Quelltext der Seite Bohrscher Radius

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{{Infobox Physikalische Konstante
| Name          = Bohrscher Radius
| Formelzeichen = <math>\,a_0</math>
| Art           = [[Länge (Physik)|Länge]]
| WertSI        = <math>0{,}529\,177\,210\,67 \cdot 10^{-10} \,\mathrm{m}</math>
| Genauigkeit   = <math>2{,}3 \cdot 10^{-10}</math>
| WertCgs       = <math>5{,}29\,177\,210\,67\,(12) \cdot 10^{-9} \,\mathrm{cm}</math>
| Formel        = <math>a_0 = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_{\mathrm{e}} e^2}}</math>
| Anmerkung     = Quelle SI-Wert: [[CODATA]] 2014 ([http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bohrrada0 Direktlink])
}}

Der '''bohrsche Radius''' <math>\,a_0</math> bezeichnet den Radius des [[Wasserstoffatom]]s im [[Grundzustand|niedrigsten Energiezustand]] und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten [[Elektronenschale]] im Rahmen des [[Bohrsches Atommodell|bohrschen Atommodells]]; dabei bleibt die kleine Korrektur noch unberücksichtigt, die der Mitbewegung des [[Atomkern]]s um den [[Baryzentrum|Schwerpunkt]] entspricht.

Eine [[Wasserstoffatom #Lösung der Schrödinger-Gleichung (Wasserstoffproblem)|quantenmechanische Betrachtung]] ergibt, dass im niedrigsten Energiezustand die [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]], das [[Elektron]] zu messen, beim bohrschen Radius  maximal wird. Der relevantere [[Erwartungswert#Quantenmechanischer Erwartungswert|Erwartungswert]] für den Radius ist jedoch das 1,5-fache des bohrschen Radius.

== Formeln und Zahlenwert ==

Der bohrsche Radius errechnet sich gemäß der Formel:

:<math>a_0 = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_{\mathrm{e}} e^2}}\,.</math>

Dabei ist
* <math>\,\varepsilon_0</math> die [[elektrische Feldkonstante]] im Vakuum,
* <math>\,\hbar</math> die durch <math>2 \pi</math> geteilte [[Plancksches Wirkungsquantum|Plancksche Konstante]],
* <math>\,m_{\mathrm{e}}</math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des [[Elektron]]s und
* <math>\,e</math> die [[Elementarladung|Ladung]] des Elektrons.

Ebenso wird der bohrsche Radius beschrieben durch

:<math>a_0 = \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{2 \pi \alpha}</math>

mit
* der [[Compton-Effekt|Compton-Wellenlänge]] <math>\lambda_{\mathrm{e}} = \frac{2 \pi \hbar}{m_{\mathrm{e}} c}</math> des Elektrons und
* der [[Feinstrukturkonstante]] <math>\alpha = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c}.</math>

Der Wert beträgt nach derzeitiger [[Messgenauigkeit]] der in die Rechnung einfließenden [[Naturkonstante]]n:<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bohrrada0 |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2015-08-07}} Wert für den bohrschen Radius. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als [[CODATA#Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.</ref>

:<math>a_0 = 0{,}529\,177\,210\,67\,(12) \cdot 10^{-10} \,\mathrm{m},</math>

wobei die eingeklammerten Ziffern die [[CODATA #Standardunsicherheiten von CODATA-Werten|geschätzte Standardabweichung]] von 0,000&nbsp;000&nbsp;000&nbsp;12&nbsp;·&nbsp;10<sup>−10</sup>&nbsp;m angeben.

Mit dieser Definition gilt der bohrsche Radius als eine Naturkonstante. Zum Beispiel in der [[Atomphysik]] wird sie oft als [[Atomare Einheiten|Längeneinheit]] benutzt, wobei als Näherungen 52,9&nbsp;[[Meter #Dezimale Vielfache|pm]] oder ein halbes [[Ångström (Einheit)|Ångström]] (=&nbsp;50&nbsp;pm) verwendet werden.

Berücksichtigt man die endliche Masse <math>M_\mathrm{K}</math> des [[Atomkern|Kerns]] und damit seine Mitbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt, muss man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse  <math>m_\mathrm{e}</math> durch die [[reduzierte Masse]]  <math>\mu = \tfrac{m_\mathrm{e}}{(1+\frac{m_\mathrm{e}}{M_\mathrm{K}})}</math> ersetzen. Der Bahnradius wird dann <math>\left(1+\tfrac{m_\mathrm{e}}{M_\mathrm{K}}\right) a_0</math>. Die Korrektur beträgt beim H-Atom nur ca.&nbsp;0,05 %, beim He<sup>+</sup>-Ion, das ebenfalls nur ein Elektron besitzt, ca.&nbsp;0,01 %. Mit entsprechenden Werten für die Masse wird der Begriff des bohrschen Radius auch für andere Systeme verwendet, z.&nbsp;B. [[Exziton]]en.

== Herleitung ==
{{Siehe auch|Bohrsches Atommodell|titel1=„Bohrsches Atommodell“ für eine vollständige Herleitung.}}
Schon mithilfe einer einfachen Abschätzung und unter Berücksichtigung der [[Unschärferelation]] lässt sich der bohrsche Radius ermitteln.

Es wird angenommen, der Abstand des im Wasserstoffatom [[Gebundener Zustand|gebundenen]] Elektrons zum Kern betrage für gewöhnlich <math>a</math>.

Der Unschärferelation wegen lässt sich der [[Impuls]] des Elektrons grob mit

:<math>p=\hbar / a</math>

angeben, wobei die Orts[[observable]] <math>x</math> hier durch den Abstand <math>a</math> ersetzt wird.

Die [[kinetische Energie]] beträgt demnach

:<math>E_\mathrm{kin}(a) = \frac 12 m_\mathrm{e} v^2 = \frac 12 \frac{p^2}{m_\mathrm{e}} = \frac 12 \frac{1}{m_\mathrm{e}} \left( \frac{\hbar}{a} \right)^2. \!\,</math>

Die [[potentielle Energie]] ist gemäß dem [[Coulombsches Gesetz|Coulombschen Gesetz]]

:<math>V(a)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a}, \!\,</math>

woraus sich die Gesamtenergie ergibt:

:<math>E(a)=E_\mathrm{kin}(a)+V(a)=\frac{\hbar^2}{2m_\mathrm{e}a^2}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a} \!\, .</math>

Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt, desto kleiner wird seine kinetische Energie, wegen des negativen [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichens]] wächst damit aber seine potentielle Energie.

[[Datei:Energie_Bohr_Radius_02.png |mini |Kinetische, potentielle und gesamte Energie des Elektrons in Abhängigkeit vom Abstand (in bohrschen Radien) des Elektrons vom Atomkern für das Wasserstoffatom im Grundzustand]]

Im Grundzustand realisiert sich eine Art „Kompromiss“, der die Gesamtenergie minimal macht; der zugehörige Radius <math>a</math> ergibt sich, indem man die Energie nach <math>a</math> [[Differentialrechnung|differenziert]] und die Ableitung gleich Null setzt ([[Extremwert]]<nowiki />ermittlung):

:<math>\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}a} = 0 \Rightarrow a_0 = \frac{4 \pi \hbar^2 \varepsilon_0}{m_\mathrm{e} e^2}.</math>

Dies ist genau der bohrsche Radius.

Setzt man nun <math>a_0</math> in <math>E(a)</math> ein, so erhält man die [[Rydberg-Energie]], die [[Ionisierungsenergie]] des Wasserstoffs:

:<math>E(a_0) = - \frac{1}{2} \frac{m_\mathrm{e} \, e^4}{(4 \pi)^2 \, \varepsilon_0^2 \, \hbar^2} = - \frac{1}{2} \frac{e^2}{4 \pi \, \varepsilon_0 \, a_0} = -13{,}6 \, \mathrm{eV}.</math>

Die Abbildung zeigt den Verlauf von kinetischer, potentieller und Gesamtenergie in Abhängigkeit vom Abstand (in bohrschen Radien). Setzt man <math>a_0</math> in die Formel für <math>E_\mathrm{kin}(a)</math> bzw. <math>V(a)</math> ein, so ergeben sich
 
:<math> E_\mathrm{kin}(a_0) = -E(a_0) </math>

bzw.

:<math>V(a_0) = 2 \cdot E(a_0)  </math>.

Der Betrag der potentiellen Energie <math>|V(a_0)|</math> wird als [[Hartree-Energie]] bezeichnet und ist eine weitere Einheit des [[Atomare Einheiten |Systems atomarer Einheiten]] der Atomphysik.

== Historisches ==
Niels Bohr erwähnt in seinem Aufsatz<ref>{{Literatur |Autor=N. Bohr |Titel=On the Constitution of Atoms and Molecules |Sammelwerk=Philosophical Magazine |Band=26 |Datum=1913 |Seiten=4}}</ref> den österreichischen Physiker [[Arthur Erich Haas]], der die Formel für <math>\,a_0</math> schon 1910/11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte, die die Plancksche Konstante <math>\,h</math> in der Atomphysik, insbesondere in ihren mechanischen Aspekten, spielen könnte. In seinem Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer mit <math>\,1 e</math> positiv geladenen Kugel um, was nach dem [[Gaußsches Gesetz|Gaußschen Gesetz]] der [[Elektrostatik]] dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktförmiger Kern. Dies Modell fand damals keine Beachtung, u.&nbsp;a. weil man vielfach auch beim Wasserstoff noch von einer viel größeren Anzahl von Elektronen ausging, also entsprechend auch von einer größeren positiven Ladung des Rests des insgesamt neutralen Atoms. Auch hielt man es weithin für ausgeschlossen, dass <math>\,h</math> außerhalb des Themas ''harmonische Schwingungen'' eine Bedeutung haben könnte.

Anfangs lagen die mit dem bohrschen Radius <math>a_0</math> berechneten [[Energie]]n bzw. [[Wellenlänge]]n des [[Wasserstoffspektrum]]s um 0,05 % neben den damals bekannten Messwerten, beim Helium-Ion um 0,01 %. Doch dass die kleinen Korrekturen wegen der Mitbewegung des Kerns in beiden Fällen volle Übereinstimmung erbrachten, sicherte dem bohrschen Modell rasch große Anerkennung.

== Quellen ==
* R. P. Feynman: ''Vorlesungen über Physik. Quantenmechanik.'' Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58109-6.
* L. M. Brown, A. Pais, Sir B. Pippard (Hrsg.): ''Twentieth Century Physics.'' Band 1, Inst. of Phys. Publishing, Bristol 1995, ISBN 0-7503-0353-0.
* {{Literatur |Autor=Max Jammer |Titel=The Conceptual Development of Quantum Mechanics |Verlag=MCGraw-Hill |Ort=NewYork |Datum=1966}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Physikalische Konstante]]
[[Kategorie:Atomphysik]]
[[Kategorie:Längeneinheit]]
[[Kategorie:Maßeinheit (Physik)]]
[[Kategorie:Niels Bohr]]
Folgende Vorlagen werden auf dieser Seite verwendet:
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