Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:Gravity gravita grave.gif| | [[Datei:Gravity gravita grave.gif|mini|Ein durch die [[Erdbeschleunigung]] gleichmäßig nach unten beschleunigter Ball]] | ||
Eine '''gleichmäßig beschleunigte Bewegung''' ist eine [[Bewegung (Physik)|Bewegung]], bei der die [[Beschleunigung]] bezüglich Stärke und Richtung konstant ist.<ref>Demtröder | Eine '''gleichmäßig beschleunigte Bewegung''' ist eine [[Bewegung (Physik)|Bewegung]], bei der die [[Beschleunigung]] bezüglich Stärke und Richtung konstant ist.<ref>[[Wolfgang Demtröder]]: ''Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme''. {{Google Buch |BuchID=wD453JJ6nusC |Seite=44}}.</ref> Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine ''geradlinige Bewegung'', wenn Beschleunigung und [[Anfangsgeschwindigkeit]] [[Kollinearität|kollinear]] sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine Parabel als [[Bahnkurve]]. Durch die Wahl eines [[Inertialsystem]]s, in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung zu null wird, erhält man die [[gleichförmige Bewegung]]. | ||
Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind der [[Freier Fall|freie Fall]] oder der [[Wurfparabel|schräge Wurf]] ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes. | Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind der [[Freier Fall|freie Fall]] oder der [[Wurfparabel|schräge Wurf]] ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes. | ||
== Gesetze == | == Gesetze == | ||
[[ | [[Datei:Strecke und konstante Beschleunigung.png|mini|Ablesen der Beschleunigung a bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung im [[Steigungsdreieck]].]] | ||
Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des [[Geschwindigkeit | Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des [[Geschwindigkeit]]s- und des Beschleunigungsvektors durch das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] auszudrücken. Eine Richtung (meist die Bewegungsrichtung) wird als positiv ausgezeichnet, die Gegenrichtung als negativ. | ||
Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze: | Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze: | ||
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! colspan="6" | Gleichmäßig beschleunigte Bewegung | ! colspan="6"| Gleichmäßig beschleunigte Bewegung | ||
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erhält man bei konstanter Beschleunigung durch [[Integralrechnung|Integration]] eine linear von der Zeit abhängige Geschwindigkeit: | erhält man bei konstanter Beschleunigung durch [[Integralrechnung|Integration]] eine linear von der Zeit abhängige Geschwindigkeit: | ||
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wobei <math>\vec{v}_{0}</math> die [[Integrationskonstante]] ist, welche die Anfangsgeschwindigkeit beinhaltet. | wobei <math>\vec{v}_{0}</math> die [[Integrationskonstante]] ist, welche die Anfangsgeschwindigkeit beinhaltet. | ||
Die Geschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der [[Ortsvektor|Position]] nach der Zeit: | |||
: <math>\dot{\vec{s}}=\vec{v}=\vec{a} t + \vec{v}_{0} </math> | :<math>\dot{\vec{s}}=\vec{v}=\vec{a} t + \vec{v}_{0}.</math> | ||
Durch anschließende Integration erhält man das [[Weg-Zeit-Gesetz]]: | Durch anschließende Integration erhält man das [[Weg-Zeit-Gesetz]]: | ||
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\vec{s}(t) = \frac{\vec{a}}{2} t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{s}_0 \text{,} | |||
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wobei <math>\vec{s}_0</math> die Anfangsposition ist. | wobei <math>\vec{s}_0</math> die Anfangsposition ist. | ||
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|<math> | |<math>\begin{align} | ||
\begin{align} | |||
&\vec{v}(t) = \vec{a} t + \vec{v}_0 \\ | &\vec{v}(t) = \vec{a} t + \vec{v}_0 \\ | ||
&\vec{s}(t) = \frac{\vec{a}}{2} t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{s}_0 | &\vec{s}(t) = \frac{\vec{a}}{2} t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{s}_0 | ||
\end{align} | \end{align}</math> | ||
</math> | |||
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== Weblinks == | |||
{{Wikibooks|Formelsammlung Physik: Klassische Mechanik|Formelsammlung Klassische Mechanik}} | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> | ||
[[Kategorie:Kinematik]] | [[Kategorie:Kinematik]] | ||
Aktuelle Version vom 27. März 2021, 18:17 Uhr
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsweg null: Aufgetragen sind Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktionen der Zeit.
Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung konstant ist.[1] Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine geradlinige Bewegung, wenn Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine Parabel als Bahnkurve. Durch die Wahl eines Inertialsystems, in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung zu null wird, erhält man die gleichförmige Bewegung.
Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind der freie Fall oder der schräge Wurf ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes.
Gesetze
Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Eine Richtung (meist die Bewegungsrichtung) wird als positiv ausgezeichnet, die Gegenrichtung als negativ.
Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze:
| Gleichmäßig beschleunigte Bewegung | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Skalarform | Vektorform | ||||
| notwendige Bedingung | $ a={\text{const.}} $ | $ {\vec {a}}={\text{const.}} $ | |||
| Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz | $ v(t)={\dot {s}}(t)=at+v_{0} $ | $ {\vec {v}}(t)={\dot {\vec {s}}}(t)={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0} $ | |||
| Weg-Zeit-Gesetz | $ s(t)={\frac {a}{2}}t^{2}+v_{0}t+s_{0} $ | $ {\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0} $ | |||
| verwendete Formelzeichen | |||||
| $ a,{\vec {a}} $ | Beschleunigung | $ \left[{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right] $ | $ {\begin{aligned}{\vec {a}}&={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {s}}}(t)\end{aligned}} $ | ||
| $ s(t),{\vec {s}}(t) $ | Position zum Zeitpunkt $ t $ | $ \left[{\text{m}}\right] $ | |||
| $ s_{0},{\vec {s}}_{0} $ | Anfangsposition (Anfangsweg) zum Zeitpunkt $ t=0 $ | $ \left[{\text{m}}\right] $ | $ {\vec {s}}_{0}={\vec {s}}(t=0) $ | ||
| $ t $ | Zeit | $ \left[{\text{s}}\right] $ | |||
| $ v(t),{\vec {v}}(t) $ | Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $ t $ | $ \left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right] $ | $ {\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {s}}}(t) $ | ||
| $ v_{0},{\vec {v}}_{0} $ | Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $ t=0 $ | $ \left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right] $ | $ {\vec {v}}_{0}={\vec {v}}(t=0) $ | ||
Herleitung
Aus $ {\dot {\vec {v}}}={\vec {a}} $
erhält man bei konstanter Beschleunigung durch Integration eine linear von der Zeit abhängige Geschwindigkeit:
- $ {\vec {v}}={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0} $,
wobei $ {\vec {v}}_{0} $ die Integrationskonstante ist, welche die Anfangsgeschwindigkeit beinhaltet.
Die Geschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Position nach der Zeit:
- $ {\dot {\vec {s}}}={\vec {v}}={\vec {a}}t+{\vec {v}}_{0}. $
Durch anschließende Integration erhält man das Weg-Zeit-Gesetz:
- $ {\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}{\text{,}} $
wobei $ {\vec {s}}_{0} $ die Anfangsposition ist.
Die Gleichungen für die Geschwindigkeit sowie die Position lauten somit:
|
Weblinks
Wikibooks: Formelsammlung Klassische Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien
Einzelnachweise
- ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
en:Acceleration#Uniform acceleration it:Equazione del moto
