Galilei-Transformation

Die Galilei-Transformation, benannt nach Galileo Galilei, ist die einfachste Koordinatentransformation, mit der physikalische Aussagen von einem Bezugssystem in ein anderes umgerechnet werden können. Sie ist anwendbar, wenn die beiden Bezugssysteme sich durch eine geradlinig-gleichförmige Bewegung, Drehung und/oder eine Verschiebung in Raum oder Zeit unterscheiden. Alle Beobachtungen von Strecken, Winkeln und Zeitdifferenzen stimmen in beiden Bezugssystemen überein; alle beobachteten Geschwindigkeiten unterscheiden sich um die konstante Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme.

Die Galilei-Transformation ist grundlegend für die klassische Mechanik, denn sie beschreibt dort die Transformation zwischen zwei Inertialsystemen. Bezüglich der Hintereinanderausführung bilden die Galilei-Transformationen eine Gruppe, die Galilei-Gruppe. Nach dem Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik müssen die Naturgesetze bezüglich dieser Gruppe kovariant sein.

Im Bereich des Elektromagnetismus ist die Galilei-Transformation nicht anwendbar, sondern muss durch die Lorentz-Transformation ersetzt werden. Dies bildete historisch den Ausgangspunkt für die spezielle Relativitätstheorie.

Galilei-Transformation

Die Galilei-Transformation besteht aus folgenden Einzeltransformationen, die miteinander kombiniert werden können:

Translation in der Zeit (1 Parameter): $t\rightarrow t+b$
Translation im Raum (3 Parameter): ${\vec {r}}\rightarrow {\vec {r}}+{\vec {a}}$
Drehung mit der orthogonalen Drehmatrix A (3 Parameter): ${\vec {r}}\rightarrow A{\vec {r}}$
Transformation auf ein Bezugssystem mit gleichförmiger Relativgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ (3 Parameter): ${\vec {r}}\rightarrow {\vec {r}}+{\vec {v}}\cdot t$

Hierbei wurde die Vektor-Schreibweise verwendet: ${\vec {r}}$ bezeichnet den Ortsvektor und $$ t $$ die Zeit. Insgesamt gibt es für eine Zeit- und drei Raumdimensionen 10 Parameter.
Für $b=0,{\vec {v}}={\vec {0}}$ stellt der räumliche Teil der Galilei-Transformation mit 6 übrigen freien Parametern die eigentliche euklidische Gruppe $\mathrm {E} ^{+}(3)$ dar. Die Elemente aus $\mathrm {E} ^{+}(3)$ werden dabei als räumliche Koordinatentransformationen aufgefasst (passive oder Alias-Transformation).

Gültigkeitsgrenze der Galilei-Transformation

Klassische Mechanik

Die Unabhängigkeit der Gesetze der Mechanik vom Bewegungszustand bei gleichförmiger Bewegung wurde zuerst von Galileo Galilei erkannt und von Isaac Newton in seinem Buch Principia formuliert. Kräfte sind bei Newton nur von den Beschleunigungen abhängig, und Beschleunigungen ändern sich unter Galilei-Transformationen nicht. Geschwindigkeiten transformieren sich nach dem üblichen vektoriellen Additionsgesetz. Die Gesetze der klassischen Mechanik sind unter Galileitransformationen invariant oder kovariant (Galileisches Relativitätsprinzip). Man hielt dies lange Zeit für a priori gegeben und unangreifbar.

Lorentz-Transformation

Die Elektrodynamik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts ging von einem Äther als Träger elektromagnetischer Wellen einschließlich des Lichts aus. Die Maxwellschen Gleichungen und die daraus resultierende konstante Lichtgeschwindigkeit c als Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen waren jedoch nicht vereinbar mit der Galilei-Transformation.

Ein weiteres Beispiel ist ein geladener Körper, der an einem stromdurchflossenen Leiter vorbeifliegt:

Ladung und Leiter

Ladung q und Leiter mit Strom j. Diese Konfiguration ist nicht Galilei-transformierbar.

Eine Ladung q fliegt mit der anfänglichen Geschwindigkeit v an einem geraden stromdurchflossenen, aber ladungsneutralen Leiter vorbei (siehe Bild). Der Strom im Leiter erzeugt ein Magnetfeld, welches die bewegte Ladung q durch die Lorentz-Kraft von ihrer geradlinigen Bewegung ablenkt. Führt man nun eine Galilei-Transformation in ein Inertialsystem durch, in dem die Ladung ruht, so wirkt in diesem System keine Lorentz-Kraft auf die Ladung. Erklärt werden kann dieses scheinbare Paradoxon erst mit der Lorentz-Transformation, bei der sich die Länge des Leiters im Inertialsystem der Ladung verkürzt und der Leiter somit eine relative elektrische Ladung erhält,^[1] was zu einem elektrischen Feld führt.

Hendrik Antoon Lorentz, Joseph Larmor und Henri Poincaré untersuchten Ende des 19. Jahrhunderts die Elektrodynamik bewegter Körper und erkannten, dass man diese Probleme lösen könne, indem man die Galilei-Transformation durch die Lorentz-Transformation ersetzt. Dies führte schließlich zur speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein, welche allerdings eine Modifikation der Vorstellungen von Zeit und Raum erforderte.

Für Geschwindigkeiten, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit von ca. 300.000 km/s sind, ist die Galilei-Transformation meist eine gute Näherung der Lorentz-Transformation. Die Galilei-Transformation ist der Grenzfall der Lorentz-Transformation für kleine Geschwindigkeiten.

Praktische Anwendung

Im Alltagsleben kann bei mechanischen Problemen fast immer die Galilei-Transformation angewendet werden, da die Korrektur in der Lorentz-Transformation bei irdischen Geschwindigkeiten sehr klein ist. Der Korrekturfaktor liegt oft unterhalb der Messbarkeitsgrenze; selbst in der Himmelsmechanik unseres Planetensystems liegt er z. B. unter 10⁻⁸ für die schon recht große Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne (etwa 30 km/s).

Daher gilt die Galilei-Transformation beispielsweise beim Berechnen der Abdrift eines Schiffs oder Flugzeugs. Auch bei den in der Kernphysik betrachteten Stoßprozessen genügt sie zur Umrechnung zwischen Labor- und Schwerpunktsystem meistens (siehe Kinematik (Teilchenprozesse)). Nicht anwendbar ist sie jedoch auf elektrodynamische Phänomene.

Verwendung der Galilei-Transformation bei der Ableitung der Stoßgesetze durch Huygens

Eine historisch wichtige Anwendung der Galileischen Relativitätstheorie, also der Nutzung der Tatsache, dass die physikalische Beschreibung in unterschiedlichen, durch Galilei-Transformation verbundenen Bezugssystemen gleich ist, ist die korrekte Ableitung der Gesetze des Elastischen Stosses von Christian Huygens (1650er Jahre, veröffentlicht 1669 und 1703 in seinem De Motu Corporum). Er korrigierte dabei die überwiegend falsche Darstellung bei René Descartes, der aber immerhin die richtige Idee hatte, bei der Analyse von Erhaltungsgrößen auszugehen (bei Descartes noch fälschlich $\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot |v_{i}|$ mit den Beträgen der Geschwindigkeiten). Richtig lag Descartes nur beim Fall des Stosses gleicher Massen mit gleichen aber entgegengesetzten Geschwindigkeiten der Teilchen 1,2 vor ( $v_{1},v_{2}$ ) und nach dem Stoß ( $u_{1},u_{2}$ ), wobei die Bewegung in einer Dimension betrachtet wird:

(v_{1},v_{2})=(v,-v)\rightarrow (u_{1},u_{2})=(-v,v)

Seine übrigen Ergebnisse waren falsch.^[2] Huygens brachte als wesentliches neues Element die Betrachtung von einem anderen, mit konstanter Geschwindigkeit $$ w $$ bewegten Bezugssystem, einem Boot bzw. einem Mann am Ufer, der Stoßexperimente im Boot beobachtet (in einem Bild in Huygens Buch als Stoß zweier Pendelkugeln am ausgestreckten Arm zweier Männer skizziert, von denen einer im Boot ist und der andere am Ufer, dort aber genau die von ihm wahrgenommene Bewegung der Kugeln im Boot nachvollzieht):

Diskussion des Stoßgesetzes nach Huygens

(v_{1},v_{2})=(v+w,-v+w)\rightarrow (u_{1},u_{2})=(-v+w,v+w)

Wählt man z. B. $$ v=w $$ erhält man:

(v_{1},v_{2})=(2v,0)\rightarrow (u_{1},u_{2})=(0,2v)

wofür Descartes das falsche Ergebnis $(2v,0)\rightarrow (-{\frac {3v}{2}},{\frac {v}{2}})$ erhalten hatte. Huygens erhielt dagegen mit Hilfe des Galileischen Relativitätsprinzips das korrekte Ergebnis, dass die eine Kugel stoppt und ihren Impuls vollständig auf die andere, vorher ruhende Kugel überträgt. Huygens konnte auch andere Fälle durch geeignete Wahl von $$ w $$ behandeln. Allgemein lässt sich in heutiger Begriffsbildung zeigen, dass er das Gesetz der Erhaltung des Impulses beim elastischen Stoß bewies, wobei er den Impuls im Gegensatz zu Descartes korrekt mit Vorzeichen behandelte und die Erhaltung der kinetischen Energie benutzte (bei Huygens indirekt formuliert als eine Bedingung des elastischen Stosses).^[3] Verwendet man heutige Begriffe, kann dies einfach durch Betrachtung der Erhaltung der kinetischen Energie in einem mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Bezugssystem gezeigt werden (die Vorfaktoren ${\frac {1}{2}}$ sind weggelassen):

\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot {(v_{i}+w)}^{2}=\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot {(u_{i}+w)}^{2}

Multipliziert man aus und verwendet den Energiesatz im ruhenden System

\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot {(v_{i})}^{2}=\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot {(u_{i})}^{2}

folgt der Impuls-Erhaltungssatz:

\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot v_{i}=\sum _{i=1}^{2}m_{i}\cdot u_{i}

Huygens Verwendung des Relativitätsprinzips ist in dem Buch von Ernst Mach über die Entwicklung der Mechanik herausgestellt, das Albert Einstein nachweislich stark beeinflusste und hat so möglicherweise dessen Verwendung von Bezugssystemen angeregt.^[4]