Quelltext der Seite Gruppengeschwindigkeit

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[[Datei:Wave group.gif|mini|388px|Die grünen Punkte bewegen sich mit Gruppengeschwindigkeit,<br />der rote mit [[Phasengeschwindigkeit]].]]
Die '''Gruppengeschwindigkeit''' <math>v_\mathrm{g}</math> ist die [[Geschwindigkeit]], mit der sich die [[Einhüllende|Hüllkurve]] (d.&nbsp;h. der [[Amplitude]]n<nowiki />verlauf) eines [[Wellenpaket]]s fortbewegt:

:<math>v_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}</math>

also
* die [[partielle Ableitung]] <math>\frac{\partial}{\partial}</math>
** der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> der [[Welle]]
** nach der [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>.

== Zusammenhänge ==
=== mit der Phasengeschwindigkeit ===
Über eine [[Fourier-Reihe]] kann man sich ein Wellenpaket als eine [[Interferenz (Physik)|Überlagerung]] von Einzelwellen verschiedener [[Frequenz]]en vorstellen. Die Einzelwellen breiten sich jeweils mit einer bestimmten [[Phasengeschwindigkeit]] <math>v_\mathrm{p}</math> aus, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter [[Phasenwinkel|Phase]] bewegen:

:<math>v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \, f</math>

mit
* der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math>
* der [[Frequenz]] <math>f</math>.

Durch Einsetzen von <math>\omega = v_{\rm p} \cdot k</math> in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der [[Produktregel]] die '''Rayleighsche Beziehung''':

:<math>v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} + k \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}k}</math>

Mit der Wellenlänge <math>\lambda = 2\pi/k</math> lässt sie sich auch schreiben als:

:<math>v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}\lambda}</math>

=== mit der Dispersion ===
Die [[Dispersionsrelation]] <math>\omega(k)</math> beschreibt, wie <math>\omega</math> von <math>k</math> abhängt:
* ist <math>\omega</math> [[proportional]] zu <math>k</math>:

::<math>\frac{\omega}k = v_\mathrm{p} = \text{konst.}</math>
::<math>\Rightarrow \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial k} = \frac{\partial v_\mathrm{p}}{\partial \lambda} = 0</math>

: so ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit:

::<math>\Rightarrow v_\mathrm{p} = v_\mathrm{g}</math>

: und die Form der Einhüllenden bleibt erhalten.
* Wenn <math>\omega</math> ''nicht'' proportional zu <math>k</math> ist:

::<math>\frac{\omega}k = v_\mathrm{p} = \text{f}(f) \neq \text{konst.} \Rightarrow v_\mathrm{p} \neq v_\mathrm{g}</math>

: liegt [[Dispersion (Physik)|Dispersion]] vor. In diesem Fall verbreitert sich die Hüllkurve des Wellenpakets, während es sich ausbreitet, z.&nbsp;B. bei Signalen in [[Lichtwellenleiter]]n.

=== mit der Signalgeschwindigkeit ===
==== in praktisch verlustfreien Medien ====
Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die [[Signalgeschwindigkeit]] <math>v_s</math> vor, mit der das Wellenpaket [[Energie]] oder [[Information]] durch den Raum transportiert:

:<math>v_\mathrm{s} = v_\mathrm{g}</math>

Dies stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können:

==== in verlustbehafteten Medien ====
In verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit ''nicht'' identisch der Gruppengeschwindigkeit:

:<math>v_\mathrm{s} \neq v_\mathrm{g}</math>

Bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien kann die Phasengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Gruppengeschwindigkeit und sogar größer als die [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c_0</math> im Vakuum. [[Informationsübertragung]] mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] ist jedoch ''nicht'' möglich, da hierfür die [[Frontgeschwindigkeit]] entscheidend ist, die niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen kann:

:<math>v_\mathrm{s} = v_\mathrm{f} \leq c_0</math>

Die Frontgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die [[Wellenfront]]en (d.&nbsp;h. Flächen gleicher Amplitude) und Diskontinuitäten der Welle bewegen. Sie ist definiert als [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] der Phasengeschwindigkeit für unendlich große Kreiswellenzahl:

:<math>v_\mathrm{f} = \lim_{k \to \infty} v_\mathrm{p}</math>

== Weblinks ==
* GAP-Optique – Department of Physics University of Geneva Switzerland: {{webarchiv| url=http://www.gapoptique.unige.ch/HomeExtras/51-Quantum%20Optics1.pdf| wayback=20070401000615| text=Quantum Correlations With Moving Observers}} (engl.; PDF-Datei; 89&nbsp;kB)
* [http://vento.pi.tu-berlin.de/STROEMUNGSAKUSTIK/APPLETS/applets/gruppe.html Java-Animation] die Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit veranschaulicht

{{Navigationsleiste Wellengeschwindigkeit}}

[[Kategorie:Physikalische Größe]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Optik]]

[[fr:Vitesse d'une onde#Vitesse de groupe]]
[[nl:Voortplantingssnelheid#Fase- en groepssnelheid]]
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