Quelltext der Seite Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)

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Als '''Dynamisches Gleichgewicht''' wird in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] das Gleichgewicht zwischen äußerer [[Kraft]] und [[Trägheitskraft]] bezeichnet.<ref name="Böge" />

Für einen Körper mit der Masse <math>m</math> lautet das [[Newtonsche Gesetze#Zweites newtonsches Gesetz|zweite Newtonsche Gesetz]]:

:<math>\vec{F} = m \, \vec{a}</math>.

Dabei ist <math>\vec F</math> die äußere Kraft und <math>\vec a</math> die Beschleunigung im [[Inertialsystem]]. Nachdem die ''Grundgleichung der Mechanik'' auf die Form
:<math>\vec F - m \, \vec{a}=\vec 0</math> 
gebracht wurde<ref name="gross" />, fasst man das negative Produkt aus Masse und Beschleunigung formal als Kraft auf, die als ''Trägheitskraft'' oder genauer als '''D'Alembertsche Trägheitskraft''' <math>\vec{F}_{T}</math> bezeichnet wird.<ref name="Knappstein2004" /> Man erhält: 
:<math>\vec F + \vec{F}_T = \vec{0}</math>

Damit ist das dynamische Problem auf ein statisches Problem des Kräftegleichgewichts zurückgeführt. Die Summe von äußerer Kraft und Trägheitskraft ist somit stets Null. Die d'Alembertsche Trägheitskraft ist die Folge der Beschleunigung und nicht deren Ursache.<ref name="lanc" />

Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt darin, dass die Beschreibung einheitlich in einem Inertialsystem erfolgt und nicht weitere Bezugssysteme eingeführt werden müssen. In der Technischen Mechanik ist meist ein raumfestes Bezugssystem mit ausreichender Genauigkeit ein Inertialsystem.

== Anwendung ==
[[Datei:Dynamisches-gleichgewicht-motorrad-kurvenfahrt.svg|miniatur|Motorrad bei stationärer Kurvenfahrt]]
In der Praxis kann man den Umstand ausnutzen, dass Trägheitskraft und äußere Kraft häufig an verschiedenen Punkten angreifen. Beispiel ist die Berechnung der [[Schräglage]] eines Motorrads bei stationärer Kurvenfahrt. Als äußere Kräfte wirken die Gewichtskraft im Schwerpunkt und die Reifenkräfte im Radaufstandspunkt auf das Motorrad. Die Reifenkräfte sind die [[Seitenführungskraft|Seitenkraft]] radial zum Kurvenmittelpunkt sowie die [[Radlast]] vertikal (beide nicht eingezeichnet).

Der Betrag von [[Zentripetalkraft]] bzw. Zentrifugalkraft berechnet sich aus der Bahngeschwindigkeit <math>v</math> und dem [[Krümmung]]sradius der Bahn <math>R</math>:

:<math>\left | F_\text{Zf} \right | = m\;\frac{v^2}{R}</math>

Wählt man als Bezugspunkt für das Momentengleichgewicht den Radaufstandspunkt, muss die resultierende Kraft <math>F_R</math> aus [[Zentrifugalkraft|Fliehkraft]] <math>F_\text{Zf}</math> und Gewichtskraft <math>F_G</math> durch den Radaufstandspunkt gehen, wenn das Motorrad nicht umkippen soll. Die Zentripetalkraft (Seitenkraft) wirkt in der Straßenebene und braucht beim Momentengleichgewicht nicht berücksichtigt zu werden. Für die Schräglage <math>\alpha</math> ergibt sich
:<math>\tan{\alpha}=\frac{F_\text{Zf}}{F_G}=\frac{v^2}{R\;g}=\frac{a_y}{g}</math>
mit der Erdbeschleunigung <math>g</math>, und der [[Radialbeschleunigung]] <math>a_y</math>.

== Einzelnachweise ==
<references>
  <ref name="Böge">
  {{Literatur|Autor= Alfred Böge, Wolfgang Böge, Klaus-Dieter Arnd u.a.|Titel=Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik Gebundene Ausgabe – 22. Auflage|Verlag=Springer Verlag|Jahr=2014|ISBN=978-3658065973}}[https://books.google.de/books?id=DFrEBQAAQBAJ&pg=RA1-PA14&dq=dynamisches+gleichgewicht&hl=de&sa=X&ei=e2-JVduzC4zlUaKEgvgB&ved=0CEcQ6AEwBg#v=onepage&q=dynamisches%20gleichgewicht&f=false Vorschau]
  </ref>
  <ref name="gross">
  {{Literatur | Autor=Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall | Titel=Technische Mechanik | Band=Band 3 Kinetik | Verlag=Gabler Wissenschaftsverlage | Jahr=2008 | Auflage=10. | Seiten=191 | Online={{Google Buch|BuchID = jfEwnhV9DlYC|Seite = 191}}}} „Wir schreiben nun <math>F-ma=0</math> und fassen das negative Produkt aus der Masse <math>m</math> und der Beschleunigung <math>a</math> formal als eine Kraft auf, die wir […] D'Alembertsche Trägheitskraft <math>F_T</math> nennen: <math>F_T=-ma</math>. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!); wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
  </ref>
  <ref name="Knappstein2004">
   {{cite book|author=Gerhard Knappstein|title=Kinematik und Kinetik|url=http://books.google.com/books?id=sCon9ih98_EC&pg=PA68|accessdate=9. Februar 2013|year=2004|publisher=Harri Deutsch Verlag|isbn=978-3-8171-1738-3|pages=68–}}
  </ref>
<ref name="lanc">{{Literatur| Titel=The Variational Principles of Mechanics| Seiten=88–110. | Jahr=1986| Autor=Cornelius Lanczos| ISBN=0-486-65067-7|Verlag= Courier Dover Publications| Ort=New York| Online={{Google Buch | BuchID = ZWoYYr8wk2IC | Seite = 88 | Hervorhebung = "force of inertia"}} }} S. 88: „We now define a vector I by the equation I = -m A. This vector I can be considered as a force created by the motion. We call it the "force of inertia". With this concept the eqation of Newton can be formulated as follows: F + I = 0.“
</ref>
</references>


[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Technische Dynamik]]

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