Quelltext der Seite Diamant-Norm

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{{Dieser Artikel|beschreibt die (Super-)[[Operatornorm]] der Quantenmechanik. Zu Werkzeugen mit Diamantbesatz siehe [[Diamant]].}}

Mithilfe der '''Diamant-Norm''' werden in der [[Quantenmechanik]] häufig [[Abstand|Abstände]] zweier [[Quantenkanal|Quantenkanäle]] angegeben. Durch den [[Jamiolkowski-Isomorphismus]] lässt sich dieser Abstand auch auf [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] erweitern. Bei quantenmechanischen Messungen wird das System gestört, der Zustand des Quants ändert sich. In theoretischen Überlegungen wird eine [[quantenmechanische Messung]] durchgeführt, indem ein [[linearer Operator]] auf den vorigen Zustand angewandt wird. Die [[Eigenwert]]e, die das Produkt aus Operator und [[Eigenvektor]]en hat, sind alle möglichen Messwerte, die bei einer Messung auftreten können. Es stellt sich nach der Messung die Frage, wie weit die Zustände, in denen sich die Quanten nun befinden, auseinanderliegen. Eine Möglichkeit, diesen Abstand zu bestimmen, wird durch die Diamant-Norm gegeben.

Sei <math>\Phi</math> ein Quantenkanal und <math>J(\Phi)</math> der zugehörige Zustand:

: <math>J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} \Phi\left(\left| i\right\rangle \left\langle j\right| \right) \otimes \left| i\right\rangle \left\langle j\right|</math>

Hierbei wird, wenn die [[Atlas (Mathematik)|Karten]] des Kanals zwei beliebigen <math>M_m(\mathbb{C})</math> und <math>M_n(\mathbb{C})</math> mit <math>m, n \in \mathbb{R}^{+}</math> entsprechen, die Matrix <math>J(\Phi)</math> auch als ''Choi-Jamiolkowski-Darstellung'' bezeichnet. Nun seien <math>\Phi_1, \Phi_2</math> zwei Quantenkanäle, dann entspricht der Abstand in der Diamant-Norm:

: <math>\left\| \Phi_1 - \Phi_2 \right\|_\diamond = \sup_{\rho}\left\| (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho)-(\Phi_2 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho)\right\|_1</math>

mit <math>\operatorname{Id}_k</math> Identitätskanal, abgebildet von <math>M_k(\mathbb{C})</math> auf sich selbst, <math>\|\cdot\|_1</math> [[Spurklasseoperator|Spur-Norm]], dem [[Supremum]] über alle <math>k \geq 1</math> und allen [[Dichteoperator]]en <math>\rho</math> aus <math>M_{nk} = M_{n} \otimes M_{k}</math>. Dieses Supremum ist stets errechenbar für ein fest gewähltes <math>k</math>. Der entsprechend berechnete  Abstand drückt ebenso die Irrtumswahrscheinlichkeit für eine Missdeutung des Ergebnisses zweier Quantenkanäle aus<ref>Andrew Childs, Michele Mosca: Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography: 4th Workshop, TQC 2009, Waterloo, Canada, May 11-13. Revised Selected Papers Springer, 10. März 2010, S. 68</ref> und wird bei entsprechenden Vergleichsberechnungen gerne herangezogen.<ref>James M. McCracken: Negative Quantum Channels: An Introduction to Quantum Maps that are Not Completely Positive Morgan & Claypool Publishers, 2014, S. 121</ref>:In vielen Fällen hilft auch die reine Verwendung der Spur-Norm, manchmal liefert sie aber keine zufriedenstellenden Ergebnisse, insbesondere bei der Betrachtung von Quantenkanälen.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Avraham Ben-Aroya, Amnon Ta-Shma |Titel=On the complexity of approximating the diamond norm |Sammelwerk=Quantum Physics |Datum=2009 |Sprache=en |arXiv=0902.3397}}
* {{Literatur |Autor=Walter Noll |Titel=Finite-Dimensional Spaces: Algebra, Geometry and Analysis |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2012 |ISBN=978-94-010-9335-4 |Seiten=168 ff. |Sprache=en |Online={{Google Buch |BuchID=CS70CAAAQBAJ |Seite=168}}}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]

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