Brillouin-Funktion

Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J

Die Brillouin-Funktion $B(x)$ (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:

$\begin{array}{rl}{B}_J(x)& =\frac{2J+1}{2J}\cdot \coth \left(\frac{2J+1}{2J}x\right)-\frac{1}{2J}\cdot \coth \left(\frac{1}{2J}x\right)\\ & =(1+\frac{1}{2J})\cdot \coth \left[(1+\frac{1}{2J})x\right]-\frac{1}{2J}\cdot \coth \left(\frac{1}{2J}x\right)\end{array}$

Dabei bezeichnet J in der physikalischen Anwendung die Gesamtdrehimpulsquantenzahl.

Bei der Beschreibung eines Paramagneten ist es sinnvoll, den Parameter $\xi$ einzuführen:

$\xi =\frac{mB}{k_{B}T}=\frac{g{\mu }_{B}JB}{k_{B}T}$

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• m – Magnetisches Moment eines Teilchens
• B – Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
• $k_B$ – Boltzmann-Konstante
• T – Absolute Temperatur
• g – Landé-Faktor
• ${\mu }_B$ – Bohrsches Magneton
• $\coth$ - Kotangens Hyperbolicus.

Mit dem Parameter $\xi$ kann die Magnetisierung M eines Paramagneten mit der Stoffmenge N in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:

$M=Nm{B}_J(\xi )\iff B_J(\xi )=\frac{M}{Nm}.$

Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion $L$, die sich im Limes $J\to \mathrm{\infty }$ und zugleich $g{\mu }_B\to 0$ aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):

$M=NmL(\xi )\iff L(\xi )=\frac{M}{Nm}.$

Literatur

• Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.

Weblinks

• Freie Spins im Magnetfeld
• Magnetismus und Thermodynamik