Eichtransformation: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. Januar 2021, 19:44 Uhr

Eine Eichtransformation verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.^[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.

Man unterscheidet:

globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik.
lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.

Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.

Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.

Elektrodynamik

Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation

\phi '({\vec {r}},t)=\phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\Lambda ({\vec {r}},t)\ ,

{\vec {A}}'({\vec {r}},t)={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\mathrm {grad} \,\Lambda ({\vec {r}},t)\ ,

welche das elektrische Potential $\phi$ und das magnetische Potential ${\vec {A}}$ um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion $\Lambda$ ändert.

Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld

{\vec {B}}=\mathrm {rot} ~{\vec {A}}

noch das elektrische Feld

{\vec {E}}=-\mathrm {grad} \,\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {A}}

Zur Definition von $\mathrm {grad}$ und $\mathrm {rot}$ siehe Gradient und Rotation.

Beispiele

Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.

Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit $$ c=1 $$ .

Lorenz-Eichung

Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion $\psi \$ , die

\nabla ^{2}\psi -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =-(\nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\phi )

erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von $\phi \$ und ${\vec {A}}$ .

Coulomb-Eichung

Erfüllt die Eichfunktion $\psi$ hingegen

\nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot {\vec {A}}\ ,

so hilft die Transformation, das Skalarfeld $\phi$ gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; $\phi$ erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.

Allgemeine Relativitätstheorie

Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:

x'^{\mu }=x'^{\mu }(x^{\mu })\ .

Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.

Literatur

↑ Robert G. Brown: Gauge Transformations (englisch) Abgerufen am 17. Januar 2013: „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“

en:Gauge transformation

[1] Robert G. Brown: Gauge Transformations (englisch) Abgerufen am 17. Januar 2013: „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“

[1]

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-Eine '''Eichtransformation''' verändert die sogenannten Eichfelder einer physikalischen Theorie (wie z.&nbsp;B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie)  dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z.&nbsp;B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.<ref>{{Cite web | author=Robert G. Brown | url=http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node30.html | title=Gauge Transformations | language=englisch | quote=A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.| accessdate=2013-01-17}}</ref> Dies wird als '''Eichfreiheit''' bezeichnet.
+Eine '''Eichtransformation''' verändert die [[Eichtheorie|Eichfelder]] einer physikalischen Theorie (z.&nbsp;B. die elektromagnetischen Potentiale oder die [[potentielle Energie]]) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z.&nbsp;B. das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] oder ein [[Kraftfeld]]) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.<ref>{{Cite web | author=Robert G. Brown | url=https://webhome.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node30.html | title=Gauge Transformations | language=englisch | quote=A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.| accessdate=2013-01-17}}</ref> Dies wird als '''Eichfreiheit''' bezeichnet.
-Man unterscheidet '''globale''' und '''lokale''' Eichtransformationen. Eine globale Eichtransformation wird an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, wie z.&nbsp;B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik. Bei einer lokalen Eichtransformation werden diese Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.
+Man unterscheidet:
+* globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z.&nbsp;B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen [[Wellenfunktion]] der [[Quantenmechanik]].
+* lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.
-Eine [[Wirkung (Physik)|physikalische Wirkung]], die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet.
+Eine [[Wirkung (Physik)|physikalische Wirkung]], die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als ''eichinvariante'' Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem [[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]] aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen [[Bewegungsgleichung]]en gewinnt, wird als [[Eichtheorie]] bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – [[Gravitation]], [[Elektromagnetismus]], [[schwache Wechselwirkung]] ([[Beta-Zerfall]] des Neutrons) und die
-Eine Theorie, die nach dem [[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]] aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als [[Eichtheorie]] bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – [[Gravitation]], [[Elektromagnetismus]], [[schwache Wechselwirkung]] (Beta-Zerfall des Neutrons) und die
 [[starke Wechselwirkung]] (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.
-Nach dem [[Noether-Theorem]] weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.
+Nach dem [[Noether-Theorem]] weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer [[Erhaltungsgröße]] hin.
 == Elektrodynamik ==
 Die [[Elektrodynamik]] ist invariant unter der Eichtransformation
-: <math>\phi'(\vec r, t) = \phi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
+: <math>\phi'(\vec r, t)   = \phi(\vec r, t)   - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
-: <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad}\, \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
+: <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad} \,            \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
-die die Potentialfunktion des elektrischen Feldes <math>\phi\ </math> und des magnetischen Feldes <math>\vec{A}</math>
+welche das [[elektrisches Potential|elektrische Potential]] <math>\phi</math> und das [[Magnetisches Potenzial|magnetische Potential]] <math>\vec{A}</math>
-um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion <math>\Lambda\ </math> ändert.
+um die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer beliebig wählbaren Funktion <math>\Lambda</math> ändert.
+Diese Transformation ändert weder das [[Magnetfeld]]
+:<math>\vec{B} = \mathrm{rot}~\vec{A}</math>
+noch das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]]
-Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld
+:<math>\vec{E} = -\mathrm{grad} \, \phi - \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}</math>
-:<math>\vec{B}=\mathrm{rot}~\vec{A}</math>
-noch das elektrische Feld
-:<math>\vec{E}=-\mathrm{grad}\,\phi-\frac{\partial}{\partial t} \vec{A}</math>
 Zur Definition von <math>\mathrm{grad}</math> und <math>\mathrm{rot}</math> siehe [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] und [[Rotation (Mathematik)|Rotation]].
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 Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.
-Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit <math>c=1</math>.
+Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit <math>c = 1</math>.
 === Lorenz-Eichung ===
 {{Hauptartikel|Lorenz-Eichung}}
-Durch die nach [[Ludvig Lorenz]] benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion <math>\psi\ </math>, die
+Durch die nach [[Ludvig Lorenz]] benannte Eichtransformation mit einer [[Eichfunktion]] <math>\psi\ </math>, die
-: <math>\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - (\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi) </math>
-erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von <math>\phi\ </math> und <math>\vec{A}</math>.
+:<math>\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - (\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi) </math>
+erfüllt, werden die inhomogenen [[Maxwellgleichungen]] zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von <math>\phi\ </math> und <math>\vec{A}</math>.
 === Coulomb-Eichung ===
 {{Hauptartikel|Coulomb-Eichung}}
 Erfüllt die Eichfunktion <math>\psi</math> hingegen
-: <math>\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,</math>
-so hilft die Transformation, das Skalarfeld <math>\phi</math> gerade zum [[Coulombpotential|Coulomb-Potential]] der Ladungen zu transformieren; <math>\phi</math> erfüllt dann die elektrostatische [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poissongleichung]].
+:<math>\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,</math>
+so hilft die Transformation, das [[Skalarfeld]] <math>\phi</math> gerade zum [[Coulombpotential|Coulomb-Potential]] der Ladungen zu transformieren; <math>\phi</math> erfüllt dann die [[elektrostatisch]]e [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poissongleichung]].
 == Allgemeine Relativitätstheorie ==