. Zur Optimierung der Auftriebsverteilung verwendet man konstruktive Varianten wie z. B. Schränkung, Zuspitzung, reduzierte Wölbung oder Winglets. Elliptische Tragflächengrundrisse sind teuer in der Herstellung und sind heutzutage in wenigen Hochleistungssegelflugzeugen zu finden, wie z.B. die SZD-55 und SZD-56. Einen guten Kompromiss zwischen Flugleistung und Baukosten stellt der trapezoidale Grundriss dar.

$ C_{W_{i}}={\frac {{C_{A}}^{2}}{\pi \Lambda e}} $      ($ e $ = Oswald-Faktor < 1)

Der Oswaldfaktor wird auch als Flügelwirkungsgrad oder Spannweitenwirkungsgrad bezeichnet.

k-Faktor

Zur Beschreibung des Einflusses einer beliebigen Auftriebsverteilung auf den induzierten Widerstand wurde auch der k-Faktor eingeführt. Mit diesem Faktor wird die Erhöhung des induzierten Widerstands zur optimalen elliptischen Auftriebsverteilung in einem Wert zusammengefasst. Er ist somit immer größer als eins. In älteren Publikationen findet man vorwiegend den Oswald-Faktor, während Publikationen der jüngeren Zeit den k-Faktor bevorzugen.

$ C_{W_{i}}={\frac {{C_{A}}^{2}}{\pi \Lambda }}k $      ($ k $ = k-Faktor > 1)

Beide Faktoren oder Betrachtungsweisen sind äquivalent. Der k-Faktor ist wie folgt definiert:

$ k={\frac {C_{Wi_{\text{real}}}}{C_{Wi_{\text{elliptisch}}}}}={\frac {1}{e}} $

Literatur

• Götsch, Ernst: Luftfahrzeugtechnik. Motorbuchverlag Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8
• Hermann Schlichting, Erich Truckenbrodt: Aerodynamik des Flugzeugs 2 (Klassiker der Technik). Springer Verlag Berlin 2001, ISBN 3-540-67375-X
• Peter Thiede: Aerodynamic drag reduction technologies. Springer, Berlin 2001, ISBN 978-3-540-41911-2.

Weblinks

• ABOUT WINGLETS, by Mark D. Maughmer (engl., gute Erklärung der Hintergründe; PDF-Datei; 137 kB)
• Induzierter Widerstand im RC-Network Modellbau-Wiki

Einzelnachweise