| Physikalische Konstante | |
|---|---|
| Name | Rydberg-Konstante |
| Formelzeichen | $ R_{\infty } $ |
| Wert | |
| SI | 1.0973731568160(21)e7 $ \textstyle {\frac {1}{\mathrm {m} }} $ |
| Unsicherheit (rel.) | 1.9e-12 |
| Bezug zu anderen Konstanten | |
| $ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\mathrm {e} }c}{2h}} $ $ \alpha $ – Feinstrukturkonstante $ m_{\mathrm {e} } $ – Elektronenmasse $ c $ – Lichtgeschwindigkeit $ h $ – Plancksches Wirkungsquantum | |
| Quellen und Anmerkungen | |
| Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink) | |
Die Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ ist eine nach Johannes Rydberg benannte Naturkonstante. Sie tritt in der Rydberg-Formel auf, einer Näherungsformel zur Berechnung von Atomspektren. Ihr Wert ist die als Wellenzahl ausgedrückte Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms unter Vernachlässigung relativistischer Effekte und der Mitbewegung des Kerns (also bei unendlicher Kernmasse, daher der Index $ \infty $).
Der derzeit empfohlene Wert der Rydberg-Konstanten beträgt:[1]
- $ R_{\infty }=10\,973\,731{,}568\,160(21)\,\mathrm {m} ^{-1}. $
Die relative Standardunsicherheit beträgt 1,9 · 10−12. Damit ist sie die am genauesten gemessene Naturkonstante überhaupt.
Zusammenhang mit anderen Naturkonstanten
Die Rydberg-Konstante ergibt sich aus der Feinstrukturkonstante α und der Compton-Wellenlänge λC,e eines Elektrons nach
- $ R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {C,e} }}}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}\,{\frac {m_{\mathrm {e} }c}{h}}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8c\varepsilon _{0}^{2}h^{3}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}} $
mit
- $ m_{\mathrm {e} } $ der Masse des Elektrons
- $ c $ der Lichtgeschwindigkeit
- $ h $ dem Planckschen Wirkungsquantum
- $ e $ der Elementarladung
- $ \varepsilon _{0} $ der elektrischen Feldkonstante
- $ a_{0} $ dem bohrschen Radius.
Rydberg-Frequenz und Rydberg-Energie
Die Rydberg-Konstante wird häufig auch als Frequenz oder als Energie angegeben. Die empfohlenen Werte betragen:[2][3]
- Rydberg-Frequenz: $ R=c\,R_{\infty }=3{,}289\,841\,960\,2508(64)\cdot 10^{15}\,\mathrm {Hz} $
- Rydberg-Energie: $ R_{y}=h\,R=h\,c\,R_{\infty }=2{,}1798723611035(42)\cdot 10^{-18}\,\mathrm {J} =13{,}605\,693\,122\,994(26)\,\mathrm {eV} =1\,\mathrm {Ry} . $
Der konkrete Wert der Rydberg-Energie $ R_{y} $ wird ein Rydberg genannt; damit wird das Rydberg als Maßeinheit für Energien verwendbar.
Herleitung
Eine erste Herleitung der Rydberg-Konstante $ R_{\infty } $ konnte im Rahmen des Bohrschen Atommodells gegeben werden. Eine modernere Herleitung im Rahmen der Quantenmechanik findet sich im Wasserstoffproblem.
In beiden Fällen gelangt man zu einer Formel für die quantisierten Energieniveaus des Wasserstoffatoms von der Form:
- $ E_{n}=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\cdot {\frac {1}{n^{2}}} $
Aus der Differenz zweier Energieniveaus
- $ \Delta E=-{\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{2}^{2}}}-{\frac {1}{n_{1}^{2}}}\right) $
lässt sich mit
- $ \Delta {E}={\frac {hc}{\lambda }} $
die Wellenzahl des bei einem solchen Übergang emittierten oder absorbierten Lichtes bestimmen zu
- $ {\frac {1}{\lambda }}={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right). $
Der Vergleich mit der Rydberg-Formel zeigt, unter der Annahme eines unendlich schweren Wasserstoffkerns, dass die Rydberg-Konstante gegeben ist durch
- $ R_{\infty }={\frac {m_{\mathrm {e} }e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}. $
Daraus ergibt sich auch, dass die Rydberg-Konstante die Wellenzahl (inverse Wellenlänge) eines Photons ist, dessen Energie der Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms entspricht.
Einzelnachweise
- ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Konstante. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
- ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Frequenz. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
- ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 6. Juni 2019. Wert für die Rydberg-Energie. Die eingeklammerten Ziffern bezeichnen die Unsicherheit in den letzten Stellen des Wertes, diese Unsicherheit ist als geschätzte Standardabweichung des angegebenen Zahlenwertes vom tatsächlichen Wert angegeben.
