Froude-Zahl: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 17. Mai 2021, 19:24 Uhr

Physikalische Kennzahl

Name

Froude-Zahl

{\mathit {Fr}}

Dimension

dimensionslos

Definition

{\mathit {Fr}}={\frac {v}{\sqrt {gL}}}\quad {\text{oder}}\quad {\mathit {Fr}}^{\prime }={\frac {v^{2}}{gL}}

$$ v $$	Strömungsgeschwindigkeit
$$ g $$	Schwerebeschleunigung
$$ L $$	charakteristische Länge

Benannt nach

William Froude

Anwendungsbereich

Strömungen mit freier Oberfläche

Die Froude-Zahl (Formelzeichen: Fr) ist eine dimensionslose Kennzahl der Physik. Sie ist nach William Froude (1810–1879) benannt und stellt ein Maß für das Verhältnis von Trägheitskräften zu Schwerekräften innerhalb eines hydrodynamischen Systems dar. Sie spielt beispielsweise in der Hydrodynamik bei Einfluss der freien Flüssigkeitsoberfläche eine Rolle und wird zur Beschreibung von Strömungen in offenen Gerinnen oder von Bugwellen von Schiffen verwendet. Die Froude-Zahl ist neben der Reynolds-Zahl einer der Koeffizienten der dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichung.

Definition

Für die Froude-Zahl werden aus historischen Gründen zwei Definitionen angewendet.

{\mathit {Fr}}={\frac {v}{\sqrt {gL}}}

oder deren Quadrat

{\mathit {Fr}}^{\prime }={\frac {v^{2}}{gL}}

jeweils mit

einer charakteristischen Strömungsgeschwindigkeit v
einer charakteristischen Länge L
der Schwerebeschleunigung g.

Hinter beiden Definitionen steht derselbe physikalische Zusammenhang. Bei der Anwendung der Froude-Zahl ist zu beachten, welche Definition verwendet wurde.

Froude-Zahl bei offenen Gerinnen

Setzt man für die charakteristische Länge L die Wassertiefe eines offenen Gerinnes ein, so beschreibt die Froude-Zahl das Verhältnis von Fließgeschwindigkeit $v_{\text{fl}}$ und der Ausbreitungsgeschwindigkeit $v_{\text{ausbr}}$ einer Flachwasserwelle:

Fr={\frac {v_{\text{fl}}}{v_{\text{ausbr}}}}

Hierdurch wird der Strömungszustand eines offenen Gerinnes charakterisiert:

Ruhender Strömungszustand ( $Fr=0\ \Leftrightarrow \ v_{\text{fl}}=0$ ): Eine Störung (z. B. eine Welle, die entsteht, wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird) breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen, also kreisförmig aus. Die beschreibende Differentialgleichung nennt man elliptisch (Sonderfall des strömenden Zustandes). Beispiel: See.
Strömender Strömungszustand ( $Fr<1\ \Leftrightarrow \ v_{\text{fl}}<v_{\text{ausbr}}$ ): Störungen breiten sich sowohl stromaufwärts als auch stromabwärts aus. Die Wellenausbreitung zeigt ein parabelförmiges Muster. Die Strömung wird durch eine parabolische Differentialgleichung beschrieben. Beispiel: Fluss.
Grenzabfluss / kritischer Abfluss ( $Fr=1\ \Leftrightarrow \ v_{\text{fl}}=v_{\text{ausbr}}$ ): Wellen können sich nicht mehr gegen die Strömung fortpflanzen. Die nach Oberstrom gerichtete Wellenfront bleibt an der Stelle der Störung „stehen“ (analog zur Schallmauer). In diesem Zustand kann beim vorliegenden Energieniveau die größtmögliche Wassermenge abgeführt werden. Im Wasserbau wird dies als Abflusskontrolle ausgenutzt. Beispiel: Überströmung eines Wehres.
Schießender Strömungszustand ( $Fr>1\ \Leftrightarrow \ v_{\text{fl}}>v_{\text{ausbr}}$ ): Eine Störung breitet sich jetzt nur stromabwärts aus. Ausbreitungsmuster und zugehörigere Differentialgleichung werden hyperbolisch genannt, Beispiel: Gebirgsbach.

Zusammenhänge für Schiffsmodellversuche

Wenn Kräfte infolge Viskosität nur einen untergeordneten Einfluss haben, kann man mit Hilfe der Ähnlichkeitstheorie das Verhalten eines Schiffes an der Flüssigkeitsoberfläche im Modellversuch darstellen. Damit sich bei solchen Untersuchungen am Schiffsmodell bezüglich der Wellen vergleichbare Strömungsverhältnisse wie beim Original einstellen, muss die Froude-Zahl von Original und Modell übereinstimmen. Das ist der Fall, wenn das Verhältnis der Länge zum Quadrat der Geschwindigkeit identisch ist. Die unterschiedlichen Messgrößen lassen sich dann wie folgt umrechnen:

Längen mit dem Längenmaßstab
Zeiten mit der Quadratwurzel aus dem Längenmaßstab
Kräfte mit der dritten Potenz des Längenmaßstabs (gleiche Dichte des Fluids vorausgesetzt)
Beschleunigungen sind in Modell und Großausführung gleich.

Weblinks

Siehe auch

Dimensionsanalyse
Flachwassereffekt

Literatur

Jürgen Zierep: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.

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-{{Infobox Kennzahl
+{{Infobox Physikalische Kennzahl
 | Name              = Froude-Zahl
 | Formelzeichen     = <math>\mathit{ Fr }</math>
 | Dimension         = [[Dimensionslose Kennzahl|dimensionslos]]
-| Definition        = <math>\mathit{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g L}}\text{  oder  }\mathit{Fr}^\prime = \frac{v^2}{g L}</math>
+| Definition        = <math>\mathit{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g L}} \quad \text{oder} \quad \mathit{Fr}^\prime = \frac{v^2}{g L}</math>
 | Größentabelle     = <math> v </math>= Strömungsgeschwindigkeit ,<math> g </math>= [[Schwerebeschleunigung]] ,<math> L </math>= [[charakteristische Länge]]
 | BenanntNach       = [[William Froude]]
 | Anwendungsbereich = Strömungen mit freier Oberfläche
 }}
-Die '''Froude-Zahl''' ([[Formelzeichen]]: ''Fr'') ist eine [[Dimensionslose Kennzahl|dimensionslose Kennzahl]] der [[Physik]]. Sie ist nach [[William Froude]] (1810–1879) benannt und stellt ein Maß für das Verhältnis von [[Trägheit]]skräften zu [[Gewichtskraft|Schwerekräften]] innerhalb eines [[Hydrodynamik|hydrodynamischen]] Systems dar. Sie spielt beispielsweise in der Hydrodynamik bei Einfluss der freien Flüssigkeitsoberfläche eine Rolle und wird zur Beschreibung von [[Strömungen in offenen Gerinnen]] oder von [[Bugwelle]]n von Schiffen verwendet. Die Froude-Zahl ist neben der [[Reynolds-Zahl]] eine der Koeffizienten der dimensionslosen [[Navier-Stokes-Gleichung]].
+Die '''Froude-Zahl''' ([[Formelzeichen]]:&nbsp;''Fr'') ist eine [[dimensionslose Kennzahl]] der [[Physik]]. Sie ist nach [[William Froude]]&nbsp;(1810–1879) benannt und stellt ein Maß für das Verhältnis von [[Trägheit]]s<nowiki/>kräften zu [[Gewichtskraft|Schwerekräften]] innerhalb eines [[Hydrodynamik|hydrodynamischen]] Systems dar. Sie spielt beispielsweise in der Hydrodynamik bei Einfluss der [[Freie Oberfläche (Strömungslehre)|freien Flüssigkeitsoberfläche]] eine Rolle und wird zur Beschreibung von [[Strömungen in offenen Gerinnen]] oder von [[Bugwelle]]n von Schiffen verwendet. Die Froude-Zahl ist neben der [[Reynolds-Zahl]] einer der Koeffizienten der dimensionslosen [[Navier-Stokes-Gleichung]].
 == Definition ==
 Für die Froude-Zahl werden aus historischen Gründen zwei Definitionen angewendet.
-: <math>\mathit{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g L}}</math>&nbsp; &nbsp;oder dessen [[Quadrat (Mathematik)|Quadrat]]&nbsp; &nbsp;<math>\mathit{Fr}^\prime = \frac{v^2}{g L}</math>
+: <math>\mathit{Fr} = \frac{v}{\sqrt{g L}}</math>&nbsp; &nbsp;oder deren [[Quadrat (Mathematik)|Quadrat]]&nbsp; &nbsp;<math>\mathit{Fr}^\prime = \frac{v^2}{g L}</math>
-Hinter beiden Ausdrücken steht derselbe physikalische Zusammenhang. Bei der Anwendung der Froude-Zahl ist zu beachten, welche Definition verwendet wurde.
+jeweils mit
+* einer charakteristischen [[Strömungsgeschwindigkeit]]&nbsp;''v''
+* einer [[charakteristische Länge|charakteristischen Länge]]&nbsp;''L''
+* der [[Schwerebeschleunigung]]&nbsp;''g''.
-In die Froude-Zahl geht eine charakteristische [[Strömungsgeschwindigkeit]] ''v'', eine [[charakteristische Länge]] ''L'' und die [[Schwerebeschleunigung]] ''g'' ein.
+Hinter beiden Definitionen steht derselbe physikalische Zusammenhang. Bei der Anwendung der Froude-Zahl ist zu beachten, welche Definition verwendet wurde.
 == Froude-Zahl bei offenen Gerinnen ==
-Setzt man für die charakteristische Länge ''L'' die Wassertiefe eines [[Offenes Gerinne|offenen Gerinnes]] ein, beschreibt die Froude-Zahl das Verhältnis von [[Fließgeschwindigkeit]] und der [[Phasengeschwindigkeit|Ausbreitungsgeschwindigkeit]] einer [[Welle]] (genauer: einer [[Flachwasserwelle]]). Hierdurch wird der Strömungszustand eines offenen Gerinnes charakterisiert.
+Setzt man für die charakteristische Länge&nbsp;''L'' die Wassertiefe eines [[Offenes Gerinne|offenen Gerinnes]] ein, so beschreibt die Froude-Zahl das Verhältnis von [[Fließgeschwindigkeit]] <math>v_\text{fl}</math> und der [[Phasengeschwindigkeit|Ausbreitungsgeschwindigkeit]] <math>v_\text{ausbr}</math> einer [[Wasserwelle #Flachwasserwelle|Flachwasserwelle]]:
-* ''Ruhender Strömungszustand'' (''Fr'' = 0): Eine Störung (z. B. eine Welle, die entsteht, wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird) breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen, also kreisförmig aus. Die beschreibende [[Differentialgleichung]] nennt man elliptisch (Sonderfall des strömenden Zustandes). Beispiel: [[See (Gewässer)|See]].
+:<math>Fr = \frac{v_\text{fl}}{v_\text{ausbr}}</math>
-* ''Strömender Strömungszustand'' (''Fr'' &lt; 1): Störungen breiten sich sowohl stromaufwärts als auch stromabwärts aus. Die Wellenausbreitung zeigt ein parabelförmiges Muster. Die Strömung wird durch eine [[parabolische Differentialgleichung]] beschrieben. Beispiel: [[Fluss]].
-* ''Grenzabfluss / kritischer Abfluss'' (''Fr'' = 1): Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit stimmt nun genau mit der Fließgeschwindigkeit überein. Wellen können sich nicht mehr gegen die Strömung fortpflanzen. Die nach Oberstrom gerichtete Wellenfront bleibt an der Stelle der Störung „stehen“ (Analogie zur [[Schallmauer]]). In diesem Zustand kann die größtmögliche Wassermenge beim vorliegenden Energieniveau abgeführt werden. Im [[Wasserbau]] wird dies als Abflusskontrolle ausgenutzt. Beispiel: Überströmung eines [[Wehr (Wasserbau)|Wehres]].
-* ''Schießender Strömungszustand'' (''Fr'' &gt; 1): Die Fließgeschwindigkeit übersteigt jetzt die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Eine Störung breitet sich jetzt nur stromabwärts aus. Ausbreitungsmuster und zugehörigere Differentialgleichung werden hyperbolisch genannt, Beispiel: [[Gebirgsbach]].
-== Zusammenhänge für Schiffsmodelle ==
+Hierdurch wird der Strömungszustand eines offenen Gerinnes charakterisiert:
-Um bei Untersuchungen an einem Schiffsmodell bezüglich der Wellen vergleichbare Strömungsverhältnisse wie beim Original einzustellen, muss die Froude-Zahl von Original und Modell übereinstimmen. Das ist der Fall, wenn das Verhältnis der Länge zum Quadrat der Geschwindigkeit identisch ist.
+* ''Ruhender Strömungszustand'' (<math>Fr = 0 \ \Leftrightarrow \ v_\text{fl} = 0</math>): Eine Störung (z.&nbsp;B. eine Welle, die entsteht, wenn ein Stein ins Wasser geworfen wird) breitet sich gleichmäßig in alle Richtungen, also kreisförmig aus. Die beschreibende [[Differentialgleichung]] nennt man [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptisch]] (Sonderfall des strömenden Zustandes). Beispiel: [[See]].
+* ''Strömender Strömungszustand'' (<math>Fr < 1 \ \Leftrightarrow \ v_\text{fl} < v_\text{ausbr}</math>): Störungen breiten sich sowohl stromaufwärts als auch stromabwärts aus. Die Wellenausbreitung zeigt ein [[Parabel (Mathematik)|parabel]]<nowiki/>förmiges Muster. Die Strömung wird durch eine [[parabolische Differentialgleichung]] beschrieben. Beispiel: [[Fluss]].
+* ''Grenzabfluss / kritischer Abfluss'' (<math>Fr = 1 \ \Leftrightarrow \ v_\text{fl} = v_\text{ausbr}</math>): Wellen können sich nicht mehr gegen die Strömung fortpflanzen. Die nach Oberstrom gerichtete Wellenfront bleibt an der Stelle der Störung „stehen“ (analog zur [[Schallmauer]]). In diesem Zustand kann beim vorliegenden Energieniveau die größtmögliche Wassermenge abgeführt werden. Im [[Wasserbau]] wird dies als Abflusskontrolle ausgenutzt. Beispiel: Überströmung eines [[Wehr (Wasserbau)|Wehres]].
+* ''Schießender Strömungszustand'' (<math>Fr > 1 \ \Leftrightarrow \ v_\text{fl} > v_\text{ausbr}</math>): Eine Störung breitet sich jetzt nur stromabwärts aus. Ausbreitungsmuster und zugehörigere Differentialgleichung werden [[Partielle Differentialgleichung #Hyperbolische partielle Differentialgleichungen|hyperbolisch]] genannt, Beispiel: [[Gebirgsbach]].
-Wenn [[Kraft|Kräfte]] infolge [[Viskosität]] nur einen untergeordneten Einfluss haben, kann man das Verhalten eines Schiffes an der Flüssigkeitsoberfläche im Modellversuch bei gleicher Froude-Zahl darstellen und die unterschiedlichen Messgrößen wie folgt umrechnen:
+== Zusammenhänge für Schiffsmodellversuche ==
+Wenn [[Kraft|Kräfte]] infolge [[Viskosität]] nur einen untergeordneten Einfluss haben, kann man mit Hilfe der [[Ähnlichkeitstheorie]] das Verhalten eines Schiffes an der Flüssigkeitsoberfläche im [[Modellversuch]] darstellen. Damit sich bei solchen Untersuchungen am [[Schiffsmodell]] bezüglich der Wellen vergleichbare Strömungsverhältnisse wie beim Original einstellen, muss die Froude-Zahl von Original und Modell übereinstimmen. Das ist der Fall, wenn das Verhältnis der Länge zum Quadrat der Geschwindigkeit identisch ist. Die unterschiedlichen Messgrößen lassen sich dann wie folgt umrechnen:
 * Längen mit dem Längenmaßstab
 * Zeiten mit der Quadratwurzel aus dem Längenmaßstab
-* Kräfte mit der dritten Potenz des Längenmaßstabs (gleiche [[Dichte]] des Fluids vorausgesetzt).
+* Kräfte mit der dritten Potenz des Längenmaßstabs (gleiche [[Dichte]] des Fluids vorausgesetzt)
 * Beschleunigungen sind in Modell und Großausführung gleich.
 == Weblinks ==
-* [http://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/froude-zahl/5301 Froude Zahl im Lexikon der Geowissenschaften]
+* [https://www.spektrum.de/lexikon/geowissenschaften/froude-zahl/5301 Froude-Zahl im Lexikon der Geowissenschaften]
-* [https://books.google.de/books?id=8JRHodkSQ-4C&pg=PA120&lpg=PA120&dq=Froude-Zahl&source=bl&ots=iBvFQfvXGG&sig=lqTNNchQsQWSkOXBcz5LHj0NSps&hl=de&sa=X&ved=0CE4Q6AEwCGoVChMIttKj4rqXyQIVB9ssCh3eRw1N#v=onepage&q=Froude-Zahl&f=false Heinz Herwig: Strömungsmechanik A-Z: Eine systematische Einordnung von Begriffen und Konzepten der Strömungsmechanik]
+* [https://books.google.de/books?id=8JRHodkSQ-4C&pg=PA120&lpg=PA120&dq=Froude-Zahl&source=bl&ots=iBvFQfvXGG&sig=lqTNNchQsQWSkOXBcz5LHj0NSps&hl=de&sa=X&ved=0CE4Q6AEwCGoVChMIttKj4rqXyQIVB9ssCh3eRw1N#v=onepage&q=Froude-Zahl&f=false Heinz Herwig: Strömungsmechanik A–Z: Eine systematische Einordnung von Begriffen und Konzepten der Strömungsmechanik]
-==Siehe auch==
+== Siehe auch ==
 * [[Dimensionsanalyse]]
 * [[Flachwassereffekt]]
-==Literatur==
+== Literatur ==
 * Jürgen Zierep: ''Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre''. Karlsruhe 1991, ISBN 3-7650-2041-9.
 [[Kategorie:Kennzahl (Strömungsmechanik)]]