Formelsammlung Tensoralgebra: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Januar 2022, 20:55 Uhr

{\sqrt[{n}]{x}}

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines

Notation

Operatoren wie $\mathrm {I} _{1}$ werden nicht kursiv geschrieben.
Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
- $i,j,k,l,m,n\in \{1,2,3\}$ .
  Ausnahme:
  Die imaginäre Einheit $\mathrm {i} ^{2}=-1$ und die #Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}$ werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
- $p,q,r,s\in \{1,2,\ldots ,9\}$
- $u,v\in \{1,2,\ldots ,6\}$
Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
Vektoren:
- Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V}$ .
- Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
  Ausnahme #Dualer axialer Vektor ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}$
- Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von $\mathbb {V}$ ist ê_1,2,3.
- Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in ${\vec {a}}$ mit einem Pfeil versehen.
- Dreiergruppen von Vektoren wie in ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ oder ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ bezeichnen eine rechtshändige Basis von $\mathbb {V}$ .
- Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$ ist dual zu ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ .
Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit ${\mathcal {L}}:=\mathrm {Lin} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )$ bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in ${\stackrel {4}{\mathbf {C} }}$ geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge ${\stackrel {4}{\mathcal {L}}}:=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L}},{\mathcal {L}})$ .
Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
- Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $c=a_{i}b^{i}$ wird über diesen Index summiert:
  $c=a_{i}b^{i}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}b^{i}$ .
- Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in $c=A_{pq}B_{q}^{p}$ wird über diese summiert:
  $c=A_{pq}B_{q}^{p}=\sum _{p=1}^{9}\sum _{q=1}^{9}A_{pq}B_{q}^{p}$ .
- Ein Index, der nur einfach vorkommt wie $$ u $$ in $a_{u}=A_{uv}b_{v}$ , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
  $a_{u}=A_{uv}b_{v}\quad \leftrightarrow \quad a_{u}=\sum _{v=1}^{6}A_{uv}b_{v}\quad \forall \;u\in \{1,\ldots ,6\}$ .

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$\mathbf {I,1}$	#Einheitstensor	Einheitstensor
$\mathbf {Q,R}$	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
$\lambda$	#Eigenwerte	Eigenwertproblem
$\delta _{ij}$	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
$\epsilon _{ijk}$	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
${\stackrel {3}{\mathbf {E} }}$	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
$[{\vec {a}}]_{\times }$	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
${\vec {\mathrm {i} }}$	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
$\mathrm {i}$		Imaginäre Einheit

Zeichen für Operatoren

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot )\cdot (\cdot )$	Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
$(\cdot )\times (\cdot )$	#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
$(\cdot ):(\cdot )$	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
$(\cdot )\otimes (\cdot )$	#Dyadisches Produkt	Dyadisches Produkt
$(\cdot )\cdot \!\!\times (\cdot )$	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot )\times \!\!\times (\cdot )$	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot )\#(\cdot )$	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
$\parallel (\cdot )\parallel$	#Betrag	Frobeniusnorm
$\|x\|,\|{\vec {v}}\|,\|\mathbf {A} \|$	Betrag der Zahl x oder des Vektors ${\vec {v}}$ , #Determinante des Tensors A	Determinante

Tensorfunktionen

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$\mathrm {Sp,tr,I} _{1}$	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
$\mathrm {I} _{2}$	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
$\mathrm {det,I} _{3},\|\mathbf {A} \|$	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
sym	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
skw, skew	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
adj	#Adjunkte	Adjunkte
cof	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
sph	#Kugelanteil	Kugeltensor

Indizes

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot )_{ij},(\cdot )^{ij},(\cdot )_{j}^{i}$	#Tensorkomponenten
$(\cdot )^{\top }$	#Transposition	Transponierte Matrix
$(\cdot )^{\stackrel {mn}{\top }}$	Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
$(\cdot )^{-1}$	#Inverse	Inverse Matrix
$(\cdot )^{-\top },(\cdot )^{\top -1}$	#Transposition der #Inverse
$(\cdot )^{\mathrm {S} }$	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
$(\cdot )^{\mathrm {A} }$	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
$(\cdot )^{\mathrm {D} }$	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
$(\cdot )^{\mathrm {K} }$	#Kugelanteil	Kugeltensor
${\stackrel {n}{(\cdot )}}$	Tensor n-ter Stufe
${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}},\mathbf {A} _{\times }$	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt

Mengen

Formelzeichen	Elemente
$\mathbb {R}$	Reelle Zahlen
$\mathbb {C}$	Komplexe Zahlen
$\mathbb {V}$	Vektoren
${\mathcal {L}}=\mathrm {Lin} (\mathbb {V,V} )$	Tensoren zweiter Stufe
${\stackrel {4}{\mathcal {L}}}=\mathrm {Lin} ({\mathcal {L,L}})$	#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&\mathrm {falls} \quad i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}

Für Summen gilt dann z. B.

v_{i}\delta _{ij}=v_{j}

A_{ij}\delta _{ij}=A_{ii}

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

\epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}

\epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{jl}&\delta _{kl}\\\delta _{im}&\delta _{jm}&\delta _{km}\\\delta _{in}&\delta _{jn}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}

\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}

\epsilon _{ijk}\epsilon _{jkl}=2\delta _{il}

\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6

Kreuzprodukt:

a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\hat {e}}_{i}=\epsilon _{ijk}a_{k}b_{i}{\hat {e}}_{j}

\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

{\vec {a}}=a_{i}{\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}

Drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ können spaltenweise in einer 3×3-Matrix $$ M $$ arrangiert werden:

M={\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}

Die Determinante der Matrix

|M|={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}

ist

ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet ${\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}>0$ , dass die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

M^{\top }M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

worin $M^{\top }$ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich $$ |M|=+1 $$ .

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Basisvektoren ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

{\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}

{\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}}

{\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}}

mit dem Spatprodukt

({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen $()^{\top -1}$ :

{\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top -1}

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ zu sich selbst dual:

{\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}

Berechnung von Vektorkomponenten

{\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}

{\vec {v}}=v^{i}{\vec {g}}_{i}\quad \rightarrow \;v^{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}

{\vec {v}}=v_{i}{\vec {g}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren

({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{k}\cdot {\vec {g}}^{j})={\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}

Wechsel der Basis bei Vektoren

Wechsel von

Basis ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec {h}}^{1},{\vec {h}}^{2},{\vec {h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ :

{\vec {v}}=v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=v_{i}^{\ast }\,{\vec {h}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}^{\ast }=({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}

Matrizengleichung:

{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{1}^{\ast }\\v_{2}^{\ast }\\v_{3}^{\ast }\end{pmatrix}}=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Dyadisches Produkt

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung $\mathbb {V} \times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}$

{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=\mathbf {T} \in {\mathcal {L}}

Multiplikation mit einem Skalar:

x({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(x{\vec {a}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes (x{\vec {g}})=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}

Distributivität:

(x+y){\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+y{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}

({\vec {a}}+{\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {b}}\otimes {\vec {g}}

{\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}+{\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {a}}\otimes {\vec {h}}

Skalarprodukt:

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird ${\mathcal {L}}$ zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von ${\mathcal {L}}$ dargestellt werden:

\mathbf {A} \in {\mathcal {L}}\rightarrow \mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}

mit Komponenten

A_{ij},A^{ij}\in \mathbb {R}

.

Die Dyaden $\{{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}|i,j=1,2,3\}$ und $\{{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}|i,j=1,2,3\}$ bilden Basissysteme von ${\mathcal {L}}$ .

Operatoren

Transposition

Abbildung ${\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }:={\vec {g}}\otimes {\vec {a}}

(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})^{\top }=A_{ij}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})=A_{ji}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})

(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})^{\top }=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})=A^{ji}({\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j})

\left(\mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }=\mathbf {A}

(\mathbf {A+B} )^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }+\mathbf {B} ^{\top }

(\mathbf {A\cdot B} )^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ^{\top }

Vektortransformation

Abbildung ${\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to \mathbb {V}$ oder $\mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

Dyaden:

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}:=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}

{\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {g}}

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }

{\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {b}}

Allgemeine Tensoren:

A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{i}

A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {a}}_{i}

{\vec {v}}\cdot A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}){\hat {e}}_{j}

{\vec {v}}\cdot A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {a}}_{i}){\vec {g}}_{j}

Symbolisch:

\mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} ^{\top }

{\vec {v}}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {v}}

Tensorprodukt

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\otimes {\vec {u}}

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})

\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}=\mathbf {A} \cdot {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}

(A_{ik}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot (B_{lj}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ik}B_{kj}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}

\left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\right)\cdot \left(B^{kl}{\vec {h}}_{k}\otimes {\vec {u}}_{l}\right)=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {h}}_{k})B^{kl}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{l}

Skalarprodukt von Tensoren

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

Definition über die #Spur:

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=\mathrm {Sp} (({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}))=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})

\mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {B} )

Eigenschaften:

\mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }:\mathbf {A} ^{\top }

\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} =\mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }

\mathbf {A} :(\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ):\mathbf {C} =(\mathbf {A\cdot C} ^{\top }):\mathbf {B}

(\mathbf {A\cdot B} ):\mathbf {C} =\mathbf {B} :(\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {C} )=\mathbf {A} :(\mathbf {C\cdot B} ^{\top })

({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}):\mathbf {A} ={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

Abbildung $\mathbb {V} \times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$ oder ${\mathcal {L}}\times \mathbb {V} \to {\mathcal {L}}$

Dyaden:

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times {\vec {h}}={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}

{\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}=-[({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\times {\vec {a}}]^{\top }

{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}=-[{\vec {h}}\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }]^{\top }

a_{j}{\hat {e}}_{j}\times (A_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=a_{j}A_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}a_{j}A_{kl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}

(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times a_{k}{\hat {e}}_{k}=A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})=\epsilon _{jkl}A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}

Allgemeine Tensoren:

({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})={\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ^{\top })

{\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} ):=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A}

{\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}=(\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})\times {\vec {a}}

(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})

{\vec {a}}\times \mathbf {A} =-\left(\mathbf {A} ^{\top }\times {\vec {a}}\right)^{\top }

\mathbf {A} \times {\vec {a}}=-\left({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }

Symmetrische Tensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {S} }=-\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }$

Insbesondere Kugeltensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }\times {\vec {a}}=-({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {K} })^{\top }$

Schiefsymmetrische Tensoren: ${\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\times {\vec {a}}\right)^{\top }$

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:

({\vec {a}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {1} )={\vec {a}}\cdot (\mathbf {1} \times {\vec {g}})={\vec {a}}\times {\vec {g}}

Mehrfach:

({\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} ))\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}))=({\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}

{\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} )={\vec {b}}\otimes {\vec {a}}\cdot \mathbf {A} -({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A}

Meistens ist aber:

(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times {\vec {g}}\neq \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {g}})=(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {g}}

{\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\neq ({\vec {a}}\times {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {A} )

Kreuzprodukt von Tensoren

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

\mathbf {A\times B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {B\cdot A} ^{\top })=-\mathbf {B\times A} \in \mathbb {V}

mit #Fundamentaltensor 3. Stufe ${\stackrel {3}{\mathbf {E} }}$ .

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {b}}

{\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\times [B_{jl}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l})]=A_{ik}B_{jk}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

\mathbf {A\times B} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A\cdot B} ^{\top }}}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })

Mit #Einheitstensor:

\mathbf {1\times A} =2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

Mehrfachprodukte:

(\mathbf {A\cdot B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times (\mathbf {C\cdot B} ^{\top })

\mathbf {A} \times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot C} ^{\top })\times \mathbf {B}

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

\mathbf {A\times B} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B} ^{\top })

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to \mathbb {V}$

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}})=-({\vec {u}}\otimes {\vec {h}})\cdot \!\!\times ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {u}}

{\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot \!\!\times [B_{lj}({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})]=A_{ik}B_{kj}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

\mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}

Allgemein:

\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} =-(\mathbf {B} ^{\top })\cdot \!\!\times (\mathbf {A} ^{\top })

\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C}

(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

\mathbf {S} \cdot \!\!\times \mathbf {T} =\mathbf {S\times (T^{\top })}

Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:

\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }}}

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {b}}):=({\vec {g}}\times {\vec {h}})\otimes ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\#({\vec {h}}\otimes {\vec {b}})

A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times \!\!\times [B_{kl}({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})]:=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{l})

\mathbf {A} \times \!\!\times \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B}

Äußeres Tensorprodukt

Abbildung ${\mathcal {L}}\times {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}$

({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\times \!\!\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})

{\begin{aligned}&(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\#(B_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{l})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\epsilon _{ikm}\epsilon _{jln}A_{ij}B_{kl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\end{aligned}}

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

{\begin{aligned}\mathbf {A} \#\mathbf {B} =&[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )]\mathbf {1} \\&+[\mathbf {A\cdot B} +\mathbf {B\cdot A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {B} -\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )\mathbf {A} ]^{\top }\end{aligned}}

Grundlegende Eigenschaften:

\mathbf {A} \#\mathbf {B} =\mathbf {B} \#\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top })^{\top }

(\mathbf {A+B} )\#\mathbf {C} =\mathbf {A} \#\mathbf {C} +\mathbf {B} \#\mathbf {C}

\mathbf {A} \#(\mathbf {B+C} )=\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {A} \#\mathbf {C}

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {u}})\times (\mathbf {B} \cdot {\vec {v}})-(\mathbf {A} \cdot {\vec {v}})\times (\mathbf {B} \cdot {\vec {u}})

{\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {u}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {v}})

#Hauptinvarianten:

{\frac {1}{2}}(\mathbf {A\#1} ):\mathbf {1} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )

{\frac {1}{2}}(\mathbf {A\#A} ):\mathbf {1} =\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )

{\frac {1}{6}}(\mathbf {A\#A} ):\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )

Weitere Eigenschaften:

\mathbf {1} \#\mathbf {1} =2\,\mathbf {1}

\mathbf {A} \#\mathbf {1} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} -\mathbf {A} ^{\top }

(\mathbf {A} \#\mathbf {B} ):\mathbf {C} =(\mathbf {B} \#\mathbf {C} ):\mathbf {A} =(\mathbf {C} \#\mathbf {A} ):\mathbf {B}

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} \#\mathbf {B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )

(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\cdot (\mathbf {C} \#\mathbf {D} )=(\mathbf {A\cdot C} )\#(\mathbf {B\cdot D} )+(\mathbf {A\cdot D} )\#(\mathbf {B\cdot C} )

Aber meistens:

(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\#\mathbf {C} \neq \mathbf {A} \#(\mathbf {B} \#\mathbf {C} )

.

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}

{\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ^{\top }

{\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}=\mathbf {A} :({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {c}})]=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\;{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})

\mathbf {A} ^{\top }\cdot [(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})]=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\;{\vec {a}}\times {\vec {b}}

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren, #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

({\vec {u}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}=({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})\times \mathbf {1} =({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})\cdot \!\!\times \mathbf {1} ={\stackrel {A}{\overrightarrow {({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times \mathbf {1} }}}={\vec {\mathrm {i} }}({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})={\vec {u}}\times {\vec {v}}

Tensorkomponenten

\mathbf {A} =A_{ij}\,{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}\quad \rightarrow \;A_{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\hat {e}}_{j}

\mathbf {A} =A^{ij}\,{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\quad \rightarrow \;A^{ij}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}^{j}=({\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}):\mathbf {A}

\mathbf {A} =A_{ij}\,{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\quad \rightarrow \;A_{ij}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}_{j}

\mathbf {A} =A_{j}^{i}\,{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\quad \rightarrow \;A_{j}^{i}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}_{j}

\mathbf {A} =A_{i}^{j}\,{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\quad \rightarrow \;A_{i}^{j}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}^{j}

Wechsel der Basis

\mathbf {A} =A_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{j}=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}

Die Komponenten $A_{ij}^{\ast }$ ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem #Einheitstensor $\mathbf {1} ={\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i}$ :

{\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {1\cdot A\cdot 1} ^{\top }=&({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i})\cdot (A_{kl}{\vec {a}}^{k}\otimes {\vec {a}}^{l})\cdot ({\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {b}}^{j})\\=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=:A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{\ast }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j})\end{aligned}}

Allgemein:

\mathbf {A} =A_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j}

Basiswechsel mit $\mathbf {1} =({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{k}=({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l}){\vec {h}}^{j}\otimes {\vec {g}}_{l}$ :

{\begin{aligned}\mathbf {A} =\mathbf {1\cdot A\cdot 1} ^{\top }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{k})\cdot A_{mn}({\vec {a}}^{m}\otimes {\vec {g}}^{n})\cdot ({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l})({\vec {g}}_{l}\otimes {\vec {h}}^{j})\\=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {h}}_{j}\cdot {\vec {g}}^{l})({\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j})=A_{ij}^{\ast }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {h}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{\ast }=&({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})A_{kl}({\vec {g}}^{l}\cdot {\vec {h}}_{j})\end{aligned}}

Bilinearform und Identität von Tensoren

Definition für einen Tensor A:

\langle {\vec {u}},{\vec {v}}\rangle :={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {A} :({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

{\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot \mathbf {B} \cdot {\vec {v}}\quad \forall \;{\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {V}

Kofaktor

Definition

\mathrm {cof} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A^{\top }\cdot A^{\top }} -\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1}

#Invarianten:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₁λ₂, λ₂λ₃, λ₃λ₁.

#Hauptinvarianten:

\mathrm {I} _{1}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )

\mathrm {I} _{2}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {A} )

\mathrm {det} (\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {det} ^{2}(\mathbf {A} )

#Betrag:

\|\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\|={\sqrt {\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}

Weitere Eigenschaften:

\mathrm {cof} (x\mathbf {A} )=x^{2}\mathrm {cof} (\mathbf {A} )

\mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0\quad \rightarrow \quad \mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top -1}

\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} ^{\top }=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {1}

\mathrm {cof} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot \mathrm {cof} (\mathbf {B} )

\mathrm {cof} (\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )^{\top }

\mathrm {cof} \left(\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\right)=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A}

{\begin{aligned}&\mathrm {cof} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})={\frac {1}{2}}(A_{kl}A_{mn}\epsilon _{kmi}\epsilon _{lnj})({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

\mathrm {cof} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {A} \#\mathbf {A}

{\begin{aligned}\mathrm {cof} (\mathbf {A+B} )=&{\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} +2\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {B} \#\mathbf {B} )\\=&\mathrm {cof} (\mathbf {A} )+\mathrm {cof} (\mathbf {B} )+\mathbf {A} \#\mathbf {B} \end{aligned}}

Kreuzprodukt und Kofaktor:

(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {cof} (\mathbf {A} )\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})

Adjunkte

Definition:

\mathrm {adj} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} =\mathrm {cof} (\mathbf {A} )^{\top }

#Hauptinvarianten:

\mathrm {I} _{1}(\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )

\mathrm {I} _{2}(\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {A} )

\mathrm {det} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\mathrm {det} ^{2}(\mathbf {A} )

#Betrag:

\|\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\|={\sqrt {\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}

Weitere Eigenschaften:

\mathrm {adj} (x\mathbf {A} )=x^{2}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )

\mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0\quad \rightarrow \quad \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}

\mathbf {A} \cdot \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} =\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {1}

\mathrm {adj} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\cdot \mathrm {adj} (\mathbf {A} )

\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\top }

{\begin{aligned}\mathrm {adj} (\mathbf {A+B} )=&{\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} +2\mathbf {A} \#\mathbf {B} +\mathbf {B} \#\mathbf {B} )^{\top }\\=&\mathrm {adj} (\mathbf {A} )+\mathrm {adj} (\mathbf {B} )+\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top }\end{aligned}}

\mathrm {adj} \left(\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right)=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A}

{\begin{aligned}&\mathrm {adj} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})={\frac {1}{2}}(A_{kl}A_{mn}\epsilon _{kmj}\epsilon _{lni})({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Inverse

Definition

\mathbf {A} ^{-1}:\quad \mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A\cdot A} ^{-1}=\mathbf {1}

Die Inverse ist nur definiert, wenn $|\mathbf {A} |=\mathrm {det} (\mathbf {A} )=\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )\neq 0$

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor $\mathrm {adj} (\mathbf {A} )$ :

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )

{\begin{aligned}\mathbf {A} =&A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\\\rightarrow \mathbf {A} ^{-1}=&{\frac {1}{|\mathbf {A} |}}{\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}\\A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}\\A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet, also $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{pmatrix}}$ , dann gilt:

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}{\vec {a}}^{1}&{\vec {a}}^{2}&{\vec {a}}^{3}\end{pmatrix}}^{\top }={\frac {1}{\mathrm {det} (\mathbf {A} )}}{\begin{pmatrix}{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}&{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\end{pmatrix}}^{\top }

Satz von Cayley-Hamilton:

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )}}(\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} )

worin $\mathrm {I} _{1,2,3}$ die drei #Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

(\mathbf {A} ^{\top })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\top }=\mathbf {A} ^{\top -1}=\mathbf {A} ^{-\top }

Inverse eines Tensorprodukts:

(\mathbf {A\cdot B} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{-1}

(x\mathbf {A} )^{-1}={\frac {1}{x}}\mathbf {A} ^{-1}

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

(\mathbf {A+B} )^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A+B} )}}\left(\mathrm {adj} (\mathbf {A} )+\mathrm {adj} (\mathbf {B} )+(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )^{\top }\right)

Invertierungsformeln:

(a\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes {\vec {c}})^{-1}={\frac {1}{a}}\left(\mathbf {1} -{\frac {1}{a+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}}{\vec {b}}\otimes {\vec {c}}\right)

{\begin{aligned}&(a\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes {\vec {c}}+{\vec {d}}\otimes {\vec {e}})^{-1}={\frac {1}{aD}}\left(D\mathbf {1} +{\vec {b}}\otimes (q{\vec {c}}+r{\vec {e}})+{\vec {d}}\otimes (s{\vec {c}}+t{\vec {e}})\right)\\&\qquad q=a+{\vec {d}}\cdot {\vec {e}},\quad r=-{\vec {c}}\cdot {\vec {d}},\quad s=-{\vec {b}}\cdot {\vec {e}},\quad t=a+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\&\qquad D=rs-qt\end{aligned}}

({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{i})^{-1}={\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{i}

Eigensystem

Eigenwertproblem

\mathbf {A} \cdot {\hat {v}}=\lambda {\hat {v}}

mit Eigenwert $\lambda$ und Eigenvektor ${\hat {v}}$ . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

\mathrm {det} (\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {1} )=-\lambda _{i}^{3}+\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\lambda _{i}^{2}-\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\lambda _{i}+\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )=0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten :

\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} ):=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )^{2}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} ^{2})]=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}

\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} ):=\mathrm {det} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}

Eigenvektoren

Eigenvektoren ${\vec {v}}$ sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor.

Bestimmungsgleichung: $(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}={\vec {0}}$

Tensor $\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ :

{\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda &A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}-\lambda &A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}-\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem $v_{1}$ :

{\begin{pmatrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}-\lambda &A_{23}\\A_{32}&A_{33}-\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}=v_{1}{\begin{pmatrix}\lambda -A_{11}\\-A_{21}\\-A_{31}\end{pmatrix}}

Geometrische Vielfachheit 1:

v_{2}=v_{1}{\frac {(\lambda -A_{33})A_{21}+A_{23}A_{31}}{(A_{22}-\lambda )(A_{33}-\lambda )-A_{23}A_{32}}}

v_{3}=v_{1}{\frac {(\lambda -A_{22})A_{31}+A_{32}A_{21}}{(A_{22}-\lambda )(A_{33}-\lambda )-A_{23}A_{32}}}

Geometrische Vielfachheit 2:

{\begin{pmatrix}A_{13}\\A_{23}\\A_{33}-\lambda \end{pmatrix}}v_{3}=-v_{1}{\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda \\A_{21}\\A_{31}\end{pmatrix}}-v_{2}{\begin{pmatrix}A_{12}\\A_{22}-\lambda \\A_{32}\end{pmatrix}}

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} zyklisch vertauscht werden.

Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten $v_{ij}$ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren ${\vec {v}}_{i}$ des (komplexen) Tensors $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ gilt mit dessen Eigenwerten $\lambda _{i}$ und den Eigenwerten $\mu _{jk}$ der Hauptuntermatrizen von $$ A $$ :^[1]

|v_{ij}|^{2}\prod _{k=1;k\neq i}^{n}{\big (}\lambda _{i}-\lambda _{k}{\big )}=\prod _{k=1}^{n-1}{\big (}\lambda _{i}-\mu _{jk}{\big )}

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Sei $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }$ symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten $\lambda _{i}$ und Eigenvektoren ${\hat {a}}_{i}$ des symmetrischen Tensors A:

{\begin{aligned}\mathbf {A} =&\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {a}}_{i}=\left({\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}\lambda _{j}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)\cdot \left({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {a}}_{k}\right)\\=&{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\end{aligned}}

bzw.

{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\cdot \mathbf {A} \cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Sei $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\top }$ schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von A ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )$ ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Sei $a,b,c\in \mathbb {R}$ und ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\in \mathbb {R} ^{3}$ eine Basis und ${\vec {a}}^{1},{\vec {a}}^{2},{\vec {a}}^{3}$ die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Der Tensor

\mathbf {T} =a\,{\vec {a}}_{1}\otimes {\vec {a}}^{1}+b\,{\vec {a}}_{2}\otimes {\vec {a}}^{2}+c\,{\vec {a}}_{3}\otimes {\vec {a}}^{3}

hat die Eigenwerte

\lambda _{1}=a,\;\lambda _{2}=b,\;\lambda _{3}=c

und Eigenvektoren

{\vec {v}}_{1}={\vec {a}}_{1},\;{\vec {v}}_{2}={\vec {a}}_{2},\;{\vec {v}}_{3}={\vec {a}}_{3}

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren

{\vec {v}}_{1}={\vec {a}}^{1},\;{\vec {v}}_{2}={\vec {a}}^{2},\;{\vec {v}}_{3}={\vec {a}}^{3}

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Der Tensor

\mathbf {T} =c\,{\vec {a}}_{1}\otimes {\vec {a}}^{1}+a({\vec {a}}_{2}\otimes {\vec {a}}^{2}+{\vec {a}}_{3}\otimes {\vec {a}}^{3})+b({\vec {a}}_{2}\otimes {\vec {a}}^{3}-{\vec {a}}_{3}\otimes {\vec {a}}^{2})

hat die Eigenwerte

\lambda _{1}=c,\;\lambda _{2}=a+\mathrm {i} \,b,\;\lambda _{3}=a-\mathrm {i} \,b

und Eigenvektoren

{\vec {v}}_{1}={\vec {a}}_{1},\;{\vec {v}}_{2}={\vec {a}}_{2}+\mathrm {i} \,{\vec {a}}_{3},\;{\vec {v}}_{3}={\vec {a}}_{2}-\mathrm {i} \,{\vec {a}}_{3}

Der #transponierte Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren

{\vec {v}}_{1}={\vec {a}}^{1},\;{\vec {v}}_{2}={\vec {a}}^{2}-\mathrm {i} \,{\vec {a}}^{3},\;{\vec {v}}_{3}={\vec {a}}^{2}+\mathrm {i} \,{\vec {a}}^{3}

Invarianten

Eigenwerte des Tensors

Die #Eigenwerte $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ sind Invarianten.

Hauptinvarianten

#Spur:	I₁(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:	I₂(A)
#Determinante:	I₃(A), det(A), │A│

Charakteristisches Polynom

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:

\mathrm {det} (\mathbf {A} -x\mathbf {1} )=-x^{3}+\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )x^{2}-\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )x+\mathrm {det} (\mathbf {A} )

Spezialfall:

\mathrm {det} ({\vec {b}}\otimes {\vec {c}}+a\mathbf {1} )=a^{2}(a+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}})

Satz von Cayley-Hamilton:

-\mathbf {A} ^{3}+\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {1} =\mathbf {0}

Spur

Abbildung ${\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {1} ):\mathbf {1} =\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

\mathrm {Sp} ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=\mathrm {Sp} ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}}):={\vec {a}}\cdot {\vec {g}}

Linearität: $x,y\in \mathbb {R} \rightarrow \quad \mathrm {Sp} (x\mathbf {A} +y\mathbf {B} )=x\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )+y\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )$

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top })

\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {B\cdot A} )

\mathrm {Sp} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B^{\top }} )

\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B\cdot C} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {B\cdot C\cdot A} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {C\cdot A\cdot B} )

In Komponenten:

\mathrm {Sp} \left(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}

\mathrm {Sp} \left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}

\mathrm {Sp} \left(A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\right)=\mathrm {Sp} \left(A_{i}^{j}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{j}\right)=A_{i}^{i}

Zweite Hauptinvariante

Abbildung ${\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})]={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} ):\mathbf {1} =\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=\mathrm {Sp(cof} (\mathbf {A} ))=\mathrm {Sp(adj} (\mathbf {A} ))

\mathrm {I} _{2}(x\mathbf {A} )=x^{2}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} )

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \cdot \mathbf {A} )=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {C} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {B} )+\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )

In Komponenten:

\operatorname {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}

\operatorname {I} _{2}(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})={\frac {1}{2}}A^{ij}A^{kl}[({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{l})-({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{l})({\vec {a}}_{k}\cdot {\vec {b}}_{j})]

\operatorname {I} _{2}\left(A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\right)={\frac {1}{2}}(A_{i}^{i}A_{j}^{j}-A_{j}^{i}A_{i}^{j})

Determinante

Abbildung ${\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} ):=\mathrm {det} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} ):\mathbf {A} =\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{\top })=\mathrm {det} (\mathbf {A} )

Determinantenproduktsatz:

\mathrm {det} (\mathbf {A\cdot B} )=\mathrm {det} (\mathbf {B\cdot A} )=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {B} )

\mathrm {det} (\mathbf {A\cdot B\cdot C} )=\mathrm {det} (\mathbf {B\cdot C\cdot A} )=\mathrm {det} (\mathbf {C\cdot A\cdot B} )=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathrm {det} (\mathbf {B} )\mathrm {det} (\mathbf {C} )

\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{-1})={\frac {1}{\mathrm {det} (\mathbf {A} )}}

Multiplikation mit Skalaren $x\in \mathbb {R}$ :

{\begin{vmatrix}x{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&x{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&x{\vec {c}}\end{vmatrix}}=x{\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}

\mathrm {det} (x\mathbf {A} )=x^{3}\mathrm {det} (\mathbf {A} )

In Komponenten:

{\begin{aligned}\mathrm {det} \left(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=&{\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{vmatrix}}\\=&A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})\\&+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {det} (A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=&{\begin{vmatrix}A^{11}&A^{12}&A^{13}\\A^{21}&A^{22}&A^{23}\\A^{31}&A^{32}&A^{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}

\operatorname {det} \left(A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\right)={\begin{vmatrix}A_{1}^{1}&A_{2}^{1}&A_{3}^{1}\\A_{1}^{2}&A_{2}^{2}&A_{3}^{2}\\A_{1}^{3}&A_{2}^{3}&A_{3}^{3}\end{vmatrix}}

Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:

{\begin{aligned}\mathrm {det} (\mathbf {A} )=&{\frac {1}{6}}[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )^{3}-3\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})+2\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{3})]\\[1ex]=&{\frac {1}{3}}[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{3})+3\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )^{3}]\end{aligned}}

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {A} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {c}})]=\mathrm {det} (\mathbf {A} ){\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})

Zusammenhang mit #Äußeres Tensorprodukt:

\det(\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}(\mathbf {A} \#\mathbf {A} ):\mathbf {A}

{\begin{aligned}\rightarrow \det(\mathbf {A+B} )=&\det(\mathbf {A} )+\det(\mathbf {B} )+\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {I} _{2}(\mathbf {B} )+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )\\&+\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B\cdot (A+B)} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )\mathrm {Sp} (\mathbf {A+B} )\end{aligned}}

Zusammenhang mit dem #Kofaktor:

\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\det(\mathbf {A} )+\mathrm {cof} (\mathbf {A} ):\mathbf {B} +\mathbf {A} :\mathrm {cof} (\mathbf {B} )+\det(\mathbf {B} )

Betrag

Abbildung ${\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$

\parallel \mathbf {A} \parallel :={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {A} )}}

\parallel {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\parallel =|{\vec {a}}|\,|{\vec {g}}|

\parallel A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\parallel ={\sqrt {A_{ij}A_{ij}}}

\parallel A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\parallel ={\sqrt {A^{ij}A^{kl}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{k})({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{l})}}

\parallel A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\parallel ={\sqrt {A_{j}^{i}A_{l}^{k}({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{k})({\vec {a}}^{j}\cdot {\vec {a}}^{l})}}

Falls $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }$ :

\quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}

Falls $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\top }$ :

\quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}

Dualer axialer Vektor

Für #Schiefsymmetrische Tensoren $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\top }=\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }$ gibt es einen dualen axialen Vektor ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}$ für den gilt:

\mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\times {\vec {v}}

für alle

{\vec {v}}\in \mathbb {V}

Der duale axiale Vektor ist proportional zur #Vektorinvariante:

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}:=-{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

Berechnung mit #Fundamentaltensor 3. Stufe ${\stackrel {3}{\mathbf {E} }}$ , #Kreuzprodukt von Tensoren oder #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}=-{\frac {1}{2}}{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:\mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \times \mathbf {1} =-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {1}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}}}=-{\frac {1}{2}}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}A_{32}-A_{23}\\A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}\end{pmatrix}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j})}}}=-{\frac {1}{2}}A^{ij}{\vec {a}}_{i}\times {\vec {b}}_{j}

#Symmetrische Tensoren und #Kugeltensoren haben keinen dualen axialen Vektor: ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }}}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }}}}={\vec {0}}$

Ein #Symmetrischer Anteil oder #Kugelanteil trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei: ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }}}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }}}}$

Seien x eine beliebige Zahl, ${\vec {u}},\,{\vec {v}}$ beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

{\stackrel {A}{\overrightarrow {{\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}}}\;={\frac {1}{2}}{\vec {v}}\times {\vec {u}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\times {\vec {v}}=\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\top }}}}\quad \;=-{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A+B} }}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}+{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {B} }}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {x\mathbf {A} }}}\quad \;=x\,{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} \#\mathbf {B} }}}\;=\mathbf {A} \cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {B} }}}+\mathbf {B} \cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

\mathbf {A} \cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\;=\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\cdot \mathbf {A}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathrm {cof} (\mathbf {A} )}}}=\mathbf {A} \cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{-1}}}}\quad =-{\frac {1}{\mathrm {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {A} \cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\quad {\text{falls}}\quad \mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0

{\stackrel {A}{\overrightarrow {{\vec {v}}\times \mathbf {A} }}}={\frac {1}{2}}(\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} -\mathbf {A} )\cdot {\vec {v}}={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {{\vec {v}}\times \mathbf {1} }}}\;\;={\vec {v}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times \mathbf {A} }}}={\frac {1}{2}}({\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \times {\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \times {\vec {u}})

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {B\cdot A\cdot B} ^{\top }}}}\;\;=\mathrm {cof} (\mathbf {B} )\cdot {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Vektorinvariante

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ):=\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {1} =\mathbf {A} \times \mathbf {1} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:\mathbf {A} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}

{\vec {\mathrm {i} }}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{23}-A_{32}\\A_{31}-A_{13}\\A_{12}-A_{21}\end{pmatrix}}

{\vec {\mathrm {i} }}(A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}))=A^{ij}{\vec {a}}_{i}\times {\vec {b}}_{j}

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: ${\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })={\vec {0}}$

Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, ${\vec {u}},\,{\vec {v}}$ beliebige Vektoren und A, B beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:

{\vec {\mathrm {i} }}({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})\;\;={\vec {u}}\times {\vec {v}}

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )\times {\vec {v}}\;=-2\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\cdot {\vec {v}}=(\mathbf {A^{\top }-A} )\cdot {\vec {v}}

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ^{\top })\quad \;=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A+B} )={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )+{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {B} )

{\vec {\mathrm {i} }}(x\mathbf {A} )\quad \;=x\,{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \#\mathbf {B} )\;=\mathbf {A} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {B} )+\mathbf {B} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

\mathbf {A} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )\;=\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )\cdot \mathbf {A}

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathrm {cof} (\mathbf {A} ))=\mathbf {A} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ^{-1})\quad =-{\frac {1}{\mathrm {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {A} \cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )\quad {\text{falls}}\quad \mathrm {det} (\mathbf {A} )\neq 0

{\vec {\mathrm {i} }}({\vec {v}}\times \mathbf {A} )\;=(\mathbf {A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}=-(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}

{\vec {\mathrm {i} }}({\vec {v}}\times \mathbf {1} )\;\;=-2{\vec {v}}

{\vec {\mathrm {i} }}(({\vec {u}}\times {\vec {v}})\times \mathbf {A} )={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \times {\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \times {\vec {v}}

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {B\cdot A\cdot B} ^{\top })=\mathrm {cof} (\mathbf {B} )\cdot {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

Darin ist „#“ ein #Äußeres Tensorprodukt, cof(·) ist der #Kofaktor.

Spezielle Tensoren

Dyade

Definition

\mathbf {A} :={\vec {a}}\otimes {\vec {b}}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathbf {0}$

#Invarianten:

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=0

\mathrm {det} (\mathbf {A} )=0

\parallel \mathbf {A} \parallel =|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|

#Eigensystem:

{\begin{aligned}\lambda _{1}=&{\vec {a}}\cdot {\vec {b}},&{\vec {v}}_{1}=&{\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}\\\lambda _{2}=&0,&{\vec {v}}_{2}=&{\frac {{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|}}\\\lambda _{3}=&0,&{\vec {v}}_{3}=&{\frac {({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {b}}}{|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {b}}|}}\end{aligned}}

Dyadentripel

Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe A. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:

{\begin{aligned}\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=&{\vec {s}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}{\vec {s}}_{1}&{\vec {s}}_{2}&{\vec {s}}_{3}\end{pmatrix}}\\=&{\hat {e}}_{i}\otimes {\vec {z}}_{i}={\begin{pmatrix}{\vec {z}}_{1}&{\vec {z}}_{2}&{\vec {z}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\\=&{\vec {a}}_{k}\otimes {\vec {g}}_{k}\end{aligned}}

mit Spaltenvektoren ${\vec {s}}_{j}=A_{ij}{\hat {e}}_{i}=\mathbf {A} \cdot {\hat {e}}_{j}$ , Zeilenvektoren ${\vec {z}}_{i}=A_{ij}{\hat {e}}_{j}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {A}$ und ${\vec {g}}_{k}=({\vec {a}}^{k}\cdot {\hat {e}}_{i})A_{ij}{\hat {e}}_{j}={\vec {a}}^{k}\cdot \mathbf {A}$ .

#Hauptinvarianten ( $x_{m,n}:={\vec {x}}_{m}\cdot {\hat {e}}_{n}$ ):

\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )=s_{i,i}=z_{i,i}={\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{i}

{\begin{aligned}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=&{\frac {1}{2}}(s_{i,i}s_{j,j}-s_{i,j}s_{j,i})={\frac {1}{2}}(z_{i,i}z_{j,j}-z_{i,j}z_{j,i})\\=&{\frac {1}{2}}[({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{i})({\vec {a}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{j})-({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j})({\vec {a}}_{j}\cdot {\vec {g}}_{i})]\end{aligned}}

\mathrm {I} _{3}(\mathbf {A} )={\begin{vmatrix}{\vec {s}}_{1}&{\vec {s}}_{2}&{\vec {s}}_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {z}}_{1}&{\vec {z}}_{2}&{\vec {z}}_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}

#Betrag:

\parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{i}}}={\sqrt {{\vec {z}}_{i}\cdot {\vec {z}}_{i}}}={\sqrt {({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j})({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j})}}

#Dualer axialer Vektor:

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}={\frac {1}{2}}{\hat {e}}_{i}\times {\vec {s}}_{i}={\frac {1}{2}}{\vec {z}}_{i}\times {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{2}}{\vec {g}}_{i}\times {\vec {a}}_{i}

#Vektorinvariante:

{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )={\vec {s}}_{i}\times {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}_{i}\times {\vec {z}}_{i}={\vec {a}}_{i}\times {\vec {g}}_{i}

#Kofaktor:

{\begin{aligned}\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=&{\vec {z}}_{i}\otimes {\vec {s}}_{i}-\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} \\=&({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j}-({\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{i}){\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{j}+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} \end{aligned}}

#Inverse:

\mathbf {A} ^{-1}={\hat {e}}_{i}\otimes {\vec {s}}^{i}={\vec {z}}^{i}\otimes {\hat {e}}_{i}={\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{i}

Einheitstensor

\mathbf {1} ={\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}=\delta _{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

\mathbf {1} ={\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}={\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{i}=g^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}=g_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}

mit $g_{ij}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}\,,\;g^{ij}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}$

Allgemein:

\mathbf {1} =({\vec {a}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}){\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}

#Transposition und #Inverse:

\mathbf {1} =\mathbf {1} ^{\top }=\mathbf {1} ^{-1}=\mathbf {1} ^{\top -1}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {1} )=\mathbf {1}$

Vektortransformation

\mathbf {1} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {1} ={\vec {v}}

Tensorprodukt

\mathbf {A\cdot 1} =\mathbf {1\cdot A} =\mathbf {A}

Skalarprodukt

\mathbf {A} :\mathbf {1} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )

#Invarianten:

\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )=\mathbf {1} :\mathbf {1} =3

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {1} )=3

\mathrm {det} (\mathbf {1} )=1

\parallel \mathbf {1} \parallel ={\sqrt {3}}

#Eigenwerte:

\lambda _{1,2,3}=1

Alle Vektoren sind #Eigenvektoren.

Unimodulare Tensoren

Definition

\mathbf {H} :\quad \mathrm {det} (\mathbf {H} )=1

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {H} )=\mathbf {H} ^{\top -1}$

Determinantenproduktsatz:

\mathrm {det} (\mathbf {A\cdot H} )=\mathrm {det} (\mathbf {H\cdot A} )=\mathrm {det} (\mathbf {A} )

Orthogonale Tensoren

Definition

\mathbf {Q} :\quad \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\top }\quad {\textsf {oder}}\quad \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q} ^{\top }\cdot \mathbf {Q} =\mathbf {1}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {Q} )=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} =\pm \mathbf {Q}$

#Invarianten ( $\alpha$ ist der Drehwinkel):

\mathrm {Sp} (\mathbf {Q} )=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )+2\cos(\alpha )

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {Q} )=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\cdot \mathrm {Sp} (\mathbf {Q} )=1+2\,\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\cos(\alpha )

\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=\pm 1

\parallel \mathbf {Q} \parallel ={\sqrt {3}}

Eigentlich orthogonaler Tensor $\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=+1$ , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor $\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=-1$ , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

(\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}})\cdot [(\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {c}})]=\mathrm {det} (\mathbf {Q} ){\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})

Kreuzprodukt und #Kofaktor:

(\mathbf {Q} \cdot {\vec {a}})\times (\mathbf {Q} \cdot {\vec {b}})=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})

\mathrm {cof} (\mathbf {Q} )=\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\mathbf {Q}

Gegeben ein Einheitsvektor ${\hat {n}}={\begin{pmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{pmatrix}}^{\top }$ und Drehwinkel α. Dann sind die folgenden Tensoren R zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse ${\hat {n}}$ mit Winkel α:

Rodrigues-Formel:

{\begin{aligned}\mathbf {R} =&\mathbf {1} +s_{\alpha }{\hat {n}}\times \mathbf {1} +d_{\alpha }({\hat {n}}\times \mathbf {1} )^{2}\\=&\mathbf {1} +s_{\alpha }{\hat {n}}\times \mathbf {1} +d_{\alpha }({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\end{aligned}}

\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}c_{\alpha }+d_{\alpha }n_{1}^{2}&-s_{\alpha }n_{3}+d_{\alpha }n_{1}n_{2}&s_{\alpha }n_{2}+d_{\alpha }n_{1}n_{3}\\s_{\alpha }n_{3}+d_{\alpha }n_{1}n_{2}&c_{\alpha }+d_{\alpha }n_{2}^{2}&-s_{\alpha }n_{1}+d_{\alpha }n_{2}n_{3}\\-s_{\alpha }n_{2}+d_{\alpha }n_{1}n_{3}&s_{\alpha }n_{1}+d_{\alpha }n_{2}n_{3}&c_{\alpha }+d_{\alpha }n_{3}^{2}\end{pmatrix}}

mit $c_{\alpha }=\cos(\alpha ),\;d_{\alpha }=1-\cos(\alpha ),\;s_{\alpha }=\sin(\alpha )$ .

Euler-Rodrigues-Formel: $a=\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right),b=\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)n_{1},c=\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)n_{2},d=\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)n_{3}$ also $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$ :

\mathbf {R} :={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}\end{pmatrix}}

Formulierung mit Drehvektor:

Drehvektor		Orthogonaler Tensor
${\vec {\alpha }}=\alpha {\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +{\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\frac {1-\cos(\alpha )}{\alpha ^{2}}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$
${\vec {\alpha }}=\tan(\alpha ){\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +\cos(\alpha ){\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\frac {\cos ^{2}(\alpha )}{1+\cos(\alpha )}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$
${\vec {\alpha }}=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\;{\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +{\frac {2}{1+{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2})$
${\vec {\alpha }}=\sin(\alpha )\;{\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +{\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\dfrac {1}{1+\cos(\alpha )}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$
${\vec {\alpha }}=\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\;{\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +2\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right){\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +2({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$
${\vec {\alpha }}=\cos(\alpha )\;{\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +\tan(\alpha ){\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +{\frac {1-\cos(\alpha )}{{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$
${\vec {\alpha }}=\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\;{\vec {n}}$	→	$\mathbf {R} =\mathbf {1} +2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right){\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} +2{\frac {1-{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}}{{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }}}}({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}$

Darin ist $({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )^{2}=({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )\cdot ({\vec {\alpha }}\times \mathbf {1} )={\vec {\alpha }}\otimes {\vec {\alpha }}-({\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\alpha }})\mathbf {1}$

Beispiel für Drehspiegelung:

\mathbf {Q} =-\mathbf {1} +\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} -(1+\cos(\alpha ))({\hat {n}}\times \mathbf {1} )^{2}

Drehung von Vektorraumbasis ${\vec {u}}_{1,2,3}\;{\textsf {nach}}\;{\vec {v}}_{1,2,3}$ mit Drehachse ${\hat {n}}$ :

\mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}_{i}={\vec {v}}_{i}\,,\quad \mathbf {Q} \cdot {\vec {u}}^{i}={\vec {v}}^{i}\,,\quad \mathbf {Q} ={\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {u}}^{i}={\vec {v}}^{i}\otimes {\vec {u}}_{i}

{\hat {n}}\simeq {\vec {v}}_{i}\times {\vec {u}}^{i}={\vec {v}}^{i}\times {\vec {u}}_{i}=-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {Q} }}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {Q} )

mit #Dualer axialer Vektor ${\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {Q} }}}$ und #Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {Q} )$ .

Gegeben Orthonormalbasis ${\hat {v}}_{1,2,3}$ , Drehwinkel $\alpha$ und ${\hat {v}}_{1}$ ist Drehachse:

{\begin{aligned}\mathbf {Q} =&{\color {red}\pm }{\hat {v}}_{1}\otimes {\hat {v}}_{1}+\cos(\alpha )({\hat {v}}_{2}\otimes {\hat {v}}_{2}+{\hat {v}}_{3}\otimes {\hat {v}}_{3})+\sin(\alpha )({\hat {v}}_{3}\otimes {\hat {v}}_{2}-{\hat {v}}_{2}\otimes {\hat {v}}_{3})\\=&{\begin{pmatrix}{\color {red}\pm 1}&0&0\\0&\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\0&\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{pmatrix}}_{{\hat {v}}_{i}\otimes {\hat {v}}_{j}}\end{aligned}}

{\color {red}+1}

: Drehung,

{\color {red}-1}

: Drehspiegelung um

{\hat {v}}_{1}

Wenn ${\hat {v}}_{1,2,3}$ ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

#Eigensystem:

{\begin{aligned}\lambda _{1}=&\mathrm {det} (\mathbf {Q} )\,,&{\vec {q}}_{1}=&{\hat {v}}_{1}\\\lambda _{2}=&e^{\mathrm {i} \alpha },&{\vec {q}}_{2}=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {v}}_{2}-\mathrm {i} {\hat {v}}_{3}).\\\lambda _{3}=&e^{-\mathrm {i} \alpha },&{\vec {q}}_{3}=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\hat {v}}_{2}+\mathrm {i} {\hat {v}}_{3})\end{aligned}}

Drehwinkel:

\cos(\alpha )={\frac {1}{2}}(\mathrm {Sp} (\mathbf {Q} )-\mathrm {det} (\mathbf {Q} ))

Drehachse ${\hat {n}}$ ist #Vektorinvariante:

{\hat {n}}\simeq {\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {Q} )=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {Q}

\mathbf {Q} ={\vec {s}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{i}={\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {z}}_{i}\quad \rightarrow \quad {\hat {n}}\simeq {\vec {s}}_{i}\times {\vec {e}}_{i}={\vec {e}}_{i}\times {\vec {z}}_{i}

{\frac {1}{2}}(\mathbf {Q} -\mathbf {Q} ^{\top })=\sin(\alpha ){\hat {n}}\times \mathbf {1} =\sin(\alpha ){\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}},\quad |{\hat {n}}|=1

Positiv definite Tensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad {\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}>0\quad \forall \;{\vec {v}}\in \mathbb {V} \setminus \{{\vec {0}}\}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathbf {A^{\top }\cdot A^{\top }} -\mathrm {I} _{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top -1}$

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

\mathrm {det} (\mathbf {A} )>0

\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\quad \rightarrow \quad A_{11},\,A_{22},\,A_{33}>0

\mathbf {A} =A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\quad \rightarrow \quad A_{1}^{1},\,A_{2}^{2},\,A_{3}^{3}>0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0:

A·A^⊤ und A^⊤·A

Symmetrische Tensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1}$

#Betrag:

\quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}

Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr #Dualer axialer Vektor und ihre #Vektorinvariante:

{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }}}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })={\vec {0}}

Bilinearform:

{\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {u}}\quad \forall {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {V}

Alle #Eigenwerte λ_1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren ${\vec {a}}_{1,2,3}$ sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Hauptachsentransformation:

{\begin{aligned}\mathbf {A} =&\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {a}}_{i}=({\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i})\left(\sum _{i=1}^{3}\lambda _{j}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {a}}_{k})\\=&{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\end{aligned}}

Bezüglich der Standardbasis:

\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}}

#Invarianten:

\mathrm {Sp} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{11}+A_{22}+A_{33}

\mathrm {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}^{2}-A_{13}^{2}-A_{23}^{2}

{\begin{aligned}\mathrm {det} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=&A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}^{2})+A_{12}(A_{23}A_{13}-A_{12}A_{33})\\&+A_{13}(A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22})\end{aligned}}

\parallel A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\parallel ={\sqrt {A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}+2A_{12}^{2}+2A_{13}^{2}+2A_{23}^{2}}}

Symmetrische und positiv definite Tensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }\quad {\text{und}}\quad {\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}>0\quad \forall \;{\vec {v}}\in \mathbb {V} \setminus \{{\vec {0}}\}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1}$

Mit den #Eigenwerten $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\lambda _{3}$ , den #Eigenvektoren ${\hat {a}}_{1},\,{\hat {a}}_{2},\,{\hat {a}}_{3}$ und einer reellwertigen Funktion $f(x)\in \mathbb {R}$ eines reellen Argumentes $x\in \mathbb {R}$ definiert man über das #Eigensystem symmetrischer Tensoren

{\begin{aligned}\mathbf {A} =&\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {a}}_{i}\\=&{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\end{aligned}}

den Funktionswert des Tensors:

{\begin{aligned}f(\mathbf {A} ):=&\sum _{i=1}^{3}f(\lambda _{i}){\hat {a}}_{i}\otimes {\hat {a}}_{i}\\=&{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}f(\lambda _{1})&0&0\\0&f(\lambda _{2})&0\\0&0&f(\lambda _{3})\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}&{\hat {a}}_{2}&{\hat {a}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }\end{aligned}}

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n³ alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

\mathbf {U} =+{\sqrt {\mathbf {F} ^{\top }\cdot \mathbf {F} }}

Linker Strecktensor

\mathbf {v} =+{\sqrt {\mathbf {F\cdot F} ^{\top }}}

Henky-Dehnung

\mathbf {E} _{H}:=\ln(\mathbf {U} )={\frac {1}{2}}\ln(\mathbf {F} ^{\top }\cdot \mathbf {F} )

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

Die Tensoren

{\begin{aligned}\mathbf {S} _{1}=&{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{1}\\\mathbf {S} _{2}=&{\vec {e}}_{2}\otimes {\vec {e}}_{2}\\\mathbf {S} _{3}=&{\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}_{3}\\\mathbf {S} _{4}=&{\vec {e}}_{2}\otimes {\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}_{2}\\\mathbf {S} _{5}=&{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}_{1}\\\mathbf {S} _{6}=&{\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{2}+{\vec {e}}_{2}\otimes {\vec {e}}_{1}\end{aligned}}

bilden eine Basis im Vektorraum $\mathrm {sym} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )\subset {\mathcal {L}}$ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

\mathbf {A} \in \mathrm {sym} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )\quad \rightarrow \quad \mathbf {A} =A_{r}\mathbf {S} _{r}{\hat {=}}{\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\\A_{6}\end{bmatrix}}

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

\mathbf {A} :\mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}+2A_{4}B_{4}+2A_{5}B_{5}+2A_{6}B_{6}

berücksichtigt werden. Siehe auch #Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe.

Schiefsymmetrische Tensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\top }

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A\cdot A} +\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} =\mathbf {A\cdot A} -{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})\mathbf {1}$

#Invarianten:

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=0

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})

\mathrm {det} (\mathbf {A} )=0

\quad \parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )}}={\sqrt {-\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})}}

In kartesischen Koordinaten:

\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}0&A_{12}&A_{13}\\-A_{12}&0&A_{23}\\-A_{13}&-A_{23}&0\end{pmatrix}}

#Invarianten:

\mathrm {Sp} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=0

\mathrm {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{12}^{2}+A_{13}^{2}+A_{23}^{2}

\mathrm {det} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=0

\parallel A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\parallel ={\sqrt {2}}{\sqrt {A_{12}^{2}+A_{13}^{2}+A_{23}^{2}}}

Bilinearform:

{\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}=-{\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {u}}\quad \forall {\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {V}

{\vec {v}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}=0\quad \forall {\vec {v}}\in \mathbb {V}

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

#Dualer axialer Vektor:

{\begin{aligned}&\mathbf {A} _{\times }:={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}:=-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \times \mathbf {A} ^{\top }=-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )\\&\rightarrow \quad \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}\times {\vec {v}}\quad \forall {\vec {v}}\in \mathbb {V} \end{aligned}}

mit #Vektorinvariante ${\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )$ . Der zum Eigenwert null gehörende #Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor $\mathbf {A} _{\times }$ denn

\mathbf {A\cdot A} _{\times }=\mathbf {A} _{\times }\times \mathbf {A} _{\times }={\vec {0}}

\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\quad \rightarrow \;\mathbf {A} _{\times }=-{\frac {1}{2}}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}-A_{23}\\A_{13}\\-A_{12}\end{pmatrix}}

\mathbf {A} =A_{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}-{\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})\quad \rightarrow \;\mathbf {A} _{\times }=-A_{ij}{\vec {a}}_{i}\times {\vec {b}}_{j}

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Kreuzproduktmatrix $[{\vec {u}}]_{\times }$ eines Vektors ${\vec {u}}$ :

{\begin{aligned}{\vec {u}}=u_{i}{\hat {e}}_{i}=&{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}\\\rightarrow \;[{\vec {u}}]_{\times }=&{\vec {u}}\times \mathbf {1} ={\vec {u}}\times {\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}\cdot {\vec {u}}={\begin{pmatrix}0&-u_{3}&u_{2}\\u_{3}&0&-u_{1}\\-u_{2}&u_{1}&0\end{pmatrix}}\in {\mathcal {L}}\end{aligned}}

Kofaktor: $\mathrm {cof} ({\vec {u}}\times \mathbf {1} )=\mathrm {adj} ({\vec {u}}\times \mathbf {1} )={\vec {u}}\otimes {\vec {u}}$

#Invarianten:

\mathrm {Sp} =0

\mathrm {I} _{2}={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}

\mathrm {det} =0

\|{\vec {u}}\times \mathbf {1} \|={\sqrt {2{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {2}}{\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}}

{\stackrel {A}{\overrightarrow {{\vec {u}}\times \mathbf {1} }}}={\vec {u}}

#Eigensystem:

{\begin{aligned}\lambda _{1}=&0\,,&{\vec {v}}_{1}=&{\vec {u}}\\\lambda _{2,3}=&\mp \mathrm {i} |{\vec {u}}|\,,&{\vec {v}}_{2,3}&\simeq &{\frac {u_{1}}{|{\vec {u}}|}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{pmatrix}}\pm \mathrm {i} {\begin{pmatrix}\pm \mathrm {i} |{\vec {u}}|\\-u_{3}\\u_{2}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Eigenschaften:

{\vec {u}}\times {\vec {v}}=({\vec {u}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {v}}={\vec {u}}\cdot ({\vec {v}}\times \mathbf {1} )

{\vec {u}}\times \mathbf {1} =\mathbf {1} \times {\vec {u}}

({\vec {u}}\times \mathbf {1} )^{\top }=-{\vec {u}}\times \mathbf {1}

{\vec {u}}=-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {u}}\times \mathbf {1} )=-{\frac {1}{2}}(\mathbf {1} \times {\vec {u}})\times \mathbf {1} ={\frac {1}{2}}\mathbf {1} \times ({\vec {u}}\times \mathbf {1} )

{\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times \mathbf {1} )=({\vec {u}}\times \mathbf {1} )\cdot ({\vec {v}}\times \mathbf {1} )={\vec {v}}\otimes {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})\mathbf {1}

{\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {w}}={\vec {u}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})=({\vec {u}}\cdot {\vec {w}}){\vec {v}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}}){\vec {w}}

Potenzen von $[{\vec {u}}]_{\times }={\vec {u}}\times \mathbf {1}$

[{\vec {u}}]_{\times }^{2}=[{\vec {u}}]_{\times }\cdot [{\vec {u}}]_{\times }={\vec {u}}\otimes {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})\mathbf {1}

[{\vec {u}}]_{\times }^{3}=-({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})[{\vec {u}}]_{\times }

Deviatorische Tensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad \mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=0

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\left(\mathbf {A} ^{2}\right)^{\top }+\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\mathbf {1} =\left(\mathbf {A} ^{2}\right)^{\top }-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})\mathbf {1}$

#Hauptinvarianten:

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ):=0

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})

\mathrm {det} (\mathbf {A} )={\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{3})

Bezüglich der Standardbasis:

\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&-A_{11}-A_{22}\end{pmatrix}}

\mathrm {Sp} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=0

\mathrm {I} _{2}(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=-A_{11}^{2}-A_{22}^{2}-A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}

{\begin{aligned}\mathrm {det} (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=&-A_{11}(A_{11}A_{22}+A_{22}^{2}+A_{23}A_{32})\\&+A_{12}(A_{23}A_{31}+A_{21}A_{11}+A_{21}A_{22})\\&+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})\end{aligned}}

\parallel A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\parallel ={\sqrt {\begin{array}{r}2A_{11}^{2}+2A_{22}^{2}+2A_{11}A_{22}+A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+\ldots \\\ldots +A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}\end{array}}}

Kugeltensoren

Definition

\mathbf {A} :\quad \mathbf {A} =a\mathbf {1} ={\begin{pmatrix}a&0&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}

Kofaktor: $\mathrm {cof} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=a^{2}\mathbf {1}$

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=3a

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )=3a^{2}

\mathrm {det} (\mathbf {A} )=a^{3}

\parallel \mathbf {A} \parallel ={\sqrt {3}}|a|

Dekompositionen eines Tensors

Gegeben ein beliebiger Tensor $\mathbf {A} =A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

Symmetrischer Anteil

\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }=\mathrm {sym} (\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\top })

\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2A_{11}&A_{12}+A_{21}&A_{13}+A_{31}\\A_{12}+A_{21}&2A_{22}&A_{23}+A_{32}\\A_{13}+A_{31}&A_{23}+A_{32}&2A_{33}\end{pmatrix}}

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}

{\begin{aligned}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })=&{\frac {1}{2}}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )+{\frac {1}{4}}\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-{\frac {1}{4}}\mathbf {A:A} \\=&A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}\\&-{\frac {1}{4}}\left[(A_{12}+A_{21})^{2}+(A_{13}+A_{31})^{2}+(A_{23}+A_{32})^{2}\right]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })=&{\frac {1}{4}}\mathrm {det} (\mathbf {A} )+{\frac {1}{4}}\mathbf {A} :\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\\=&A_{11}A_{22}A_{33}+{\frac {1}{4}}(A_{12}+A_{21})(A_{23}+A_{32})(A_{13}+A_{31})\\&-{\frac {1}{4}}\left[A_{11}(A_{23}+A_{32})^{2}+A_{22}(A_{13}+A_{31})^{2}+A_{33}(A_{12}+A_{21})^{2}\right]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\parallel (\mathbf {A} ^{\mathrm {S} })\parallel =&{\sqrt {\mathbf {A:A} ^{\mathrm {S} }}}\\=&{\sqrt {A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}+{\frac {1}{2}}[(A_{12}+A_{21})^{2}+(A_{13}+A_{31})^{2}+(A_{23}+A_{32})^{2}]}}\end{aligned}}

Schiefsymmetrischer Anteil

\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\mathrm {skw} (\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\top })

\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&A_{12}-A_{21}&A_{13}-A_{31}\\A_{21}-A_{12}&0&A_{23}-A_{32}\\A_{31}-A_{13}&A_{32}-A_{23}&0\end{pmatrix}}

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {A} })=0

{\begin{aligned}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ^{\mathrm {A} })=&{\frac {1}{4}}\left[\mathbf {A:A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})\right]\\=&{\frac {1}{4}}\left[(A_{12}-A_{21})^{2}+(A_{13}-A_{31})^{2}+(A_{23}-A_{32})^{2}\right]\end{aligned}}

\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {A} })=0

\parallel \mathbf {A} ^{\mathrm {A} }\parallel ={\sqrt {\mathbf {A:A} ^{\mathrm {A} }}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {(A_{12}-A_{21})^{2}+(A_{13}-A_{31})^{2}+(A_{32}-A_{23})^{2}}}

Deviator

\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\mathrm {dev} (\mathbf {A} ):=\mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1}

\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }={\begin{pmatrix}{\frac {2A_{11}-A_{22}-A_{33}}{3}}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&{\frac {2A_{22}-A_{11}-A_{33}}{3}}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&{\frac {2A_{33}-A_{11}-A_{22}}{3}}\end{pmatrix}}

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {D} })=0

{\begin{aligned}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} })=&\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )-{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{2})\\=&{\frac {1}{3}}(A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{11}^{2}-A_{22}^{2}-A_{33}^{2})\\&-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {D} })=&\mathrm {det} (\mathbf {A} )+{\frac {2}{27}}\mathrm {Sp} ^{3}(\mathbf {A} )-{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} )\\=&{\frac {1}{27}}{\Big [}12A_{11}A_{22}A_{33}+2(A_{11}^{3}+A_{22}^{3}+A_{33}^{3})\ldots \\&\qquad \ldots -3A_{11}^{2}(A_{22}+A_{33})-3A_{22}^{2}(A_{11}+A_{33})-3A_{33}^{2}(A_{11}+A_{22}){\Big ]}\\&-{\frac {1}{3}}{\Big [}(2A_{11}-A_{22}-A_{33})A_{23}A_{32}+(2A_{22}-A_{11}-A_{33})A_{13}A_{31}+\ldots \\&\qquad \ldots +(2A_{33}-A_{11}-A_{22})A_{12}A_{21}{\Big ]}\\&+A_{13}A_{32}A_{21}+A_{12}A_{23}A_{31}\end{aligned}}

\parallel \mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\parallel ={\sqrt {\begin{array}{r}{\frac {2}{3}}(A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}-A_{11}A_{22}-A_{11}A_{33}-A_{22}A_{33})+\ldots \\\ldots +A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}\end{array}}}

Kugelanteil

\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }=\mathrm {sph} (\mathbf {A} ):={\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {1}

\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }={\frac {1}{3}}(A_{11}+A_{22}+A_{33}){\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {K} })=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}

\mathrm {I} _{2}(\mathbf {A} ^{\mathrm {K} })={\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} ^{2}(\mathbf {A} )={\frac {1}{3}}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^{2}

\mathrm {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {K} })={\frac {1}{27}}\mathrm {Sp} ^{3}(\mathbf {A} )={\frac {1}{27}}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^{3}

\parallel \mathbf {A} ^{\mathrm {K} }\parallel ={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )|={\frac {1}{\sqrt {3}}}|A_{11}+A_{22}+A_{33}|

Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors

\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }:\mathbf {B} ^{\mathrm {A} }=0

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }:\mathbf {B} ^{\mathrm {K} }=0

Polarzerlegung

Für jeden Tensor F mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und #Symmetrische und positiv definite Tensoren U in eindeutiger Weise, sodass

F = Q·U

Im Fall des Deformationsgradienten ist U der rechte Strecktensor, siehe #Symmetrische und positiv definite Tensoren. Der Anteil U berechnet sich wie dort angegeben aus

\mathbf {U} =+{\sqrt {\mathbf {F^{\top }\cdot F} }}

Dann ist U·U = F^⊤·F und

\mathbf {Q} =\mathbf {F\cdot U} ^{-1}

Bei det(F)=0 ergeben sich U sowie Q aus der Singulärwertzerlegung von F und U ist nur noch symmetrisch positiv semidefinit.

Projektionen

Punkt auf Gerade

Gegeben sei die Gerade durch den Punkt ${\vec {x}}$ mit Richtungsvektor ${\vec {g}}$ und ein beliebiger anderer Punkt ${\vec {p}}$ .

Dann ist

{\begin{aligned}{\vec {p}}=&{\vec {x}}+{\vec {a}}+{\vec {b}}\quad {\textsf {mit}}\quad {\vec {a}}\|{\vec {g}}\quad {\text{und}}\quad {\vec {b}}\bot {\vec {g}}\\\mathbf {G} =&{\frac {{\vec {g}}\otimes {\vec {g}}}{{\vec {g}}\cdot {\vec {g}}}}\quad \rightarrow \quad \mathbf {G} \cdot {\vec {g}}={\vec {g}}\,,\quad (\mathbf {1} -\mathbf {G} )\cdot {\vec {g}}={\vec {0}}\\&{\vec {n}}\cdot {\vec {g}}=0\quad \rightarrow \quad \mathbf {G} \cdot {\vec {n}}={\vec {0}}\,,\quad (\mathbf {1} -\mathbf {G} )\cdot {\vec {n}}={\vec {n}}\\{\vec {a}}=&\mathbf {G} \cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})={\frac {{\vec {g}}\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})}{{\vec {g}}\cdot {\vec {g}}}}{\vec {g}}\\{\vec {b}}=&\left(\mathbf {1} -\mathbf {G} \right)\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})={\vec {p}}-{\vec {x}}-{\vec {a}}\end{aligned}}

Der Punkt ${\vec {x}}+{\vec {a}}$ ist die senkrechte Projektion von ${\vec {p}}$ auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von ${\vec {g}}$ und 1-G den Anteil senkrecht dazu.

Punkt oder Gerade auf Ebene

Gegeben sei die Ebene durch den Punkt ${\vec {x}}$ und zwei die Ebene aufspannende Vektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}\not \!\|{\vec {u}}$ sowie ein beliebiger anderer Punkt ${\vec {p}}$ . Dann verschwindet die Normale

{\hat {n}}={\frac {{\vec {u}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {u}}\times {\vec {v}}|}}

nicht. Dann ist

{\begin{aligned}{\vec {p}}=&{\vec {x}}+{\vec {a}}+{\vec {b}}\quad {\textsf {mit}}\quad {\vec {a}}\bot {\hat {n}}\quad {\text{und}}\quad {\vec {b}}\|{\hat {n}}\\\mathbf {P} =&{\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}){\vec {u}}\otimes {\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}+{\vec {v}}\otimes {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot {\vec {u}}){\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{({\vec {u}}\cdot {\vec {u}})({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}=\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}\\&\rightarrow \mathbf {P} \cdot {\vec {u}}={\vec {u}}\,,\quad \mathbf {P} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\,,\quad \mathbf {P} \cdot {\hat {n}}={\vec {0}}\,,\quad (\mathbf {1} -\mathbf {P} )\cdot {\hat {n}}={\hat {n}}\\&\rightarrow \mathbf {P} \cdot (x{\vec {u}}+y{\vec {v}})=x{\vec {u}}+y{\vec {v}}\quad {\text{und}}\quad (\mathbf {1} -\mathbf {P} )\cdot (x{\vec {u}}+y{\vec {v}})={\vec {0}}\quad \forall x,y\in \mathbb {R} \\{\vec {a}}=&\mathbf {P} \cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})\\{\vec {b}}=&(\mathbf {1} -\mathbf {P} )\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})={\vec {p}}-{\vec {x}}-{\vec {a}}\end{aligned}}

Der Punkt ${\vec {x}}+{\vec {a}}$ ist die senkrechte Projektion von ${\vec {p}}$ auf die Ebene.^[2] Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und 1-P den Anteil senkrecht dazu.

Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte ${\vec {x}}$ und ${\vec {p}}$ verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors ${\vec {a}}$ .

Falls $|{\vec {u}}|=|{\vec {v}}|=1$ und ${\vec {u}}\bot {\vec {v}}$ folgt:

{\hat {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1

\mathbf {P} ={\vec {u}}\otimes {\vec {u}}+{\vec {v}}\otimes {\vec {v}}=\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}

{\vec {a}}=({\vec {u}}\otimes {\vec {u}}+{\vec {v}}\otimes {\vec {v}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})=(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})

{\vec {b}}=(\mathbf {1} -{\vec {u}}\otimes {\vec {u}}-{\vec {v}}\otimes {\vec {v}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})=({\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {x}})

Fundamentaltensor 3. Stufe

Definition:

{\begin{aligned}{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:=&\epsilon _{ijk}\,{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{k}\\=&{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})\end{aligned}}

Kreuzprodukt von Vektoren:

{\vec {u}}\times {\vec {v}}={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})={\vec {v}}\cdot {\stackrel {3}{\mathbf {E} }}\cdot {\vec {u}}=-{\vec {u}}\cdot {\stackrel {3}{\mathbf {E} }}\cdot {\vec {v}}=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:({\vec {v}}\otimes {\vec {u}})=-{\vec {v}}\times {\vec {u}}

{\vec {e}}_{i}\times {\vec {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}\,{\hat {e}}_{k}

#Kreuzprodukt von Tensoren, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

{\begin{aligned}{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:\mathbf {A} =&\mathbf {A} :{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A} ^{\top })=-(\mathbf {A} ^{\top }):{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}\\=&\mathbf {1} \times \mathbf {A} ^{\top }=\mathbf {1} \cdot \!\!\times \mathbf {A} \end{aligned}}

#Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:

{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:\mathbf {A} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )

#Kreuzprodukt von Tensoren:

\mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })

(A_{ik}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{k})\times (B_{jl}{\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{l})=A_{ik}B_{jk}{\vec {e}}_{i}\times {\vec {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}A_{jl}B_{kl}{\vec {e}}_{i}

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

\mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} )

(A_{ik}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{k})\cdot \!\!\times (B_{lj}{\vec {e}}_{l}\otimes {\vec {e}}_{j})=A_{ik}B_{kj}{\vec {e}}_{i}\times {\vec {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}A_{jl}B_{lk}{\vec {e}}_{i}

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}\cdot {\vec {u}}={\vec {u}}\cdot {\stackrel {3}{\mathbf {E} }}=-{\vec {u}}\times \mathbf {1} =-\mathbf {1} \times {\vec {u}}

Tensoren vierter Stufe

Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums ${\mathcal {L}}$ wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}=A_{pq}(\mathbf {A} _{p}\otimes \mathbf {G} _{q})

mit Komponenten $A_{pq}$ und die Tensoren $\mathbf {A} _{1},\mathbf {A} _{2},\ldots ,\mathbf {A} _{9}\in {\mathcal {L}}$ sowie $\mathbf {G} _{1},\mathbf {G} _{2},\ldots ,\mathbf {G} _{9}\in {\mathcal {L}}$ bilden eine Basis von ${\mathcal {L}}$ .

Standardbasis in ${\mathcal {L}}$ :

\mathbf {E} _{1}={\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{1},\mathbf {E} _{2}={\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{2},\mathbf {E} _{3}={\vec {e}}_{1}\otimes {\vec {e}}_{3},\mathbf {E} _{4}={\vec {e}}_{2}\otimes {\vec {e}}_{1},\ldots ,\mathbf {E} _{9}={\vec {e}}_{3}\otimes {\vec {e}}_{3}

Tensortransformation:

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}:\mathbf {H} =A_{pq}(\mathbf {A} _{p}\otimes \mathbf {G} _{q}):\mathbf {H} :=A_{pq}(\mathbf {G} _{q}:\mathbf {H} )\mathbf {A} _{p}

Tensorprodukt:

[A_{pq}(\mathbf {A} _{p}\otimes \mathbf {G} _{q})]:[B_{rs}(\mathbf {H} _{r}\otimes \mathbf {U} _{s})]:=A_{pq}(\mathbf {G} _{q}:\mathbf {H} _{r})B_{rs}\mathbf {A} _{p}\otimes \mathbf {U} _{s}

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}=\mathbb {A} =A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l}

Transpositionen

Transposition:

(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\top }=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A}

(A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})^{\top }:=A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l}\otimes {\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}

Spezielle Transposition ${\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\stackrel {mn}{\top }}$ vertauscht $$ m $$ -tes mit $$ n $$ -tem Basissystem.

Beispielsweise:

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\stackrel {13}{\top }}:=A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{l}

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\stackrel {24}{\top }}:=A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{l}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{j}

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}\,^{\top }=\left({\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\stackrel {13}{\top }}\right){}^{\stackrel {24}{\top }}=A_{ijkl}\;{\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l}\otimes {\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}

Symmetrische Tensoren vierter Stufe

Definition: ${\stackrel {4}{\mathbf {A} }}={\stackrel {4}{\mathbf {A} }}{}^{\top }$

Dann gilt: ${\stackrel {4}{\mathbf {A} }}:\mathbf {B} =\mathbf {B} :{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}$

Einheitstensor vierter Stufe

{\begin{aligned}{\stackrel {4}{\mathbf {1} }}:=&\mathbf {E} _{p}\otimes \mathbf {E} _{p}={\stackrel {4}{\mathbf {1} }}{}^{\top }=(\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} )\,^{\stackrel {23}{\top }}\\=&{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}=\delta _{ik}\delta _{jl}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\end{aligned}}

Spezielle Tensoren vierter Stufe

Für beliebige Tensoren zweiter Stufe A gilt:

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=\mathbf {E} _{p}^{\top }\otimes \mathbf {E} _{p}=\delta _{il}\delta _{jk}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}={\frac {1}{3}}\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} ={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\delta _{kl}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}={\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-{\frac {1}{3}}\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} =(\delta _{ik}\delta _{jl}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\delta _{kl})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {4}{\mathbf {1} }}+\mathbf {E} _{p}^{\top }\otimes \mathbf {E} _{p}\right)={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-\mathbf {E} _{p}^{\top }\otimes \mathbf {E} _{p}\right)={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}-\delta _{il}\delta _{jk})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }

Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.

Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe A, B und G gilt:

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\top })^{\stackrel {23}{\top }}=A_{ik}B_{lj}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A\cdot G\cdot B}

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} ^{\top }\otimes \mathbf {B} ^{\top })^{\stackrel {23}{\top }}=A_{ki}B_{lj}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {G\cdot B}

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\stackrel {23}{\top }}=A_{ik}B_{jl}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A\cdot G\cdot B} ^{\top }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} ^{\top }\otimes \mathbf {B} )^{\stackrel {23}{\top }}=A_{ki}B_{jl}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {G\cdot B} ^{\top }

In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe B durch B^⊤ und die Transpositionen ${\stackrel {23}{\top }}$ durch ${\stackrel {24}{\top }}$ ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem G:

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\stackrel {24}{\top }}=A_{il}B_{kj}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A\cdot G} ^{\top }\cdot \mathbf {B}

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} ^{\top }\otimes \mathbf {B} )^{\stackrel {24}{\top }}=A_{li}B_{kj}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {G} ^{\top }\cdot \mathbf {B}

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\top })^{\stackrel {24}{\top }}=A_{il}B_{jk}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A\cdot G} ^{\top }\cdot \mathbf {B} ^{\top }

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}=(\mathbf {A} ^{\top }\otimes \mathbf {B} ^{\top })^{\stackrel {24}{\top }}=A_{li}B_{jk}({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\rightarrow {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {G} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {G} ^{\top }\cdot \mathbf {B} ^{\top }

Invertierungsformel

\left(a{\stackrel {4}{\mathbf {1} }}+\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} \right)^{-1}={\frac {1}{a}}\left({\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-{\frac {1}{a+\mathbf {B} :\mathbf {C} }}\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} \right)

Hooke'sches Gesetz

Mit den Spannungen $\mathbf {T}$ und den Dehnungen $\mathbf {E}$ im Hooke'schen Gesetz gilt:

{\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:=2\mu {\stackrel {4}{\mathbf {1} }}+\lambda \mathbf {1} \otimes \mathbf {1} \quad \rightarrow \quad {\stackrel {4}{\mathbf {C} }}:\mathbf {E} =\mathbf {T}

mit den Lamé-Konstanten $\lambda$ und $\mu$ . Dieser Elastizitätstensor ist symmetrisch.

Invertierungsformel mit $a=2\mu$ , $\mathbf {B} =\lambda \mathbf {1}$ und $\mathbf {C} =\mathbf {1}$ :

{\begin{aligned}&{\stackrel {4}{\mathbf {S} }}:={\stackrel {4}{\mathbf {C} }}{}^{-1}={\frac {1}{2\mu }}\left({\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-{\frac {\lambda }{2\mu +3\lambda }}\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} \right)={\frac {1}{2\mu }}{\stackrel {4}{\mathbf {1} }}-{\frac {\nu }{E}}\mathbf {1} \otimes \mathbf {1} \\&\rightarrow \quad {\stackrel {4}{\mathbf {S} }}:\mathbf {T} =\mathbf {E} \end{aligned}}

mit der Querdehnzahl $\nu$ und dem Elastizitätsmodul $$ E $$ .

Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe

Aus der Basis $\mathbf {S} _{1},\ldots ,\mathbf {S} _{6}$ des Vektorraums ${\mathcal {S}}=\mathrm {sym} (\mathbb {V} ,\mathbb {V} )$ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, kann eine Basis des Vektorraums ${\stackrel {4}{\mathcal {S}}}=\mathrm {Lin} ({\mathcal {S}},{\mathcal {S}})$ der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus ${\stackrel {4}{\mathcal {S}}}$ können als Voigt'scher Notation in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:

{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}=A_{uv}\mathbf {S} _{u}\otimes \mathbf {S} _{v}{\hat {=}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{14}&A_{15}&A_{16}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&A_{24}&A_{25}&A_{26}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&A_{34}&A_{35}&A_{36}\\A_{41}&A_{42}&A_{43}&A_{44}&A_{45}&A_{46}\\A_{51}&A_{52}&A_{53}&A_{54}&A_{55}&A_{56}\\A_{61}&A_{62}&A_{63}&A_{64}&A_{65}&A_{66}\end{bmatrix}}

Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Matrizenprodukt in Voigt'scher Notation muss eine Diagonalmatrix

I=\mathrm {diag} (1,1,1,2,2,2)

mit den Einträgen $I_{uv}=\mathbf {S} _{u}:\mathbf {S} _{v}$ zwischengeschaltet werden:

\mathbf {A} :\mathbf {B} =[\mathbf {A} ]^{\top }I[\mathbf {B} ]=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}+2A_{4}B_{4}+2A_{5}B_{5}+2A_{6}B_{6}

\left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}:\mathbf {T} \right]=\left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}\right]I[\mathbf {T} ]

\left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}:{\stackrel {4}{\mathbf {B} }}\right]=\left[{\stackrel {4}{\mathbf {A} }}\right]I\left[{\stackrel {4}{\mathbf {B} }}\right]

Darin steht [x] für die Voigt-Notation von x.

Einzelnachweise

↑ P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).
↑ J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org. S. 4f.

Literatur

Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]).
Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.

[1] P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).

[2] J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org. S. 4f.

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 {{Formelsammlung|Tensoralgebra}}
-Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der '''Tensoralgebra''' für Tensoren zweiter Stufe in der [[Kontinuumsmechanik]] zusammen.
+Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der '''Tensoralgebra''' für Tensoren zweiter Stufe in der [[Kontinuumsmechanik]] zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.
 == Allgemeines ==
 === Notation ===
-* Operatoren wie <math>\operatorname{I}_1</math> werden nicht kursiv geschrieben.
+* Operatoren wie <math>\mathrm{I}_1</math> werden nicht kursiv geschrieben.
 * Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
-** <math>i,j,k,l,m,n\in\{1,2,3\}</math>.<br>Ausnahme:<br>Die imaginäre Einheit <math>\mathrm{i}^2 = -1</math> und die [[#Vektorinvariante]] <math>\vec{\operatorname{i}}</math> werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht ''kursiv'' geschrieben.
+** <math>i,j,k,l,m,n\in\{1,2,3\}</math>.<br />Ausnahme:<br />Die imaginäre Einheit <math>\mathrm{i}^2 = -1</math> und die [[#Vektorinvariante]] <math>\vec{\mathrm{i}}</math> werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht ''kursiv'' geschrieben.
 ** <math>p,q,r,s\in\{1,2,\ldots ,9\}</math>
 ** <math>u,v\in\{1,2,\ldots ,6\}</math>
-* Alle anderen Buchstaben stehen für reelle [[Zahl]]en.
+* Alle anderen Buchstaben stehen für [[reelle Zahl]]en oder [[komplexe Zahl]]en.
 * Vektoren:
 ** Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] <math>\mathbb{V}</math>.
-** Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
+** Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.<br />Ausnahme [[#Dualer axialer Vektor]] <math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}</math>
-** Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in <math>\hat{e}</math> mit einem Hut versehen. Die [[Standardbasis]] von <math>\mathbb{V}</math> ist <math>\hat{e}_{1,2,3}</math>.
+** [[Einheitsvektor]]en mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die [[Standardbasis]] von <math>\mathbb{V}</math> ist ê<sub>1,2,3</sub>.
 ** Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in <math>\vec{a}</math> mit einem Pfeil versehen.
-** Dreiergruppen von Vektoren wie in <math>\vec{h}_{1},\vec{h}_{2},\vec{h}_{3}</math> oder <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math> bezeichnen eine [[Rechtssystem (Mathematik)|rechtshändige]] [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\mathbb{V}</math>.
+** Dreiergruppen von Vektoren wie in <math>\vec{h}_1,\vec{h}_2,\vec{h}_3</math> oder <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math> bezeichnen eine [[Rechtssystem (Mathematik)|rechtshändige]] [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\mathbb{V}</math>.
-** Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind [[Duale Basis|dual]] zueinander, z. B. <math>\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3}</math> ist dual zu <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math>.
+** Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind [[Duale Basis|dual]] zueinander, z. B. <math>\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3</math> ist dual zu <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math>.
-* Tensoren zweiter Stufe werden wie in <math>\mathbf{A}</math> mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit <math>\mathcal{L}:=\mathrm{Lin}(\mathbb{V},\mathbb{V})</math> bezeichnet. Tensoren vierter Stufe werden mit einer hochgestellten vier wie in <math>\stackrel{4}{\mathbf{C}}</math> geschrieben und sind Elemente der Menge <math>\stackrel{4}{\mathcal{L}}:=\mathrm{Lin}(\mathcal{L},\mathcal{L})</math>.
+* Tensoren zweiter Stufe werden wie in '''A''' mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit <math>\mathcal{L}:=\mathrm{Lin}(\mathbb{V},\mathbb{V})</math> bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in <math>\stackrel{4}{\mathbf{C}}</math> geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge <math>\stackrel{4}{\mathcal{L}}:=\mathrm{Lin}(\mathcal{L},\mathcal{L})</math>.
 * Es gilt die [[Einsteinsche Summenkonvention|Einstein'sche Summenkonvention]] ohne Beachtung der Indexstellung.
-** Kommt in einer Formel in einem [[Multiplikation|Produkt]] ein Index doppelt vor wie in <math>c=a_i b^i</math> wird über diesen Index summiert:<br> <math>c=a_i b^i =\sum_{i=1}^3 a_i b^i</math>.
+** Kommt in einer Formel in einem [[Multiplikation|Produkt]] ein Index doppelt vor wie in <math>c=a_i b^i</math> wird über diesen Index summiert:<br /> <math>c=a_i b^i =\sum_{i=1}^3 a_i b^i</math>.
-** Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in <math>c=A_{pq} B^p_q</math> wird über diese summiert:<br> <math>c=A_{pq} B^p_q =\sum_{p=1}^9\sum_{q=1}^9 A_{pq} B^p_q</math>.
+** Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in <math>c=A_{pq}B^p_q</math> wird über diese summiert:<br /> <math>c=A_{pq}B^p_q =\sum_{p=1}^9\sum_{q=1}^9 A_{pq}B^p_q</math>.
-** Ein Index, der nur einfach vorkommt wie <math>u</math> in <math>a_u = A_{uv} b_v</math>, ist ein ''freier'' Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:<br> <math>a_u = A_{uv} b_v\quad\leftrightarrow\quad a_u =\sum_{v=1}^6 A_{uv} b_v\quad\forall\; u\in\{1,\ldots ,6\}</math>.
+** Ein Index, der nur einfach vorkommt wie <math>u</math> in <math>a_u = A_{uv}b_v</math>, ist ein ''freier'' Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:<br /> <math>a_u = A_{uv}b_v\quad\leftrightarrow\quad a_u =\sum_{v=1}^6 A_{uv}b_v\quad\forall\; u\in\{1,\ldots ,6\}</math>.
 === Glossar ===
 ==== Reservierte und besondere Symbole ====
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 ! Formelzeichen !! Abschnitt in der Formelsammlung !! Wikipedia-Artikel
 |-
-| <math>\mathbf{I}</math> || [[#Einheitstensor]] || [[Einheitstensor]]
+| <math>\mathbf{I,1}</math> || [[#Einheitstensor]] || [[Einheitstensor]]
 |-
-| <math>\mathbf{Q},\mathbf{R}</math> || [[#Orthogonale Tensoren]]
+| <math>\mathbf{Q,R}</math> || [[#Orthogonale Tensoren]]
 | [[Orthogonaler Tensor]]
 |-
-| <math>\delta_{ij}</math> || [[#Kronecker-Delta]]
+| <math>\lambda</math> || [[#Eigenwerte]] || [[Eigenwertproblem]]
-| [[Kronecker-Delta]]
+|-
+| <math>\delta_{ij}</math> || [[#Kronecker-Delta]] || [[Kronecker-Delta]]
 |-
 | <math>\epsilon_{ijk}</math> || [[#Permutationssymbol]]
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 | [[Epsilon-Tensor]]
 |-
-| <math>[\vec{a}]_\times</math>
+| <math> [\vec{a}]_\times</math>
-| [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]], [[#Schiefsymmetrische Tensoren]]
+| [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]
 | [[Kreuzprodukt]]
 |-
-| <math>\vec{\operatorname{i}}, \mathbf{A}_\times</math>
+| <math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}},\mathbf{A}_\times</math>
-|[[#Vektorinvariante]] oder dualer axialer Vektor, [[#Schiefsymmetrische Tensoren]], [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]
+| [[#Dualer axialer Vektor]]
 | [[Kreuzprodukt]]
+|-
+| <math>\vec{\mathrm{i}}</math> || [[#Vektorinvariante]]
+| [[Vektorinvariante]]
+|-
+| <math>\mathrm{i}</math> || || [[Imaginäre Einheit]]
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 ==== Zeichen für Operatoren ====
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 ! Formelzeichen !! Abschnitt in der Formelsammlung !! Wikipedia-Artikel
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 | <math>(\cdot)\cdot(\cdot)</math>
-| Skalarprodukt von Vektoren, [[#Vektortransformation mit Dyaden]], [[#Vektortransformation]], [[#Tensorprodukt von Dyaden]] und [[#Tensorprodukt]]
+| Skalarprodukt von Vektoren, [[#Vektortransformation]], [[#Tensorprodukt]]
 | [[Skalarprodukt]]
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 | <math>(\cdot)\times(\cdot)</math>
-| [[#Kreuzprodukt von Vektor und Dyade]], [[#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor]]
+| [[#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor]], [[#Kreuzprodukt von Tensoren]]
 | [[Kreuzprodukt]]
 |-
 | <math>(\cdot):(\cdot)</math>
-| [[#Skalarprodukt von Dyaden]], [[#Skalarprodukt von Tensoren]]
+| [[#Skalarprodukt von Tensoren]]
 | [[Frobenius-Skalarprodukt]]
 |-
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 |-
 | <math>(\cdot)\cdot\!\!\times(\cdot)</math>
-| [[#Skalarkreuzprodukt von Dyaden]], [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]
+| [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]
 |
 |-
 | <math>(\cdot)\times\!\!\times(\cdot)</math>
-| [[#Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden]], [[#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren]]
+| [[#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren]]
 |
 |-
 | <math>(\cdot)\#(\cdot)</math>
-| [[#Äußeres Tensorprodukt von Dyaden]], [[#Äußeres Tensorprodukt]]
+| [[#Äußeres Tensorprodukt]]
 | [[Äußeres Tensorprodukt]]
 |-
-| <math>\parallel (\cdot)\parallel</math> || [[#Norm eines Tensors]], [[#Invarianten]]
+| <math>\parallel(\cdot)\parallel</math> || [[#Betrag]]
 | [[Frobeniusnorm]]
+|-
+| <math>|x|, |\vec v|, |\mathbf A|</math>
+| Betrag der Zahl x oder des Vektors <math>\vec v</math>, [[#Determinante]] des Tensors '''A'''
+| [[Determinante]]
 |}
 ==== Tensorfunktionen ====
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 ! Formelzeichen !! Abschnitt in der Formelsammlung !! Wikipedia-Artikel
 |-
-| <math>\operatorname{Sp , tr, I}_1</math>
+| <math>\mathrm{Sp, tr, I}_1</math> || [[#Spur]]
-| [[#Spur einer Dyade]], [[#Spur]], [[#Invarianten]]
+| [[Spur (Mathematik)]], [[Hauptinvariante]]
-|[[Spur (Mathematik)]], [[Hauptinvariante]]
 |-
-| <math>\operatorname{I}_2</math> || [[#Invarianten]]
+| <math>\mathrm{I}_2</math> || [[#Zweite Hauptinvariante]]
 | [[Hauptinvariante]]
 |-
-| <math>\operatorname{det, I}_3</math> || [[#Determinante]], [[#Invarianten]]
+| <math>\mathrm{det, I}_3, |\mathbf A|</math>
+| [[#Determinante]]
 | [[Determinante]], [[Hauptinvariante]]
 |-
-| <math>\operatorname{sym}</math> || [[#Symmetrischer Anteil]]
+| sym || [[#Symmetrischer Anteil]] || [[Symmetrische Matrix]]
-| [[Symmetrische Matrix]]
 |-
-| <math>\operatorname{skw},\operatorname{skew}</math>
+| skw, skew || [[#Schiefsymmetrischer Anteil]] || [[Schiefsymmetrische Matrix]]
-| [[#Schiefsymmetrischer Anteil]] || [[Schiefsymmetrische Matrix]]
 |-
-| <math>\operatorname{adj}</math> || [[#Adjungierter Tensor]] || [[Adjunkte]]
+| adj || [[#Adjunkte]] || [[Adjunkte]]
 |-
-| <math>\operatorname{cof}</math> || [[#Kofaktor eines Tensors]]
+| cof || [[#Kofaktor]] || [[Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix]]
-| [[Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix]]
 |-
-| <math>\operatorname{dev}</math> || [[#Deviator]]
+| dev || [[#Deviator]] || [[Deviator]], [[Spannungsdeviator]]
-| [[Deviator]], [[Spannungsdeviator]]
 |-
-| <math>\operatorname{sph}</math> || [[#Kugelanteil]] || [[Kugeltensor]]
+| sph || [[#Kugelanteil]] || [[Kugeltensor]]
 |}
 ==== Indizes ====
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 ! Formelzeichen !! Abschnitt in der Formelsammlung !! Wikipedia-Artikel
 |-
-| <math>(\cdot)_{ij}, (\cdot)^{ij}, (\cdot)^i_j</math>
+| <math>(\cdot)_{ij},(\cdot)^{ij},(\cdot)^i_j</math> || [[#Tensorkomponenten]]
-| [[#Tensorkomponenten]]
 |-
-| <math>(\cdot)^\top</math>
+| <math>(\cdot)^\top</math> || [[#Transposition]] || [[Transponierte Matrix]]
-| [[#Transposition einer Dyade]], [[#Transposition]]
-| [[Transponierte Matrix]]
 |-
 | <math>(\cdot)^{\stackrel{mn}{\top}}</math>
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 |
 |-
-| <math>(\cdot)^{-1}</math> || [[#Inverse eines Tensors]] || [[Inverse Matrix]]
+| <math>(\cdot)^{-1}</math> || [[#Inverse]] || [[Inverse Matrix]]
 |-
-| <math>(\cdot)^{-\top}, (\cdot)^{\top -1}</math>
+| <math>(\cdot)^{-\top},(\cdot)^{\top -1}</math>
-| [[#Transposition|Transponierte]] des [[#Inverse eines Tensors|inversen]] Tensors
+| [[#Transposition]] der [[#Inverse]]
 |
 |-
-| <math>(\cdot)^{\mathrm{S}}</math> || [[#Symmetrischer Anteil]]
+| <math>(\cdot)^\mathrm{S}</math> || [[#Symmetrischer Anteil]]
 | [[Symmetrische Matrix]]
 |-
-| <math>(\cdot)^{\mathrm{A}}</math> || [[#Schiefsymmetrischer Anteil]]
+| <math>(\cdot)^\mathrm{A}</math> || [[#Schiefsymmetrischer Anteil]]
 | [[Schiefsymmetrische Matrix]]
 |-
-| <math>(\cdot)^{\mathrm{D}}</math> || [[#Deviator]]
+| <math>(\cdot)^\mathrm{D}</math> || [[#Deviator]]
 | [[Deviator]], [[Spannungsdeviator]]
 |-
-| <math>(\cdot)^{\mathrm{K}}</math> || [[#Kugelanteil]] || [[Kugeltensor]]
+| <math>(\cdot)^\mathrm{K}</math> || [[#Kugelanteil]] || [[Kugeltensor]]
 |-
 | <math>\stackrel{n}{(\cdot)}</math> || Tensor n-ter Stufe ||
+|-
+| <math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}},\mathbf{A}_\times</math>
+| [[#Dualer axialer Vektor]]
+| [[Kreuzprodukt]]
 |}
 ==== Mengen ====
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 ! Formelzeichen !! Elemente
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-|<math>\R</math>|| [[Reelle Zahl]]en
+|<math>\R</math> || [[Reelle Zahl]]en
+|-
+|<math>\Complex</math> || [[Komplexe Zahl]]en
 |-
-|<math>\mathbb{V}</math>||[[Vektor]]en
+|<math>\mathbb{V}</math> || [[Vektor]]en
 |-
-|<math>\mathcal{L}=\mathrm{Lin}(\mathbb{V, V})</math>||[[Tensor]]en zweiter Stufe
+|<math>\mathcal{L}=\mathrm{Lin}(\mathbb{V, V})</math>
+| [[Tensor]]en zweiter Stufe
 |-
-|<math>\stackrel{4}{\mathcal{L}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{L, L})</math>||[[#Tensoren vierter Stufe]]
+|<math>\stackrel{4}{\mathcal{L}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{L, L})</math>
+| [[#Tensoren vierter Stufe]]
 |}
 === Kronecker-Delta ===
-{{Hauptartikel|Kronecker-Delta}}
+{{Siehe auch|Kronecker-Delta}}
 :<math>\delta_{ij}
 =\delta^{ij}
 =\delta_i^j
 =\delta_j^i
-=\left\{\begin{array}{ll}
+=\begin{cases}
 &\mathrm{falls}\quad i =j
 \\
 &\mathrm{sonst}
-\end{array}\right.</math>
+\end{cases}</math>
 Für Summen gilt dann z.&nbsp;B.
-:<math>v_i\delta_{ij} = v_j</math>
-:<math>A_{ij}\delta_{ij} = A_{ii}</math>
+:<math>v_i\delta_{ij}= v_j</math>
+:<math>A_{ij}\delta_{ij}= A_{ii}</math>
 Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.
 === Permutationssymbol ===
-{{Hauptartikel|Permutationssymbol}}
+{{Siehe auch|Permutationssymbol}}
 :<math>\epsilon_{ijk}
-=\hat{e}_i\cdot(\hat{e}_j\times\hat{e}_k )
+=\hat{e}_i\cdot(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)
 =\begin{cases}
-&\text{bei gerader Permutation}\; (i,j,k)\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}
+&\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}
 \\
--1 &\text{bei ungerader Permutation}\; (i,j,k)\in\{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}
+-1 &\text{falls}\;(i,j,k)\in\{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}
 \\
 &\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}
 \end{cases}
 </math>
 :<math>\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}=\begin{vmatrix}
-\delta_{il} &\delta_{jl} &\delta_{kl}
+\delta_{il}&\delta_{jl}&\delta_{kl}
 \\
-\delta_{im} &\delta_{jm} &\delta_{km}
+\delta_{im}&\delta_{jm}&\delta_{km}
 \\
-\delta_{in} &\delta_{jn} &\delta_{kn}
+\delta_{in}&\delta_{jn}&\delta_{kn}
 \end{vmatrix}
 </math>
-:<math>\begin{array}{rcl}
-\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm} &=&\delta_{il}\delta_{jm} -\delta_{im}\delta_{jl}
+:<math>
-\\
+\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}
-\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl} &=& 2\delta_{il}
+</math>
-\\
+:<math>
-\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} &=& 6
+\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}=2\delta_{il}
-\end{array}</math>
+</math>
+:<math>
+\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=6
+</math>
 Kreuzprodukt:
 :<math>a_i\hat{e}_i\times b_j\hat{e}_j
-=\epsilon_{ijk} a_i b_j\hat{e}_k
+=\epsilon_{ijk}a_i b_j\hat{e}_k
-=\epsilon_{ijk} a_j b_k\hat{e}_i
+=\epsilon_{ijk}a_j b_k\hat{e}_i
-=\epsilon_{ijk} a_k b_i\hat{e}_j
+=\epsilon_{ijk}a_k b_i\hat{e}_j
 </math>
+:<math>\epsilon_{ijk}\hat{e}_k=\hat{e}_i\times\hat{e}_j</math>
 === Spaltenvektoren und Matrizen ===
-{{Hauptartikel|Matrix (Mathematik)}}
+{{Siehe auch|Matrix (Mathematik)}}
 Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren
-:<math>\vec{a} = a_i\hat{e}_i =\begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}</math>
+:<math>\vec{a}= a_i\hat{e}_i =\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}</math>
 Drei Vektoren <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> können spaltenweise in einer 3×3-Matrix <math>M</math> arrangiert werden:
 :<math>M
 =\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{pmatrix}
@@ Zeile 239: / Zeile 264: @@
 Die [[Determinante]] der Matrix
 :<math>|M| =\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}</math>
 ist
 * ungleich null, wenn die Spaltenvektoren [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind und
 * größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechtssystem]] bilden.
-Also gewährleistet <math>|\begin{array}{ccc}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{array}|> 0</math>, dass die Vektoren <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> eine rechtshändige Basis bilden.
+Also gewährleistet <math>\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}> 0</math>, dass die Vektoren <math>\vec{a},\vec{b},\vec{c}</math> eine rechtshändige Basis bilden.
 Die Spaltenvektoren bilden eine [[Orthonormalbasis]], wenn
 :<math>M^\top M
 =\begin{pmatrix}
@@ Zeile 256: / Zeile 282: @@
 \end{pmatrix}</math>
-worin <math>M^\top</math> die [[transponierte Matrix]] ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich <math>|M|=+1</math>
+worin <math>M^\top</math> die [[transponierte Matrix]] ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich <math>|M|=+1</math>.
 === Vektoralgebra ===
 ==== Basis und Duale Basis ====
-{{Hauptartikel|Vektorraumbasis}}
+{{Siehe auch|Vektorraumbasis}}
-Basisvektoren <math>\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3}</math>
+Basisvektoren <math>\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3</math>
 Duale Basisvektoren <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math>
 Beziehungen zwischen den Basisvektoren
-:<math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}^{j} =\delta_i^{j}</math>
+:<math>\vec{g}_i\cdot\vec{g}^j =\delta_i^j</math>
 :<math>\vec{g}^{1}
-=\frac{\vec{g}_{2}\times\vec{g}_{3}}{(\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3})},
+=\frac{\vec{g}_2\times\vec{g}_3}{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)},
 \quad
 g^{2}
-=\frac{\vec{g}_{3}\times\vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3})},
+=\frac{\vec{g}_3\times\vec{g}_1}{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)},
 \quad
 g^{3}
-=\frac{\vec{g}_{1}\times\vec{g}_{2}}{(\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3})}
+=\frac{\vec{g}_1\times\vec{g}_2}{(\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3)}
 </math>
-:<math>\vec{g}_{1}
+:<math>\vec{g}_1
 =\frac{\vec{g}^{2}\times\vec{g}^{3}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})},
 \quad
-g_{2}
+g_2
 =\frac{\vec{g}^{3}\times\vec{g}^{1}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})},
 \quad
-g_{3}
+g_3
 =\frac{\vec{g}^{1}\times\vec{g}^{2}}{(\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3})}
 </math>
 mit dem [[Spatprodukt]]
 :<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}):
-=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})
+=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
-=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times\vec{b})
+=\vec{c}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
-=\vec{b}\cdot (\vec{c}\times\vec{a})
+=\vec{b}\cdot(\vec{c}\times\vec{a})
-=\det(\begin{array}{ccc}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{array})
+=\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}
 </math>
-Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der transponiert Inversen:
+Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der [[#Transposition|#transponiert]] [[#Inverse]]n <math>()^{\top -1}</math>:
-:<math>(\begin{array}{ccc}
-\vec{g}^{1} &\vec{g}^{2} &\vec{g}^{3}\end{array})
+:<math>\begin{pmatrix}
+\vec{g}^{1}&\vec{g}^{2}&\vec{g}^{3}\end{pmatrix}
 =
-(\begin{array}{ccc}
+\begin{pmatrix}
-\vec{g}_{1} &\vec{g}_{2} &\vec{g}_{3}\end{array})^{\top -1}
+\vec{g}_1 &\vec{g}_2 &\vec{g}_3\end{pmatrix}^{\top -1}
 </math>
-mit der [[Transponierte Matrix|transponiert]] [[Inverse Matrix|inversen]] <math>( )^{\top -1}</math>
+In der Standardbasis wie in jeder [[Orthonormalbasis]] sind die Basisvektoren <math>\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3</math> zu sich selbst dual:
-In der Standardbasis <math>\hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}</math> sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:
+:<math>\hat{e}_i =\hat{e}^i</math>
-:<math>\hat{e}_i =\hat{e}^{i}\,.</math>
-Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren:
+==== Berechnung von Vektorkomponenten ====
-:<math>(\vec{g}_i\cdot\vec{g}_k )(\vec{g}^{j}\cdot\vec{g}^{k})
-=\vec{g}_i\cdot (\vec{g}^{j}\cdot\vec{g}^{k})\vec{g}_k
-=\vec{g}_i\cdot\vec{g}^{j}
-=\delta_i^{j}</math>
-:<math>(\vec{g}^{i}\cdot\vec{g}^{k})(\vec{g}_j\cdot\vec{g}_k )
-=\vec{g}^{i}\cdot (\vec{g}_j\cdot\vec{g}_k )\vec{g}^{k}
-=\vec{g}^{i}\cdot\vec{g}_j
-=\delta^i_j</math>
-==== Berechnung von Vektorkomponenten ====
+:<math>\vec{v}= v_i\hat{e}_i
-:<math>\vec{v} = v_i\hat{e}_i
 \quad\rightarrow\;
 v_i =\vec{v}\cdot\hat{e}_i
 </math>
-:<math>\vec{v} = v^{i}\vec{g}_i
+:<math>\vec{v}= v^i\vec{g}_i
 \quad\rightarrow\;
-v^{i} =\vec{v}\cdot\vec{g}^{i}
+v^i =\vec{v}\cdot\vec{g}^i
 </math>
-:<math>\vec{v} = v_i\vec{g}^{i}
+:<math>\vec{v}= v_i\vec{g}^i
 \quad\rightarrow\;
 v_i =\vec{v}\cdot\vec{g}_i
 </math>
+==== Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren ====
+:<math>(\vec{g}_i\cdot\vec{g}_k)(\vec{g}^k\cdot\vec{g}^j)
+=\vec{g}_i\cdot(\vec{g}^j\cdot\vec{g}^k)\vec{g}_k
+=\vec{g}_i\cdot\vec{g}^j
+=\delta_i^j</math>
 ==== Wechsel der Basis bei Vektoren ====
-{{Hauptartikel|Koordinatentransformation}}
+{{Siehe auch|Koordinatentransformation}}
 Wechsel von
-Basis <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math> mit dualer Basis <math>\vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3}</math>
+Basis <math>\vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}</math> mit dualer Basis <math>\vec{g}_1,\vec{g}_2,\vec{g}_3</math>
 nach
-Basis <math>\vec{h}^{1},\vec{h}^{2},\vec{h}^{3}</math> mit dualer Basis <math>\vec{h}_{1},\vec{h}_{2},\vec{h}_{3}</math>:
+Basis <math>\vec{h}^{1},\vec{h}^{2},\vec{h}^{3}</math> mit dualer Basis <math>\vec{h}_1,\vec{h}_2,\vec{h}_3</math>:
 :<math>\vec{v}
-= v_i\,\vec{g}^{i}
+= v_i\,\vec{g}^i
-= v_i^{\mathrm*}\,\vec{h}^{i}\quad\rightarrow\; v_i^{\mathrm*}
+= v_i^\ast\,\vec{h}^i\quad\rightarrow\; v_i^\ast
-= (\vec{h}_i\cdot\vec{g}^{j})v_j</math>
+=(\vec{h}_i\cdot\vec{g}^j)v_j</math>
 Matrizengleichung:
-:<math>\begin{pmatrix}v_{1}^{\mathrm*}\\
-v_{2}^{\mathrm*}\\
+:<math>\begin{align}
-v_{3}^{\mathrm*}\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}v_1^\ast\\
-=\begin{pmatrix}\vec{h}_{1}\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_{1}\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_{1}\cdot\vec{g}^{3}\\
+v_2^\ast\\
-\vec{h}_{2}\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_{2}\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_{2}\cdot\vec{g}^{3}\\
+v_3^\ast\end{pmatrix}
-\vec{h}_{3}\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_{3}\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_{3}\cdot\vec{g}^{3}\end{pmatrix}
+=&
 \begin{pmatrix}
-v_{1}\\
+\vec{h}_1\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_1\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_1\cdot\vec{g}^{3}
-v_{2}\\
+\\
-v_{3}\end{pmatrix}</math>
+\vec{h}_2\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_2\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_2\cdot\vec{g}^{3}
+\\
+\vec{h}_3\cdot\vec{g}^{1}&\vec{h}_3\cdot\vec{g}^{2}&\vec{h}_3\cdot\vec{g}^{3}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
+\\=&
+\begin{pmatrix}\vec{h}_1&\vec{h}_2&\vec{h}_3\end{pmatrix}^\top
+\begin{pmatrix}\vec{g}^1&\vec{g}^2&\vec{g}^3\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
+\end{align}</math>
 == Dyadisches Produkt ==
-{{Hauptartikel|Dyadisches Produkt}}
+{{Siehe auch|Dyadisches Produkt}}
-=== Definition der Dyade ===
+Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:
 Abbildung <math>\mathbb{V}\times\mathbb{V}\to\mathcal{L}</math>
+:<math>\vec a\otimes\vec g=\mathbf{T}\in\mathcal{L}</math>
-Dyade: <math>\vec{a}\otimes\vec{g}\in\mathcal{L}</math>
+Multiplikation mit einem Skalar:
+:<math>x(\vec a\otimes\vec g)=(x\vec a)\otimes\vec g
+=\vec a\otimes(x\vec g)=x\vec a\otimes\vec g</math>
-:<math>a_i\hat{e}_i\otimes g_j\hat{e}_j = a_i g_j \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j</math>
+Distributivität:
-:<math>\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}
+:<math>(x+y)\vec a\otimes\vec g
-\otimes
+=x\vec a\otimes\vec g+y\vec a\otimes\vec g</math>
-\begin{pmatrix}g_1\\ g_2\\ g_3\end{pmatrix}
+:<math>(\vec a+\vec b)\otimes\vec g
-=
+=\vec a\otimes\vec g+\vec b\otimes\vec g</math>
-\begin{pmatrix}
+:<math>\vec a\otimes(\vec g+\vec h)
-a_1 g_1 & a_1 g_2 & a_1 g_3
+=\vec a\otimes\vec g+\vec a\otimes\vec h</math>
-\\
-a_2 g_1 & a_2 g_2 & a_2 g_3
+[[Skalarprodukt]]:
-\\
+:<math>(\vec a\otimes\vec g):(\vec b\otimes\vec h)
-a_3 g_1 & a_3 g_2 & a_3 g_3
+=(\vec a\cdot\vec b)(\vec g\cdot\vec h)</math>
-\end{pmatrix}
-</math>
-=== Distributivität ===
+Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe [[#Dyade]] und den folgenden Abschnitt.
-:<math>\vec{a}\otimes (\vec{g}+\vec{h})
-=\vec{a}\otimes\vec{g}+\vec{a}\otimes\vec{h}</math>
-:<math>(\vec{a}+\vec{b})\otimes\vec{g}
-=\vec{a}\otimes\vec{g}+\vec{b}\otimes\vec{g}</math>
-=== Multiplikation mit einem Skalar ===
+== Tensoren als Elemente eines Vektorraumes ==
-:<math>x\in\R
+{{Siehe auch|Dyadisches Produkt|Tensor}}
-\quad\rightarrow\quad
-x(\vec{a}\otimes\vec{g})
-=(x\vec{a})\otimes\vec{g}
-=\vec{a}\otimes (x\vec{g})
-=x\vec{a}\otimes\vec{g}</math>
-=== Transposition einer Dyade ===
+Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird <math>\mathcal{L}</math> zu einem [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von <math>\mathcal{L}</math> dargestellt werden:
-:<math>{(\vec{a}\otimes\vec{g})}^\top
-:=\vec{g}\otimes\vec{a}</math>
-=== Spur einer Dyade ===
+:<math>\mathbf{A}\in\mathcal{L}\rightarrow
-Abbildung <math>\mathcal{L}\to\R</math>
+\mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j
+=A^{ij}\vec a_i\otimes\vec g_j</math> mit Komponenten <math>A_{ij},A^{ij}\in\R</math>.
-:<math>\operatorname{Sp}(\vec{a}\otimes\vec{g})
+Die Dyaden <math>\{\hat e_i\otimes\hat e_j| i,j=1,2,3\}</math> und <math>\{\vec a_i\otimes\vec g_j| i,j=1,2,3\}</math> bilden [[Basis (Vektorraum)|Basissysteme]] von <math>\mathcal{L}</math>.
-=\operatorname{Sp}(\vec{g}\otimes\vec{a})
-:=\vec{a}\cdot\vec{g}</math>
-=== Vektortransformation mit Dyaden ===
+=== Operatoren ===
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V}</math> oder <math>\mathbb{V}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}</math>
+==== Transposition ====
+{{Siehe auch|Transponierte Matrix}}
+Abbildung <math>\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-:<math>\begin{array}{lcl}
+:<math>
-(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h}
+(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top:=\vec{g}\otimes\vec{a}
-&:=&
+</math>
-(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}
+:<math>
-\\
+(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)^\top
-\vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
+=
-&:=&
+A_{ij}(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_i)
-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{g}
+= A_{ji}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-\\
+</math>
-(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h}
+:<math>
-&=&
+(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j)^\top
-\vec{h}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top
+= A^{ij}(\vec{g}_j\otimes\vec{a}_i)
-\\
+= A^{ji}(\vec{g}_i\otimes\vec{a}_j)
-\vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
+</math>
-&=&
+:<math>
-(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot\vec{b}
+\left(\mathbf{A}^\top\right)^\top
-\end{array}
+=
+\mathbf A
+</math>
+:<math>
+(\mathbf{A+B})^\top
+=
+\mathbf{A}^\top +\mathbf{B}^\top
+</math>
+:<math>
+(\mathbf{A\cdot B})^\top
+=\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}^\top
 </math>
-=== Kreuzprodukt von Vektor und Dyade ===
+==== Vektortransformation ====
-Abbildung <math>\mathbb{V}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math> oder <math>\mathcal{L}\times\mathbb{V}\to\mathcal{L}</math>
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathbb{V}\to\mathbb{V}</math> oder <math>\mathbb{V}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}</math>
-:<math>\begin{array}{lcl}
-\vec{a}\times(\vec{b}\otimes\vec{g})
-&=& (\vec{a}\times\vec{b})\otimes\vec{g}
-=\vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g}
-\\
-(\vec{a}\otimes\vec{g})\times\vec{h}
-&=&\vec{a}\otimes(\vec{g}\times\vec{h})
-= \vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h}
-\end{array}</math>
-:<math>\begin{array}{rcl}
-\vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g}&=& -[(\vec{b}\otimes\vec{g})^\top\times\vec{a}]^\top
-\\
-\vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h}&=&
- -[\vec{h}\times(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top]^\top
-\end{array}</math>
-=== Tensorprodukt von Dyaden ===
+Dyaden:
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot(\vec{h}\otimes\vec{u})
+:<math>
-:=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\otimes\vec{u}</math>
+(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h}
+:=
-=== Skalarprodukt von Dyaden ===
+(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\R</math>
+</math>
+:<math>
-:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g}):(\vec{b}\otimes\vec{h})
+\vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
-:=\operatorname{Sp}((\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot
+:=
-(\vec{b}\otimes\vec{h}))
+(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{g}
-=(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{g}\cdot\vec{h})</math>
-=== Skalarkreuzprodukt von Dyaden ===
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}</math>
-:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{u})
-= -(\vec{u}\otimes\vec{h})\cdot\!\!\times(\vec{g}\otimes\vec{a})
-:=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\times\vec{u}
 </math>
+:<math>
-=== Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden ===
+(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\vec{h}
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
+=
+\vec{h}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top
-:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\times\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{b})
-:=(\vec{g}\times\vec{h})\otimes(\vec{a}\times\vec{b})
 </math>
 :<math>
-(\vec{a}\otimes\vec{g})\times\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{b})
+\vec{b}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
-=(\vec{g}\otimes\vec{a})\#(\vec{h}\otimes\vec{b})
+=
+(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot\vec{b}
 </math>
-=== Äußeres Tensorprodukt von Dyaden ===
+Allgemeine Tensoren:
-Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\#(\vec{b}\otimes\vec{h})
+:<math>
-:=(\vec{a}\times\vec{b})\otimes(\vec{g}\times\vec{h})
+A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\cdot\vec{v}
-= (\vec{g}\otimes\vec{a})\times\!\!\times(\vec{b}\otimes\vec{h})
+=
+A_{ij}(\vec{v}\cdot\hat{e}_j)\hat{e}_i
+</math>
+:<math>
+A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j)\cdot\vec{v}
+=
+A^{ij}(\vec{v}\cdot\vec{g}_j)\vec{a}_i
+</math>
+:<math>
+\vec{v}\cdot A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=
+A_{ij}(\vec{v}\cdot\hat{e}_i)\hat{e}_j
+</math>
+:<math>
+\vec{v}\cdot A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j)
+=
+A^{ij}(\vec{v}\cdot\hat{a}_i)\vec{g}_j
 </math>
-== Tensoren als Elemente eines Vektorraumes ==
+Symbolisch:
-{{Hauptartikel|Tensor}}
-Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird <math>\mathcal{L}</math> zu einem [[Prähilbertraum|Vektorraum]] und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis dargestellt werden.
+:<math>
+\mathbf{A}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\mathbf{A}^\top
+</math>
+:<math>
+\vec{v}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top\cdot\vec{v}
+</math>
-=== Tensorkomponenten ===
+==== Tensorprodukt ====
-:<math>\mathbf{A}
+{{Siehe auch|Matrizenmultiplikation}}
-=
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j</math>
-mit Komponenten <math>A^{ij}\in\R</math>
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot(\vec{h}\otimes\vec{u})
-:<math>\mathbf{A}
+:=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\otimes\vec{u}</math>
-=
-A_{ij}\,\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-=\begin{pmatrix}
-A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}& A_{33}
-\end{pmatrix}
-\quad\rightarrow\;
-A_{ij} =\hat{e}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\hat{e}_j</math>
-:<math>\mathbf{A}
-=
-A^{ij}\,\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j
-\quad\rightarrow\;
-A^{ij} =\vec{a}^{i}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^{j}</math>
-:<math>\mathbf{A}
-=
-A_{ij}\,\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}^{j}
-\quad\rightarrow\;
-A_{ij} =\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}_j</math>
-:<math>\mathbf{A}
-=
-A_j^{i}\,\vec{a}_i\otimes\vec{g}^{j}
-\quad\rightarrow\;
-A_j^{i} =\vec{a}^{i}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}_j</math>
-:<math>\mathbf{A}
-=
-A_i^{j}\,\vec{a}^{i}\otimes\vec{g}_j
-\quad\rightarrow\;
-A_i^{j} =\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^{j}</math>
-=== Operatoren ===
-==== Transposition ====
-{{Hauptartikel|Transponierte Matrix}}
-:<math>\begin{array}{rcl}
-( A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )^\top
-&=&
- A_{ij} (\hat{e}_j\otimes\hat{e}_i )
-= A_{ji} (\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-\\
-( A_{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j )^\top
-&=& A_{ij} (\vec{g}_j\otimes\vec{a}_i )
-= A_{ji} (\vec{g}_i\otimes\vec{a}_j )
-\\
-(\mathbf{A+B})^\top
-&=&
-\mathbf{A}^\top +\mathbf{B}^\top
-\\
-(\mathbf{A\cdot B})^\top
-&=&\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}^\top
-\end{array}
-</math>
-==== Vektortransformation ====
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\mathbf{A}
-:<math>\begin{array}{lcl}
+=\vec{a}\otimes(\vec{g}\cdot\mathbf{A})
-A_{ij} (\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )\cdot\vec{v}
+=\vec{a}\otimes\vec{g}\cdot\mathbf{A}
-&=&
+=\vec{a}\otimes(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{g})
-A_{ij} (\vec{v}\cdot\hat{e}_j)\hat{e}_i
-\\
-A_{ij} (\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j )\cdot\vec{v}
-&=&
-A_{ij} (\vec{g}_j\cdot\vec{v} )\vec{a}_i
-\\
-\vec{v}\cdot A_{ij} (\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-&=&
-A_{ij} (\vec{v}\cdot\hat{e}_i)\hat{e}_j
-\\
-\vec{v}\cdot A_{ij} (\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j )
-&=&
-A_{ij} (\vec{a}_i\cdot\vec{v} )\vec{g}_j
-\end{array}
 </math>
-:<math>\begin{array}{lcl}
+:<math>\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
-\mathbf{A}\cdot\vec{v} &=&\vec{v}\cdot\mathbf{A}^\top
+=(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\otimes\vec{g}
-\\
+=\mathbf{A}\cdot\vec{a}\otimes\vec{g}
-\mathbf{A}^\top\cdot\vec{v} &=&\vec{v}\cdot\mathbf{A}
-\end{array}
 </math>
-==== Tensorprodukt ====
+:<math>(A_{ik}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\cdot
-{{Hauptartikel|Matrizenmultiplikation}}
+(B_{lj}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j)
-:<math>( A_{ik}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k )\cdot
-( B_{lj}\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j )
 =
-A_{ik} B_{kj}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+A_{ik}B_{kj}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
 </math>
-:<math>\left( A_{ij} (\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j )\right)\cdot
-\left( B_{kl} (\vec{h}_k\otimes\vec{u}_l )\right)
+:<math>\left(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\right)\cdot
+\left(B^{kl}\vec{h}_k\otimes\vec{u}_l\right)
 =
-A_{ij} (\vec{g}_j\cdot\vec{h}_k) B_{kl}\vec{a}_i\otimes\vec{u}_l
+A^{ij}(\vec{g}_j\cdot\vec{h}_k)B^{kl}\vec{a}_i\otimes\vec{u}_l
 </math>
-==== Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor ====
+==== Skalarprodukt von Tensoren ====
-:<math>(\vec{a}\times\mathbf{A})\cdot\vec{g}
+{{Siehe auch|Frobenius-Skalarprodukt}}
-=\vec{a}\times (\mathbf{A}\cdot\vec{g})
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\R</math>
-=\vec{a}\times (\vec{g}\cdot\mathbf{A}^\top)
-</math>
+Definition über die [[#Spur]]:
-:<math>(\vec{a}\times\mathbf{I})\cdot\vec{g}
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g}):(\vec{b}\otimes\vec{h})
-=\vec{a}\times (\mathbf{I}\cdot\vec{g})
+:=\mathrm{Sp}((\vec{a}\otimes\vec{g})^\top\cdot
-=\vec{a}\times\vec{g}
+(\vec{b}\otimes\vec{h}))
-</math>
+=(\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{g}\cdot\vec{h})</math>
-:<math>\vec{a}\cdot(\mathbf{A}\times\vec{g})
-=(\vec{a}\cdot\mathbf{A})\times\vec{g}
+:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}
-=(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{a})\times\vec{g}
+:=\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{B})</math>
-</math>
-:<math>\vec{a}\cdot(\mathbf{I}\times\vec{g})
+Eigenschaften:
-=(\vec{a}\cdot\mathbf{I})\times\vec{g}
+:<math>
-=\vec{a}\times\vec{g}
+\mathbf{A}:\mathbf{B}
-</math>
+=\mathbf{B}:\mathbf{A}
-:<math>\vec{a}\times\mathbf{A}= -\left(\mathbf{A}^\top\times\vec{a}\right)^\top</math>
+=\mathbf{A}^\top :\mathbf{B}^\top
-:<math>\mathbf{A}^\top\times\vec{a} = -\left(\vec{a}\times\mathbf{A}\right)^\top</math>
+=\mathbf{B}^\top :\mathbf{A}^\top
-:<math>\begin{array}{lcl}
-a_{j}\hat{e}_{j}\times (A_{kl}\hat{e}_{k}\otimes\hat{e}_{l})
-&=&
-a_{j} A_{kl}(\hat{e}_{j}\times\hat{e}_{k})\otimes\hat{e}_{l}
-=\epsilon_{ijk}a_{j}A_{kl}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{l}
-\\
-(A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{j})\times a_{k}\hat{e}_{k}
-&=&
-A_{ij}a_{k}\hat{e}_{i}\otimes (\hat{e}_{j}\times\hat{e}_{k})
-=\epsilon_{jkl}A_{ij}a_{k}\hat{e}_{i}\otimes\hat{e}_{l}
-\end{array}</math>
-Meistens ist aber:
-:<math>\vec{a}\times (\vec{g}\cdot\mathbf{A}^\top)\ne(\vec{a}\times\vec{g})\cdot\mathbf{A}^\top
-</math>
-:<math>(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{a})\times\vec{g}\ne\mathbf{A}^\top\cdot(\vec{a}\times\vec{g})
 </math>
-siehe auch [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]
-==== Skalarkreuzprodukt von Tensoren ====
+:<math>\mathbf{A}^\top :\mathbf{B}
-Siehe auch [[#Vektorinvariante]]
+=\mathbf{A}:\mathbf{B}^\top
-:<math>A_{ik} (\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\cdot\!\!\times
-[B_{lj}(\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j)]
-:= A_{ik} B_{kj} (\hat{e}_i\times\hat{e}_j)
 </math>
-Das Skalarkreuzprodukt mit dem [[#Einheitstensor]] vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:
-:<math>\mathbf{I}\cdot\!\!\times(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_i)=\vec{a}_i\times\vec{b}_i</math>
-:<math>\begin{array}{rcrclcr}
+:<math>\mathbf{A}:(\mathbf{B\cdot C})
-\mathbf{I\cdot\!\!\times A}
+=(\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}):\mathbf{C}
-&=& \mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{I}
+=(\mathbf{A\cdot C}^\top):\mathbf{B}</math>
-&=& -\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{A}^\top
-&=& -\mathbf{A}^\top\cdot\!\!\times\mathbf{I}
+:<math>(\mathbf{A\cdot B}):\mathbf{C}
-\\
+=\mathbf{B}:(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{C})
-\mathbf{I}\cdot\!\!\times(\mathbf{A\cdot B})
+=\mathbf{A}:(\mathbf{C\cdot B}^\top)</math>
-&=&
-\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}
+:<math>(\vec u\otimes\vec v):\mathbf A=\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}</math>
-=(\mathbf{A\cdot B})\cdot\!\!\times\mathbf{I}
-&=& -\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{(B^\top\cdot A^\top)}
+==== Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor ====
-=-\mathbf{B}^\top\cdot\!\!\times\mathbf{A}^\top
+Abbildung <math>\mathbb{V}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math> oder <math>\mathcal{L}\times\mathbb{V}\to\mathcal{L}</math>
-&=&-(\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}^\top)\cdot\!\!\times\mathbf{I}
-\end{array}</math>
+Dyaden:
+:<math>
+\vec{a}\times(\vec{b}\otimes\vec{g})
+=(\vec{a}\times\vec{b})\otimes\vec{g}
+=\vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g}
+</math>
+:<math>
+(\vec{a}\otimes\vec{g})\times\vec{h}
+=\vec{a}\otimes(\vec{g}\times\vec{h})
+=\vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h}
+</math>
-==== Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren ====
+:<math>
-:<math>A_{ij} (\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\times\!\!\times
+\vec{a}\times\vec{b}\otimes\vec{g}
-[B_{kl}(\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l)]
+=-[(\vec{b}\otimes\vec{g})^\top\times\vec{a}]^\top
-:= A_{ij} B_{kl} (\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes (\hat{e}_i\times\hat{e}_l)
+</math>
+:<math>
+\vec{a}\otimes\vec{g}\times\vec{h}
+=-[\vec{h}\times(\vec{a}\otimes\vec{g})^\top]^\top
 </math>
-:<math>\begin{array}{rcl}
-\mathbf{A}\times\!\!\times\mathbf{B}
-&=& (\mathbf{A}^\top\times\!\!\times\mathbf{B}^\top)^\top
-=\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}
-\\
-&=&
-[\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})-\mathbf{A\colon B}]\mathbf{I}
-+\mathbf{A\cdot B^\top}+\mathbf{B^\top\cdot A}
--\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}^\top-\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}
-\end{array}</math>
-==== Äußeres Tensorprodukt ====
-{{Hauptartikel|Äußeres Tensorprodukt}}
 :<math>
-( A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )\#
+a_j\hat{e}_j\times(A_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l)
-( B_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l )
 =
-A_{ij} B_{kl} (\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_l)
+a_j A_{kl}(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes\hat{e}_l
-=
+=\epsilon_{ijk}a_jA_{kl}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_l
-\epsilon_{ikm}\epsilon_{jln} A_{ij} B_{kl}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n
 </math>
-Mit der Formel für das Produkt zweier [[#Permutationssymbol]]e:
 :<math>
-\mathbf{A}\#\mathbf{B}
+(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\times a_k\hat{e}_k
 =
-[\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})-\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})]\mathbf{I}
+A_{ij}a_k\hat{e}_i\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)
-+[\mathbf{A\cdot B}+\mathbf{B\cdot A}
+=\epsilon_{jkl}A_{ij}a_k\hat{e}_i\otimes\hat{e}_l
--\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}-\operatorname{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}]^\top
 </math>
-Eigenschaften:
+Allgemeine Tensoren:
-:<math>\begin{align}
-(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
+:<math>(\vec{a}\times\mathbf{A})\cdot\vec{g}
-=&
+:=\vec{a}\times(\mathbf{A}\cdot\vec{g})
-(\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{v})
+=\vec{a}\times(\vec{g}\cdot\mathbf{A}^\top)
--(\mathbf{A}\cdot\vec{v})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{u})
+</math>
-\\
-\frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{A})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
+:<math>\vec{b}\cdot(\vec{a}\times\mathbf{A})
-=&
+:=(\vec{b}\times\vec{a})\cdot\mathbf{A}
-(\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{v})
+</math>
-\\
-\mathbf{A}\#\mathbf{B}=&\mathbf{B}\#\mathbf{A}
+:<math>\vec{g}\cdot(\mathbf{A}\times\vec{a})
-= (\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}^\top)^\top
+:=(\vec{g}\cdot\mathbf{A})\times\vec{a}
-\\
+=(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{g})\times\vec{a}
-\mathbf{A}\#(\mathbf{B+C})=&\mathbf{A}\#\mathbf{B}+\mathbf{A}\#\mathbf{C}
+</math>
-\\
-(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\#\mathbf{D})
+:<math>(\mathbf{A}\times\vec{a})\cdot\vec{b}
-=&
+=\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\times\vec b)
-(\mathbf{A\cdot C})\#(\mathbf{B\cdot D})
+</math>
-+(\mathbf{A\cdot D})\#(\mathbf{B\cdot C})
-\\
+:<math>\vec{a}\times\mathbf{A}= -\left(\mathbf{A}^\top\times\vec{a}\right)^\top</math>
-\mathbf{I}\#\mathbf{I}=& 2\,\mathbf{I}
-\\
+:<math>\mathbf{A}\times\vec{a}
-\mathbf{A}\#\mathbf{I}=&
+=-\left(\vec{a}\times\mathbf{A}^\top\right)^\top</math>
-\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{I}-\mathbf{A}^\top
-\\
+Symmetrische Tensoren: <math>\vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{S}
-(\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C}
+=-\left(\mathbf{A}^\mathrm{S}\times\vec{a}\right)^\top</math>
-=&
-(\mathbf{B}\#\mathbf{C}):\mathbf{A}
+Insbesondere Kugeltensoren: <math>\vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{K}
-=
+=\mathbf{A}^\mathrm{K}\times\vec{a}
-(\mathbf{C}\#\mathbf{A}):\mathbf{B}
+=-(\vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{K})^\top</math>
-\\
-\operatorname{Sp}(\mathbf{A}\#\mathbf{B})=&
+Schiefsymmetrische Tensoren: <math>\vec{a}\times\mathbf{A}^\mathrm{A}
-\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\operatorname{Sp}(\mathbf{B})
+=\left(\mathbf{A}^\mathrm{A}\times\vec{a}\right)^\top</math>
--\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})
-\\
+[[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]] mit dem [[#Einheitstensor]]:
-\frac{1}{2}(\mathbf{A\# I}):\mathbf{I} =&\operatorname{Sp}(\mathbf{A})
-\\
+:<math>(\vec{a}\times\mathbf{1})\cdot\vec{g}
-\frac{1}{2}(\mathbf{A\# A}):\mathbf{I} =&\operatorname{I}_2(\mathbf{A})
+=\vec{a}\cdot(\vec{g}\times\mathbf{1})
-\\
+=\vec{a}\cdot(\mathbf{1}\times\vec{g})
-\frac{1}{6}(\mathbf{A\# A}):\mathbf{A} =&\det(\mathbf{A})
+=\vec{a}\times\vec{g}
-\end{align}
 </math>
-Aber meistens:
-:<math>
+Mehrfach:
-(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\#\mathbf{C}\ne\mathbf{A}\#(\mathbf{B}\#\mathbf{C})
+:<math>(\vec a\times(\vec b\times\mathbf{A}))\cdot\vec g=
+\vec a\times(\vec b\times(\mathbf{A}\cdot\vec g))
+=(\vec a\cdot\mathbf{A}\cdot\vec g)\vec b
+-(\vec a\cdot\vec b)\mathbf{A}\cdot\vec g
 </math>
-Siehe auch [[#Hauptinvarianten]], [[#Kofaktor eines Tensors]].
+:<math>\vec a\times(\vec b\times\mathbf{A})=
+\vec b\otimes\vec a\cdot\mathbf{A}-(\vec a\cdot\vec b)\mathbf{A}
+</math>
+Meistens ist aber:
-==== Spur ====
+:<math>(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times\vec{g}
-{{Hauptartikel|Spur (Mathematik)}}
+\ne\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\times\vec{g})
-:<math>\operatorname{Sp}\left(
+=(\mathbf{A}\times\vec{a})\cdot\vec{g}
-A^{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right)
+</math>
-=A^{ii}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}\left( A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j\right)
-=
-A^{ij}\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j</math>
-:<math>\operatorname{Sp}\left(
-A_j^{i}\vec{a}_i\otimes\vec{a}^{j}\right)
-= A_i^{i}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}\left(
-A_i^{j}\vec{a}^{i}\otimes\vec{a}_j\right)
-= A_i^{i}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A})
-=\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^\top)</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B})
-=\operatorname{Sp}(\mathbf{B\cdot A})</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot C})
-=\operatorname{Sp}(\mathbf{C\cdot A\cdot B})
-=\operatorname{Sp}(\mathbf{B\cdot C\cdot A})</math>
-==== Determinante ====
+:<math>\vec{a}\times(\vec{g}\cdot\mathbf{A})
-{{Hauptartikel|Determinante}}
+\ne(\vec{a}\times\vec{g})\cdot\mathbf{A}
-:<math>\begin{array}{lcl}
+=\vec{a}\cdot(\vec{g}\times\mathbf{A})
-\operatorname{det}\left(
+</math>
-A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right)
+{{Siehe auch|#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix}}
-&=&\begin{vmatrix}
-A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}& A_{33}
-\end{vmatrix}
-\\
-&=& A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}) +A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})
-+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})
-\\
-\operatorname{det}(
-A_{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j )
-&=&
-\begin{vmatrix}
-A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}& A_{33}
-\end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}\vec{a}_{1}&\vec{a}_{2}&\vec{a}_{3}\end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}\vec{g}_{1}&\vec{g}_{2}&\vec{g}_{3}\end{vmatrix}
-\\
-\operatorname{det}(\mathbf{A}^\top )
-&=&\operatorname{det}(\mathbf{A})
-\end{array}</math>
-Determinantenproduktsatz:
+==== Kreuzprodukt von Tensoren ====
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A\cdot B})
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})\operatorname{det}(\mathbf{B})
-</math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}^{-1})
-=\frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{A})}</math>
-Multiplikation mit Skalaren <math>x\in\R</math>:
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}</math>
-:<math>\begin{vmatrix} x\vec{a} &\vec{b} &\vec{c}\end{vmatrix}
-=\begin{vmatrix}\vec{a} & x\vec{b} &\vec{c}\end{vmatrix}
-=\begin{vmatrix}\vec{a} &\vec{b} & x\vec{c}\end{vmatrix}
-= x\begin{vmatrix}\vec{a} &\vec{b} &\vec{c}\end{vmatrix}
-</math>
-:<math>\operatorname{det}(x\mathbf{A}) = x^3\operatorname{det}(\mathbf{A})
-</math>
-Charakteristische Gleichung:
+:<math>\mathbf{A\times B}
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A} + x\mathbf{I} )
+=\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B}^\top)
-= x^{3} +\operatorname{Sp}(\mathbf{A}) x^{2} +\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}) x
+=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{B\cdot A}^\top)
-+\operatorname{det}(\mathbf{A})
+=-\mathbf{B\times A}\in\mathbb{V}
 </math>
-mit der Hauptinvariante <math>\operatorname{I}_2</math>. Spezialfall:
+mit [[#Fundamentaltensor 3. Stufe]] <math>\stackrel{3}{\mathbf{E}}</math>.
-:<math>\operatorname{det}(\vec{b}\otimes\vec{c}+a\mathbf{I})
-= a^2 (a+\vec{b}\cdot\vec{c})</math>
-Zusammenhang mit dem Spatprodukt:
+:<math>(\vec a\otimes\vec g)\times(\vec b\otimes\vec h)
-:<math>(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot[(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})]
+=(\vec g\cdot\vec h)\vec a\times\vec b</math>
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
-</math>
-Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt:
+:<math>\begin{align}
+&A_{ik}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\times
+[B_{jl}(\hat{e}_j\otimes\hat{e}_l)]
+= A_{ik}B_{jk}(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)=\ldots
+\\&\ldots=
+\begin{pmatrix}
+A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23}
+\\
+A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33}
+\\
+A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13}
+\end{pmatrix}
+\end{align}</math>
-:<math>\det(\mathbf{A}) =\frac{1}{6}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A}</math>
+Zusammenhang mit [[#Dualer axialer Vektor]] und [[#Vektorinvariante]]:
-:<math>\det(\mathbf{A}+\mathbf{B})
+:<math>\mathbf{A\times B}
-=
+=-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A\cdot B}^\top}}
-\frac{1}{6}[(\mathbf{A}+\mathbf{B})\#(\mathbf{A}+\mathbf{B})]
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A\cdot B}^\top)
-:(\mathbf{A}+\mathbf{B})
 </math>
-Zusammenhang mit dem Kofaktor <math>\operatorname{cof}(\cdot)</math>:
+Mit [[#Einheitstensor]]:
-:<math>\det(\mathbf{A}+\mathbf{B})
-=
+:<math>\mathbf{1\times A}
-\det(\mathbf{A}) +\operatorname{cof}(\mathbf{A}):\mathbf{B}
+=2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
-+\mathbf{A}:\operatorname{cof}(\mathbf{B})
+=-\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
-+\det(\mathbf{B})
 </math>
-==== Skalarprodukt von Tensoren ====
+Mehrfachprodukte:
-{{Hauptartikel|Frobenius-Skalarprodukt}}
+:<math>(\mathbf{A\cdot B})\times\mathbf C
-:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}
+=\mathbf{A}\times(\mathbf{C\cdot B}^\top)
-:=\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{B})</math>
-:<math>
-\mathbf{A}:\mathbf{B}
-=\mathbf{B}:\mathbf{A}
-=\mathbf{A}^\top :\mathbf{B}^\top
-=\mathbf{B}^\top :\mathbf{A}^\top
 </math>
-:<math>\mathbf{A}^\top :\mathbf{B}
+:<math>\mathbf{A}\times(\mathbf{B\cdot C})
-=\mathbf{A}:\mathbf{B}^\top
+=(\mathbf{A\cdot C}^\top)\times\mathbf{B}
 </math>
-:<math>\mathbf{A}:(\mathbf{B\cdot C})
-=(\mathbf{B}^\top\cdot\mathbf{A}):\mathbf{C}
-=(\mathbf{A\cdot C}^\top ):\mathbf{B}</math>
-:<math>(\mathbf{A\cdot B}):\mathbf{C}
-=\mathbf{B}:(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{C})
-=\mathbf{A}:(\mathbf{C\cdot B}^\top )</math>
-==== Norm eines Tensors ====
+Zusammenhang mit dem [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
-{{Hauptartikel|Frobeniusnorm}}
+:<math>\mathbf{A\times B}=\mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B}^\top)</math>
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel:=\sqrt{\mathbf{A}:\mathbf{A}}
-</math>
+==== Skalarkreuzprodukt von Tensoren ====
-:<math>\parallel A^{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
-=\sqrt{A_{ij} A_{ij}}</math>
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathbb{V}</math>
-:<math>\parallel A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\parallel
-=\sqrt{A_{ik} A_{lj} (\vec{a}_i\cdot\vec{a}_l)(\vec{g}_k\cdot\vec{g}_j)}
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{u})
+= -(\vec{u}\otimes\vec{h})\cdot\!\!\times(\vec{g}\otimes\vec{a})
+:=(\vec{g}\cdot\vec{h})\vec{a}\times\vec{u}
 </math>
-=== Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren ===
+:<math>\begin{align}
-:<math>\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
+&A_{ik}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_k)\cdot\!\!\times
-=(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\otimes\vec{g}</math>
+[B_{lj}(\hat{e}_l\otimes\hat{e}_j)]
-:<math>\vec{g}\otimes (\mathbf{A}\cdot\vec{a})
+= A_{ik}B_{kj}(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)=\ldots
-=(\vec{g}\otimes\vec{a})\cdot\mathbf{A}^\top</math>
+\\&\ldots=
-:<math>\vec{g}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{a}
+\begin{pmatrix}
-=\vec{g}\cdot (\vec{a}\cdot\mathbf{A}^\top )
+A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32}
-=(\mathbf{A}^\top\cdot\vec{g})\cdot\vec{a}
+\\
-=\mathbf{A}:(\vec{g}\otimes\vec{a})
+A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33}
-</math>
-Spatprodukt und [[#Determinante]] eines Tensors:
-:<math>(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot[(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})]
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
-</math>
-Kreuzprodukt und [[#Kofaktor eines Tensors]]:
-:<math>\begin{array}{rcl}
-(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})
-&=&\operatorname{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
 \\
-\mathbf{A}^\top\cdot[(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})]
+A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31}
-&=&\operatorname{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\times\vec{b}
+\end{pmatrix}
-\end{array}</math>
+\end{align}</math>
-[[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]:
-:<math>(\vec{u}\times\mathbf{I})\cdot\vec{v}
+Das Skalarkreuzprodukt mit dem [[#Einheitstensor]] vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:
-=\vec{u}\times(\mathbf{I}\cdot\vec{v})
-=\vec{u}\cdot(\mathbf{I}\times\vec{v})
+:<math>\mathbf{1}\cdot\!\!\times(\vec{a}\otimes\vec{b})
-=(\vec{u}\cdot\mathbf{I})\times\vec{v}
+=\vec{a}\times\vec{b}</math>
-=\vec{u}\times\vec{v}</math>
-[[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+Allgemein:
-:<math>\mathbf{I}\cdot\!\!\times(\vec u\otimes\vec v)=\vec u\times\vec v</math>
-=== Wechsel der Basis ===
+:<math>\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}
-:<math>\mathbf{A}
+=-(\mathbf{B}^\top)\cdot\!\!\times(\mathbf{A}^\top)
-= A_{ij}\vec{a}^{i}\otimes\vec{a}^{j}
-= A_{ij}^\ast\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j}
 </math>
-Die Komponenten <math>A_{ij}^\ast</math> ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit der Transformationsmatrix
+:<math>
-:<math>\mathbf{I} = \vec{b}^{i}\otimes\vec{b}_i\,,</math>
+\mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B\cdot C})
-die ein [[#Einheitstensor]] ist:
+=(\mathbf{A\cdot B})\cdot\!\!\times\mathbf{C}
-:<math>\begin{array}{rcl}
-\mathbf{A} =\mathbf{I\cdot A\cdot I}^\top
-&=&
-(\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}_i)\cdot
-(A_{kl}\vec{a}^{k}\otimes\vec{a}^{l})\cdot
-(\vec{b}_j\otimes\vec{b}^{j})
-\\
-&=&
-A_{kl}(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^{k})(\vec{a}^{l}\cdot\vec{b}_j )\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j}
-=: A_{ij}^\ast\vec{b}^{i}\otimes\vec{b}^{j}
-\\
-\rightarrow A_{ij}^\ast
-&=&
-(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^{k})A_{kl}(\vec{a}^{l}\cdot\vec{b}_j )
-\end{array}
 </math>
-=== Bilinearform und Identität von Tensoren ===
-{{Hauptartikel|Bilinearform}}
-Definition für einen Tensor <math>\mathbf{A}</math>:
-:<math>\langle\vec{u},\vec{v}\rangle
-:=\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}</math>
-Zwei Tensoren <math>\mathbf{A}</math> und <math>\mathbf{B}</math> sind identisch wenn gilt:
 :<math>
-\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
+(\mathbf{A\cdot B})\cdot\!\!\times\mathbf{C}
-=\vec{u}\cdot\mathbf{B}\cdot\vec{v}
+=\mathbf{A}\cdot\!\!\times(\mathbf{B\cdot C})
-\quad\forall\;\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}</math>
+</math>
+Zusammenhang mit dem [[#Kreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>\mathbf{S}\cdot\!\!\times\mathbf{T}=\mathbf{S\times(T^\top)}</math>
+Zusammenhang mit [[#Vektorinvariante]] und [[#Dualer axialer Vektor]]:
-=== Kofaktor eines Tensors ===
+:<math>\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}
-{{Hauptartikel|Minor (Mathematik)}}
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})
-Definition
+=-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}}
-:<math>\operatorname{cof}(\mathbf{A})
-:=\mathbf{A^\top\cdot A^\top} -\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\mathbf{A}^\top
-+\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})\mathbf{I}
-=\frac{1}{2}\mathbf{A}\#\mathbf{A}
 </math>
-[[#Invarianten]]:
-Wenn λ<sub>1,2,3</sub> die Eigenwerte des Tensors '''A''' sind, dann hat cof('''A''') die Eigenwerte λ<sub>2</sub>λ<sub>3</sub>, λ<sub>3</sub>λ<sub>1</sub>, λ<sub>1</sub>λ<sub>2</sub>.
+==== Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren ====
+Siehe auch [[#Äußeres Tensorprodukt]] #
-[[#Hauptinvarianten]]:
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-:<math>\begin{align}
-\operatorname{I}_1(\operatorname{cof}(\mathbf{A}))=&\operatorname{I}_2(\mathbf{A})
-\\
-\operatorname{I}_2(\operatorname{cof}(\mathbf{A}))=&
-\operatorname{I}_1(\mathbf{A})\operatorname{I}_3(\mathbf{A})
-\\
-\operatorname{I}_3(\operatorname{cof}(\mathbf{A}))=&\operatorname{I}_3(\mathbf{A})^2
-\end{align}</math>
-Betrag: <math>\|\operatorname{cof}(\mathbf{A})\|=\sqrt{\operatorname{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})}
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\times\!\!\times(\vec{h}\otimes\vec{b})
-=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}
+:=(\vec{g}\times\vec{h})\otimes(\vec{a}\times\vec{b})
+=(\vec{g}\otimes\vec{a})\#(\vec{h}\otimes\vec{b})
 </math>
-Eigenschaften:
+:<math>A_{ij}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\times\!\!\times
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A})\ne 0
+[B_{kl}(\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l)]
-\quad\rightarrow\quad
+:= A_{ij}B_{kl}(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_i\times\hat{e}_l)
-\operatorname{cof}(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{\top -1}
-</math>
-:<math>\mathbf{A}^\top\cdot\operatorname{cof}(\mathbf{A})
-=\operatorname{cof}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}^\top
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})\mathbf{I}</math>
-:<math>\operatorname{cof}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-=\frac{1}{2}(A_{kl} A_{mn}\epsilon_{kmi}\epsilon_{lnj})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-=\begin{pmatrix}
-A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&
-A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&
-A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}
-\\
-A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&
-A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&
-A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}
-\\
-A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&
-A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&
-A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
-\end{pmatrix}
-</math>
-:<math>\operatorname{cof}(\mathbf{A\cdot B})
-=\operatorname{cof}(\mathbf{A})\cdot\operatorname{cof}(\mathbf{B})
-</math>
-:<math>\operatorname{cof}(\mathbf{A}^\top )=\operatorname{cof}(\mathbf{A})^\top
-</math>
-Kreuzprodukt und Kofaktor:
-:<math>
-(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})
-=\operatorname{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
 </math>
-=== Adjungierter Tensor ===
+:<math>\mathbf{A}\times\!\!\times\mathbf{B}=\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}</math>
-{{Hauptartikel|Adjunkte}}
-Definition:
+==== Äußeres Tensorprodukt ====
-:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A})
+{{Siehe auch|Äußeres Tensorprodukt}}
-:=\mathbf{A}^{2} -\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\mathbf{A}+\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})\mathbf{I}
+Abbildung <math>\mathcal{L}\times\mathcal{L}\to\mathcal{L}</math>
-=\operatorname{cof}(\mathbf{A})^\top
+:<math>(\vec{a}\otimes\vec{g})\#(\vec{b}\otimes\vec{h})
+:=(\vec{a}\times\vec{b})\otimes(\vec{g}\times\vec{h})
+=(\vec{g}\otimes\vec{a})\times\!\!\times(\vec{b}\otimes\vec{h})
 </math>
-[[#Hauptinvarianten]]:
 :<math>\begin{align}
-\operatorname{I}_1(\operatorname{adj}(\mathbf{A}))=&\operatorname{I}_2(\mathbf{A})
+&(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)\#
-\\
+(B_{kl}\hat{e}_k\otimes\hat{e}_l)
-\operatorname{I}_2(\operatorname{adj}(\mathbf{A}))=&
+=
-\operatorname{I}_1(\mathbf{A})\operatorname{I}_3(\mathbf{A})
+A_{ij}B_{kl}(\hat{e}_i\times\hat{e}_k)\otimes(\hat{e}_j\times\hat{e}_l)
-\\
+\\&
-\operatorname{I}_3(\operatorname{adj}(\mathbf{A}))=&\operatorname{I}_3(\mathbf{A})^2
+\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\;=
+\epsilon_{ikm}\epsilon_{jln}A_{ij}B_{kl}\hat{e}_m\otimes\hat{e}_n
 \end{align}</math>
-Betrag: <math>\|\operatorname{adj}(\mathbf{A})\|=\sqrt{\operatorname{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})}
+Mit der Formel für das Produkt zweier [[#Permutationssymbol]]e:
-=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}
-</math>
-Eigenschaften:
+:<math>\begin{align}
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A})\ne 0
+\mathbf{A}\#\mathbf{B}
-\quad\rightarrow\quad
+=&
-\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{-1}
+[\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B})-\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})]\mathbf{1}
+\\&
++ [\mathbf{A\cdot B}+\mathbf{B\cdot A}
+-\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{B}-\mathrm{Sp}(\mathbf{B})\mathbf{A}]^\top
+\end{align}</math>
+Grundlegende Eigenschaften:
+:<math>
+\mathbf{A}\#\mathbf{B}=\mathbf{B}\#\mathbf{A}
+=(\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}^\top)^\top
 </math>
-:<math>\mathbf{A}\cdot\operatorname{adj}(\mathbf{A})
+:<math>
-=\operatorname{adj}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}
+(\mathbf{A+B})\#\mathbf{C}=\mathbf{A}\#\mathbf{C}+\mathbf{B}\#\mathbf{C}
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})\mathbf{I}</math>
-:<math>\operatorname{adj}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-=\frac{1}{2}(A_{kl} A_{mn}\epsilon_{kmj}\epsilon_{lni})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-=\begin{pmatrix}
-A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&
-A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&
-A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}
-\\
-A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&
-A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&
-A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}
-\\
-A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&
-A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&
-A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
-\end{pmatrix}
 </math>
-:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A\cdot B})
+:<math>
-=\operatorname{adj}(\mathbf{B})\cdot\operatorname{adj}(\mathbf{A})
+\mathbf{A}\#(\mathbf{B+C})=\mathbf{A}\#\mathbf{B}+\mathbf{A}\#\mathbf{C}
-</math>
-:<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}^\top )=\operatorname{adj}(\mathbf{A})^\top
 </math>
-=== Inverse eines Tensors ===
+[[Kreuzprodukt]] und [[#Kofaktor]]:
-{{Hauptartikel|Inverse Matrix}}
-Definition
-:<math>\mathbf{A}^{-1}:\quad
-\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A} =
-\mathbf{A\cdot A}^{-1} =
-\mathbf{I}</math>
-Die Inverse ist nur definiert, wenn <math>\operatorname{det}(\mathbf{A})\ne 0</math>
+:<math>
+(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
-Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor <math>\operatorname{adj}(\mathbf{A})</math>:
+=
-:<math>\mathbf{A}^{-1}
+(\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{v})
-=\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\operatorname{adj}(\mathbf{A})
+-(\mathbf{A}\cdot\vec{v})\times(\mathbf{B}\cdot\vec{u})
+</math>
+:<math>
+\frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{A})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
+=\mathrm{cof}(\mathbf A)\cdot(\vec{u}\times\vec{v})
+=(\mathbf{A}\cdot\vec{u})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{v})
 </math>
-Werden die Spalten von <math>\mathbf{A}</math> mit Vektoren bezeichnet
+[[#Hauptinvarianten]]:
-:<math>\mathbf{A}= \begin{pmatrix}\vec{a}_1 &\vec{a}_2 &\vec{a}_3\end{pmatrix}</math>
+:<math>
+\frac{1}{2}(\mathbf{A\#1}):\mathbf{1}=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\frac{1}{2}(\mathbf{A\# A}):\mathbf{1}=\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\frac{1}{6}(\mathbf{A\# A}):\mathbf{A}=\det(\mathbf{A})
+</math>
-dann gilt:
+Weitere Eigenschaften:
+:<math>
+\mathbf{1}\#\mathbf{1}= 2\,\mathbf{1}
+</math>
 :<math>
-\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix} \vec{a}^1 &\vec{a}^2 &\vec{a}^3\end{pmatrix}^\top
+\mathbf{A}\#\mathbf{1}=
-= \dfrac{1}{\operatorname{det}(\mathbf{A})}
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{1}-\mathbf{A}^\top
-\begin{pmatrix}
-\vec{a}_{2}\times\vec{a}_{3}
-&
-\vec{a}_{3}\times\vec{a}_{1}
-&
-\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}
-\end{pmatrix}^\top
 </math>
-[[Satz von Cayley-Hamilton]]:
 :<math>
-\mathbf{A}^{-1}
+(\mathbf{A}\#\mathbf{B}):\mathbf{C}
+=
+(\mathbf{B}\#\mathbf{C}):\mathbf{A}
 =
-\frac{1}{\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})}
+(\mathbf{C}\#\mathbf{A}):\mathbf{B}
-(\mathbf{A}^{2}
+</math>
--\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\mathbf{A}
+:<math>
-+\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})\mathbf{I})
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A}\#\mathbf{B})=
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B})
+-\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})
+</math>
+:<math>
+(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\cdot(\mathbf{C}\#\mathbf{D})
+=
+(\mathbf{A\cdot C})\#(\mathbf{B\cdot D})
++(\mathbf{A\cdot D})\#(\mathbf{B\cdot C})
 </math>
-worin <math>\operatorname{I}_1,\,\operatorname{I}_2,\,\operatorname{I}_3</math> die drei Hauptinvarianten sind.
+Aber meistens:
-Inverse des transponierten Tensors:
+:<math>
-:<math>(\mathbf{A}^\top )^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\top
+(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\#\mathbf{C}\ne\mathbf{A}\#(\mathbf{B}\#\mathbf{C})
-=\mathbf{A}^{\top -1} =\mathbf{A}^{-\top}</math>
+</math>
-Inverse eines Tensorprodukts:
+{{Siehe auch|#Hauptinvarianten|#Kofaktor}}
-:<math>(\mathbf{A\cdot B})^{-1}
+.
-=\mathbf{B}^{-1}\cdot\mathbf{A}^{-1}</math>
-Spezialfälle:
+=== Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren ===
-:<math>(a\mathbf{I}+\vec{b}\otimes\vec{c})^{-1}
-=\frac{1}{a}\left(\mathbf{I} -\frac{1}{a+\vec{b}\cdot\vec{c}}
-\vec{b}\otimes\vec{c}\right)</math>
-:<math>(a\mathbf{I}+\vec{b}\otimes\vec{c}+\vec{d}\otimes\vec{e})^{-1}
+:<math>\mathbf{A}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{g})
-=
+=(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\otimes\vec{g}</math>
-\frac{1}{a D}\left(D\mathbf{I}
-+\vec{b}\otimes( q\vec{c} + r\vec{e})
-+\vec{d}\otimes( s\vec{c} + t\vec{e})
-\right)</math>
-:<math>\begin{array}{rclrcl}
-q &=& a +\vec{d}\cdot\vec{e},
-&
-r &=& -\vec{c}\cdot\vec{d}
-\\
-s &=& -\vec{b}\cdot\vec{e},
-&
-t &=& a+\vec{b}\cdot\vec{c}
-\end{array}
-</math>
-:<math>
-D = r s - q t
-</math>
-== Eigensystem ==
+:<math>\vec{a}\otimes(\mathbf{A}\cdot\vec{g})
-{{Hauptartikel|Eigenwertproblem}}
+=(\vec{a}\otimes\vec{g})\cdot\mathbf{A}^\top</math>
-=== Eigenwertproblem ===
+:<math>\vec{a}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}
-:<math>\mathbf{A}\cdot\hat{v}
+=\mathbf{A}:(\vec{a}\otimes\vec{g})
-=\lambda\hat{v}</math>
+</math>
-mit Eigenwert <math>\lambda</math> und Eigenvektor <math>\hat{v}</math>. Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.
+Spatprodukt und [[#Determinante]] eines Tensors:
-Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.
+:<math>(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})]
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
+</math>
-=== Eigenwerte ===
+Kreuzprodukt und [[#Kofaktor]]:
-{{Hauptartikel|Charakteristisches Polynom}}
-''Charakteristische Gleichung''
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I} )
-=-\lambda_i^{3} +\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\lambda_i^{2}
--\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})\lambda_i +\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})
-=0</math>
-Die Koeffizienten sind die ''[[#Hauptinvarianten]]'':
+:<math>
-:<math>\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}):
+(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})
-=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})
+=\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
-=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}</math>
+</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}):
+:<math>
-=\frac{1}{2}[\operatorname{I}_{1}{(\mathbf{A})}^{2}-\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}^{2})]
+\mathbf{A}^\top\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})]
-=\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1}
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\;\vec{a}\times\vec{b}
 </math>
-:<math>\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A}):
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})
-=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}</math>
-[[Satz von Cayley-Hamilton]]:
+[[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]], [[#Kreuzprodukt von Tensoren]], [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]], [[#Dualer axialer Vektor]] und [[#Vektorinvariante]]:
-:<math>-\mathbf{A}^{3}
-+\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{2}
--\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})\mathbf{A}
-+\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})\mathbf{I}
-=\mathbf{0}</math>
-=== Eigensystem symmetrischer Tensoren ===
+:<math>(\vec{u}\times\mathbf{1})\cdot\vec{v}
-Sei <math>\mathbf{A} =\mathbf{A}^\top</math> ''symmetrisch''.
+=(\vec u\otimes\vec v)\times\mathbf1
+=(\vec u\otimes\vec v)\cdot\!\!\times\mathbf1
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{(\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf1}}
+=\vec{\mathrm i}(\vec{u}\otimes\vec{v})
+=\vec{u}\times\vec{v}
+</math>
-Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine [[Orthonormalbasis]] aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass die ein Rechtssystem bilden.
+=== Tensorkomponenten ===
-Hauptachsentransformation mit Eigenwerten <math>\lambda_i</math> und Eigenvektoren <math>\hat{a}_i</math> des symmetrischen Tensors <math>\mathbf{A}</math>:
+:<math>\mathbf{A}
-:<math>\begin{array}{lcl}
+=
-\mathbf{A}
+A_{ij}\,\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-&=&\displaystyle
+=\begin{pmatrix}
-\sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-=\left(\hat{a}_i\otimes\hat{e}_i\right)\cdot
+A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-\left(\sum_{j=1}^3\lambda_j
+A_{31}& A_{32}& A_{33}
-\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j\right)\cdot
+\end{pmatrix}
-\left(\hat{e}_k\otimes\hat{a}_k\right)
+\quad\rightarrow\;
-\\
+A_{ij}=\hat{e}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\hat{e}_j
-&=&
+</math>
-\begin{pmatrix}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}\end{pmatrix}
-\cdot\begin{pmatrix}
-\lambda_{1}& 0& 0\\
-&\lambda_{2}& 0\\
-& 0&\lambda_{3}
-\end{pmatrix}\cdot
-(\begin{array}{ccc}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}
-\end{array})^\top\end{array}</math>
-bzw.
+:<math>\mathbf{A}
-:<math>\begin{pmatrix}
+=
-\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}
+A^{ij}\,\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j
-\end{pmatrix}^\top
+\quad\rightarrow\;
-\cdot\mathbf{A}
+A^{ij}=\vec{a}^i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^j
-\cdot\begin{pmatrix} \hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3} \end{pmatrix}
+=(\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j):\mathbf{A}
-=\begin{pmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\
+</math>
-&\lambda_{2}& 0\\
-& 0&\lambda_{3}\end{pmatrix}</math>
-=== Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren ===
+:<math>\mathbf{A}
-Sei <math>\mathbf{A} = -\mathbf{A}^\top</math> ''schiefsymmetrisch''.
+=
+A_{ij}\,\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j
+\quad\rightarrow\;
+A_{ij}=\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}_j</math>
-Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von <math>\mathbf{A}</math> ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen ''[[#Vektorinvariante]]'' <math>\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})</math> ist. Siehe auch [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]].
+:<math>\mathbf{A}
+=
+A_j^i\,\vec{a}_i\otimes\vec{g}^j
+\quad\rightarrow\;
+A_j^i =\vec{a}^i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}_j</math>
-=== Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren ===
+:<math>\mathbf{A}
-Sei <math>a,b,c\in\R</math> und <math>\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\in\R^3</math> eine Basis und <math>\vec{a}^1,\vec{a}^2,\vec{a}^3</math> die dazu duale Basis.
+=
+A_i^j\,\vec{a}^i\otimes\vec{g}_j
+\quad\rightarrow\;
+A_i^j =\vec{a}_i\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{g}^j</math>
-==== Drei reelle Eigenwerte ====
+=== Wechsel der Basis ===
-Der Tensor
-:<math>\mathbf{T}
-=a\,\vec{a}_1\otimes\vec{a}^1
-+b\,\vec{a}_2\otimes\vec{a}^2
-+c\,\vec{a}_3\otimes\vec{a}^3</math>
-hat die Eigenwerte
+:<math>\mathbf{A}
-:<math>\lambda_1=a,\;
+= A_{ij}\vec{a}^i\otimes\vec{a}^j
-\lambda_2=b,\;
+= A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{b}^j
-\lambda_3=c
 </math>
-und Eigenvektoren
+Die Komponenten <math>A_{ij}^\ast</math> ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit dem [[#Einheitstensor]] <math>\mathbf{1}=\vec{b}^i\otimes\vec{b}_i</math>:
-:<math>\vec{v}_1=\vec{a}_1,\;
-\vec{v}_2=\vec{a}_2,\;
-\vec{v}_3=\vec{a}_3
-</math>
-==== Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ====
+:<math>\begin{align}
-Der Tensor
+\mathbf{A}=\mathbf{1\cdot A\cdot 1}^\top
-:<math>
+=&
-\mathbf{T}
+(\vec{b}^i\otimes\vec{b}_i)\cdot
-=c\,\vec{a}_1\otimes \vec{a}^1
+(A_{kl}\vec{a}^k\otimes\vec{a}^l)\cdot
-+a(\vec{a}_2\otimes \vec{a}^2+\vec{a}_3\otimes \vec{a}^3)
+(\vec{b}_j\otimes\vec{b}^j)
-+b(\vec{a}_2\otimes \vec{a}^3-\vec{a}_3\otimes \vec{a}^2)
+\\
-</math>
+=&
+(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{a}^l\cdot\vec{b}_j)
+\vec{b}^i\otimes\vec{b}^j
+=: A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{b}^j
+\\
+\rightarrow A_{ij}^\ast
+=&
+(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{a}^l\cdot\vec{b}_j)
+\end{align}</math>
-hat die Eigenwerte
+Allgemein:
-:<math>\lambda_1=c,\;
-\lambda_2=a+\mathrm{i}\,b,\;
-\lambda_3=a-\mathrm{i}\,b</math>
-und Eigenvektoren
+:<math>\mathbf{A}
-:<math>\vec{v}_1=\vec{a}_1,\;
+= A_{ij}\vec{a}^i\otimes\vec{g}^j
-\vec{v}_2=\vec{a}_2+\mathrm{i}\,\vec{a}_3,\;
+= A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j
-\vec{v}_3=\vec{a}_2-\mathrm{i}\,\vec{a}_3
 </math>
-== Spezielle Tensoren ==
+Basiswechsel mit <math>\mathbf1
-=== Dyade ===
+=(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)\vec{b}^i\otimes\vec{a}_k
-{{Hauptartikel|Dyadisches Produkt}}
+=(\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l)\vec{h}^j\otimes\vec{g}_l
-Definition
+</math>:
-:<math>\mathbf{A}:=\vec{a}\otimes\vec{b}</math>
-Invarianten:
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}) =\vec{a}\cdot\vec{b}</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}) = 0</math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}) = 0</math>
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel = |\vec{a}|\,|\vec{b}|</math>
-Eigensystem:
+:<math>\begin{align}
-:<math>\begin{array}{lcllcl}
+\mathbf{A}=\mathbf{1\cdot A\cdot 1}^\top
-\lambda_1 &=&\vec{a}\cdot\vec{b},
+=&
-&
+(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)(\vec{b}^i\otimes\vec{a}_k)\cdot
-\vec{v}_1 &=&\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
+A_{mn}(\vec{a}^m\otimes\vec{g}^n)\cdot
+(\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l)(\vec{g}_l\otimes\vec{h}^j)
+\\=&
+(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{h}_j\cdot\vec{g}^l)
+(\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j)
+=
+A_{ij}^\ast\vec{b}^i\otimes\vec{h}^j
 \\
-\lambda_2 &=& 0,
+\rightarrow A_{ij}^\ast
-&
+=&
-\vec{v}_2 &=&\dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|}
+(\vec{b}_i\cdot\vec{a}^k)A_{kl}(\vec{g}^l\cdot\vec{h}_j)
-\\
+\end{align}</math>
-\lambda_3 &=& 0,
-&
+=== Bilinearform und Identität von Tensoren ===
-\vec{v}_3 &=&\dfrac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{b}}{
+{{Siehe auch|Bilinearform}}
-|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{b}|}
+Definition für einen Tensor '''A''':
-\end{array}
+:<math>\langle\vec{u},\vec{v}\rangle
+:=\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
+=\mathbf A:(\vec u\otimes\vec v)
 </math>
-=== Einheitstensor ===
+Zwei Tensoren '''A''' und '''B''' sind identisch, wenn
-{{Hauptartikel|Einheitstensor}}
-:<math>\mathbf{I}
-=\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i
-=\delta_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-=\begin{pmatrix}
-& 0& 0\\
-& 1& 0\\
-& 0& 1\end{pmatrix}</math>
-:<math>\mathbf{I}
-=\vec{g}_i\otimes\vec{g}^{i}
-=\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}_i
-= g^{ij}\vec{g}_i\otimes\vec{g}_j
-= g_{ij}\vec{g}^{i}\otimes\vec{g}^{j}</math>
-mit <math>g_{ij}=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j\,,\;
+:<math>
-g^{ij} =\vec{g}^{i}\cdot\vec{g}^{j}</math>
+\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
+=\vec{u}\cdot\mathbf{B}\cdot\vec{v}
+\quad\forall\;\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}</math>
-Allgemein:
+=== Kofaktor ===
-:<math>\mathbf{I} = (\vec{a}^i\cdot\vec{g}^j)\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j
+{{Siehe auch|Minor (Mathematik)}}
-</math>
+Definition
-Es gilt:
+:<math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})
-:<math>\mathbf{I}
+:=\mathbf{A^\top\cdot A^\top}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}^\top
-=\mathbf{I}^\top
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}</math>
-=\mathbf{I}^{-1}
-=\mathbf{I}^{\top -1}
-</math>
-Vektortransformation
+[[#Invarianten]]:
-:<math>\mathbf{I}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\mathbf{I}=\vec{v}</math>
-Tensorprodukt
+Wenn λ<sub>1,2,3</sub> die [[#Eigenwerte]] des Tensors '''A''' sind, dann hat cof('''A''') die Eigenwerte λ<sub>1</sub>λ<sub>2</sub>, λ<sub>2</sub>λ<sub>3</sub>, λ<sub>3</sub>λ<sub>1</sub>.
-:<math>\mathbf{A\cdot I}
-=\mathbf{I\cdot A}
-=\mathbf{A}</math>
-Skalarprodukt
+[[#Hauptinvarianten]]:
-:<math>\mathbf{A}:\mathbf{I}=\operatorname{Sp}(\mathbf{A})</math>
-Invarianten:
+:<math>
-:<math>\begin{array}{rcl}
+\mathrm{I}_1(\mathrm{cof}(\mathbf{A}))
-\operatorname{Sp}(\mathbf{I})
+=\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
-&=&\mathbf{I}:\mathbf{I}
+</math>
-= 3
+:<math>
-\\
+\mathrm{I}_2(\mathrm{cof}(\mathbf{A}))
-\operatorname{I}_2(\textbf{I}) &=& 3
+=\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{A})
-\\
+</math>
-\operatorname{det}(\textbf{I}) &=& 1
+:<math>
-\\
+\mathrm{det}(\mathrm{cof}(\mathbf{A}))
-\parallel\mathbf{I}\parallel &=&\sqrt{3}
+=\mathrm{det}^2(\mathbf{A})
-\end{array}
 </math>
-Eigenwerte:
+[[#Betrag]]:
-:<math>\lambda_{1,2,3} = 1</math>
-Jeder Vektor ist Eigenvektor.
-=== Unimodulare Tensoren ===
+:<math>\|\mathrm{cof}(\mathbf{A})\|
-{{Hauptartikel|Spezielle lineare Gruppe}}
+=\sqrt{\mathrm{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})}
-Definition
+=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}
-:<math>\mathbf{H}:\quad\operatorname{det}(\mathbf{H}) = 1</math>
-Determinantenproduktsatz:
-:<math>
-\operatorname{det}(\mathbf{A\cdot H})
-=\operatorname{det}(\mathbf{H\cdot A})
-=\operatorname{det}(\mathbf{A})
 </math>
-=== Orthogonale Tensoren ===
+Weitere Eigenschaften:
-{{Hauptartikel|Orthogonaler Tensor}}
-Definition
-:<math>\mathbf{Q}:\quad\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^\top
-\quad\textsf{oder}\quad
-\mathbf{Q\cdot Q}^\top
-=\mathbf{Q}^\top\cdot\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}</math>
-Invarianten (<math>\alpha</math> ist der Drehwinkel):
-:<math>\begin{align}
-\operatorname{Sp}(\mathbf{Q})=&\operatorname{det}(\mathbf{Q})+2\cos (\alpha )
-\\
-\operatorname{I}_2(\mathbf{Q})=&
-\operatorname{det}(\mathbf{Q})\cdot\operatorname{Sp}(\mathbf{Q})
-\\
-\operatorname{det}(\mathbf{Q})=&\pm 1
-\end{align}</math>
-''Eigentlich orthogonaler'' Tensor <math>\operatorname{det}(\mathbf{Q}) =+1</math>, entspricht einer Drehung.
+:<math>\mathrm{cof}(x\mathbf{A})=x^2\mathrm{cof}(\mathbf{A})</math>
-''Uneigentlich orthogonaler'' Tensor <math>\operatorname{det}(\mathbf{Q}) =-1</math>, entspricht einer Drehspiegelung.
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0
+\quad\rightarrow\quad
+\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{\top-1}
+</math>
-Spatprodukt:
+:<math>\mathbf{A}^\top\cdot\mathrm{cof}(\mathbf{A})
-:<math>(\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\cdot[(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})]
+=\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}^\top
-=\operatorname{det}(\mathbf{Q})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})</math>
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1}</math>
-Kreuzprodukt und [[#Kofaktor eines Tensors]]:
+:<math>\mathrm{cof}(\mathbf{A\cdot B})
-:<math>(\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})
+=\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot\mathrm{cof}(\mathbf{B})
-=\operatorname{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
 </math>
-Gegeben ein Einheitsvektor <math>\hat{n}</math> und Drehwinkel <math>\alpha</math>. Dann sind die folgenden Tensoren <math>\mathbf{Q}</math> orthogonal und drehen um die Achse <math>\hat{n}</math> mit Winkel <math>\alpha</math>:
+:<math>\mathrm{cof}(\mathbf{A}^\top)=\mathrm{cof}(\mathbf{A})^\top
-:<math>\begin{array}{lcl}
-\vec{\alpha}=\alpha\vec{n}
-&\rightarrow &
-\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}+\dfrac{\sin (\alpha )}{\alpha}\vec{\alpha}\times\mathbf{I}
-+\dfrac{1-\cos (\alpha )}{\alpha^2}(\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}
--(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{I})
-\\[2ex]
-\textsf{Drehspiegelung:}
-&&
-\mathbf{Q}
-=-\mathbf{I}+\dfrac{\sin (\alpha )}{\alpha}\vec{\alpha}\times\mathbf{I}
--\dfrac{1+\cos (\alpha )}{\alpha^2} (\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}
--(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{I})
-\\[2ex]
-\vec{\alpha}=2\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}
-&\rightarrow &
-\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}+\dfrac{1}{1+\frac{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}{4}}
-\left(\vec{\alpha}\times\mathbf{I}
-+\dfrac{1}{2}\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}
--\dfrac{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}{2}\mathbf{I}\right)
-\\[5ex]
-\vec{\alpha}
-=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}
-&\rightarrow &
-\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}+\dfrac{2}{1+\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}
-(\vec{\alpha}\times\mathbf{I}+\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}
--(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{I})
-\\[2ex]
-\vec{\alpha}
-=\sin(\alpha)\;\vec{n}
-&\rightarrow &
-\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}+\vec{\alpha}\times\mathbf{I}+\dfrac{1}{1+\cos(\alpha)}
-(\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}-(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{I})
-\\[2ex]
-\vec{\alpha} =\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}
-&\rightarrow &
-\mathbf{Q}
-=\mathbf{I}+2\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\vec{\alpha}\times\mathbf{I}
-+ 2 (\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}
--(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf{I})
-\end{array}
 </math>
-Drehung von [[Vektorraumbasis]] <math>\vec{u}_{1,2,3}\;\textsf{nach}\;\vec{v}_{1,2,3}</math> mit Drehachse <math>\hat{n}</math>:
+:<math>\mathrm{cof}\left(\mathrm{cof}(\mathbf{A})\right)
-:<math>
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{A}
-\mathbf{Q}\cdot\vec{u}_i =\vec{v}_i
-\quad\rightarrow\quad
-\mathbf{Q}\cdot\vec{u}^i =\vec{v}^i
-\quad\rightarrow\quad
-\mathbf{Q}=\vec{v}_i\otimes\vec{u}^i =\vec{v}^i\otimes\vec{u}_i
-\quad\rightarrow\quad
-\hat{n}\simeq\vec{v}_i\times\vec{u}^i=\vec{v}^i\times\vec{u}_i
 </math>
-Gegeben [[Orthonormalbasis]] <math>\hat{v}_{1,2,3}</math>, Drehwinkel <math>\alpha</math> und <math>\hat{v}_1</math> sei die  Drehachse:
+:<math>\begin{align}
-:<math>\mathbf{Q}={\color{red}\pm}\hat{v}_1\otimes\hat{v}_1 + \cos(\alpha)(\hat{v}_2\otimes\hat{v}_2 + \hat{v}_3\otimes\hat{v}_3)
+&\mathrm{cof}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-+\sin(\alpha)(\hat{v}_3\otimes\hat{v}_2-\hat{v}_2\otimes\hat{v}_3)
+=\frac12(A_{kl}A_{mn}\epsilon_{kmi}\epsilon_{lnj})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-=\begin{pmatrix}
+=\ldots
-{\color{red}\pm 1} & 0 & 0 \\
+\\
-& \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\
+&\ldots=\begin{pmatrix}
-& \sin(\alpha) & \cos(\alpha)
+A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&
-\end{pmatrix}_{\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j}
+A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&
-</math>
+A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}
-<math>{\color{red}+1}</math>: Drehung, <math>{\color{red}-1}</math>: Drehspiegelung um <math>\hat{v}_1</math>
-Wenn <math>\hat{v}_{1,2,3}</math> ein [[Rechtssystem (Mathematik)]] bilden, dann dreht '''Q''' gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.
-Eigensystem:
-:<math>\begin{array}{lcllcl}
-\lambda_1 &=& \operatorname{det}(\mathbf{Q})\,,
-&
-\vec{q}_1&=& \hat{v}_1
 \\
-\lambda_2 &=&e^{\mathrm{i}\alpha},
+A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&
-&
+A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&
-\vec{q}_2 &=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2-\mathrm{i}\hat{v}_3).
+A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}
 \\
-\lambda_3 &=& e^{-\mathrm{i}\alpha},
+A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&
-&
+A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&
-\vec{q}_3 &=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2+\mathrm{i}\hat{v}_3)
+A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
-\end{array}</math>
+\end{pmatrix}
+\end{align}</math>
+Kofaktor und [[#Äußeres Tensorprodukt]]:
-Drehwinkel:
+:<math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\frac{1}{2}\mathbf{A}\#\mathbf{A}</math>
-:<math>\cos (\alpha )=\frac{1}{2}(\operatorname{Sp}(\mathbf{Q})-\operatorname{det}(\mathbf{Q}))</math>
-Drehachse <math>\hat{n}</math>:
+:<math>\begin{align}
-:<math>\hat{n}\simeq
+\mathrm{cof}(\mathbf{A+B})
-\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{Q})
+=&\frac12(\mathbf{A}\#\mathbf{A}+2\mathbf{A}\#\mathbf{B}+\mathbf{B}\#\mathbf{B})
-=\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{Q}
+\\
-</math>
+=&\mathrm{cof}(\mathbf{A})+\mathrm{cof}(\mathbf{B})
-:<math>\mathbf{Q} =\vec{s}_i\otimes\vec{e}_i=\vec{e}_i\otimes\vec{z}_i
++\mathbf{A}\#\mathbf{B}
-\quad\rightarrow\quad
+\end{align}</math>
-\hat{n}\simeq\vec{s}_i\times\vec{e}_i=\vec{e}_i\times\vec{z}_i
-</math>
+Kreuzprodukt und Kofaktor:
-:<math>\frac{1}{2}(\mathbf{Q}-\mathbf{Q}^\top )
-=
+:<math>
-\sin(\alpha)\hat{n}\times\mathbf{I}
+(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{b})
-=
+=\mathrm{cof}(\mathbf{A})\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
-\sin(\alpha)\begin{pmatrix}
-& -n_3 & n_2\\
-n_3 & 0 & -n_1\\
--n_2 & n_1 & 0\end{pmatrix}
-,\quad
-\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}=1
 </math>
-=== Positiv definite Tensoren ===
+=== Adjunkte ===
-{{Hauptartikel|Positiv Definit}}
+{{Siehe auch|Adjunkte}}
-Definition
+Definition:
-:<math>\mathbf{A}:\quad\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v} > 0
-\quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}</math>
-Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:
+:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}) > 0</math>
+:=\mathbf{A}^{2}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}
-:<math>\mathbf{A} = A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\mathrm{cof}(\mathbf{A})^\top
-\quad\rightarrow\quad
+</math>
-A_{11},\,A_{22},\,A_{33} > 0</math>
-:<math>\mathbf{A} = A^i_j\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j
-\quad\rightarrow\quad
-A^1_1,\,A^2_2,\,A^3_3 > 0</math>
-Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle Eigenwerte von <math>\mathbf{A}</math> sind größer als null.
+[[#Hauptinvarianten]]:
-Immer positiv definit falls <math>\operatorname{det}(\mathbf{A})\ne 0</math>:
+:<math>
-:<math>\mathbf{A\cdot A}^\top</math>
+\mathrm{I}_1(\mathrm{adj}(\mathbf{A}))
-:<math>\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{A}</math>
+=\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+</math>
-=== Schiefsymmetrische Tensoren ===
+:<math>
-{{Hauptartikel|Schiefsymmetrische Matrix}}
+\mathrm{I}_2(\mathrm{adj}(\mathbf{A}))
-Definition
+=\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{A})
-:<math>\mathbf{A}:\quad\mathbf{A} =-\mathbf{A}^\top</math>
+</math>
-In kartesischen Koordinaten:
+:<math>
-:<math>\mathbf{A}
+\mathrm{det}(\mathrm{adj}(\mathbf{A}))
-=
+=\mathrm{det}^2(\mathbf{A})
-A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-=\begin{pmatrix}
-& A_{12}& A_{13}\\
--A_{12}& 0& A_{23}\\
--A_{13}& -A_{23}& 0
-\end{pmatrix}</math>
-Invarianten:
-:<math>\operatorname{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )=0</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-= A_{12}^2+A_{13}^2+A_{23}^2
 </math>
-:<math>\operatorname{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )=0</math>
-:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j \parallel
+[[#Betrag]]:
-=\sqrt{2}\sqrt{A_{12}^2+A_{13}^2+A_{23}^2}
+:<math>\|\mathrm{adj}(\mathbf{A})\|
+=\sqrt{\mathrm{I}_2(\mathbf{A^\top\cdot A})}
+=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\|\mathbf{A}\|^4-\|\mathbf{A^\top\cdot A}\|^2}
 </math>
-Bilinearform:
+Weitere Eigenschaften:
-:<math>\begin{align}
-\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
-=&-\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{u}
-\quad\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}
-\\
-\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}=&0
-\quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V}
-\end{align}</math>
-Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]].
+:<math>\mathrm{adj}(x\mathbf{A})=x^2\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>
-Dualer axialer Vektor:
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0
-:<math>\mathbf{A}_{\times}:= -\frac{1}{2}\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{A}
-= -\frac{1}{2}\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})
 \quad\rightarrow\quad
-\mathbf{A}\cdot\vec{v} =\mathbf{A}_{\times}\times\vec{v}
+\mathrm{adj}(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{-1}
-\quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V}
 </math>
-mit [[#Vektorinvariante]] <math>\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})</math>. Der zum Eigenwert null gehörende Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor <math>\mathbf{A}_{\times}</math> denn
+:<math>\mathbf{A}\cdot\mathrm{adj}(\mathbf{A})
-:<math>\mathbf{A\cdot A}_{\times}
+=\mathrm{adj}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}
-=\mathbf{A}_{\times}\times\mathbf{A}_{\times}
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1}</math>
-=\vec{0}</math>
-:<math>\mathbf{A}
+:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A\cdot B})
-= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\mathrm{adj}(\mathbf{B})\cdot\mathrm{adj}(\mathbf{A})
-\quad\rightarrow\;
+</math>
-\mathbf{A}_{\times}
-=-\frac{1}{2} A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j
+:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\top)
-=\left(\begin{array}{c}
+=\mathrm{adj}(\mathbf{A})^\top
--A_{23}\\
-A_{13}\\
--A_{12}\end{array}\right)
 </math>
-:<math>\mathbf{A}
-= A_{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j -\vec{b}_j\otimes\vec{a}_i )
-\quad\rightarrow\;
-\mathbf{A}_{\times}=-A_{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j</math>
-=== Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix ===
+:<math>\begin{align}
-Kreuzproduktmatrix <math>[\vec{u}]_{\times}</math> eines Vektors <math>\vec{u}</math>:
+\mathrm{adj}(\mathbf{A+B})
-:<math>\begin{array}{rcl}
+=&\frac12(\mathbf{A}\#\mathbf{A}+2\mathbf{A}\#\mathbf{B}
-\vec{u}
++\mathbf{B}\#\mathbf{B})^\top
-= u_i\hat{e}_i
-&=&\left(\begin{array}{c}
-u_{1}\\
-u_{2}\\
-u_{3}
-\end{array}\right)
 \\
-\rightarrow\;
+=&\mathrm{adj}(\mathbf{A})+\mathrm{adj}(\mathbf B)
-[\vec{u}]_{\times} &=& \vec{u}\times\mathbf{I}
++\mathbf{A}^\top\#\mathbf{B}^\top
-= (\vec{u}\times\hat{e}_i )\otimes\hat{e}_i
+\end{align}</math>
-= -\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u}
-=\begin{pmatrix}0& -u_{3}& u_{2}\\
+:<math>\mathrm{adj}\left(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\right)
-u_{3}& 0& -u_{1}\\
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{A}
--u_{2}& u_{1}& 0
-\end{pmatrix}\in\mathcal{L}
-\end{array}
 </math>
-Invarianten:
-:<math>\begin{array}{rcl}
+:<math>\begin{align}
-\operatorname{I}_1 &=& 0
+&\mathrm{adj}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=\frac12(A_{kl}A_{mn}\epsilon_{kmj}\epsilon_{lni})(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=\ldots
 \\
-\operatorname{I}_2 &=& \vec{u}\cdot\vec{u} = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2
+&\ldots=\begin{pmatrix}
+A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&
+A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&
+A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}
 \\
-\operatorname{I}_3 &=& 0
+A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&
+A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&
+A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}
 \\
-\|\vec{u}\times\mathbf{I}\|&=&\sqrt{2\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{2}\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}
+A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&
-\end{array}</math>
+A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&
-Eigensystem:
+A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
-:<math>\begin{array}{rclrcl}
+\end{pmatrix}
-\lambda_1 &=& 0\,, & \vec{v}_1 &=& \vec{u}
+\end{align}</math>
-\\
-\lambda_{2,3} &=& \mp\mathrm{i}|\vec{u}|\,, &
-\vec{v}_{2,3} &\simeq&
-\dfrac{u_1}{|\vec{u}|}\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}
-\pm\mathrm{i}\begin{pmatrix} \pm\mathrm{i}|\vec{u}| \\ -u_3 \\ u_2\end{pmatrix}
-\end{array}</math>
-Eigenschaften:
-:<math>\vec{u}\times\mathbf{I}=\mathbf{I}\times\vec{u}</math>
-:<math>(\vec{u}\times\mathbf{I})^\top =(\mathbf{I}\times\vec{u})^\top
-= -\vec{u}\times\mathbf{I}=-\mathbf{I}\times\vec{u}</math>
-:<math>(\vec{u}\times\mathbf{I})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\mathbf{I}\times\vec{v})=\vec{u}\times\vec{v}</math>
-:<math>-\frac{1}{2}\mathbf{I}\cdot\!\!\times(\vec{u}\times\mathbf{I})
-=\vec{u}</math>
-Potenzen von <math>\mathbf{X}:=\vec{u}\times\mathbf{I}</math>
-:<math>
-\mathbf{X\cdot X} =\vec{u}\otimes\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{u})\mathbf{I}
-\,,\quad
-\mathbf{X\cdot X\cdot X} =-(\vec{u}\cdot\vec{u})\mathbf{X}</math>
-=== Symmetrische Tensoren ===
+=== Inverse ===
-{{Hauptartikel|Symmetrische Matrix}}
+{{Siehe auch|Inverse Matrix}}
 Definition
-:<math>\mathbf{A}:\quad
-\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top</math>
-:<math>\mathbf{A}=
-A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-=\begin{pmatrix}A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{12}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{pmatrix}</math>
-Alle Eigenwerte sind reell.
+:<math>\mathbf{A}^{-1}:\quad
+\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}=
+\mathbf{A\cdot A}^{-1}=
+\mathbf{1}</math>
-Alle Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar.
+Die Inverse ist nur definiert, wenn <math>|\mathbf A|=\mathrm{det}(\mathbf{A})=\mathrm{I}_3(\mathbf{A})\ne 0</math>
-:<math>\operatorname{I}_{1}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}^2-A_{13}^2-A_{23}^2</math>
-:<math>\operatorname{I}_{3}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-=A_{11}(A_{22} A_{33} - A_{23}^2)
-+A_{12} A_{23} A_{31} - A_{12}^2 A_{33}
-+A_{13} A_{12} A_{23} - A_{13}^2 A_{22}
-</math>
-:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
-=\sqrt{A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}
-+2 A_{12}^{2} + 2 A_{13}^{2}+2 A_{23}^{2}}</math>
-Symmetrische Tensoren haben keine [[#Vektorinvariante]]:
+Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor <math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>:
-:<math>\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S}) =\vec{0}</math>
-==== Symmetrische und positiv definite Tensoren ====
+:<math>\mathbf{A}^{-1}
-{{Hauptartikel|Positiv Definit}}
+=\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\mathrm{adj}(\mathbf{A})
-Definition
+</math>
-:<math>\mathbf{A}\colon
-\mathbf{A} =\mathbf{A}^\top
-\quad\text{und}\quad
-\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v} > 0
-\quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}</math>
-Mit den Eigenwerten <math>\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3</math>, den Eigenvektoren <math>\hat{a}_1,\,\hat{a}_2,\,\hat{a}_3</math> und einer reellwertigen Funktion <math>f(x)\in\R</math> eines reellen Argumentes <math>x\in\R</math> definiert man über die Hauptachsentransformation
+:<math>\begin{align}
-:<math>
+\mathbf A=&A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-\mathbf{A}
+\\
-=
+\rightarrow \mathbf{A}^{-1}=&\frac{1}{|\mathbf A|}
-\sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+\begin{pmatrix}
-=
+A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&
-\begin{pmatrix}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}\end{pmatrix}
+A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&
-\cdot\begin{pmatrix}
+A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}
-\lambda_{1}& 0& 0\\
+\\
-&\lambda_{2}& 0\\
+A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&
-& 0&\lambda_{3}
+A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&
-\end{pmatrix}\cdot
+A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}
-(\begin{array}{ccc}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}
+\\
-\end{array})^\top
+A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}&
+A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}&
+A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}
+\end{pmatrix}
+\end{align}</math>
+Werden die Spalten von '''A''' mit Vektoren bezeichnet, also <math>\mathbf{A}=\begin{pmatrix}\vec{a}_1 &\vec{a}_2 &\vec{a}_3\end{pmatrix}</math>, dann gilt:
+:<math>
+\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}\vec{a}^1 &\vec{a}^2 &\vec{a}^3\end{pmatrix}^\top
+=\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}
+\begin{pmatrix}
+\vec{a}_2\times\vec{a}_3
+&
+\vec{a}_3\times\vec{a}_1
+&
+\vec{a}_1\times\vec{a}_2
+\end{pmatrix}^\top
 </math>
-den Funktionswert des Tensors:
+[[Satz von Cayley-Hamilton]]:
-:<math>f(\mathbf{A})
-:=
+:<math>
-\sum_{i=1}^3 f(\lambda_i)\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+\mathbf{A}^{-1}
 =
-\begin{pmatrix}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}\end{pmatrix}
+\frac{1}{\mathrm{I}_3(\mathbf{A})}
-\cdot\begin{pmatrix}
+(\mathbf{A}^{2}
-f(\lambda_{1})& 0& 0\\
+-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}
-& f(\lambda_{2})& 0\\
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1})
-& 0& f(\lambda_{3})
-\end{pmatrix}\cdot
-(\begin{array}{ccc}\hat{a}_{1}&\hat{a}_{2}&\hat{a}_{3}
-\end{array})^\top
 </math>
-Insbesondere mit dem [[Deformationsgradient]]en <math>\mathbf{F}</math>:
+worin <math>\mathrm{I}_{1,2,3}</math> die drei [[#Hauptinvarianten]] sind.
+Inverse des transponierten Tensors:
-Rechter Strecktensor
+:<math>(\mathbf{A}^\top)^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^\top
-:<math>\mathbf{U}
+=\mathbf{A}^{\top -1}=\mathbf{A}^{-\top}</math>
-= +\sqrt{\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}}</math>
-Linker Strecktensor
+Inverse eines Tensorprodukts:
-:<math>\mathbf{v}
-= +\sqrt{\mathbf{F\cdot F}^\top }</math>
-Henky-Dehnung
+:<math>(\mathbf{A\cdot B})^{-1}
-:<math>\mathbf{E}_H
+=\mathbf{B}^{-1}\cdot\mathbf{A}^{-1}</math>
-:=\ln(\mathbf{U})
-=\frac{1}{2}\ln(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F})</math>
-==== Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe ====
+:<math>(x\mathbf{A})^{-1}=\frac1x\mathbf{A}^{-1}</math>
-{{Hauptartikel|Voigtsche Notation}}
-Die Tensoren
-:<math>\begin{array}{l}
-\mathbf{E}_{1}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{1}\\
-\mathbf{E}_{2}=\vec{e}_{2}\otimes\vec{e}_{2}\\
-\mathbf{E}_{3}=\vec{e}_{3}\otimes\vec{e}_{3}\\
-\mathbf{E}_{4}=\vec{e}_{2}\otimes\vec{e}_{3}+\vec{e}_{3}\otimes\vec{e}_{2}\\
-\mathbf{E}_{5}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{3}+\vec{e}_{3}\otimes\vec{e}_{1}\\
-\mathbf{E}_{6}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{2}+\vec{e}_{2}\otimes\vec{e}_{1}
-\end{array}</math>
-bilden eine Basis im Vektorraum <math>\operatorname{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})\subset\mathcal{L}</math> der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in [[Voigtsche Notation|Voigt'scher Notation]] dargestellt werden:
+[[#Äußeres Tensorprodukt]] und Inverse einer Summe:
-:<math>\mathbf{A}\in\operatorname{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})
-\quad\rightarrow\quad
-\mathbf{A}
-= A_{r}\mathbf{E}_{r}
-=\begin{bmatrix}
-A_{1}\\
-A_{2}\\
-A_{3}\\
-A_{4}\\
-A_{5}\\
-A_{6}
-\end{bmatrix}</math>
-Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss
+:<math>(\mathbf{A+B})^{-1}
-:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}
+=\frac{1}{\det(\mathbf{A+B})}\left(
-= A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6
+\mathrm{adj}(\mathbf{A})+\mathrm{adj}(\mathbf{B})
++(\mathbf{A}\#\mathbf{B})^\top\right)
 </math>
-berücksichtigt werden.
-=== Deviatorische Tensoren ===
+Invertierungsformeln:
-{{Hauptartikel|Deviator}}
-Definition
-:<math>\mathbf{A}:\quad
-\operatorname{Sp}(\mathbf{A})=0</math>
-:<math>\mathbf{A}
-= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
-=\begin{pmatrix}
-A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}& -A_{11}-A_{22}
-\end{pmatrix}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-=0</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-= -A_{11}^2 - A_{22}^2 - A_{11}A_{22}
-- A_{12}A_{21} - A_{13}A_{31} - A_{23}A_{32}</math>
-:<math>\operatorname{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j )
-=-A_{11}^2 A_{22} - A_{11} A_{22}^2 - A_{11} A_{23}A_{32}
-+A_{12}(A_{23}A_{31}+A_{21}A_{11}+A_{21}A_{22})
-+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})</math>
-:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
-=\sqrt{2 A_{11}^{2}+ 2 A_{22}^{2}+2 A_{11}A_{22}
-+A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}}</math>
-=== Kugeltensoren ===
+:<math>(a\mathbf{1}+\vec{b}\otimes\vec{c})^{-1}
-{{Hauptartikel|Kugeltensor}}
+=\frac{1}{a}\left(\mathbf{1}-\frac{1}{a+\vec{b}\cdot\vec{c}}
-Definition
+\vec{b}\otimes\vec{c}\right)</math>
-:<math>\mathbf{A}:\quad\mathbf{A} = a\mathbf{I}
-=\begin{pmatrix}
-a & 0 & 0\\
-& a & 0\\
-& 0 & a
-\end{pmatrix}
-</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A})=3 a</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})= 3 a^2</math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A})= a^3</math>
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{3}|a|
-</math>
-== Dekompositionen eines Tensors ==
+:<math>\begin{align}
-Gegeben ein beliebiger Tensor <math>\mathbf{A}= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j</math>
+&(a\mathbf{1}+\vec{b}\otimes\vec{c}+\vec{d}\otimes\vec{e})^{-1}
+=
+\frac{1}{a D}\left(D\mathbf{1}
++\vec{b}\otimes(q\vec{c}+ r\vec{e})
++\vec{d}\otimes(s\vec{c}+ t\vec{e})
+\right)
+\\&
+\qquad q=a+\vec{d}\cdot\vec{e},\quad
+r=-\vec{c}\cdot\vec{d},\quad
+s=-\vec{b}\cdot\vec{e},\quad
+t=a+\vec{b}\cdot\vec{c}
+\\&
+\qquad D=rs-qt
+\end{align}</math>
+:<math>(\vec a_i\otimes\vec g_i)^{-1}=\vec g^i\otimes\vec a^i</math>
-=== Symmetrischer Anteil ===
+== Eigensystem ==
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{S}} =\operatorname{sym}(\mathbf{A})
+{{Siehe auch|Eigenwertproblem}}
-:=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^\top )</math>
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{S}}
-=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-A_{11} & A_{12}+A_{21}& A_{13}+A_{31}\\
-A_{12}+A_{21}& 2 A_{22}& A_{23}+A_{32}\\
-A_{13}+A_{31}& A_{23}+A_{32}& 2 A_{33}
-\end{pmatrix}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{S}})
-=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}^{\mathrm{S}})
-=A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33}
--\frac{1}{4} ( A_{12} + A_{21})^2 -\frac{1}{4} ( A_{13} + A_{31} )^2
--\frac{1}{4} ( A_{23} + A_{32} )^2
-</math>
-:<math>\begin{array}{lcl}
-\operatorname{det}(\mathbf{A}^{\mathrm{S}})
-&=&
-A_{11} A_{22} A_{33}
-+\frac{1}{4} ( A_{12} + A_{21} ) ( A_{23} + A_{32} ) ( A_{13} + A_{31} )
-\\
-&& -\frac{1}{4} A_{11} ( A_{23} + A_{32} )^2
--\frac{1}{4} ( A_{12} + A_{21} )^2 A_{33}
--\frac{1}{4} ( A_{13} + A_{31} )^2 A_{22}
-\end{array}
-</math>
-:<math>\parallel (\mathbf{A}^{\mathrm{S}})\parallel
-=\sqrt{ A_{11}^2 + A_{22}^2 + A_{33}^2
-+\frac{1}{2} [ ( A_{12} + A_{21} )^2 + ( A_{13} + A_{31} )^2
-+ ( A_{23} + A_{32} )^2 ]}
-</math>
-=== Schiefsymmetrischer Anteil ===
+=== Eigenwertproblem ===
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{A}} =\operatorname{skw}(\mathbf{A})
-:=\frac{1}{2}(\mathbf{A}-\mathbf{A}^\top )</math>
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{A}}
-=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-& A_{12}-A_{21}& A_{13}+A_{31}\\
-A_{21}-A_{12}& 0 & A_{23}-A_{32}\\
-A_{31}-A_{13}& A_{32}-A_{23}& 0
-\end{pmatrix}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{A}}) = 0
-</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}^{\mathrm{A}})
-=\frac{1}{4} ( ( A_{12} - A_{21} )^2 + ( A_{13} - A_{31} )^2
-+ ( A_{23} - A_{32} )^2 )</math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}^{\mathrm{A}}) = 0
-</math>
-:<math>\parallel\mathbf{A}^{\mathrm{A}}\parallel
-=\sqrt{\frac{1}{2}}
-\sqrt{ ( A_{12} - A_{21} )^2 + ( A_{13} - A_{31} )^2 + ( A_{32} - A_{23} )^2 }
-</math>
-=== Deviator ===
+:<math>\mathbf{A}\cdot\hat{v}
-{{Hauptartikel|Deviator}}
+=\lambda\hat{v}</math>
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{D}} =\operatorname{dev}(\mathbf{A})
-:=\mathbf{A}-\frac{1}{3}\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{I}</math>
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{D}}
-=\begin{pmatrix}
-\frac{2}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{22}-\frac{1}{3}A_{33}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}&\frac{2}{3}A_{22}-\frac{1}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{33}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}&\frac{2}{3}A_{33}-\frac{1}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{22}
-\end{pmatrix}</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{D}}) = 0</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}^{\mathrm{D}})
-=\frac{1}{3}( A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33}
- - A_{11}^2 - A_{22}^2 - A_{33}^2 )
-- A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}
-</math>
-:<math>\begin{array}{lcl}
-\operatorname{det}(\mathbf{A}^{\mathrm{D}})
-&=&
-\frac{1}{27} [ 12 A_{11} A_{22} A_{33}
- + 2 ( A_{11}^3 + A_{22}^3 + A_{33}^3 )
-\\
-&& - 3 A_{11}^2 ( A_{22} + A_{33} )
- - 3 A_{22}^2 ( A_{11} + A_{33} )
- - 3 A_{33}^2 ( A_{11} + A_{22} ) ]
-\\
-&& -\frac{1}{3} [ ( 2 A_{11} - A_{22} - A_{33} ) A_{23} A_{32}
- + ( 2 A_{33} - A_{11} - A_{22} ) A_{12} A_{21}
- + ( 2 A_{22} - A_{11} - A_{33} ) A_{13} A_{31} ]
-\\
-&& + A_{13} A_{32} A_{21}
-+ A_{12} A_{23} A_{31}
-\end{array}
-</math>
-:<math>
-\parallel\mathbf{A}^{\mathrm{D}}\parallel
-=
-\sqrt{\frac{2}{3} ( A_{11}^2 + A_{22}^2 + A_{33}^2
- - A_{11} A_{22} - A_{11} A_{33} - A_{22} A_{33} )
-+ A_{12}^2 + A_{21}^2 + A_{13}^2
-+ A_{31}^2 + A_{23}^2 + A_{32}^2}
-</math>
-=== Kugelanteil ===
+mit Eigenwert <math>\lambda</math> und Eigenvektor <math>\hat{v}</math>. Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.
-{{Hauptartikel|Kugeltensor}}
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{K}} =\operatorname{sph}(\mathbf{A})
-:=\frac{1}{3}\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{I}</math>
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{K}}
-=\frac{1}{3} (A_{11}+A_{22}+A_{33})
-\begin{pmatrix}1& 0& 0\\
-& 1& 0\\
-& 0& 1\end{pmatrix}
-</math>
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{K}})
-= A_{11}+A_{22}+A_{33} =\operatorname{Sp}(\mathbf{A})</math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A}^{\mathrm{K}})
-=\frac{1}{3} (A_{11}+A_{22}+A_{33})^2</math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A}^{\mathrm{K}})
-=\frac{1}{27} (A_{11}+A_{22}+A_{33})^3</math>
-:<math>\parallel\mathbf{A}^{\mathrm{K}}\parallel
-=\frac{1}{\sqrt{3}} |A_{11}+A_{22}+A_{33}|</math>
-=== Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors ===
+Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.
-:<math>\mathbf{A}
-=\mathbf{A}^{\mathrm{S}}+\mathbf{A}^{\mathrm{A}}
-=\mathbf{A}^{\mathrm{D}}+\mathbf{A}^{\mathrm{K}}</math>
-Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:
+=== Eigenwerte ===
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{S}}:\mathbf{B}^{\mathrm{A}}
+{{Siehe auch|Charakteristisches Polynom}}
-=0</math>
+''Charakteristische Gleichung''
-Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{1})
-:<math>\mathbf{A}^{\mathrm{D}}:\mathbf{B}^{\mathrm{K}}
+=-\lambda_i^{3}+\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\lambda_i^{2}
+-\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\lambda_i +\mathrm{I}_3(\mathbf{A})
 =0</math>
-== Projektionen ==
+Lösung siehe [[Cardanische Formeln]]. Die Koeffizienten sind die '' [[#Hauptinvarianten]] '':
-=== Punkt auf Gerade ===
-Gegeben sei die Gerade durch den Punkt <math>\vec{x}</math> mit Richtungsvektor <math>\vec{g}</math> und ein beliebiger anderer Punkt <math>\vec{p}</math>.
-Dann ist
+:<math>\mathrm{I}_1(\mathbf{A}):
-:<math>\begin{array}{rcl}
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})
-\vec{p} &=& \vec{x} + \vec{a} + \vec{b}
+=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3</math>
-\quad\textsf{mit}\quad
-\vec{a} \| \vec{g}
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A}):
-\quad\text{und}\quad
+=\frac{1}{2} [\mathrm{I}_1(\mathbf{A})^{2}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A}^{2})]
-\vec{b}\bot\vec{g}
+=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1
-\\
+</math>
-\mathbf{G} &=& \dfrac{\vec{g}\otimes\vec{g}}{\vec{g}\cdot\vec{g}}
-\quad\rightarrow\quad
+:<math>\mathrm{I}_3(\mathbf{A}):
-\mathbf{G}\cdot\vec{g} = \vec{g}
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})
-\,,\quad
+=\lambda_1\lambda_2\lambda_3</math>
-(\mathbf{I}-\mathbf{G})\cdot\vec{g} = \vec{0}
-\\
+=== Eigenvektoren ===
-&&\vec{n}\cdot\vec{g} = 0
+Eigenvektoren <math>\vec v</math> sind nur bis auf einen Faktor&nbsp;≠&nbsp;0 bestimmt. Der [[Nullvektor]] ist ''kein'' Eigenvektor.
-\quad\rightarrow\quad
-\mathbf{G}\cdot\vec{n} = \vec{0}
+Bestimmungsgleichung: <math>(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{1})\cdot\vec v=\vec0</math>
-\,,\quad
-(\mathbf{I}-\mathbf{G})\cdot\vec{n} = \vec{n}
+Tensor <math>\mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j</math>:
-\\
-\vec{a} &=& \mathbf{G}\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-=\dfrac{\vec{g}\cdot(\vec{p} - \vec{x})}{\vec{g}\cdot\vec{g}}\vec{g}
-\\
-\vec{b} &=& \left(\mathbf{I} - \mathbf{G}\right)
-\cdot(\vec{p} - \vec{x}) = \vec{p} - \vec{x} - \vec{a}
-\end{array}</math>
-Der Punkt <math>\vec{x} + \vec{a}</math> ist die senkrechte Projektion von <math>\vec{p}</math> auf die Gerade. Der Tensor '''G''' extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von <math>\vec{g}</math> und '''I'''-'''G''' den Anteil senkrecht dazu.
-=== Punkt oder Gerade auf Ebene ===
+:<math>
-Gegeben sei die Ebene durch den Punkt <math>\vec{x}</math> und zwei die Ebene aufspannende Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}\not\!\|\vec{u}</math> sowie ein beliebiger anderer Punkt <math>\vec{p}</math>. Dann verschwindet die Normale
+\begin{pmatrix}
-:<math>\vec{n} = \frac{\vec{u}\times\vec{v}}{|\vec{u}\times\vec{v}|}</math>
+A_{11}-\lambda&A_{12}&A_{13}\\
-nicht. Dann ist
+A_{21}&A_{22}-\lambda&A_{23}\\
-:<math>\begin{array}{rcl}
+A_{31}&A_{32}&A_{33}-\lambda
-\vec{p} &=& \vec{x} + \vec{a} + \vec{b}
+\end{pmatrix}
-\quad\textsf{mit}\quad
+\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}
-\vec{a} \bot \vec{n}
+=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
-\quad\text{und}\quad
+</math>
-\vec{b}\|\vec{n}
-\\
-\mathbf{P} &=& \dfrac{(\vec{v}\cdot\vec{v})\vec{u}\otimes\vec{u}
--(\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{u}\otimes\vec{v}+\vec{v}\otimes\vec{u})
-+(\vec{u}\cdot\vec{u})\vec{v}\otimes\vec{v}}{(\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v})
--(\vec{u}\cdot\vec{v})^2}
-\\
-&& \rightarrow \mathbf{P}\cdot\vec{u} = \vec{u}
-\,,\quad
-\mathbf{P}\cdot\vec{v} = \vec{v}
-\,,\quad
-\mathbf{P}\cdot\vec{n} = \vec{0}
-\,,\quad
-(\mathbf{I}-\mathbf{P})\cdot\vec{n} = \vec{n}
-\\
-&&\rightarrow
-\mathbf{P}\cdot(x \vec{u} + y\vec{v}) =x \vec{u} + y\vec{v}
-\quad\text{und}\quad
-(\mathbf{I}-\mathbf{P})\cdot(x \vec{u} + y\vec{v}) = \vec{0}\quad\forall x, y\in\R
-\\
-\vec{a} &=& \mathbf{P}\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-\\
-\vec{b} &=& (\mathbf{I}-\mathbf{P})\cdot(\vec{p} - \vec{x})=\vec{p} - \vec{x} - \vec{a}
-\end{array}</math>
-Der Punkt <math>\vec{x} + \vec{a}</math> ist die senkrechte Projektion von <math>\vec{p}</math> auf die Ebene<ref>J. Hanson: [http://arxiv.org/abs/1103.5263 ''Rotations in three, four, and five dimensions.''] Bei: ''arxiv.org.'', S. 4f</ref>. Der Tensor '''P''' extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und '''I'''-'''P''' den Anteil senkrecht dazu.
-Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte <math>\vec{x}</math> und <math>\vec{p}</math> verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors <math>\vec{a}</math>.
+Bestimmung mit gegebenem/angenommenem <math>v_1</math>:
-Falls <math>|\vec{u}|=|\vec{v}| = 1</math> und <math>\vec{u}\bot\vec{v}</math> folgt:
+:<math>
-:<math>\begin{array}{rcl}
+\begin{pmatrix}
-\vec{n} &=& \vec{u}\times\vec{v}
+A_{12}&A_{13}\\
-\quad\text{mit}\quad
+A_{22}-\lambda&A_{23}\\
-|\vec n|=1
+A_{32}&A_{33}-\lambda
-\\
+\end{pmatrix}
-\mathbf{P} &=& \vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v}
+\cdot\begin{pmatrix}v_2\\v_3\end{pmatrix}
-=\mathbf{I}-\vec{n}\otimes\vec{n}
+=v_1\begin{pmatrix}\lambda-A_{11}\\-A_{21}\\-A_{31}\end{pmatrix}
-\\
+</math>
-\vec{a} &=& (\vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-=(\mathbf{I}-\vec{n}\otimes\vec{n})\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-\\
-\vec{b} &=& (\mathbf{I} - \vec{u}\otimes\vec{u}-\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-=(\vec{n}\otimes\vec{n})\cdot(\vec{p} - \vec{x})
-\end{array}</math>
-== Invarianten ==
+[[Geometrische Vielfachheit]] 1:
-=== Eigenwerte ===
-Eigenwerte
-:<math>\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}</math>
-=== Hauptinvarianten ===
+:<math>
-{{Hauptartikel|Hauptinvariante}}
+v_2=v_1\frac{(\lambda-A_{33})A_{21}+A_{23}A_{31}}
-:<math>\begin{array}{lclclcl}
+{(A_{22}-\lambda)(A_{33}-\lambda)-A_{23}A_{32}}
-\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})
-&:=&
-\operatorname{Sp}(\mathbf{A})
-&=&
-\frac{1}{2} (\mathbf{A}\#\mathbf{I}):\mathbf{I}
-&=&
-\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}
-\\
-\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})
-&:=&
-\frac{1}{2}[\operatorname{I}_{1}{(\mathbf{A})}^{2}-
-\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}^{2})]
-&=&\frac{1}{2} (\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{I}
-&=&\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1}
-\\
-\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})
-&:=&
-\operatorname{det}(\mathbf{A})
-&=&\frac{1}{6} (\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A}
-&=&\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}
-\end{array}
 </math>
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})=\operatorname{Sp(cof}(\mathbf{A}))
+:<math>
-=\operatorname{Sp(adj}(\mathbf{A}))</math>
+v_3=v_1\frac{(\lambda-A_{22})A_{31}+A_{32}A_{21}}
-:<math>\begin{array}{lcl}
+{(A_{22}-\lambda)(A_{33}-\lambda)-A_{23}A_{32}}
-\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})
-&=&\frac{1}{6}[
-\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})^{3}
-- 3\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}^2)
-+ 2\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}^{3})
-]
-\\[1ex]
-&=&\frac{1}{3}[
-\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A}^{3})
-+ 3\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})
--\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})^{3}
-]
-\end{array}
 </math>
-Falls <math>\mathbf{A}= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j</math>:
+[[Geometrische Vielfachheit]] 2:
-:<math>\operatorname{I}_{1}(\mathbf{A})
+:<math>
-=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
+\begin{pmatrix}A_{13}\\A_{23}\\A_{33}-\lambda\end{pmatrix}v_3
-:<math>\operatorname{I}_{2}(\mathbf{A})
+=
-=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}</math>
+-v_1\begin{pmatrix}A_{11}-\lambda\\A_{21}\\A_{31}\end{pmatrix}
-:<math>\operatorname{I}_{3}(\mathbf{A})
+-v_2\begin{pmatrix}A_{12}\\A_{22}-\lambda\\A_{32}\end{pmatrix}
-=A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})</math>
-Falls <math>\mathbf{A}= A_{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j</math>:
-:<math>\operatorname{Sp}(\mathbf{A})
-= A_{ij}(\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j )</math>
-:<math>\operatorname{I}_2(\mathbf{A})
-= \frac{1}{2} A_{ij} A_{kl}[ (\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j ) (\vec{a}_k\cdot\vec{b}_l )
-- (\vec{a}_i\cdot\vec{b}_l ) (\vec{a}_k\cdot\vec{b}_j ) ]
 </math>
-:<math>\operatorname{det}(\mathbf{A})
-=\begin{vmatrix}A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
-A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
-A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}\vec{a}_{1}&\vec{a}_{2}&\vec{a}_{3}\end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}\vec{b}_{1}&\vec{b}_{2}&\vec{b}_{3}\end{vmatrix}</math>
-=== Betrag ===
+Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1,2,3} [[Zyklische Permutation|zyklisch vertauscht]] werden.
-{{Hauptartikel|Frobeniusnorm}}
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel
-:=\sqrt{\mathbf{A}:\mathbf{A}}
-=\sqrt{\operatorname{Sp}(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{A})}
-=\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}}</math>
-Falls <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top</math>:
+Symmetrischen Tensoren: Für das Betragsquadrat der Komponenten <math>v_{ij}</math> der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren <math>\vec v_i</math> des  ([[Komplexe Zahl|komplexen]]) Tensors <math>A\in\mathbb{C}^{n \times n}</math> gilt mit dessen Eigenwerten <math>\lambda_i</math> und den Eigenwerten <math>\mu_{jk}</math> der [[Hauptuntermatrix|Hauptuntermatrizen]] von <math>A</math>:<ref>{{Internetquelle |autor=P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang |url=https://arxiv.org/abs/1908.03795 |titel=Eigenvectors from Eigenvalues |seiten=1–3 |datum=2019-08-10 |format=PDF |sprache=en |abruf=2019-11-29}}</ref>
-:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+:<math>
-=\sqrt{\operatorname{I}_1^2(\mathbf{A})-2\operatorname{I}_2(\mathbf{A})}
+|v_{ij}|^2\prod_{k=1;k\ne i}^n\big(\lambda_i-\lambda_k\big)
-=\sqrt{\operatorname{I}_1(\mathbf{A}^2)}
+=\prod_{k=1}^{n-1}\big(\lambda_i-\mu_{jk}\big)
 </math>
-Falls <math>\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top</math>:
+=== Eigensystem symmetrischer Tensoren ===
-:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+Sei <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top</math> ''symmetrisch''.
-=\sqrt{2\operatorname{I}_2(\mathbf{A})}
-=\sqrt{-\operatorname{I}_1(\mathbf{A}^2)}
-</math>
-Falls <math>\mathbf{A}
+Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine [[Orthonormalbasis]] aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass sie ein Rechtssystem bilden.
-= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j</math>:
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel
-=\sqrt{A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}+A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}}</math>
-Falls <math>\mathbf{A}
+Hauptachsentransformation mit Eigenwerten <math>\lambda_i</math> und Eigenvektoren <math>\hat{a}_i</math> des symmetrischen Tensors '''A''':
-= A_{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j</math>:
-:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel
-=\sqrt{ A_{ik} A_{lj} (\vec{a}_i\cdot\vec{a}_l) (\vec{b}_k\cdot\vec{b}_j) }
-</math>
-=== Vektorinvariante ===
+:<math>\begin{align}
-:<math>
+\mathbf{A}
-\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})
+=&
-:= \mathbf{I\cdot\!\!\times A}
+\sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
-=\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{I}
+=\left(\hat{a}_i\otimes\hat{e}_i\right)\cdot
-= -\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{A}^\top
+\left(\sum_{j=1}^3\lambda_j
-= -\mathbf{A}^\top\cdot\!\!\times\mathbf{I}
+\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j\right)\cdot
-= \stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A}
+\left(\hat{e}_k\otimes\hat{a}_k\right)
-= -\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A}^\top)
-</math>
-:<math>\vec{\operatorname{i}}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
-= A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j
-=\left(\begin{array}{c}
-A_{23}-A_{32}\\
-A_{31}-A_{13}\\
-A_{12}-A_{21}\end{array}\right)
-</math>
-:<math>\vec{\operatorname{i}}(A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j))
-= A^{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j</math>
-Für [[#Orthogonale Tensoren]] '''Q''' gilt:
-:<math>
-\mathbf{I\cdot\!\!\times (Q\cdot A\cdot Q}^\top)
-=\operatorname{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}\cdot\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})
-</math>
-[[#Symmetrische Tensoren]] haben keine Vektorinvariante: <math>
-\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S}) =\vec{0}</math>
-== Fundamentaltensor 3. Stufe ==
-{{Hauptartikel|Epsilon-Tensor}}
-Definition:
-:<math>\begin{align}
-\stackrel{3}{\mathbf{E}}
-:=& \epsilon_{ijk}\,\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
 \\
-=& (\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
+=&
-\\
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}
-=& \hat{e}_i\otimes(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_k
+\cdot\begin{pmatrix}
-\\
+\lambda_1& 0& 0\\
-=& \hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\otimes(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)
+&\lambda_2& 0\\
+& 0&\lambda_3
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top
 \end{align}</math>
-Kreuzprodukt von Vektoren:
+bzw.
-:<math>
-\vec{u}\times\vec{v}
-=\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{u}\otimes\vec{v})
-=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{v}\otimes\vec{u})
-= -\vec{v}\times\vec{u}
-</math>
-:<math>\vec{e}_i\times\vec{e}_j =\epsilon_{ijk}\,\hat{e}_k</math>
-[[#Vektorinvariante]]:
+:<math>\begin{pmatrix}
-:<math>
+\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3
-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A}
+\end{pmatrix}^\top
-=\mathbf{A}:\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+\cdot\mathbf{A}
-=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A}^\top)
+\cdot\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}
-=-(\mathbf{A}^\top):\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+=\begin{pmatrix}\lambda_1& 0& 0\\0&\lambda_2& 0\\0& 0&\lambda_3\end{pmatrix}
-=\mathbf{I}\cdot\!\!\times\mathbf{A}
-=\vec{\operatorname{i}}(\mathbf{A})
 </math>
-[[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+=== Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren ===
-:<math>\begin{array}{rcl}
+Sei <math>\mathbf{A}= -\mathbf{A}^\top</math> ''schiefsymmetrisch''.
-\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}&=&\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B})
-\\
-(A_{ik}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_k)\cdot\!\!\times
-(B_{lj}\vec{e}_l\otimes\vec{e}_j)
-&=&
-A_{ik}B_{kj}\vec{e}_i\times\vec{e}_j
-=
-\epsilon_{ijk} A_{jl}B_{lk}\vec{e}_i
-\end{array}
-</math>
-[[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]:
+Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von '''A''' ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen '' [[#Vektorinvariante]] '' <math>\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})</math> ist. Siehe auch [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]].
-:<math>\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u}
-= \vec{u}\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}
-= -\vec{u}\times\mathbf{I}
-= -\mathbf{I}\times\vec{u}
-</math>
-== Tensoren vierter Stufe ==
+=== Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren ===
-Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums <math>\mathcal{L}</math> wie im Abschnitt [[#Tensoren als Elemente eines Vektorraumes|Tensoren als Elemente eines Vektorraumes]] dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z.&nbsp;B.:
+Sei <math>a,b,c\in\R</math> und <math>\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\in\R^3</math> eine Basis und <math>\vec{a}^1,\vec{a}^2,\vec{a}^3</math> die dazu duale Basis.
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}
-=A_{pq}(\mathbf{A}_{p}\otimes\mathbf{G}_{q})</math>
-mit Komponenten <math>A_{pq}</math> und die Tensoren <math>\mathbf{A}_{1},\mathbf{A}_{2},\ldots,\mathbf{A}_{9}\in\mathcal{L}</math> sowie <math>\mathbf{G}_{1},\mathbf{G}_{2},\ldots,\mathbf{G}_{9}\in\mathcal{L}</math> bilden eine Basis von <math>\mathcal{L}</math>.
+==== Drei reelle Eigenwerte ====
+Der Tensor
-Standardbasis in <math>\mathcal{L}</math>:
+:<math>\mathbf{T}
-:<math>\mathbf{E}_{1}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{1},
+=a\,\vec{a}_1\otimes\vec{a}^1
-\mathbf{E}_{2}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{2},
++b\,\vec{a}_2\otimes\vec{a}^2
-\mathbf{E}_{3}=\vec{e}_{1}\otimes\vec{e}_{3},
++c\,\vec{a}_3\otimes\vec{a}^3</math>
-\mathbf{E}_{4}=\vec{e}_{2}\otimes\vec{e}_{1},
-\ldots,
+hat die Eigenwerte
-\mathbf{E}_{9}=\vec{e}_{3}\otimes\vec{e}_{3}</math>
-Tensortransformation:
+:<math>\lambda_1=a,\;
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{H}
+\lambda_2=b,\;
-=A_{pq}(\mathbf{A}_{p}\otimes\mathbf{G}_{q}):\mathbf{H}:
+\lambda_3=c
-=A_{pq}(\mathbf{G}_{q}:\mathbf{H})\mathbf{A}_{p}</math>
+</math>
-Tensorprodukt:
+und Eigenvektoren
-:<math>[A_{pq}(\mathbf{A}_{p}\otimes\mathbf{G}_{q})]:
-[B_{rs}(\mathbf{H}_{r}\otimes\mathbf{U}_{s})]
-:=A_{pq}(\mathbf{G}_{q}:\mathbf{H}_{r})B_{rs}
-\mathbf{A}_{p}\otimes\mathbf{U}_{s}</math>
-Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:
+:<math>\vec{v}_1=\vec{a}_1,\;
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}} = \mathbb{A}
+\vec{v}_2=\vec{a}_2,\;
-=A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l
+\vec{v}_3=\vec{a}_3
 </math>
-=== Transpositionen ===
+Der [[#Transposition|#transponierte]] Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den dualen Eigenvektoren
-Transposition:
-:<math>(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^\top
+:<math>\vec{v}_1=\vec{a}^1,\;
-=\mathbf{B}\otimes\mathbf{A}</math>
+\vec{v}_2=\vec{a}^2,\;
-:<math>(A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)^\top
+\vec{v}_3=\vec{a}^3
-:=  A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
 </math>
-Spezielle Transposition <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{mn}{\top}}</math> vertauscht <math>m</math>-tes mit <math>n</math>-tem Basissystem.
+==== Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ====
+Der Tensor
-Beispielsweise:
+:<math>
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{13}{\top}}
+\mathbf{T}
-:= A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_l
+=c\,\vec{a}_1\otimes\vec{a}^1
-</math>
++a(\vec{a}_2\otimes\vec{a}^2+\vec{a}_3\otimes\vec{a}^3)
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{24}{\top}}
++b(\vec{a}_2\otimes\vec{a}^3-\vec{a}_3\otimes\vec{a}^2)
-:= A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_j
 </math>
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}\,^\top
-=\left(\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{13}{\top}}\right)
+hat die Eigenwerte
-{}^{\stackrel{24}{\top}}
-= A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
+:<math>\lambda_1=c,\;
+\lambda_2=a+\mathrm{i}\,b,\;
+\lambda_3=a-\mathrm{i}\,b</math>
+und Eigenvektoren
+:<math>\vec{v}_1=\vec{a}_1,\;
+\vec{v}_2=\vec{a}_2+\mathrm{i}\,\vec{a}_3,\;
+\vec{v}_3=\vec{a}_2-\mathrm{i}\,\vec{a}_3
 </math>
-=== Symmetrische Tensoren vierter Stufe ===
+Der [[#Transposition|#transponierte]] Tensor hat dieselben Eigenwerte zu den Eigenvektoren
-Definition: <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}=\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^\top</math>
-Dann gilt: <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{B}=\mathbf{B}:\stackrel{4}{\mathbf{A}}</math>
-=== Einheitstensor vierter Stufe ===
+:<math>\vec{v}_1=\vec{a}^1,\;
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{I}}
+\vec{v}_2=\vec{a}^2-\mathrm{i}\,\vec{a}^3,\;
-:=\mathbf{E}_{p}\otimes\mathbf{E}_{p}
+\vec{v}_3=\vec{a}^2+\mathrm{i}\,\vec{a}^3
-= (\mathbf{I}\otimes\mathbf{I})\,^{\stackrel{23}{\top}}
-=(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j )\otimes (\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j )
-=\delta_{ik}\delta_{jl}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
-= \stackrel{4}{\mathbf{I}}{}^\top
 </math>
-=== Spezielle Tensoren vierter Stufe ===
+== Invarianten ==
-Für beliebige Tensoren zweiter Stufe <math>\mathbf{A}</math> gilt:
+=== Eigenwerte des Tensors ===
-:<math>\begin{array}{lclclclcl}
+Die [[#Eigenwerte]] <math>\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3</math> sind Invarianten.
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=&\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
-&=&\delta_{il}\delta_{jk}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
-&=&\mathbf{A}^\top
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=&\dfrac{1}{3}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}
-&=&\dfrac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
-&=&\mathbf{A}^{\mathrm{K}}
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=&\stackrel{4}{\mathbf{I}}-\dfrac{1}{3}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}
-&=& (\delta_{ik}\delta_{jl} -\dfrac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl})
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
-&=&\mathbf{A}^{\mathrm{D}}
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=&\dfrac{1}{2}\left(
-\stackrel{4}{\mathbf{I}}
-+\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
-\right)
-&=&\dfrac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
-&=&\mathbf{A}^{\mathrm{S}}
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=&\dfrac{1}{2}\left(
-\stackrel{4}{\mathbf{I}}-
-\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
-\right)
-&=&\dfrac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
-&=&\mathbf{A}^{\mathrm{A}}
-\end{array}</math>
-Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.
+=== Hauptinvarianten ===
+{{Siehe auch|Hauptinvariante}}
+{|
+|-
+| [[#Spur]]: || I<sub>1</sub>('''A'''), Sp('''A''')
+|-
+| [[#Zweite Hauptinvariante]]: || I<sub>2</sub>('''A''')
+|-
+| [[#Determinante]]: || I<sub>3</sub>('''A'''), det('''A'''), │'''A'''│
+|}
-Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe <math>\mathbf{A},\,\mathbf{B}</math> und <math>\mathbf{G}</math> gilt:
+==== Charakteristisches Polynom ====
-:<math>\begin{array}{lclclclcl}
+{{Siehe auch|Charakteristisches Polynom}}
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+Die Hauptinvarianten des Tensors '''A''' sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms:
-&=& (\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top )^{\stackrel{23}{\top}}
-&=&A_{ik} B_{lj}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&\mathbf{A\cdot G\cdot B}
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=& (\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top )^{\stackrel{23}{\top}}
-&=&A_{ki} B_{lj}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=& (\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}}
-&=&A_{ik} B_{jl}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&\mathbf{A\cdot G\cdot B}^\top
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=& (\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}}
-&=&A_{ki} B_{jl}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}^\top
-\end{array}</math>
-In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe <math>\mathbf{B}</math> durch <math>\mathbf{B}^\top</math> und die Transpositionen <math>\stackrel{23}{\top}</math> durch <math>\stackrel{24}{\top}</math> ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem <math>\mathbf{G}</math>:
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}-x\mathbf{1})
-:<math>\begin{array}{lclclclcl}
+=-x^{3}+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})x^{2}-\mathrm{I}_2(\mathbf{A})x
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
++\mathrm{det}(\mathbf{A})
-&=& (\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}}
+</math>
-&=&A_{il} B_{kj}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
+Spezialfall:
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+:<math>\mathrm{det}(\vec{b}\otimes\vec{c}+a\mathbf{1})
-&=&\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}
+= a^2(a+\vec{b}\cdot\vec{c})</math>
-\\[3ex]
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+[[Satz von Cayley-Hamilton]]:
-&=& (\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}}
-&=&A_{li} B_{kj}
+:<math>-\mathbf{A}^{3}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
++\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{2}
-&\quad\rightarrow\quad&
+-\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{A}
++\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{1}
+=\mathbf{0}</math>
+==== Spur ====
+{{Siehe auch|Spur (Mathematik)}}
+Abbildung <math>\mathcal{L}\to\R</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A})
+=
+\mathrm{I}_1(\mathbf{A})
+=
+\frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{1}):\mathbf{1}
+=
+\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3
+</math>
+mit [[#Eigenwerte]]n λ<sub>1,2,3</sub> von '''A'''.
+:<math>\mathrm{Sp}(\vec{a}\otimes\vec{g})
+=\mathrm{Sp}(\vec{g}\otimes\vec{a})
+:=\vec{a}\cdot\vec{g}</math>
+Linearität: <math>x,y\in\R\rightarrow\quad
+\mathrm{Sp}(x\mathbf{A}+y\mathbf{B})
+=x\mathrm{Sp}(\mathbf{A})+y\mathrm{Sp}(\mathbf{B})</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A})=\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\top)</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})=\mathrm{Sp}(\mathbf{B\cdot A})</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A^\top\cdot B})
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B^\top})</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot C})
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{B\cdot C\cdot A})
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{C\cdot A\cdot B})
+</math>
+In Komponenten:
+:<math>\mathrm{Sp}\left(
+A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right)
+=A_{ii}=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
+:<math>\mathrm{Sp}\left(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j\right)
+=A^{ij}\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j</math>
+:<math>\mathrm{Sp}\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right)
+=\mathrm{Sp}\left(A_i^j\vec{a}^i\otimes\vec{a}_j\right)=A_i^i</math>
+==== Zweite Hauptinvariante ====
+Abbildung <math>\mathcal{L}\to\R</math>
+:<math>
+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+:=
+\frac{1}{2} [\mathrm{Sp}(\mathbf{A})^{2}-
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{2})]
+=\frac{1}{2}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{1}
+=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1
+</math>
+mit [[#Eigenwerte]]n λ<sub>1,2,3</sub> von '''A'''.
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A})=\mathrm{Sp(cof}(\mathbf{A}))
+=\mathrm{Sp(adj}(\mathbf{A}))</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(x\mathbf A)=x^2\mathrm{I}_2(\mathbf A)</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf A^\top)=\mathrm{I}_2(\mathbf A)</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf A\cdot\mathbf B)
+=\mathrm{I}_2(\mathbf B\cdot\mathbf A)</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf A\cdot\mathbf B\cdot\mathbf C)
+=\mathrm{I}_2(\mathbf B\cdot\mathbf C\cdot\mathbf A)
+=\mathrm{I}_2(\mathbf C\cdot\mathbf A\cdot\mathbf B)
+</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf A+\mathbf B)
+=\mathrm{I}_2(\mathbf A)+\mathrm{I}_2(\mathbf B)
++\mathrm{Sp}(\mathbf A)\mathrm{Sp}(\mathbf B)
+-\mathrm{Sp}(\mathbf A\cdot\mathbf B)
+</math>
+In Komponenten:
+:<math>\operatorname{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}
+</math>
+:<math>\operatorname{I}_2(A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j)
+=\frac{1}{2}A^{ij}A^{kl} [(\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j)(\vec{a}_k\cdot\vec{b}_l)
+-(\vec{a}_i\cdot\vec{b}_l)(\vec{a}_k\cdot\vec{b}_j)]
+</math>
+:<math>\operatorname{I}_2\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right)
+=\frac{1}{2}(A_i^iA_j^j-A_j^iA_i^j)
+</math>
+==== Determinante ====
+{{Siehe auch|Determinante}}
+Abbildung <math>\mathcal{L}\to\R</math>
+:<math>
+\mathrm{I}_3(\mathbf{A})
+:=\mathrm{det}(\mathbf{A})
+=\frac{1}{6}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A}
+=\lambda_1\lambda_2\lambda_3
+</math>
+mit [[#Eigenwerte]]n λ<sub>1,2,3</sub> von '''A'''.
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}^\top)=\mathrm{det}(\mathbf{A})</math>
+Determinantenproduktsatz:
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A\cdot B})
+=\mathrm{det}(\mathbf{B\cdot A})
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{B})
+</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A\cdot B\cdot C})
+=\mathrm{det}(\mathbf{B\cdot C\cdot A})
+=\mathrm{det}(\mathbf{C\cdot A\cdot B})
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathrm{det}(\mathbf{B})\mathrm{det}(\mathbf{C})
+</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}^{-1})=\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}</math>
+Multiplikation mit Skalaren <math>x\in\R</math>:
+:<math>\begin{vmatrix}x\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}
+=\begin{vmatrix}\vec{a}& x\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}
+=\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}& x\vec{c}\end{vmatrix}
+= x\begin{vmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{vmatrix}
+</math>
+:<math>\mathrm{det}(x\mathbf{A})= x^3\mathrm{det}(\mathbf{A})
+</math>
+In Komponenten:
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}\left(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\right)
+=&\begin{vmatrix}
+A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
+A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
+A_{31}& A_{32}& A_{33}
+\end{vmatrix}
+\\
+=& A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})
+\\&
++A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})
+\end{align}</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(
+A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j)
+=&
+\begin{vmatrix}
+A^{11}& A^{12}& A^{13}\\
+A^{21}& A^{22}& A^{23}\\
+A^{31}& A^{32}& A^{33}
+\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}\vec{a}_1&\vec{a}_2&\vec{a}_3\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}\vec{g}_1&\vec{g}_2&\vec{g}_3\end{vmatrix}
+\end{align}</math>
+:<math>\operatorname{det}\left(A_j^i\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\right)
+=\begin{vmatrix}
+A^1_1& A^1_2& A^1_3\\
+A^2_1& A^2_2& A^2_3\\
+A^3_1& A^3_2& A^3_3
+\end{vmatrix}
+</math>
+Zusammenhang mit den anderen Hauptinvarianten:
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(\mathbf{A})
+=&\frac{1}{6} [
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})^{3}
+- 3\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)
++ 2\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{3})
+]
+\\[1ex]
+=&\frac{1}{3} [
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{3})
++ 3\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+-\mathrm{Sp}(\mathbf{A})^{3}]
+\end{align}</math>
+Zusammenhang mit dem [[Spatprodukt]]:
+:<math>(\mathbf{A}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{A}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{A}\cdot\vec{c})]
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
+</math>
+Zusammenhang mit [[#Äußeres Tensorprodukt]]:
+:<math>\det(\mathbf{A})=\frac{1}{6}(\mathbf{A}\#\mathbf{A}):\mathbf{A}</math>
+:<math>\begin{align}
+\rightarrow\det(\mathbf{A+B})
+=&\det(\mathbf{A})+\det(\mathbf{B})
++\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{I}_2(\mathbf{B})
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathrm{Sp}(\mathbf{B})
+\\
+&+\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B\cdot(A+B)})
+-\mathrm{Sp}(\mathbf{A\cdot B})\mathrm{Sp}(\mathbf{A+B})
+\end{align}</math>
+Zusammenhang mit dem [[#Kofaktor]]:
+:<math>\det(\mathbf{A}+\mathbf{B})
+=
+\det(\mathbf{A})+\mathrm{cof}(\mathbf{A}):\mathbf{B}
++\mathbf{A}:\mathrm{cof}(\mathbf{B})
++\det(\mathbf{B})
+</math>
+=== Betrag ===
+{{Siehe auch|Frobeniusnorm}}
+Abbildung <math>\mathcal{L}\to\R</math>
+:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel
+:=\sqrt{\mathbf{A}:\mathbf{A}}
+=\sqrt{\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{A})}</math>
+:<math>\parallel\vec{a}\otimes\vec{g}\parallel=|\vec{a}|\,|\vec{g}|</math>
+:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
+=\sqrt{A_{ij}A_{ij}}</math>
+:<math>\parallel A^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j\parallel
+=\sqrt{A^{ij}A^{kl}(\vec{a}_i\cdot\vec{a}_k)(\vec{g}_j\cdot\vec{g}_l)}
+</math>
+:<math>\parallel A^i_j\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j\parallel
+=\sqrt{A^i_jA^k_l(\vec{a}_i\cdot\vec{a}_k)(\vec{a}^j\cdot\vec{a}^l)}
+</math>
+Falls <math>\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top</math>:
+:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+=\sqrt{\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A})-2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})}
+=\sqrt{\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}
+=\sqrt{\lambda_1^{2}+\lambda_2^{2}+\lambda_3^{2}}
+</math>
+Falls <math>\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top</math>:
+:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+=\sqrt{2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})}
+=\sqrt{-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}
+</math>
+=== Dualer axialer Vektor ===
+Für [[#Schiefsymmetrische Tensoren]] <math>\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top=\mathbf{A}^\mathrm{A}</math> gibt es einen dualen axialen
+Vektor <math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}</math> für den gilt:
+:<math>\mathbf{A}\cdot\vec v
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec v</math> für alle <math>\vec v\in\mathbb{V}</math>
+Der duale axiale Vektor ist proportional zur [[#Vektorinvariante]]:
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+:=-\frac12\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})</math>
+Berechnung mit [[#Fundamentaltensor 3. Stufe]] <math>\stackrel{3}{\mathbf{E}}</math>, [[#Kreuzprodukt von Tensoren]] oder [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+=-\frac12\stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A}
+=-\frac12\mathbf{A}\times\mathbf{1}
+=-\frac12\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{1}
+</math>
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j}}
+=-\frac12 A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j
+=\frac12\begin{pmatrix}
+A_{32}-A_{23}\\
+A_{13}-A_{31}\\
+A_{21}-A_{12}\end{pmatrix}
+</math>
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j)}}
+=-\frac12 A^{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j</math>
+[[#Symmetrische Tensoren]] und [[#Kugeltensoren]] haben keinen dualen axialen Vektor: <math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{S}}}
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{K}}}
+=\vec{0}</math>
+Ein [[#Symmetrischer Anteil]] oder [[#Kugelanteil]] trägt nichts zum dualen axialen Vektor bei: <math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{D}}}
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{A}}}
+</math>
+Seien x eine beliebige Zahl, <math>\vec u,\,\vec v</math> beliebige Vektoren und '''A, B''' beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\vec u\otimes\vec v}}\;
+=\frac12\vec v\times\vec u
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec{v}
+=
+\mathbf{A}^\mathrm{A}\cdot\vec{v}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\top}}\quad\;
+=-\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A+B}}}=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{B}}}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{x\mathbf{A}}}\quad\;
+=x\,\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}\#\mathbf{B}}}\;
+=\mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{B}}}
++\mathbf{B}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+:<math>
+\mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\;
+=\mathbf{A}^\top\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\cdot\mathbf{A}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathrm{cof}(\mathbf{A})}}
+=\mathbf{A}\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^{-1}}}\quad
+=-\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}\mathbf{A}
+\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+\quad\text{falls}\quad
+\mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\vec{v}\times\mathbf{A}}}
+=\frac12(\mathrm{Sp}(\mathbf A)\mathbf1-\mathbf A)\cdot\vec v
+=\frac12(\mathbf{A}^\top\#\mathbf1)\cdot\vec v
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\vec{v}\times\mathbf{1}}}\;\;=\vec v
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{(\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf{A}}}
+=\frac12(\vec u\cdot\mathbf A\times\vec v-\vec v\cdot\mathbf A\times\vec u)
+</math>
+:<math>
+\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{B\cdot A\cdot B}^\top}}\;\;
+=
+\mathrm{cof}(\mathbf{B})\cdot\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+Darin ist „#“ ein [[#Äußeres Tensorprodukt]], cof(·) ist der [[#Kofaktor]].
+{{Siehe auch|Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix}}
+=== Vektorinvariante ===
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+:=\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{1}
+=\mathbf{A}\times\mathbf1
+=\stackrel{3}{\mathbf E}:\mathbf A
+=-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+</math>
+:<math>\vec{\mathrm{i}}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+= A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}
+A_{23}-A_{32}\\
+A_{31}-A_{13}\\
+A_{12}-A_{21}\end{pmatrix}
+</math>
+:<math>\vec{\mathrm{i}}(A^{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j))
+= A^{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j</math>
+Zusammenhang mit dem [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})</math>
+[[#Symmetrische Tensoren]] haben keine Vektorinvariante: <math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S})=\vec{0}</math>
+Die Eigenschaften des dualen axialen Vektors sind hierher übertragbar. Seien x eine beliebige Zahl, <math>\vec u,\,\vec v</math> beliebige Vektoren und '''A, B''' beliebige Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt:
+:<math>\vec{\mathrm{i}}(\vec u\otimes\vec v)\;\;
+=\vec u\times\vec v</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\times\vec{v}\;
+=-2\mathbf{A}^\mathrm{A}\cdot\vec{v}
+=(\mathbf{A^\top-A})\cdot\vec{v}
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^\top)\quad\;
+=-\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A+B})
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B})
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(x\mathbf{A})\quad\;
+=x\,\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}\#\mathbf{B})\;
+=\mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B})
++\mathbf{B}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\;
+=\mathbf{A}^\top\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathrm{cof}(\mathbf{A}))
+=\mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^{-1})\quad
+=-\frac{1}{\mathrm{det}(\mathbf{A})}
+\mathbf{A}\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+\quad\text{falls}\quad
+\mathrm{det}(\mathbf{A})\ne 0
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\vec v\times\mathbf{A})\;
+=(\mathbf{A}-\mathrm{Sp}(\mathbf A)\mathbf1)\cdot\vec v
+=-(\mathbf{A}^\top\#\mathbf1)\cdot\vec v
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\vec{v}\times\mathbf{1})\;\;=-2\vec v
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}((\vec{u}\times\vec{v})\times\mathbf{A})
+=\vec v\cdot\mathbf A\times\vec u-\vec u\cdot\mathbf A\times\vec v
+</math>
+:<math>
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{B\cdot A\cdot B}^\top)
+=
+\mathrm{cof}(\mathbf{B})\cdot\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+Darin ist „#“ ein [[#Äußeres Tensorprodukt]], cof(·) ist der [[#Kofaktor]].
+== Spezielle Tensoren ==
+=== Dyade ===
+{{Siehe auch|Dyadisches Produkt}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:=\vec{a}\otimes\vec{b}</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathbf0</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A})=\vec{a}\cdot\vec{b}</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A})= 0</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})= 0</math>
+:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel = |\vec{a}|\,|\vec{b}|</math>
+[[#Eigensystem]]:
+:<math>\begin{align}
+\lambda_1=&\vec{a}\cdot\vec{b},
+&
+\vec{v}_1=&\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}
+\\
+\lambda_2=&0,
+&
+\vec{v}_2=&\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{a}\times\vec{b}|}
+\\
+\lambda_3=& 0,
+&
+\vec{v}_3=&\frac{(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{b}}{
+|(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{b}|}
+\end{align}</math>
+=== Dyadentripel ===
+Gegeben ein beliebiger Tensor 2. Stufe '''A'''. Dieser kann immer als Summe dreier Dyaden dargestellt werden:
+:<math>\begin{align}
+\mathbf{A}=A_{ij}\hat e_i\otimes\hat e_j
+=&\vec s_j\otimes\hat e_j
+=\begin{pmatrix}\vec s_1&\vec s_2&\vec s_3\end{pmatrix}
+\\=&
+\hat e_i\otimes\vec z_i
+=\begin{pmatrix}\vec z_1&\vec z_2&\vec z_3\end{pmatrix}^\top
+\\=&
+\vec a_k\otimes\vec g_k\end{align}</math>
+mit Spaltenvektoren <math>\vec s_j=A_{ij}\hat e_i=\mathbf{A}\cdot\hat e_j</math>, Zeilenvektoren <math>\vec z_i=A_{ij}\hat e_j=\hat e_i\cdot\mathbf{A}</math> und <math>\vec g_k=(\vec a^k\cdot\hat e_i)A_{ij}\hat e_j=\vec a^k\cdot\mathbf{A}</math>.
+[[#Hauptinvarianten]] (<math>x_{m,n}:=\vec x_m\cdot\hat e_n</math>):
+:<math>\mathrm{I}_1(\mathbf{A})=s_{i,i}=z_{i,i}=\vec a_i\cdot\vec g_i</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+=&\frac12(s_{i,i}s_{j,j}-s_{i,j}s_{j,i})
+=\frac12(z_{i,i}z_{j,j}-z_{i,j}z_{j,i})
+\\=&
+\frac12[(\vec a_i\cdot\vec g_i)(\vec a_j\cdot\vec g_j)
+-(\vec a_i\cdot\vec g_j)(\vec a_j\cdot\vec g_i)]
+\end{align}</math>
+:<math>\mathrm{I}_3(\mathbf{A})
+=\begin{vmatrix}\vec s_1&\vec s_2&\vec s_3\end{vmatrix}
+=\begin{vmatrix}\vec z_1&\vec z_2&\vec z_3\end{vmatrix}
+=\begin{vmatrix}\vec a_1&\vec a_2&\vec a_3\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}\vec g_1&\vec g_2&\vec g_3\end{vmatrix}
+</math>
+[[#Betrag]]:
+:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel
+=\sqrt{\vec s_i\cdot\vec s_i}
+=\sqrt{\vec z_i\cdot\vec z_i}
+=\sqrt{(\vec a_i\cdot\vec a_j)(\vec g_i\cdot\vec g_j)}
+</math>
+[[#Dualer axialer Vektor]]:
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf A}}
+=\frac12\hat e_i\times\vec s_i
+=\frac12\vec z_i\times\hat e_i
+=\frac12\vec g_i\times\vec a_i
+</math>
+[[#Vektorinvariante]]:
+:<math>\vec{\mathrm{i}}(\mathbf A)
+=\vec s_i\times\hat e_i
+=\hat e_i\times\vec z_i
+=\vec a_i\times\vec g_i
+</math>
+[[#Kofaktor]]:
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{cof}(\mathbf{A})
+=&\vec z_i\otimes\vec s_i
+-\mathrm{I}_1(\mathbf A)\mathbf{A}^\top
++\mathrm{I}_2(\mathbf A)\mathbf1
+\\=&
+(\vec a_i\cdot\vec g_j)\vec g_i\otimes\vec a_j
+-(\vec a_i\cdot\vec g_i)\vec g_j\otimes\vec a_j+\mathrm{I}_2(\mathbf A)\mathbf1
+\end{align}</math>
+[[#Inverse]]:
+:<math>\mathbf{A}^{-1}=\hat e_i\otimes\vec s^i=\vec z^i\otimes\hat e_i
+=\vec g^i\otimes\vec a^i</math>
+=== Einheitstensor ===
+{{Siehe auch|Einheitstensor}}
+:<math>\mathbf{1}
+=\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i
+=\delta_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}
+& 0& 0\\
+& 1& 0\\
+& 0& 1\end{pmatrix}</math>
+:<math>\mathbf{1}
+=\vec{g}_i\otimes\vec{g}^i
+=\vec{g}^i\otimes\vec{g}_i
+= g^{ij}\vec{g}_i\otimes\vec{g}_j
+= g_{ij}\vec{g}^i\otimes\vec{g}^j</math>
+mit <math>g_{ij}=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j\,,\;
+g^{ij}=\vec{g}^i\cdot\vec{g}^j</math>
+Allgemein:
+:<math>\mathbf{1}=(\vec{a}^i\cdot\vec{g}^j)\vec{a}_i\otimes\vec{g}_j</math>
+[[#Transposition]] und [[#Inverse]]:
+:<math>\mathbf{1}
+=\mathbf{1}^\top
+=\mathbf{1}^{-1}
+=\mathbf{1}^{\top -1}
+</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf1)=\mathbf1</math>
+Vektortransformation
+:<math>\mathbf{1}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\mathbf{1}=\vec{v}</math>
+Tensorprodukt
+:<math>\mathbf{A\cdot 1}
+=\mathbf{1\cdot A}
+=\mathbf{A}</math>
+Skalarprodukt
+:<math>\mathbf{A}:\mathbf{1}=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>
+\mathrm{Sp}(\mathbf{1})
+=\mathbf{1}:\mathbf{1}
+=3
+</math>
+:<math>
+\mathrm{I}_2(\mathbf{1})=3
+</math>
+:<math>
+\mathrm{det}(\mathbf{1})=1
+</math>
+:<math>
+\parallel\mathbf{1}\parallel=\sqrt{3}
+</math>
+[[#Eigenwerte]]:
+:<math>\lambda_{1,2,3}= 1</math>
+Alle Vektoren sind [[#Eigenvektoren]].
+=== Unimodulare Tensoren ===
+{{Siehe auch|Spezielle lineare Gruppe}}
+Definition
+:<math>\mathbf{H}:\quad\mathrm{det}(\mathbf{H})= 1</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf H)=\mathbf{H}^{\top-1}</math>
+Determinantenproduktsatz:
+:<math>
+\mathrm{det}(\mathbf{A\cdot H})
+=\mathrm{det}(\mathbf{H\cdot A})
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})
+</math>
+=== Orthogonale Tensoren ===
+{{Siehe auch|Orthogonaler Tensor}}
+Definition
+:<math>\mathbf{Q}:\quad\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}^\top
+\quad\textsf{oder}\quad
+\mathbf{Q\cdot Q}^\top
+=\mathbf{Q}^\top\cdot\mathbf{Q}
+=\mathbf{1}</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf Q)=\mathrm{det}(\mathbf Q)\mathbf{Q}
+=\pm\mathbf Q</math>
+[[#Invarianten]] (<math>\alpha</math> ist der Drehwinkel):
+:<math>
+\mathrm{Sp}(\mathbf{Q})=\mathrm{det}(\mathbf{Q})+2\cos(\alpha)
+</math>
+:<math>
+\mathrm{I}_2(\mathbf{Q})
+=\mathrm{det}(\mathbf{Q})\cdot\mathrm{Sp}(\mathbf{Q})
+=1+2\,\mathrm{det}(\mathbf{Q})\cos(\alpha)
+</math>
+:<math>
+\mathrm{det}(\mathbf{Q})=\pm 1
+</math>
+:<math>
+\parallel\mathbf Q\parallel=\sqrt3
+</math>
+''Eigentlich orthogonaler'' Tensor <math>\mathrm{det}(\mathbf{Q})=+1</math>, entspricht einer Drehung.
+''Uneigentlich orthogonaler'' Tensor <math>\mathrm{det}(\mathbf{Q})=-1</math>, entspricht einer Drehspiegelung.
+Spatprodukt:
+:<math>(\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\cdot [(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{c})]
+=\mathrm{det}(\mathbf{Q})\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})</math>
+Kreuzprodukt und [[#Kofaktor]]:
+:<math>(\mathbf{Q}\cdot\vec{a})\times(\mathbf{Q}\cdot\vec{b})
+=\mathrm{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})
+</math>
+:<math>\mathrm{cof}(\mathbf{Q})
+=\mathrm{det}(\mathbf{Q})\mathbf{Q}</math>
+Gegeben ein [[Einheitsvektor]] <math>\hat{n}=\begin{pmatrix}n_1&n_2&n_3\end{pmatrix}^\top</math> und Drehwinkel ''α''. Dann sind die folgenden Tensoren '''R''' zueinander gleich, orthogonal und drehen um die Achse <math>\hat{n}</math> mit Winkel ''α'':
+[[Rodrigues-Formel]]:
+:<math>\begin{align}
+\mathbf R
+=&\mathbf1+s_\alpha\hat{n}\times\mathbf1+d_\alpha(\hat{n}\times\mathbf1)^2
+\\
+=&\mathbf1+s_\alpha\hat{n}\times\mathbf1+d_\alpha(\hat n\otimes\hat n-\mathbf1)
+\end{align}</math>
+:<math>\mathbf{R}=\begin{pmatrix}
+c_\alpha+d_\alpha n_1^2&-s_\alpha n_3+d_\alpha n_1n_2&s_\alpha n_2
++d_\alpha n_1n_3
+\\
+s_\alpha n_3+d_\alpha n_1n_2&c_\alpha+d_\alpha n_2^2&-s_\alpha n_1
++d_\alpha n_2n_3
+\\
+-s_\alpha n_2+d_\alpha n_1n_3&s_\alpha n_1+d_\alpha n_2n_3&c_\alpha
++d_\alpha n_3^2
+\end{pmatrix}</math>
+mit <math>c_\alpha=\cos(\alpha),\;d_\alpha=1-\cos(\alpha),\;s_\alpha=\sin(\alpha)</math>.
+[[Euler-Rodrigues-Formel]]: <math>a=\cos\left(\tfrac{\alpha}{2}\right),
+b=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_1,
+c=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_2,
+d=\sin\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)n_3
+</math> also <math>a^2+b^2+c^2+d^2=1</math>:
+:<math>\mathbf{R}:=\begin{pmatrix}
+a^2+b^2-c^2-d^2 & 2(bc-ad) & 2(bd + ac) \\
+(bc+ad) & a^2+c^2-b^2-d^2 & 2(cd - ab) \\
+(bd-ac) & 2(cd+ab) & a^2+d^2-b^2-c^2
+\end{pmatrix}</math>
+Formulierung mit Drehvektor:
+{| style="margin-left:2em"
+|-
+| Drehvektor || || Orthogonaler Tensor
+|-
+| <math>\vec\alpha=\alpha\vec{n}</math>|| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf R
+=\mathbf1+\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}\vec{\alpha}\times\mathbf1
++\frac{1-\cos(\alpha)}{\alpha^2}(\vec\alpha\times\mathbf1)^2</math>
+|-
+| <math>\vec\alpha=\tan(\alpha)\vec{n}</math>|| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf R=\mathbf1
++\cos(\alpha)\vec\alpha\times\mathbf1
++\frac{\cos^2(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
+</math>
+|-
+| <math>\vec{\alpha}=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}</math>
+| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf{R}
+=\mathbf1+\frac{2}{1+\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}
+(\vec{\alpha}\times\mathbf1+(\vec\alpha\times\mathbf1)^2)</math>
+|-
+| <math>\vec\alpha=\sin(\alpha)\;\vec{n}</math>|| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf{R}
+=\mathbf1+\vec{\alpha}\times\mathbf1+\dfrac1{1+\cos(\alpha)}
+(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
+</math>
+|-
+| <math>\vec\alpha=\sin\left(\frac\alpha2\right)\;\vec{n}</math>|| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf R=\mathbf1
++2\cos\left(\frac\alpha2\right)\vec\alpha\times\mathbf1
++2(\vec\alpha\times\mathbf1)^2</math>
+|-
+| <math>\vec\alpha=\cos(\alpha)\;\vec{n}</math>|| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf R=\mathbf1+\tan(\alpha)\vec{\alpha}\times\mathbf1
++\frac{1-\cos(\alpha)}{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}
+(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
+</math>
+|-
+| <math>\vec\alpha=\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\;\vec{n}</math>
+| &nbsp;→&nbsp;
+| <math>\mathbf R=\mathbf1
++2\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\vec\alpha\times\mathbf1
++2\frac{1-\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}{\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha}}
+(\vec\alpha\times\mathbf1)^2
+</math>
+|}
+Darin ist <math>(\vec\alpha\times\mathbf1)^2=(\vec\alpha\times\mathbf1)\cdot(\vec\alpha\times\mathbf1)=\vec{\alpha}\otimes\vec{\alpha}-(\vec{\alpha}\cdot\vec{\alpha})\mathbf1</math>
+Beispiel für Drehspiegelung:
+:<math>
+\mathbf{Q}=-\mathbf1+\sin(\alpha)\hat n\times\mathbf1
+-(1+\cos(\alpha))(\hat n\times\mathbf1)^2
+</math>
+Drehung von [[Vektorraumbasis]] <math>\vec{u}_{1,2,3}\;\textsf{nach}\;\vec{v}_{1,2,3}</math> mit Drehachse <math>\hat{n}</math>:
+:<math>
+\mathbf{Q}\cdot\vec{u}_i=\vec{v}_i
+\,,\quad
+\mathbf{Q}\cdot\vec{u}^i=\vec{v}^i
+\,,\quad
+\mathbf{Q}=\vec{v}_i\otimes\vec{u}^i=\vec{v}^i\otimes\vec{u}_i
+</math>
+:<math>
+\hat{n}\simeq\vec{v}_i\times\vec{u}^i=\vec{v}^i\times\vec{u}_i
+=-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf Q}}=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf Q)
+</math>
+mit [[#Dualer axialer Vektor]] <math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf Q}}</math> und [[#Vektorinvariante]] <math>\vec{\mathrm{i}}(\mathbf Q)</math>.
+Gegeben [[Orthonormalbasis]] <math>\hat{v}_{1,2,3}</math>, Drehwinkel <math>\alpha</math> und <math>\hat{v}_1</math> ist Drehachse:
+:<math>\begin{align}
+\mathbf{Q}=&{\color{red}\pm}\hat{v}_1\otimes\hat{v}_1
++\cos(\alpha)(\hat{v}_2\otimes\hat{v}_2 +\hat{v}_3\otimes\hat{v}_3)
++\sin(\alpha)(\hat{v}_3\otimes\hat{v}_2-\hat{v}_2\otimes\hat{v}_3)
+\\
+=&\begin{pmatrix}
+{\color{red}\pm 1}& 0 & 0\\
+&\cos(\alpha)& -\sin(\alpha)\\
+&\sin(\alpha)&\cos(\alpha)
+\end{pmatrix}_{\hat{v}_i\otimes\hat{v}_j}
+\end{align}</math>
+:<math>{\color{red}+1}</math>: Drehung, <math>{\color{red}-1}</math>: Drehspiegelung um <math>\hat{v}_1</math>
+Wenn <math>\hat{v}_{1,2,3}</math> ein [[Rechtssystem (Mathematik)]] bilden, dann dreht '''Q''' gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.
+[[#Eigensystem]]:
+:<math>\begin{align}
+\lambda_1=&\mathrm{det}(\mathbf{Q})\,,
+&
+\vec{q}_1=&\hat{v}_1
+\\
+\lambda_2=&e^{\mathrm{i}\alpha},
+&
+\vec{q}_2=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2-\mathrm{i}\hat{v}_3).
+\\
+\lambda_3=& e^{-\mathrm{i}\alpha},
+&
+\vec{q}_3=&\frac{1}{\sqrt2}(\hat{v}_2+\mathrm{i}\hat{v}_3)
+\end{align}</math>
+Drehwinkel:
+:<math>\cos(\alpha)=\frac{1}{2}(\mathrm{Sp}(\mathbf{Q})-\mathrm{det}(\mathbf{Q}))</math>
+Drehachse <math>\hat{n}</math> ist [[#Vektorinvariante]]:
+:<math>\hat{n}\simeq
+\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{Q})
+=\mathbf{1}\cdot\!\!\times\mathbf{Q}
+</math>
+:<math>\mathbf{Q}=\vec{s}_i\otimes\vec{e}_i=\vec{e}_i\otimes\vec{z}_i
+\quad\rightarrow\quad
+\hat{n}\simeq\vec{s}_i\times\vec{e}_i=\vec{e}_i\times\vec{z}_i
+</math>
+:<math>\frac{1}{2}(\mathbf{Q}-\mathbf{Q}^\top)
+=
+\sin(\alpha)\hat{n}\times\mathbf{1}
+=
+\sin(\alpha)\begin{pmatrix}
+& -n_3 & n_2\\
+n_3 & 0 & -n_1\\
+-n_2 & n_1 & 0\end{pmatrix}
+,\quad
+|\hat n|=1
+</math>
+=== Positiv definite Tensoren ===
+{{Siehe auch|Positiv Definit}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}> 0
+\quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})
+=\mathbf{A^\top\cdot A^\top}-\mathrm{I}_1(\mathbf{A})\mathbf{A}^\top
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}
+=\det(\mathbf{A})\mathbf{A}^{\top-1}
+</math>
+Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})> 0</math>
+:<math>\mathbf{A}= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+\quad\rightarrow\quad
+A_{11},\,A_{22},\,A_{33}> 0</math>
+:<math>\mathbf{A}= A^i_j\vec{a}_i\otimes\vec{a}^j
+\quad\rightarrow\quad
+A^1_1,\,A^2_2,\,A^3_3 > 0</math>
+[[Notwendige und hinreichende Bedingung]] für positive Definitheit: Alle [[#Eigenwerte]] von '''A''' sind größer als null.
+Immer positiv definit falls det('''A''') ≠ 0:
+: '''A·A'''<sup>⊤</sup> und '''A<sup>⊤</sup>·A'''
+=== Symmetrische Tensoren ===
+{{Siehe auch|Symmetrische Matrix}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A})
+=\mathbf{A}^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{A}
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}
+</math>
+[[#Betrag]]:
+:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+=\sqrt{\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A})-2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})}
+=\sqrt{\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}
+=\sqrt{\lambda_1^{2}+\lambda_2^{2}+\lambda_3^{2}}
+</math>
+Bei Symmetrischen Tensoren verschwinden ihr [[#Dualer axialer Vektor]] und ihre [[#Vektorinvariante]]:
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}^\mathrm{S}}}
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A}^\mathrm{S})=\vec{0}</math>
+Bilinearform:
+:<math>
+\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
+=\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{u}
+\quad\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}
+</math>
+Alle [[#Eigenwerte]] λ<sub>1,2,3</sub> sind reell. Alle [[#Eigenvektoren]] <math>\vec a_{1,2,3}</math> sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. [[Hauptachsentransformation]]:
+:<math>\begin{align}
+\mathbf{A}
+=&
+\sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+=
+(\hat{a}_i\otimes\hat{e}_i)
+\left(\sum_{i=1}^3\lambda_j\hat{e}_j\otimes\hat{e}_j\right)
+(\hat{e}_k\otimes\hat{a}_k)
+\\=&
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}
+\cdot\begin{pmatrix}
+\lambda_1& 0& 0\\
+&\lambda_2& 0\\
+& 0&\lambda_3
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top
+\end{align}</math>
+Bezüglich der Standardbasis:
+:<math>\mathbf{A}=
+A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
+A_{12}& A_{22}& A_{23}\\
+A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{pmatrix}</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>\mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}^2-A_{13}^2-A_{23}^2</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=&A_{11}(A_{22}A_{33}- A_{23}^2)+A_{12}(A_{23}A_{13}- A_{12}A_{33})
+\\&
++A_{13}(A_{12}A_{23}- A_{13}A_{22})
+\end{align}</math>
+:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
+=\sqrt{A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{2}
++2 A_{12}^{2}+ 2 A_{13}^{2}+2 A_{23}^{2}}</math>
+==== Symmetrische und positiv definite Tensoren ====
+{{Siehe auch|Positiv Definit}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad
+\mathbf{A}=\mathbf{A}^\top
+\quad\text{und}\quad
+\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}> 0
+\quad\forall\;\vec{v}\in\mathbb{V}\setminus\{\vec{0}\}</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A})
+=\mathrm{det}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{-1}
+=\mathbf{A}^2-\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{A}
++\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf{1}
+</math>
+Mit den [[#Eigenwerte]]n <math>\lambda_1,\,\lambda_2,\,\lambda_3</math>, den [[#Eigenvektoren]] <math>\hat{a}_1,\,\hat{a}_2,\,\hat{a}_3</math> und einer reellwertigen Funktion <math>f(x)\in\R</math> eines reellen Argumentes <math>x\in\R</math> definiert man über das [[#Eigensystem symmetrischer Tensoren]]
+:<math>\begin{align}
+\mathbf{A}
+=&
+\sum_{i=1}^3\lambda_i\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+\\=&
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}
+\cdot\begin{pmatrix}
+\lambda_1& 0& 0\\
+&\lambda_2& 0\\
+& 0&\lambda_3
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top
+\end{align}</math>
+den Funktionswert des Tensors:
+:<math>\begin{align}
+f(\mathbf{A})
+:=&
+\sum_{i=1}^3 f(\lambda_i)\hat{a}_i\otimes\hat{a}_i
+\\=&
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}
+\cdot\begin{pmatrix}
+f(\lambda_1)& 0& 0\\
+& f(\lambda_2)& 0\\
+& 0& f(\lambda_3)
+\end{pmatrix}\cdot
+\begin{pmatrix}\hat{a}_1&\hat{a}_2&\hat{a}_3\end{pmatrix}^\top
+\end{align}</math>
+Ist ''f'' eine mehrdeutige Funktion, wie die [[Wurzel (Mathematik)]], mit ''n'' alternativen Werten, dann steht ''f''('''A''') mehrdeutig für ''n''<sup>3</sup> alternative Tensoren.
+Insbesondere mit dem [[Deformationsgradient]] '''F''':
+Rechter Strecktensor
+:<math>\mathbf{U}
+=+\sqrt{\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F}}</math>
+Linker Strecktensor
+:<math>\mathbf{v}
+=+\sqrt{\mathbf{F\cdot F}^\top}</math>
+Henky-Dehnung
+:<math>\mathbf{E}_H
+:=\ln(\mathbf{U})
+=\frac{1}{2}\ln(\mathbf{F}^\top\cdot\mathbf{F})</math>
+==== Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe ====
+{{Siehe auch|Voigtsche Notation|#Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe}}
+Die Tensoren
+:<math>\begin{align}
+\mathbf{S}_1=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_1\\
+\mathbf{S}_2=&\vec{e}_2\otimes\vec{e}_2\\
+\mathbf{S}_3=&\vec{e}_3\otimes\vec{e}_3\\
+\mathbf{S}_{4}=&\vec{e}_2\otimes\vec{e}_3+\vec{e}_3\otimes\vec{e}_2\\
+\mathbf{S}_{5}=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_3+\vec{e}_3\otimes\vec{e}_1\\
+\mathbf{S}_{6}=&\vec{e}_1\otimes\vec{e}_2+\vec{e}_2\otimes\vec{e}_1
+\end{align}</math>
+bilden eine Basis im Vektorraum <math>\mathrm{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})\subset\mathcal{L}</math> der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in [[Voigtsche Notation|Voigt'scher Notation]] dargestellt werden:
+:<math>\mathbf{A}\in\mathrm{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})
+\quad\rightarrow\quad
+\mathbf{A}
+= A_r\mathbf{S}_r
+\hat=\begin{bmatrix}
+A_1\\
+A_2\\
+A_3\\
+A_{4}\\
+A_{5}\\
+A_{6}
+\end{bmatrix}</math>
+Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss
+:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}
+= A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6
+</math>
+berücksichtigt werden. Siehe auch [[#Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe]].
+=== Schiefsymmetrische Tensoren ===
+{{Siehe auch|Schiefsymmetrische Matrix}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad\mathbf{A}=-\mathbf{A}^\top</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A})
+=\mathbf{A\cdot A}+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf1
+=\mathbf{A\cdot A}-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\mathbf1
+</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A})=0</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A})=-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})=0</math>
+:<math>\quad\parallel\mathbf{A}\parallel
+=\sqrt{2\mathrm{I}_2(\mathbf{A})}
+=\sqrt{-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)}
+</math>
+In kartesischen Koordinaten:
+:<math>\mathbf{A}
+=
+A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}
+& A_{12}& A_{13}\\
+-A_{12}& 0& A_{23}\\
+-A_{13}& -A_{23}& 0
+\end{pmatrix}</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>\mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)=0</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+= A_{12}^2+A_{13}^2+A_{23}^2
+</math>
+:<math>\mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)=0</math>
+:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
+=\sqrt{2}\sqrt{A_{12}^2+A_{13}^2+A_{23}^2}
+</math>
+Bilinearform:
+:<math>
+\vec{u}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}
+=-\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{u}
+\quad\forall\vec{u},\vec{v}\in\mathbb{V}
+</math>
+:<math>
+\vec{v}\cdot\mathbf{A}\cdot\vec{v}=0
+\quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V}
+</math>
+Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe [[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]].
+[[#Dualer axialer Vektor]]:
+:<math>\begin{align}
+&\mathbf{A}_\times
+:=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+:=-\frac{1}{2}\mathbf{1}\times\mathbf{A}^\top
+=-\frac{1}{2}\mathbf{1}\cdot\!\!\times\mathbf{A}
+= -\frac{1}{2}\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+\\&
+\rightarrow\quad
+\mathbf{A}\cdot\vec{v}=\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}\times\vec{v}
+\quad\forall\vec{v}\in\mathbb{V}
+\end{align}</math>
+mit [[#Vektorinvariante]] <math>\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})</math>. Der zum Eigenwert null gehörende [[#Eigenvektoren|#Eigenvektor]] ist proportional zum dualen axialen Vektor <math>\mathbf{A}_\times</math> denn
+:<math>\mathbf{A\cdot A}_\times
+=\mathbf{A}_\times\times\mathbf{A}_\times
+=\vec{0}</math>
+:<math>\mathbf{A}
+= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+\quad\rightarrow\;
+\mathbf{A}_\times
+=-\frac{1}{2}A_{ij}\hat{e}_i\times\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}-A_{23}\\A_{13}\\-A_{12}\end{pmatrix}
+</math>
+:<math>\mathbf{A}
+= A_{ij}(\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j -\vec{b}_j\otimes\vec{a}_i)
+\quad\rightarrow\;
+\mathbf{A}_\times=-A_{ij}\vec{a}_i\times\vec{b}_j</math>
+=== Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix ===
+{{Siehe auch|#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor}}
+Kreuzproduktmatrix <math> [\vec{u}]_\times</math> eines Vektors <math>\vec{u}</math>:
+:<math>\begin{align}
+\vec{u}
+=u_i\hat{e}_i
+=&\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}
+\\
+\rightarrow\;
+[\vec{u}]_\times=&\vec{u}\times\mathbf{1}
+=\vec{u}\times\hat{e}_i\otimes\hat{e}_i
+=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u}
+=\begin{pmatrix}0&-u_3&u_2\\
+u_3&0&-u_1\\
+-u_2&u_1&0
+\end{pmatrix}\in\mathcal{L}
+\end{align}</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\vec{u}\times\mathbf{1})
+=\mathrm{adj}(\vec{u}\times\mathbf{1})
+=\vec{u}\otimes\vec{u}</math>
+[[#Invarianten]]:
+:<math>
+\mathrm{Sp}=0
+</math>
+:<math>\mathrm{I}_2=\vec{u}\cdot\vec{u}= u_1^2 + u_2^2 + u_3^2
+</math>
+:<math>
+\mathrm{det}=0
+</math>
+:<math>
+\|\vec{u}\times\mathbf{1}\|
+=\sqrt{2\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{2}\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}
+</math>
+:<math>\stackrel{A}{\overrightarrow{\vec{u}\times\mathbf{1}}}=\vec u</math>
+[[#Eigensystem]]:
+:<math>\begin{align}
+\lambda_1=& 0\,, &\vec{v}_1=&\vec{u}
+\\
+\lambda_{2,3}=&\mp\mathrm{i}|\vec{u}|\,, &
+\vec{v}_{2,3}&\simeq&
+\frac{u_1}{|\vec{u}|}\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{pmatrix}
+\pm\mathrm{i}\begin{pmatrix}\pm\mathrm{i}|\vec{u}|\\ -u_3\\ u_2\end{pmatrix}
+\end{align}</math>
+Eigenschaften:
+:<math>\vec{u}\times\vec{v}=(\vec{u}\times\mathbf{1})\cdot\vec{v}
+=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\mathbf{1})</math>
+:<math>\vec{u}\times\mathbf{1}=\mathbf{1}\times\vec{u}</math>
+:<math>(\vec{u}\times\mathbf{1})^\top=-\vec{u}\times\mathbf{1}</math>
+:<math>\vec{u}
+=-\frac{1}{2}\mathbf{1}\cdot\!\!\times(\vec{u}\times\mathbf{1})
+=-\frac{1}{2}(\mathbf{1}\times\vec{u})\times\mathbf{1}
+=\frac{1}{2}\mathbf{1}\times(\vec{u}\times\mathbf{1})
+</math>
+:<math>\vec u\times(\vec v\times\mathbf1)
+=(\vec u\times\mathbf1)\cdot(\vec v\times\mathbf1)
+=\vec v\otimes\vec u-(\vec u\cdot\vec v)\mathbf1
+</math>
+:<math>\vec u\times(\vec v\times\mathbf1)\cdot\vec w
+=\vec u\times(\vec v\times\vec w)
+=(\vec u\cdot\vec w)\vec v-(\vec u\cdot\vec v)\vec w
+</math>
+Potenzen von <math>[\vec{u}]_\times=\vec{u}\times\mathbf{1}</math>
+:<math>
+[\vec{u}]_\times^2=[\vec{u}]_\times\cdot[\vec{u}]_\times
+=\vec{u}\otimes\vec{u}-(\vec{u}\cdot\vec{u})\mathbf{1}
+</math>
+:<math>
+[\vec{u}]_\times^3=-(\vec{u}\cdot\vec{u})[\vec{u}]_\times
+</math>
+=== Deviatorische Tensoren ===
+{{Siehe auch|Deviator}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad
+\mathrm{Sp}(\mathbf{A})=0</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})
+=\left(\mathbf{A}^2\right)^\top+\mathrm{I}_2(\mathbf{A})\mathbf1
+=\left(\mathbf{A}^2\right)^\top-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\mathbf1
+</math>
+[[#Hauptinvarianten]]:
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A}):=0</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A})=-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})=\frac13\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^3)</math>
+Bezüglich der Standardbasis:
+:<math>\mathbf{A}
+= A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j
+=\begin{pmatrix}
+A_{11}& A_{12}& A_{13}\\
+A_{21}& A_{22}& A_{23}\\
+A_{31}& A_{32}& -A_{11}-A_{22}
+\end{pmatrix}</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=0</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+= -A_{11}^2 - A_{22}^2 - A_{11}A_{22}
+- A_{12}A_{21}- A_{13}A_{31}- A_{23}A_{32}</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
+=&-A_{11}(A_{11}A_{22}+A_{22}^2+A_{23}A_{32})
+\\&+A_{12}(A_{23}A_{31}+A_{21}A_{11}+A_{21}A_{22})
+\\&+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})
+\end{align}</math>
+:<math>\parallel A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\parallel
+=\sqrt{\begin{array}{r}2 A_{11}^{2}+ 2 A_{22}^{2}+2 A_{11}A_{22}
++A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+\ldots
+\\
+\ldots+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}\end{array}
+}</math>
+=== Kugeltensoren ===
+{{Siehe auch|Kugeltensor}}
+Definition
+:<math>\mathbf{A}:\quad\mathbf{A}= a\mathbf{1}
+=\begin{pmatrix}
+a & 0 & 0\\
+& a & 0\\
+& 0 & a
+\end{pmatrix}
+</math>
+Kofaktor: <math>\mathrm{cof}(\mathbf{A})=\mathrm{adj}(\mathbf{A})=a^2\mathbf1</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A})=3 a</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A})= 3 a^2</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A})= a^3</math>
+:<math>\parallel\mathbf{A}\parallel =\sqrt{3}|a|
+</math>
+== Dekompositionen eines Tensors ==
+Gegeben ein beliebiger Tensor <math>\mathbf{A}=A_{ij}\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j</math>
+=== Symmetrischer Anteil ===
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{S}=\mathrm{sym}(\mathbf{A})
+:=\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^\top)</math>
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{S}
+=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
+A_{11}& A_{12}+A_{21}& A_{13}+A_{31}\\
+A_{12}+A_{21}& 2 A_{22}& A_{23}+A_{32}\\
+A_{13}+A_{31}& A_{23}+A_{32}& 2 A_{33}
+\end{pmatrix}</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{S})
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})
+=A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{S})
+=&\frac12\mathrm{I}_2(\mathbf{A})+\frac14\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A})
+-\frac14\mathbf{A:A}
+\\=&
+A_{11}A_{22}+ A_{11}A_{33}+ A_{22}A_{33}
+\\&
+-\frac14\left[(A_{12}+A_{21})^2+(A_{13}+ A_{31})^2+(A_{23}+ A_{32})^2\right]
+\end{align}</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{S})
+=&\frac14\mathrm{det}(\mathbf{A})+\frac14\mathbf{A}:\mathrm{adj}(\mathbf{A})
+\\=&
+A_{11}A_{22}A_{33}
++\frac{1}{4}(A_{12}+ A_{21})(A_{23}+ A_{32})(A_{13}+ A_{31})
+\\
+& -\frac{1}{4}\left[A_{11}(A_{23}+ A_{32})^2
++A_{22}(A_{13}+ A_{31})^2+A_{33}(A_{12}+ A_{21})^2\right]
+\end{align}</math>
+:<math>\begin{align}
+\parallel(\mathbf{A}^\mathrm{S})\parallel
+=&\sqrt{\mathbf{A:A}^\mathrm{S}}
+\\=&
+\sqrt{A_{11}^2 + A_{22}^2 + A_{33}^2
++\frac{1}{2} [(A_{12}+ A_{21})^2 +(A_{13}+ A_{31})^2
++(A_{23}+ A_{32})^2] }
+\end{align}</math>
+=== Schiefsymmetrischer Anteil ===
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{A}=\mathrm{skw}(\mathbf{A})
+:=\frac{1}{2}(\mathbf{A}-\mathbf{A}^\top)</math>
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{A}
+=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
+& A_{12}-A_{21}& A_{13}-A_{31}\\
+A_{21}-A_{12}& 0 & A_{23}-A_{32}\\
+A_{31}-A_{13}& A_{32}-A_{23}& 0
+\end{pmatrix}</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{A})= 0
+</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{A})
+=&\frac14\left[\mathbf{A:A}-\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^2)\right]
+\\=&
+\frac{1}{4}\left[(A_{12}-A_{21})^2 +(A_{13}-A_{31})^2+(A_{23}-A_{32})^2\right]
+\end{align}</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{A})=0</math>
+:<math>\parallel\mathbf{A}^\mathrm{A}\parallel
+=\sqrt{\mathbf{A:A}^\mathrm{A}}
+=\sqrt{\frac{1}{2}}
+\sqrt{(A_{12}-A_{21})^2+(A_{13}-A_{31})^2+(A_{32}-A_{23})^2}
+</math>
+=== Deviator ===
+{{Siehe auch|Deviator}}
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{D}=\mathrm{dev}(\mathbf{A})
+:=\mathbf{A}-\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{1}</math>
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{D}
+=\begin{pmatrix}
+\frac{2A_{11}-A_{22}-A_{33}}{3}&A_{12}&A_{13}\\
+A_{21}&\frac{2A_{22}-A_{11}-A_{33}}{3}&A_{23}\\
+A_{31}&A_{32}&\frac{2A_{33}-A_{11}-A_{22}}{3}
+\end{pmatrix}</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{D})= 0</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{D})
+=&\mathrm{I}_2(\mathbf A)-\frac13\mathrm{Sp}^2(\mathbf A)
+=\frac16\mathrm{Sp}^2(\mathbf A)-\frac12\mathrm{Sp}(\mathbf A^2)
+\\=&
+\frac{1}{3}(A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{11}^2-A_{22}^2-A_{33}^2)
+\\&
+-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}
+\end{align}</math>
+:<math>\begin{align}
+\mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{D})
+=&\mathrm{det}(\mathbf{A})+\frac{2}{27}\mathrm{Sp}^3(\mathbf{A})
+-\frac13\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathrm{I}_2(\mathbf{A})
+\\=&
+\frac{1}{27}\Big[12A_{11}A_{22}A_{33}
++2(A_{11}^3+A_{22}^3+A_{33}^3)\ldots
+\\&
+\qquad\ldots-3A_{11}^2(A_{22}+A_{33})
+-3A_{22}^2(A_{11}+A_{33})
+-3A_{33}^2(A_{11}+A_{22})\Big]
+\\
+&-\frac{1}{3}\Big[(2A_{11}-A_{22}-A_{33})A_{23}A_{32}
++(2A_{22}-A_{11}-A_{33})A_{13}A_{31}+\ldots
+\\&
+\qquad\ldots+(2A_{33}-A_{11}-A_{22})A_{12}A_{21}\Big]
+\\&
++A_{13}A_{32}A_{21}+A_{12}A_{23}A_{31}
+\end{align}</math>
+:<math>
+\parallel\mathbf{A}^\mathrm{D}\parallel
+=
+\sqrt{\begin{array}{r}
+\frac{2}{3}(A_{11}^2+A_{22}^2+A_{33}^2-A_{11}A_{22}-A_{11}A_{33}-A_{22}A_{33})
++\ldots
+\\
+\ldots+A_{12}^2+A_{21}^2+A_{13}^2+A_{31}^2+A_{23}^2+A_{32}^2
+\end{array}}
+</math>
+=== Kugelanteil ===
+{{Siehe auch|Kugeltensor}}
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{K}=\mathrm{sph}(\mathbf{A})
+:=\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{1}</math>
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{K}
+=\frac{1}{3}(A_{11}+A_{22}+A_{33})
+\begin{pmatrix}1& 0& 0\\
+& 1& 0\\
+& 0& 1\end{pmatrix}
+</math>
+:<math>\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^\mathrm{K})
+=\mathrm{Sp}(\mathbf{A})= A_{11}+A_{22}+A_{33}</math>
+:<math>\mathrm{I}_2(\mathbf{A}^\mathrm{K})
+=\frac13\mathrm{Sp}^2(\mathbf{A})
+=\frac{1}{3}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^2</math>
+:<math>\mathrm{det}(\mathbf{A}^\mathrm{K})
+=\frac{1}{27}\mathrm{Sp}^3(\mathbf{A})
+=\frac{1}{27}(A_{11}+A_{22}+A_{33})^3</math>
+:<math>\parallel\mathbf{A}^\mathrm{K}\parallel
+=\frac{1}{\sqrt{3}}|\mathrm{Sp}(\mathbf{A})|
+=\frac{1}{\sqrt{3}}|A_{11}+A_{22}+A_{33}|</math>
+=== Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors ===
+:<math>\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{S}+\mathbf{A}^\mathrm{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{D}+\mathbf{A}^\mathrm{K}</math>
+Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{S}:\mathbf{B}^\mathrm{A}
+=0</math>
+Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:
+:<math>\mathbf{A}^\mathrm{D}:\mathbf{B}^\mathrm{K}
+=0</math>
+=== Polarzerlegung ===
+{{Siehe auch|Polarzerlegung}}
+Für jeden Tensor '''F''' mit [[#Determinante]]&nbsp;≠&nbsp;0 gibt es [[#Orthogonale Tensoren]] '''Q''' und [[#Symmetrische und positiv definite Tensoren]] '''U''' in eindeutiger Weise, sodass
+: '''F''' = '''Q·U'''
+Im Fall des [[Deformationsgradient]]en ist '''U''' der rechte [[Strecktensor]], siehe [[#Symmetrische und positiv definite Tensoren]]. Der Anteil '''U''' berechnet sich wie dort angegeben aus
+:<math>\mathbf{U}=+\sqrt{\mathbf{F^\top\cdot F}}</math>
+Dann ist '''U·U''' = '''F<sup>⊤</sup>·F''' und
+:<math>\mathbf{Q}=\mathbf{F\cdot U}^{-1}</math>
+Bei det('''F''')=0 ergeben sich '''U''' sowie '''Q''' aus der [[Singulärwertzerlegung]] von '''F''' und '''U''' ist nur noch symmetrisch [[positiv semidefinit]].
+== Projektionen ==
+=== Punkt auf Gerade ===
+Gegeben sei die Gerade durch den Punkt <math>\vec{x}</math> mit Richtungsvektor <math>\vec{g}</math> und ein beliebiger anderer Punkt <math>\vec{p}</math>.
+Dann ist
+:<math>\begin{align}
+\vec{p}=&\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}
+\quad\textsf{mit}\quad
+\vec{a}\|\vec{g}
+\quad\text{und}\quad
+\vec{b}\bot\vec{g}
+\\
+\mathbf{G}=&\frac{\vec{g}\otimes\vec{g}}{\vec{g}\cdot\vec{g}}
+\quad\rightarrow\quad
+\mathbf{G}\cdot\vec{g}=\vec{g}
+\,,\quad
+(\mathbf{1}-\mathbf{G})\cdot\vec{g}=\vec{0}
+\\
+&\vec{n}\cdot\vec{g}= 0
+\quad\rightarrow\quad
+\mathbf{G}\cdot\vec{n}=\vec{0}
+\,,\quad
+(\mathbf{1}-\mathbf{G})\cdot\vec{n}=\vec{n}
+\\
+\vec{a}=&\mathbf{G}\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+=\frac{\vec{g}\cdot(\vec{p}-\vec{x})}{\vec{g}\cdot\vec{g}}\vec{g}
+\\
+\vec{b}=&\left(\mathbf{1}-\mathbf{G}\right)
+\cdot(\vec{p}-\vec{x})=\vec{p}-\vec{x}-\vec{a}
+\end{align}</math>
+Der Punkt <math>\vec{x}+\vec{a}</math> ist die senkrechte Projektion von <math>\vec{p}</math> auf die Gerade. Der Tensor '''G''' extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von <math>\vec{g}</math> und '''1'''-'''G''' den Anteil senkrecht dazu.
+=== Punkt oder Gerade auf Ebene ===
+Gegeben sei die Ebene durch den Punkt <math>\vec{x}</math> und zwei die Ebene aufspannende Vektoren <math>\vec{u}</math> und <math>\vec{v}\not\!\|\vec{u}</math> sowie ein beliebiger anderer Punkt <math>\vec{p}</math>. Dann verschwindet die Normale
+:<math>\hat n=\frac{\vec{u}\times\vec{v}}{|\vec{u}\times\vec{v}|}</math>
+nicht. Dann ist
+:<math>\begin{align}
+\vec{p}=&\vec{x}+\vec{a}+\vec{b}
+\quad\textsf{mit}\quad
+\vec{a}\bot\hat n
+\quad\text{und}\quad
+\vec{b}\|\hat n
+\\
+\mathbf{P}=&\frac{(\vec{v}\cdot\vec{v})\vec{u}\otimes\vec{u}
+-(\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{u}\otimes\vec{v}+\vec{v}\otimes\vec{u})
++(\vec{u}\cdot\vec{u})\vec{v}\otimes\vec{v}}{(\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v})
+-(\vec{u}\cdot\vec{v})^2}
+=\mathbf1-\hat n\otimes\hat n
+\\
+&\rightarrow\mathbf{P}\cdot\vec{u}=\vec{u}
+\,,\quad
+\mathbf{P}\cdot\vec{v}=\vec{v}
+\,,\quad
+\mathbf{P}\cdot\hat n=\vec{0}
+\,,\quad
+(\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot\hat n=\hat n
+\\
+&\rightarrow
+\mathbf{P}\cdot(x\vec{u}+ y\vec{v})=x\vec{u}+ y\vec{v}
+\quad\text{und}\quad
+(\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot(x\vec{u}+ y\vec{v})=\vec{0}\quad\forall x, y\in\R
+\\
+\vec{a}=&\mathbf{P}\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+\\
+\vec{b}=&(\mathbf{1}-\mathbf{P})\cdot(\vec{p}-\vec{x})=\vec{p}-\vec{x}-\vec{a}
+\end{align}</math>
+Der Punkt <math>\vec{x}+\vec{a}</math> ist die senkrechte Projektion von <math>\vec{p}</math> auf die Ebene.<ref>J. Hanson: [http://arxiv.org/abs/1103.5263 ''Rotations in three, four, and five dimensions.''] Bei: ''arxiv.org.'' S. 4f.</ref> Der Tensor '''P''' extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und '''1'''-'''P''' den Anteil senkrecht dazu.
+Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte <math>\vec{x}</math> und <math>\vec{p}</math> verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors <math>\vec{a}</math>.
+Falls <math>|\vec{u}|=|\vec{v}| = 1</math> und <math>\vec{u}\bot\vec{v}</math> folgt:
+:<math>
+\hat n=\vec{u}\times\vec{v}
+\quad\text{mit}\quad
+|\hat n|=1
+</math>
+:<math>
+\mathbf{P}=\vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v}
+=\mathbf{1}-\hat n\otimes\hat n
+</math>
+:<math>
+\vec{a}=(\vec{u}\otimes\vec{u}+\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+=(\mathbf{1}-\hat n\otimes\hat n)\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+</math>
+:<math>
+\vec{b}=(\mathbf{1}-\vec{u}\otimes\vec{u}
+-\vec{v}\otimes\vec{v})\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+=(\hat n\otimes\hat n)\cdot(\vec{p}-\vec{x})
+</math>
+== Fundamentaltensor 3. Stufe ==
+{{Siehe auch|#Permutationssymbol|Epsilon-Tensor}}
+Definition:
+:<math>\begin{align}
+\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+:=&\epsilon_{ijk}\,\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
+\\
+=&(\hat{e}_j\times\hat{e}_k)\otimes\hat{e}_j\otimes\hat{e}_k
+\\
+=&\hat{e}_i\otimes(\hat{e}_k\times\hat{e}_i)\otimes\hat{e}_k
+\\
+=&\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j\otimes(\hat{e}_i\times\hat{e}_j)
+\end{align}</math>
+Kreuzprodukt von Vektoren:
+:<math>
+\vec{u}\times\vec{v}
+=\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{u}\otimes\vec{v})
+=\vec v\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec u
+=-\vec u\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec v
+=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\vec{v}\otimes\vec u)
+= -\vec{v}\times\vec{u}
+</math>
+:<math>\vec{e}_i\times\vec{e}_j =\epsilon_{ijk}\,\hat{e}_k</math>
+[[#Kreuzprodukt von Tensoren]], [[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>\begin{align}
+\stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A}
+=&\mathbf{A}:\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+=-\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A}^\top)
+=-(\mathbf{A}^\top):\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+\\
+=&\mathbf{1}\times\mathbf{A}^\top
+=\mathbf{1}\cdot\!\!\times\mathbf{A}
+\end{align}</math>
+[[#Dualer axialer Vektor]] und [[#Vektorinvariante]]:
+:<math>
+\stackrel{3}{\mathbf{E}}:\mathbf{A}
+=-2\stackrel{A}{\overrightarrow{\mathbf{A}}}
+=\vec{\mathrm{i}}(\mathbf{A})
+</math>
+[[#Kreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>
+\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B}^\top)
+</math>
+:<math>
+(A_{ik}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_k)\times
+(B_{jl}\vec{e}_j\otimes\vec{e}_l)
+=
+A_{ik}B_{jk}\vec{e}_i\times\vec{e}_j
+=
+\epsilon_{ijk}A_{jl}B_{kl}\vec{e}_i
+</math>
+[[#Skalarkreuzprodukt von Tensoren]]:
+:<math>
+\mathbf{A}\cdot\!\!\times\mathbf{B}
+=\stackrel{3}{\mathbf{E}}:(\mathbf{A\cdot B})
+</math>
+:<math>
+(A_{ik}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_k)\cdot\!\!\times
+(B_{lj}\vec{e}_l\otimes\vec{e}_j)
+=
+A_{ik}B_{kj}\vec{e}_i\times\vec{e}_j
+=
+\epsilon_{ijk}A_{jl}B_{lk}\vec{e}_i
+</math>
+[[#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix]]:
+:<math>\stackrel{3}{\mathbf{E}}\cdot\vec{u}
+=\vec{u}\cdot\stackrel{3}{\mathbf{E}}
+= -\vec{u}\times\mathbf{1}
+= -\mathbf{1}\times\vec{u}
+</math>
+== Tensoren vierter Stufe ==
+Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums <math>\mathcal{L}</math> wie im Abschnitt [[#Tensoren als Elemente eines Vektorraumes]] dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z.&nbsp;B.:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}
+=A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q)</math>
+mit Komponenten <math>A_{pq}</math> und die Tensoren <math>\mathbf{A}_1,\mathbf{A}_2,\ldots,\mathbf{A}_{9}\in\mathcal{L}</math> sowie <math>\mathbf{G}_1,\mathbf{G}_2,\ldots,\mathbf{G}_{9}\in\mathcal{L}</math> bilden eine Basis von <math>\mathcal{L}</math>.
+Standardbasis in <math>\mathcal{L}</math>:
+:<math>\mathbf{E}_1=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_1,
+\mathbf{E}_2=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_2,
+\mathbf{E}_3=\vec{e}_1\otimes\vec{e}_3,
+\mathbf{E}_{4}=\vec{e}_2\otimes\vec{e}_1,
+\ldots,
+\mathbf{E}_{9}=\vec{e}_3\otimes\vec{e}_3</math>
+Tensortransformation:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{H}
+=A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q):\mathbf{H}:
+=A_{pq}(\mathbf{G}_q:\mathbf{H})\mathbf{A}_p</math>
+Tensorprodukt:
+:<math> [A_{pq}(\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{G}_q)]:
+[B_{rs}(\mathbf{H}_r\otimes\mathbf{U}_s)]
+:=A_{pq}(\mathbf{G}_q:\mathbf{H}_r)B_{rs}
+\mathbf{A}_p\otimes\mathbf{U}_s</math>
+Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}=\mathbb{A}
+=A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l
+</math>
+=== Transpositionen ===
+Transposition:
+:<math>(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^\top
+=\mathbf{B}\otimes\mathbf{A}</math>
+:<math>(A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)^\top
+:= A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
+</math>
+Spezielle Transposition <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{mn}{\top}}</math> vertauscht <math>m</math>-tes mit <math>n</math>-tem Basissystem.
+Beispielsweise:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{13}{\top}}
+:= A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_l
+</math>
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{24}{\top}}
+:= A_{ijkl}\;\vec{e}_i\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_j
+</math>
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}\,^\top
+=\left(\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^{\stackrel{13}{\top}}\right)
+{}^{\stackrel{24}{\top}}
+= A_{ijkl}\;\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
+</math>
+=== Symmetrische Tensoren vierter Stufe ===
+Definition: <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}=\stackrel{4}{\mathbf{A}}{}^\top</math>
+Dann gilt: <math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf{B}=\mathbf{B}:\stackrel{4}{\mathbf{A}}</math>
+=== Einheitstensor vierter Stufe ===
+:<math>\begin{align}
+\stackrel{4}{\mathbf{1}}
+:=&\mathbf{E}_p\otimes\mathbf{E}_p
+=\stackrel{4}{\mathbf{1}}{}^\top
+=(\mathbf{1}\otimes\mathbf{1})\,^{\stackrel{23}{\top}}
+\\
+=&\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
+=\delta_{ik}\delta_{jl}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\end{align}</math>
+=== Spezielle Tensoren vierter Stufe ===
+Für beliebige Tensoren zweiter Stufe '''A''' gilt:
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
+=\delta_{il}\delta_{jk}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\top
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=\frac{1}{3}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}
+=\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{K}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=\stackrel{4}{\mathbf{1}}-\frac{1}{3}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}
+=(\delta_{ik}\delta_{jl}-\frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl})
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{D}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=\frac{1}{2}\left(
+\stackrel{4}{\mathbf{1}}
++\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
+\right)
+=\frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{S}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=\frac{1}{2}\left(
+\stackrel{4}{\mathbf{1}}-
+\mathbf{E}_p^\top\otimes\mathbf{E}_p
+\right)
+=\frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{A}
+=\mathbf{A}^\mathrm{A}
+</math>
+Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.
+Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe '''A, B''' und '''G''' gilt:
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{23}{\top}}
+=A_{ik}B_{lj}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+=\mathbf{A\cdot G\cdot B}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{23}{\top}}
+=A_{ki}B_{lj}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+=\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}}
+=A_{ik}B_{jl}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+=\mathbf{A\cdot G\cdot B}^\top
+</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+=(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{23}{\top}}
+=A_{ki}B_{jl}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
+\rightarrow
 \stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top\cdot\mathbf{B}
+=\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G\cdot B}^\top
-\\[3ex]
+</math>
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-&=& (\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top )^{\stackrel{24}{\top}}
+In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe '''B''' durch '''B'''<sup>⊤</sup> und die Transpositionen <math>\stackrel{23}{\top}</math> durch <math>\stackrel{24}{\top}</math> ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem '''G''':
-&=&A_{il} B_{jk}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
+:<math>
-&\quad\rightarrow\quad&
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+=(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}}
-&=&\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}^\top
+=A_{il}B_{kj}
-\\[3ex]
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+\rightarrow
-&=& (\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top )^{\stackrel{24}{\top}}
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-&=&A_{li} B_{jk}
+=\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}
-(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l )
+</math>
-&\quad\rightarrow\quad&
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
+:<math>
-&=&\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-\cdot\mathbf{B}^\top
+=(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B})^{\stackrel{24}{\top}}
-\end{array}</math>
+=A_{li}B_{kj}
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
-=== Invertierungsformel ===
+\rightarrow
-:<math>\left(
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-a\stackrel{4}{\mathbf{I}}+\mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)^{-1}
+=\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top\cdot\mathbf{B}
-=\dfrac{1}{a}\left(
+</math>
-\stackrel{4}{\mathbf{I}}-\dfrac{1}{a+\mathbf{B}:\mathbf{C}}
-\mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)</math>
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-=== Hooke'sches Gesetz ===
+=(\mathbf{A}\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{24}{\top}}
-{{Hauptartikel|Hooke'sches Gesetz}}
+=A_{il}B_{jk}
-Mit den Spannungen <math>\mathbf{T}</math> und den Dehnungen <math>\mathbf{E}</math> im Hooke'schen Gesetz gilt:
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+\rightarrow
-:=2\mu\stackrel{4}{\mathbf{I}}+\lambda\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
-\quad\rightarrow\quad
+=\mathbf{A\cdot G}^\top\cdot\mathbf{B}^\top
-\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}=\mathbf{T}</math>
+</math>
-mit den [[Lamé-Konstanten]] <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>. Dieser [[Elastizitätstensor]] ist symmetrisch.
+:<math>
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}
-Invertierungsformel mit <math>a=2\mu</math>, <math>\mathbf{B}
+=(\mathbf{A}^\top\otimes\mathbf{B}^\top)^{\stackrel{24}{\top}}
-=\lambda\mathbf{I}</math> und <math>\mathbf{C}=\mathbf{I}</math>:
+=A_{li}B_{jk}
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{S}}:
+(\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j\otimes\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)
-=\stackrel{4}{\mathbf{C}}{}^{-1}
+\rightarrow
-=\dfrac{1}{2\mu}\left(\stackrel{4}{\mathbf{I}}
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{G}
--\dfrac{\lambda}{2\mu +3\lambda}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}\right)
+=\mathbf{A}^\top\cdot\mathbf{G}^\top
-=\dfrac{1}{2\mu}\stackrel{4}{\mathbf{I}}
+\cdot\mathbf{B}^\top
--\dfrac{\nu}{E}\mathbf{I}\otimes\mathbf{I}
+</math>
-\quad\rightarrow\quad
-\stackrel{4}{\mathbf{S}}:\mathbf{T}
+=== Invertierungsformel ===
-=\mathbf{E}</math>
+:<math>\left(
-mit der [[Querdehnzahl]] <math>\nu</math> und dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math>.
+a\stackrel{4}{\mathbf{1}}+\mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)^{-1}
+=\frac{1}{a}\left(
+\stackrel{4}{\mathbf{1}}-\frac{1}{a+\mathbf{B}:\mathbf{C}}
+\mathbf{B}\otimes\mathbf{C}\right)</math>
+=== Hooke'sches Gesetz ===
+{{Siehe auch|Hooke'sches Gesetz}}
+Mit den Spannungen <math>\mathbf{T}</math> und den Dehnungen <math>\mathbf{E}</math> im Hooke'schen Gesetz gilt:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{C}}
+:=2\mu\stackrel{4}{\mathbf{1}}+\lambda\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}
+\quad\rightarrow\quad
+\stackrel{4}{\mathbf{C}}:\mathbf{E}=\mathbf{T}</math>
+mit den [[Lamé-Konstanten]] <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>. Dieser [[Elastizitätstensor]] ist symmetrisch.
+Invertierungsformel mit <math>a=2\mu</math>, <math>\mathbf{B}
+=\lambda\mathbf{1}</math> und <math>\mathbf{C}=\mathbf{1}</math>:
+:<math>\begin{align}
+&\stackrel{4}{\mathbf{S}}:
+=\stackrel{4}{\mathbf{C}}{}^{-1}
+=\frac{1}{2\mu}\left(\stackrel{4}{\mathbf{1}}
+-\frac{\lambda}{2\mu +3\lambda}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}\right)
+=\frac{1}{2\mu}\stackrel{4}{\mathbf{1}}
+-\frac{\nu}{E}\mathbf{1}\otimes\mathbf{1}
+\\&
+\rightarrow\quad
+\stackrel{4}{\mathbf{S}}:\mathbf{T}=\mathbf{E}
+\end{align}</math>
+mit der [[Querdehnzahl]] <math>\nu</math> und dem [[Elastizitätsmodul]] <math>E</math>.
+=== Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe ===
+{{Siehe auch|Voigtsche Notation}}
+Aus der Basis <math>\mathbf{S}_1,\ldots ,\mathbf{S}_{6}</math> des Vektorraums <math>\mathcal{S}=\mathrm{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})</math> der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe [[#Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe]], kann eine Basis des Vektorraums <math>\stackrel{4}{\mathcal{S}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{S},\mathcal{S})</math> der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus <math>\stackrel{4}{\mathcal{S}}</math> können als [[Voigtsche Notation|Voigt'scher Notation]] in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:
+:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}
+=A_{uv}\mathbf{S}_u\otimes\mathbf{S}_v
+\hat=\begin{bmatrix}
+A_{11}& A_{12}& A_{13}& A_{14}& A_{15}& A_{16}\\
+A_{21}& A_{22}& A_{23}& A_{24}& A_{25}& A_{26}\\
+A_{31}& A_{32}& A_{33}& A_{34}& A_{35}& A_{36}\\
+A_{41}& A_{42}& A_{43}& A_{44}& A_{45}& A_{46}\\
+A_{51}& A_{52}& A_{53}& A_{54}& A_{55}& A_{56}\\
+A_{61}& A_{62}& A_{63}& A_{64}& A_{65}& A_{66}
+\end{bmatrix}
+</math>
+Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Matrizenprodukt in Voigt'scher Notation muss eine [[Diagonalmatrix]]
+:<math>I=\mathrm{diag}(1,1,1,2,2,2)</math>
+mit den Einträgen <math>I_{uv}=\mathbf{S}_u:\mathbf{S}_v</math> zwischengeschaltet werden:
+:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}=[\mathbf{A}]^\top I[\mathbf{B}]
+= A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6
+</math>
+:<math>\left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\mathbf T\right]
+=\left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}\right]I[\mathbf T]
+</math>
-=== Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe ===
+:<math>\left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}:\stackrel{4}{\mathbf{B}}\right]
-{{Hauptartikel|Voigtsche Notation}}
+=\left[\stackrel{4}{\mathbf{A}}\right]I\left[\stackrel{4}{\mathbf{B}}\right]
-Aus der Basis <math>\mathbf{E}_{1},\ldots ,\mathbf{E}_{6}</math> des Vektorraums <math>\mathcal{S}=\operatorname{sym}(\mathbb{V},\mathbb{V})</math> der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe kann eine Basis des Vektorraums <math>\stackrel{4}{\mathcal{S}}=\mathrm{Lin}(\mathcal{S},\mathcal{S})</math> der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus <math>\stackrel{4}{\mathcal{S}}</math> können als [[Voigtsche Notation|Voigt'scher Notation]] in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:
-:<math>\stackrel{4}{\mathbf{A}}
-=A_{uv}\mathbf{E}_{u}\otimes\mathbf{E}_{v}
-=\begin{bmatrix}
-A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15} & A_{16}\\
-A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} & A_{25} & A_{26}\\
-A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} & A_{35} & A_{36}\\
-A_{41} & A_{42} & A_{43} & A_{44} & A_{45} & A_{46}\\
-A_{51} & A_{52} & A_{53} & A_{54} & A_{55} & A_{56}\\
-A_{61} & A_{62} & A_{63} & A_{64} & A_{65} & A_{66}
-\end{bmatrix}
 </math>
-Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Das Matrizenprodukt von Matrix und Vektor ist ebenfalls möglich. Beim Skalarprodukt muss
+Darin steht [x] für die Voigt-Notation von x.
-:<math>\mathbf{A}:\mathbf{B}
-= A_1 B_1 + A_2 B_2 + A_3 B_3 + 2 A_4 B_4 + 2 A_5 B_5 + 2 A_6 B_6
-</math>
-berücksichtigt werden.
 == Einzelnachweise ==
@@ Zeile 2.423: / Zeile 3.599: @@
 == Literatur ==
-* {{Literatur|Autor=Holm Altenbach|Titel=Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen|Verlag=Springer Vieweg|Ort=Berlin u. a.| Auflage=2.|Jahr=2012|ISBN=978-3-642-24118-5}}
+*{{Literatur
-* [[Philippe Ciarlet|Philippe G. Ciarlet]]: ''Mathematical Elasticity.'' Band 1: ''Three-dimensional Elasticity'' (= ''Studies in Mathematics and its Applications.'' 20). North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
+   |Autor=Holm Altenbach
-* {{Literatur|Autor=Wolfgang Ehlers|Titel=Ergänzung zu den Vorlesungen, Technische Mechanik und Höhere Mechanik|Jahr=2014|Online= http://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/vektortensor.pdf|Zugriff=2015-02-28}}
+   |Titel=Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
-* {{Literatur|Autor=Ralf Greve|Titel=Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker|Verlag=Springer|Ort=Berlin u. a.|Jahr=2003|ISBN=3-540-00760-1}}
+   |Auflage=2.
+   |Verlag=Springer Vieweg
+   |Ort=Berlin u. a.
+   |Datum=2012
+   |ISBN=978-3-642-24118-5}}
+*{{Literatur
+   |Autor=[[Philippe Ciarlet]]
+   |Titel=Mathematical Elasticity
+   |Band=Band 1: Three-Dimensional Elasticity
+   |Verlag=North-Holland
+   |Ort=Amsterdam
+   |Datum=1988
+   |ISBN=0-444-70259-8}}
+*{{Literatur
+   |Autor=Wolfgang Ehlers
+   |Titel=Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik
+   |TitelErg=Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung
+   |Datum=2015
+   |Online=http://www.mechbau.uni-stuttgart.de/ls2/Downloads/vektortensor.pdf
+   |Abruf=2020-09-03}}
+*{{Literatur
+   |Autor=Ralf Greve
+   |Titel=Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker
+   |Verlag=Springer
+   |Ort=Berlin u. a.
+   |Datum=2003
+   |ISBN=3-540-00760-1}}
 [[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]
 [[Kategorie:Formelsammlung|Tensoralgebra]]