Quelltext der Seite Gravitationstunnel

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[[Datei:Gravity elevator.gif|thumb|200px|In einem Schacht durch den Mittelpunkt der Erde pendelt eine Masse von Oberfläche zu Oberfläche.]]
Ein '''Gravitationstunnel''' ist ein [[Physikdidaktik|physikdidaktisches]] [[Gedankenexperiment]], bei dem sich ein Zug reibungsfrei und antriebslos in einem [[Tunnel]] durch die [[Erde]] bewegt. Bis zum tiefsten Punkt der Strecke beschleunigt die [[Gravitation]] den Zug und bremst ihn dann wieder ab. Gefragt ist nach der Reisezeit für einen geraden Tunnel durch den Mittelpunkt oder für eine [[Sekante]], oder auch nach dem Verlauf eines gekrümmten Tunnels für eine minimale Reisezeit. Üblicherweise wird dabei die Erde als [[Homogenität (Physik)|homogen]] und nicht rotierend angenommen.

Die Problemstellung wurde bereits von dem britischen Physiker [[Robert Hooke]] im 17. Jahrhundert in einem Brief an [[Isaac Newton]] beschrieben.<ref name="GraCass" /> Sie wird manchmal als Konzept eines Transportsystems aufgefasst statt als physikalische Rechenübung,<ref>{{lang|en|„''The idea seems so exciting that people tend to take it as a serious engineering project, rather than a Calculus/Physics exercise:-)'',“}} einschließlich des Smileys von [[Alexandre Eremenko]], auf seiner Seite [http://www.math.purdue.edu/~eremenko/dvi/gravsol.pdf ''Gravity Train Solution''] unten.</ref> wird aber überwiegend im Bereich Science Fiction angesiedelt,<ref name="GraCass">Kevin R. Grazier, Stephen Cass: ''Hollyweird Science: From Quantum Quirks to the Multiverse'', 2015, ISBN 3319150723, ab S. 125</ref> eine Realisierbarkeit ist mehr als fraglich.

== Kraftfeld ==
[[Datei:Potenzial ho 2d.png|mini|Das Potential eines zweidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators]]
Bei der Lösung der Aufgabe werden [[Newtonsches Gravitationsgesetz#Ausgedehnte Körper|Newtons Kugel- und Schalentheorem]] genutzt. Ersteres besagt, dass eine kugelsymmetrische Massenverteilung im Außenraum das gleiche Feld bewirkt als wäre die Masse im Zentrum konzentriert, letzteres, dass eine Kugelschale nicht zum Feld in ihrem Inneren beiträgt. Für eine Position des Zuges im  Abstand <math>\textstyle{r}</math> zum Mittelpunkt betrachtet man also nur die Masse innerhalb <math>\textstyle{r}</math>. Diese skaliert mit <math>\textstyle{r^3}</math>. Das Abstandsgesetz der Gravitation enthält <math>\textstyle{r^2}</math> im Nenner, die lokale [[Fallbeschleunigung]] ist also proportional zu <math>\textstyle{r}</math>. Der Proportionalitätsfaktor ist das Verhältnis <math>\textstyle{g/R}</math> der Werte an der Oberfläche.<ref name="eremenko">http://www.math.purdue.edu/~eremenko/train.html</ref>

Ein lineares Abstandsgesetz geht einher mit einem quadratischen [[Potential (Physik)|Potential]] und [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Schwingungen]].

== Lösungen ==
=== Schwingungen auf Geraden ===
In der Formel für die [[Kreisfrequenz]] der [[Federpendel|Federschwingung]],
:<math>\omega=\sqrt\frac Dm\, \approx 0,00124 \,\, \frac {1}{\textrm{s}}</math>
identifiziert man <math>\textstyle{D/m}</math> mit <math>\textstyle{g/R}</math> und erhält für die Schwingungsperiode
:<math>T = \frac {2\pi}\omega = 2\pi\sqrt\frac Rg \approx 5000\,\,\textrm{s.}</math>
Die Reisezeit beträgt eine halbe Schwingungsperiode, also etwa 42&nbsp;Minuten.

Da es sich um eine harmonische Schwingung handelt, ist die Periode unabhängig von der Schwingungsamplitude. Also ist die Reisezeit durch Planeten gleicher [[Dichte]] <math>\textstyle{\rho}</math> unabhängig vom Durchmesser <math>\textstyle{(\omega}</math> skaliert mit <math>\textstyle\sqrt g</math> also mit <math>\textstyle{\sqrt\rho).}</math>

Zudem gilt diese Periode nicht nur für Schwingungen entlang des Erddurchmessers, sondern entlang beliebiger Sekanten, was man leicht sieht, wenn man <math>\textstyle{r^2}</math> im Potential durch <math>\textstyle{x^2 + y^2}</math> ausdrückt: Für jeden Tunnel in <math>\textstyle{x}</math>-Richtung ist <math>\textstyle{y}</math> konstant und <math>\textstyle{y^2}</math> verschiebt nur den Nullpunkt des Potentials, ändert aber nicht dessen Form.

Schwingungen in <math>\textstyle{x}</math>- und <math>\textstyle{y}</math>-Richtung sind unabhängig voneinander und ergeben mit 90° Phasenverschiebung und gleicher Amplitude <math>\textstyle{R}</math> eine Kreisbahn an der Erdoberfläche.
:<math>v= R\omega \approx 7900\,\textrm{m/s}</math>
ist nicht nur die Geschwindigkeit auf dieser Kreisbahn, die [[Fluchtgeschwindigkeit (Raumfahrt)|erste kosmische Geschwindigkeit]], sondern auch die Maximalgeschwindigkeit beim [[Freier Fall|freien Fall]] quer durch die Erde.<ref name="MGard">Martin Gardner: ''Mathematical Puzzle Tales'', 2000, ISBN 088385533X.</ref><sup>&nbsp;S.&nbsp;96</sup>

=== Schnellste Bahnen ===
Für eine Kurzstrecke sind schnellere Verbindungen möglich. Die Aufgabe, die [[Brachistochrone]] zu finden, also die Bahnkurve für die schnellste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten an der Oberfläche, ist anspruchsvoller.<ref name="AMax">Amanda Maxham: Brachistochrone inside the Earth: The Gravity Train, UNLV Department of  Physics and Astronomy, September 26, 2008, http://www.physics.unlv.edu/~maxham/gravitytrain.pdf</ref> Die Lösung ist eine [[Zykloide|Hypozykloide]], also die Bahn eines Punktes auf dem Umfang eines Rades, das innen an der Erdoberfläche abrollt. Der Umfang des Rades muss gleich der Bogenlänge zwischen den beiden Punkten sein. Start und Ende der Bewegung erfolgen senkrecht im freien Fall.

Für 4800&nbsp;km (etwa London–Mekka) gibt Amanda Maxham für die Hypozykloide 27,4&nbsp;Minuten Reisezeit an.<ref name="AMax" /> Allerdings erreicht diese Hypozykloide eine Tiefe von über 1500&nbsp;km, während die Sekante bis auf 447&nbsp;km absinkt. Zum Vergleich: Die [[Kola-Bohrung]] mit etwa zwölf Kilometern Tiefe ist seit 1979 die tiefste Bohrung der Welt.

Kleine Hypozykloiden verlaufen näherungsweise an einer nicht gekrümmten Oberfläche, und dass dies Brachistochronen für den Fall des homogenen Feldes darstellen, fand bereits [[Johann I Bernoulli]] im Jahre 1696.

=== Inhomogene Massenverteilung ===
[[Datei:EarthGravityPREM.svg|miniatur|300px|Verlauf der Fallbeschleunigung nach dem PREM (blau) im Vergleich zur Näherung konstanter Dichte (dunkelgrün)]]
Die reale Massenverteilung der Erde beschreibt das [[PREM]]. Da der Erdkern eine weit höhere Dichte hat als der Mantel, ist die Näherung konstanter Dichte unrealistisch, siehe Abbildung. Die Näherung [[gleichmäßig beschleunigte Bewegung|konstanter Fallbeschleunigung]] (nicht eingezeichnet) ist offensichtlich besser. Damit ergibt sich eine Reisezeit von
:<math>T_{g=\mathrm{const}}= 2\sqrt\frac{2R}g \approx 38{,}0\,\,\mathrm{Minuten.}</math>
Alexander Klotz gibt für die Reisezeit basierend auf dem PREM 38,2&nbsp;Minuten an, numerisch ermittelt.<ref name="AKlotz">Alexander Klotz: ''Gravity tunnel in a non-uniform earth''. American Journal of Physics 83, 2015.</ref> Er merkt aber an, dass die originale Problemstellung mit konstanter Dichte lehrreicher sei.

== Rezeption ==
Im 19.&nbsp;Jahrhundert wurde der [[Académie des sciences|Pariser Akademie der Wissenschaften]] ernsthaft ein Konzept für einen Gravitationszug vorgeschlagen, aber dort nicht weiter beachtet. Vor allem in der zweiten Hälfte des 20.&nbsp;Jahrhunderts wurde das Konzept von einigen Wissenschaftlern wieder aufgegriffen und mathematisch formalisiert. In Unkenntnis der älteren Literatur<ref name="AKlotz" /> schlug Paul Cooper erneut Gravitationszüge als mögliches zukünftiges Transportsystem vor.<ref>Paul W. Cooper: ''Through the earth in forty minutes'', American Journal of Physics 34, 1966, S.&nbsp;68–70</ref> Der Artikel wurde von der Zeitschrift ''[[Time]]'' aufgegriffen und einem größeren Publikum vorgestellt.<ref name="Time">{{cite web |url= http://content.time.com/time/magazine/article/0,9171,842469,00.html | title= To Everywhere in 42 Minutes}}</ref><ref name="MGard" /><sup>&nbsp;S.&nbsp;99f</sup> Physik-Lehrbücher verwenden den ''Gravitrain'' als Übungsaufgabe.<ref>{{cite book|title=Gerthsen Physik|url=http://books.google.com/books?id=HKCnBgAAQBAJ&pg=PA1023|date=2. Juli 2013|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-662-07462-6|pages=1023}}</ref>
Weiterhin findet das Konzept des Gravitationstunnels in Werken der [[Science-Fiction]] Verwendung, physikalisch korrekt in [[Stephen Baxter]]s Buch ''Ultima'', mit groben physikalischen Fehlern im Film [[Total Recall (2012)|''Total Recall'']].

==Literatur==
*Paul W. Cooper: ''Through the earth in forty minutes'', American Journal of Physics 34, 1966, S.&nbsp;68–70.
*Alexander Klotz: ''Gravity tunnel in a non-uniform earth'', American Journal of Physics 83, 2015, S.&nbsp;231, [http://arxiv.org/abs/1308.1342 Arxiv]
*Alexander Klotz: ''A Guided Tour of Planetary Interiors'', Department of Physics, McGill University Montreal, 25. Mai 2015, [http://arxiv.org/pdf/1505.05894.pdf]

== Weblinks ==
* Maria Lubs: [http://www.spektrum.de/frage/wie-lange-dauert-es-quer-durch-die-erde-zu-fallen/1351530 Wie lange dauert es, quer durch die Erde zu fallen?] 

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gravitation]]
[[Kategorie:Gedankenexperiment]]
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