Fokker-Planck-Gleichung

Lösung der 1D Fokker-Planck-Gleichung mit Drift- und Diffusionsterm. Die Anfangsbedingung ist eine Deltafunktion bei

$ x=1 $

und die Verteilung driftet nach links.

Die Fokker-Planck-Gleichung (FPG, nach Adriaan Daniël Fokker (1887–1972) und Max Planck (1858–1947))

{\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big [}A(x,t)P(x,t){\Big ]}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big [}B(x,t)P(x,t){\Big ]}

beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $$ P(x) $$ unter der Wirkung von Drift $$ A(x,t) $$ und Diffusion $$ B(x,t) $$ . Die Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie auch bekannt unter Kolmogorov-Vorwärtsgleichung. Sie ist eine lineare partielle Differentialgleichung. Für verschwindende Drift $$ A(x,t)=0 $$ und konstante Diffusion $$ B(x,t)=B $$ geht sie in die Diffusions- (oder auch Wärmeleitungs-) Gleichung über.

In D Dimensionen lautet die Fokker-Planck-Gleichung

{\frac {\partial }{\partial t}}P(\mathbf {x} ,t)=-\sum _{i=1}^{D}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\Big [}A_{i}(x_{1},\ldots ,x_{D})P(\mathbf {x} ,t){\Big ]}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\Big [}B_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{D})P(\mathbf {x} ,t){\Big ]}

Die FPG geht für Markovsche Prozesse aus der Kramers-Moyal-Entwicklung hervor, die nach der zweiten Ordnung abgebrochen wird.

Die FPG ist eine partielle Differentialgleichung, die sich nur für einige Spezialfälle (hinsichtlich einfacher Körpergeometrie sowie Linearität der Randbedingungen und des Drift- sowie Diffusionskoeffizienten) analytisch exakt lösen lässt. Von großer Bedeutung ist die äquivalente Beschreibung von Problemen durch Langevin-Gleichungen, die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik von stochastischen Systemen beschreiben und – im Gegensatz dazu – im Allgemeinen nichtlinear sind.

Von der Smoluchowski-Gleichung spricht man, wenn $$ x $$ die Positionen der Teilchen im System beschreibt.

Herleitung

Die FPG lässt sich aus der kontinuierlichen Chapman-Kolmogorow-Gleichung, einer allgemeineren Gleichung für die Zeitentwicklung von Wahrscheinlichkeiten bei Markow-Prozessen, herleiten, falls $$ x $$ eine kontinuierliche Variable ist und die Sprünge in $$ x $$ klein sind. In diesem Fall ist eine Taylor-Entwicklung (in diesem Fall wird sie auch als Kramers-Moyal-Entwicklung bezeichnet) der Chapman-Kolmogorow-Gleichung

P(x,t)=\int {P\left(x-\Delta x,t-\Delta t\right)\Psi \left(x-\Delta x,\Delta x\right)d^{D}\!\left(\Delta x\right)}

möglich und ergibt die FPG. Dabei ist $\Psi \left(x-\Delta x,\Delta x\right)$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand von $\left(x-\Delta x\right)$ übergeht zum Zustand $$ x $$ . Man kann die Entwicklung auch direkt von der Mastergleichung starten, dann ist die Taylorentwicklung nach der Zeit nicht mehr nötig.

Unter der Annahme, dass die Übergangswahrscheinlichkeit $\Psi$ bei großen Abständen $\Delta x$ klein ist (eben nur kleine Sprünge stattfinden) kann man folgende Taylor Entwicklung verwenden (unter Benutzung der Summenkonvention):

{\begin{aligned}P(x,t)\approx \int P(x,t)\Psi \left(x,\Delta x\right)-\Delta t\,\Psi \left(x,\Delta x\right){\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}&-\Delta x_{i}\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}P(x,t)\Psi \left(x,\Delta x\right)\\&+{\frac {1}{2}}\Delta x_{i}\Delta x_{j}\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}P(x,t)\Psi \left(x,\Delta x\right)\;\,d^{D}\!\left(\Delta x\right)\end{aligned}}

Durch Ausführen der Integration (da $$ p $$ nicht von $\Delta x$ abhängt kann es aus den Integralen herausgezogen werden) erhält man dann

{\frac {\partial P}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\langle \Delta x_{i}\right\rangle P+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\left\langle \Delta x_{i}\Delta x_{j}\right\rangle P

mit

A_{i}=\left\langle \Delta x_{i}\right\rangle ={\frac {1}{\Delta t}}\int \Delta x_{i}\Psi \,d^{D}\Delta x

B_{ij}=\left\langle \Delta x_{i}\Delta x_{j}\right\rangle ={\frac {1}{\Delta t}}\int {\Delta x_{i}\Delta x_{j}\Psi \,d^{D}\Delta x}

Stationäre Lösung

Die stationäre Lösung $P_{s}(x,t)$ der eindimensionalen FPG, d. h. ${\frac {\partial }{\partial t}}P_{s}(x,t)=0$ für alle $$ t $$ , ist gegeben durch

P_{s}(x,t)=P_{s}(x)={\frac {n}{B(x)}}\exp \left(2\int _{x_{0}}^{x}{\frac {A(x')}{B(x')}}dx'\right),

wobei die Normierungskonstante $$ n $$ mit Hilfe der Bedingung $\int _{-\infty }^{\infty }P_{s}(x)dx=1$ bestimmt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass das Integral für den unteren Rand $x_{0}$ verschwindet. Im Fall höherer Dimensionen lässt sich im Allgemeinen keine stationäre Lösung mehr finden; hier ist man auf verschiedene Näherungsverfahren angewiesen.

Zusammenhang mit stochastischen Differentialgleichungen

Sei für die Funktionen $\mathbf {U} \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {V} \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{n\times m}$ . Dann ist die stochastische Differentialgleichung für den Ito-Prozess $\{\mathbf {X} _{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ (in der Ito-Interpretation) gegeben durch

d\mathbf {X_{t}} =\mathbf {U} (\mathbf {X_{t}} ,t)dt+\mathbb {V} (\mathbf {X_{t}} ,t)d\mathbf {W_{t}}

,

wobei $(\mathbf {W_{t}} )$ einen $$ m $$ -dimensionalen Wiener-Prozess (Brownsche Bewegung) bezeichnet. Dann erfüllt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $P(\mathbf {X_{t}} =\mathbf {x} ,t)=:P(\mathbf {x} ,t)$ der Zufallsvariablen $\mathbf {X} _{t}$ eine FPG, bei der Drift- bzw. Diffusionskoeffizienten gegeben sind durch $\mathbf {A} =\mathbf {U}$ und $\mathbb {B} =(B_{ij})=\mathbb {V} \mathbb {V} ^{T}$ .

Fokker-Planck-Gleichung und Pfadintegral

Jede Fokker-Planck-Gleichung ist äquivalent zu einem Pfadintegral. Dies folgt z. B. daraus, dass die allgemeine Fokker-Planck-Gleichung für D Variablen q={q_i}

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}P(\mathbf {q} ,t)&=F\left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t\right)P(\mathbf {q} ,t),\\F\left({\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t\right)&=-\sum _{i=1}^{D}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}A_{i}(\mathbf {q} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}{\frac {\partial ^{2}}{\partial q_{i}\,\partial q_{j}}}B_{ij}(\mathbf {q} ),\end{aligned}}

dieselbe Struktur wie die Schrödingergleichung hat. Der Fokker-Planck-Operator F entspricht dem Hamilton-Operator, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion P entspricht der Wellenfunktion ψ. Das zur Fokker-Planck-Gleichung äquivalente Pfadintegral lautet entsprechend (siehe Pfadintegral)

Z=N\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {D}}\mathbf {q} \int _{-i\infty }^{i\infty }{\mathcal {D}}\mathbf {\tilde {q}} e^{\int Ldt},\;\;L=F\left(-\mathbf {\tilde {q}} ,\mathbf {q} ,t\right)-\mathbf {\tilde {q}} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {q} ,

wobei N ein konstanter Normierungsfaktor ist. Pfadintegrale dieser Art sind in der kritischen Dynamik Ausgangspunkt für Störungsrechnung und Renormierungsgruppe. ^[1] Die Variablen q stehen dabei z. B. für die Fourierkomponenen des Ordnungsparameters. Die Variablen $\mathbf {\tilde {q}}$ heissen Responsevariablen^[1]. Die Lagrange-Funktion L enthält die Responsevariablen nur in quadratischer Form. Im Unterschied zur Quantenmechanik ist es hier jedoch nicht zweckmäßig, die $\mathbf {\tilde {q}}$ -Integrationen auszuführen.

Fokker-Planck-Gleichung in der Plasmaphysik

Die Fokker-Planck-Gleichung ist in der Plasmaphysik vor allem deshalb von Bedeutung, da der Stoßterm der kinetischen Gleichung (Boltzmann-Gleichung) für Plasmen als Fokker-Planck-Term geschrieben werden kann. Die Gleichung wird auch als Landau-Gleichung bezeichnet, da sie erstmals von Lew Dawidowitsch Landau aufgestellt wurde, allerdings nicht in ihrer Fokker-Planck-Form.

Der Grund, dass der Stoßterm als Fokker-Planck-Term geschrieben werden kann, ist, dass die Bewegung der Teilchen im Plasma von den vielen Stößen mit weit entfernten Partnern dominiert werden, welche nur eine kleine Änderung der Geschwindigkeit bringen. Starke Stöße mit nahen Teilchen sind vergleichsweise selten und deshalb oft vernachlässigbar.

Die Einteilchen-Verteilungsdichte im Geschwindigkeitsraum für Teilchen vom Typ $\alpha$ , $f_{\alpha }({\vec {v}},t)$ gibt an, wie viele Teilchen es bei einer bestimmten Geschwindigkeit gibt. In einem Plasma, auf das keine äußeren Kräfte wirken, kann die Änderung der Verteilungsdichte durch Kollisionen mit Teilchen vom Typ $\beta$ näherungsweise durch die Gleichung ${\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left\langle \Delta v_{i}\right\rangle ^{\alpha \beta }f_{\alpha }+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\partial v_{j}}}\left\langle \Delta v_{i}\Delta v_{j}\right\rangle ^{\alpha \beta }f_{\alpha }$

mit

\left\langle \Delta v_{i}\right\rangle ^{\alpha \beta }=\left(1+{\frac {m_{\alpha }}{m_{\beta }}}\right)\Lambda _{c}\left({\frac {4\pi q_{\alpha }q_{\beta }}{m_{\alpha }}}\right)^{2}{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {f_{\beta }(v')}{\left|v-v'\right|}}dv'\right)

und

\left\langle \Delta v_{i}\Delta v_{j}\right\rangle ^{\alpha \beta }=\Lambda _{c}\left({\frac {4\pi q_{\alpha }q_{\beta }}{m_{\alpha }}}\right)^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\partial v_{j}}}\left({\frac {1}{4\pi }}\int f_{\beta }(v')\left|v-v'\right|dv'\right)

beschrieben werden. Dabei ist $\Lambda _{c}$ der Coulomb-Logarithmus: Je größer dessen Wert, umso stärker die Dominanz vieler leichter Kollisionen und umso besser ist die Landau-Fokker-Planck-Gleichung gültig. $q_{\alpha }$ und $q_{\beta }$ sind die elektrischen Ladungen der Teilchensorten, $$ m $$ ihre Masse. Da die Teilchen im Plasma auch mit Teilchen der gleichen Spezies kollidieren, ist die Gleichung normalerweise nichtlinear.

Diese Gleichung erhält die Teilchenzahl, den Impuls und die Energie. Außerdem erfüllt sie das H-Theorem, d. h. Stöße führen zu einer Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung.

Siehe auch

Konvektions-Diffusions-Gleichung

Weblinks

Referenzen

↑ ^1,0 ^1,1 H. K. Janssen: Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties. In: Z. Phys. B. 23. Jahrgang, 1976, S. 377.

Literatur

Crispin Gardiner: Stochastic Methods. A Handbook for the natural and social Sciences. 4. edition. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-70712-7 (Springer series in synergetics = Springer complexity).
Hartmut Haug: Statistische Physik. Gleichgewichtstheorie und Kinetik. 2. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-25629-6 (Springer-Lehrbuch).
Linda E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics. University of Texas Press. 1980, ISBN 0-7131-3517-4
Hannes Risken: The Fokker-Planck Equation. Methods of Solutions and Applications. 2. edition., 3. printing, study edition. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61530-X, (Springer Series in Synergetics 18).
Arthur G. Peeters, Dafni Strintzi: The Fokker-Planck equation, and its application in plasma physics. Ann. Phys. 17, No 2-3, 124 (2008). doi:10.1002/andp.200710279.
K.-H. Spatschek: Theoretische Plasmaphysik. Eine Einführung. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-03041-1.

[Janssen1976-1] 1,0 ^1,1 H. K. Janssen: Lagrangean for Classical Field Dynamics and Renormalization Group Calculations of Dynamical Critical Properties. In: Z. Phys. B. 23. Jahrgang, 1976, S. 377.

[1]