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Die Punktgruppe eines | Die [[Punktgruppe]] eines [[Kristall]]s heißt '''Holoedrie''' (Vollform), wenn sie mit der Punktgruppe seines [[Kristallgitter]]s übereinstimmt. Kristalle dieser Kristallklassen entwickeln die volle Anzahl an [[Kristallfläche|Flächen]]. Der Begriff Holoedrie wird daher hauptsächlich in der [[Mineralogie]] zur Beschreibung der [[Kristalltracht]] verwendet. | ||
== Holoedrien im dreidimensionalen Raum == | == Holoedrien im dreidimensionalen Raum == | ||
Im Dreidimensionalen gibt es sieben Holoedrien, die den sieben [[Kristallsystem|Gittersystemen]] (auch [[Bravais-Gitter|Bravais-Systeme]] oder Achsensysteme genannt) entsprechen. Jedes dieser Gittersysteme hat ein entsprechendes [[Achsenkreuz]], das durch Bedingungen an die Kristallachsen beschrieben werden kann. | |||
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! colspan="2"| Gittersystem | ! colspan="2"| Gittersystem | ||
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| rhomboedrisch | | [[rhomboedrisch]] | ||
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| hexagonal | | [[hexagonal]] | ||
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| ''a'' = ''b'' ≠ ''c'' | | ''a'' = ''b'' ≠ ''c'' | ||
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| ''m''{{overline|3}}''m'' | | ''m''{{overline|3}}''m'' | ||
| kubisch | | [[Kubisches Kristallsystem|kubisch]] | ||
| c | | c | ||
| ''a'' = ''b'' = ''c'' | | ''a'' = ''b'' = ''c'' | ||
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Da die Elementarzelle des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle [[Elementarzelle#Zur Problematik der unterschiedlichen Begriffe|Zelle]] ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung beschrieben. Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel ''β'' (im 2nd setting) jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen. | Da die [[Elementarzelle]] des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle [[Elementarzelle#Zur Problematik der unterschiedlichen Begriffe|Zelle]] ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als ''hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung'' beschrieben. | ||
Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel ''β'' (im ''2nd setting'') jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen. | |||
== Meroedrien == | |||
Die Struktur eines Kristalls wird beschrieben durch das Gitter und die [[Kristallstruktur #Basis|Basis]]. | |||
Im Allgemeinen erniedrigt die Basis die [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] des Gitters, so dass die Punktgruppe des Kristalls eine echte [[Untergruppe]] der Punktgruppe des Kristallgitters ist. In diesen Fällen heißt die Form '''Meroedrie''' (Teilform). Je nach dem Verhältnis der [[Gruppe (Mathematik)#Gruppenordnung|Ordnung]] der Punktgruppe des Kristalls zur Ordnung der Punktgruppe des Gitters kann man die Meroedrien unterteilen in: | |||
* '''Hemiedrien''' (halbe Ordnung) | |||
* '''Tetartoedrien''' (viertel Ordnung) | |||
* '''Ogdoedrien''' (achtel Ordnung). | |||
== Einteilung der | Wenn hingegen die Basis die Symmetrie des Gitters ''nicht'' erniedrigt, spricht man von einer Holoedrie. | ||
Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind. | |||
=== Einteilung der Punktgruppen nach Holoedrien und Meroedrien === | |||
Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten, dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind. | |||
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== Weitere | === Weitere Unterteilung === | ||
Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden: | Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden: | ||
* Hemimorphie: Wegnahme einer [[Symmetrieebene]] senkrecht zur Hauptachse; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Hemieder'' (Halbflächner) bezeichnet. | |||
* Hemimorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene senkrecht zur Hauptachse; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Hemieder'' (Halbflächner) bezeichnet. | |||
* Paramorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene parallel zur Hauptachse | * Paramorphie: Wegnahme einer Symmetrieebene parallel zur Hauptachse | ||
* Enantiomorphie: Wegnahme aller Symmetrieebenen und des | * [[Enantiomorphie]]: Wegnahme aller Symmetrieebenen und des [[Inversionszentrum]]s: es kommen nur [[Drehachse]]n vor | ||
* Hemiedrie 2. Art: Wegnahme des Inversionszentrums, Existenz von {{overline|n}} mit n gerade | * Hemiedrie 2. Art: Wegnahme des Inversionszentrums, Existenz von {{overline|n}} mit n [[gerade Zahl|gerade]] | ||
* Tetartoedrie 2. Art: Wegnahme von m oder 2 bei Hemiedrie 2. Art; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Tetartoeder'' (Viertelflächner) bezeichnet. | * Tetartoedrie 2. Art: Wegnahme von m oder 2 bei Hemiedrie 2. Art; der entsprechende Kristallkörper wird auch als ''Tetartoeder'' (Viertelflächner) bezeichnet. | ||
Daraus ergibt sich folgende detaillierte Zuordnung: | Daraus ergibt sich folgende detaillierte Zuordnung: | ||
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! align="left"| Gittersystem | ! align="left"| Gittersystem | ||
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== Literatur == | == Literatur == | ||
* D. Schwarzenbach | * {{Literatur |Autor=D. Schwarzenbach |Titel=Kristallographie |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2001 |Sprache=de |ISBN=3-540-67114-5 |Seiten=}} | ||
* {{Literatur | * {{Literatur |Autor=[[Will Kleber]], [[Hans-Joachim Bautsch]], [[Joachim Bohm (Kristallograph)|Joachim Bohm]], Detlef Klimm |Titel=Einführung in die Kristallographie |Auflage=19. |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag |Datum=2010 |ISBN=978-3-486-59075-3 |Seiten=}} | ||
* {{Literatur |Autor=S. Haussühl |Titel=Kristallgeometrie |Verlag=Verlag Chemie GmbH |Ort=Weinheim |Datum=1977 |Sprache=de |ISBN=3-527-21064-4 |Seiten=}} | |||
* {{Literatur |Hrsg=Theo Hahn |Titel=[[International Tables for Crystallography]] |Band=A |Verlag=D. Reidel publishing Company |Ort=Dordrecht |Datum=1983 |Sprache=en |ISBN=90-277-1445-2 |Seiten=}} | |||
* Hahn | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
* | * {{Internetquelle |url=https://dictionary.iucr.org/Holohedry |titel=Holohedry |hrsg=[[International Union of Crystallography]] (IUCR) |datum=2017-11-14 |abruf=2022-02-24 |sprache=en}} | ||
* | * {{Internetquelle |url=https://dictionary.iucr.org/Lattice_system |titel=Lattice system | hrsg=[[International Union of Crystallography]] (IUCR) |datum=2019-05-30 |abruf=2022-02-24 |sprache=en}} | ||
[[Kategorie:Kristallographie]] | [[Kategorie:Kristallographie]] | ||
Die Punktgruppe eines Kristalls heißt Holoedrie (Vollform), wenn sie mit der Punktgruppe seines Kristallgitters übereinstimmt. Kristalle dieser Kristallklassen entwickeln die volle Anzahl an Flächen. Der Begriff Holoedrie wird daher hauptsächlich in der Mineralogie zur Beschreibung der Kristalltracht verwendet.
Im Dreidimensionalen gibt es sieben Holoedrien, die den sieben Gittersystemen (auch Bravais-Systeme oder Achsensysteme genannt) entsprechen. Jedes dieser Gittersysteme hat ein entsprechendes Achsenkreuz, das durch Bedingungen an die Kristallachsen beschrieben werden kann.
| Holoedrie | Gittersystem | Gitterparameter | ||
|---|---|---|---|---|
| Name | Abkürzung | Basisvektoren | Winkel | |
| 1 | triklin / anorthisch | a | a ≠ b ≠ c | α ≠ β ≠ γ ≠ 90° |
| 2/m | monoklin | m | a ≠ b ≠ c | γ ≠ 90°, α = β = 90°; 1st setting |
| β ≠ 90°, α = γ = 90°; 2nd setting | ||||
| mmm | orthorhombisch | o | a ≠ b ≠ c | α = β = γ = 90° |
| 4/mmm | tetragonal | t | a = b ≠ c | α = β = γ = 90° |
| 3m | rhomboedrisch | r | a = b = c | α = β = γ ≠ 90° |
| 6/mmm | hexagonal | h | a = b ≠ c | α = β = 90°, γ = 120° |
| m3m | kubisch | c | a = b = c | α = β = γ = 90° |
Da die Elementarzelle des rhomboedrischen Gittersystems keine konventionelle Zelle ist (die Zellkanten verlaufen nicht parallel zu den Symmetrieachsen), wird dieses Gittersystem auch als hexagonales Gittersystem mit rhomboedrischer Zentrierung beschrieben.
Die Längen und Winkel sind dabei als Restriktionen aufzufassen. Im monoklinen Kristallsystem kann beispielsweise der Winkel β (im 2nd setting) jeden beliebigen Wert annehmen. Er kann also auch zufällig im Rahmen der Messgenauigkeit 90° betragen.
Die Struktur eines Kristalls wird beschrieben durch das Gitter und die Basis.
Im Allgemeinen erniedrigt die Basis die Symmetrie des Gitters, so dass die Punktgruppe des Kristalls eine echte Untergruppe der Punktgruppe des Kristallgitters ist. In diesen Fällen heißt die Form Meroedrie (Teilform). Je nach dem Verhältnis der Ordnung der Punktgruppe des Kristalls zur Ordnung der Punktgruppe des Gitters kann man die Meroedrien unterteilen in:
Wenn hingegen die Basis die Symmetrie des Gitters nicht erniedrigt, spricht man von einer Holoedrie.
Alle Punktgruppen, die keine Holoedrien sind, lassen sich als Meroedrien einer Holoedrie zuordnen. Dabei ist zu beachten, dass die trigonalen Punktgruppen zugleich Holoedrien und Meroedrien des rhomboedrischen als auch Meroedrien des hexagonalen Gittersystems sind.
| Gittersystem | Holoedrie | Hemiedrie | Tetartoedrie | Ogdoedrie |
|---|---|---|---|---|
| triklin / anorthisch | 1 | 1 | – | – |
| monoklin | 2/m | m, 2 | – | – |
| orthorhombisch | mmm | mm2, 222 | – | – |
| tetragonal | 4/mmm | 42m, 4mm, 422, 4/m | 4, 4 | – |
| rhomboedrisch | 3m | 3m, 32, 3 | 3 | – |
| hexagonal | 6/mmm | 6m2, 6mm, 622, 6/m; 3m | 6, 6; 3m, 32, 3 | 3 |
| kubisch | m3m | 43m, 432, m3 | 23 | – |
Die Meroedrien können noch je nach der Art der weggefallenen Symmetrieelemente weiter unterteilt werden:
Daraus ergibt sich folgende detaillierte Zuordnung:
| Gittersystem | Holoedrie | Hemimorphie | Paramorphie | Enantiomorphie | Hemiedrie 2. Art | Tetartoedrie | Tetartoedrie 2. Art |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| triklin / anorthisch | 1 | – | – | 1 | – | – | – |
| monoklin | 2/m | – | – | 2 | m | – | – |
| orthorhombisch | mmm | mm2 | – | 222 | – | – | – |
| tetragonal | 4/mmm | 4mm | 4/m | 422 | 42m | 4 | 4 |
| rhomboedrisch | 3m | 3m | 3 | 32 | – | 3 | – |
| hexagonal | 6/mmm | 6mm | 6/m | 622 | 6m2 | 6 | 6 |
| kubisch | m3m | – | m3 | 432 | 43m | 23 | – |
