Transversale Isotropie

Bildhafte Erklärung der Transversalen Isotropie.
Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.
Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.

Die transversale Isotropie (von lateinisch transversus „quer“ sowie altgr. isos „gleich“ und tropos „Drehung, Richtung“ ) ist eine spezielle Art der Richtungsabhängigkeit eines Materials. Transversal isotrope Materialien haben die drei Eigenschaften:

1. Es gibt eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der das Kraft-Verformungs-Verhalten des Materials anders ist als senkrecht dazu.
2. Senkrecht zur Vorzugsrichtung, in 2- und 3-Richtung, sind die Materialeigenschaften unabhängig von der Richtung (isotrope Ebene) und
3. in einem Bezugssystem parallel zur Vorzugsrichtung gibt es keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen.

In Ebenen, die nicht senkrecht zur Vorzugsrichtung sind, ist das Kraft-Verformungs-Verhalten des Materials richtungsabhängig.

Den speziellen Fall, dass ein Material (an einem Teilchen) unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, bezeichnet man als Isotropie. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, bezeichnet man dagegen als Anisotropie. Die transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie und Anisotropie und enthält ihrerseits die Isotropie als Spezialfall.

Ein linear elastisches transversal isotropes Material besitzt maximal fünf Materialparameter.

Bedeutung in der Konstruktion

Unidirektional verstärkte Kunststoffe sind im ungeschädigten Zustand in guter Näherung transversal isotrop. Sie haben eine hohe Festigkeit in Richtung der Fasern und sind senkrecht dazu nachgiebiger. In der Konstruktion werden transversal Isotrope Werkstoffe gerne eingesetzt, denn sie gestatten die Werkstoffeigenschaften an die Belastung anzupassen. Unter anderem die geringe Dichte bei hoher Festigkeit in Belastungsrichtung haben zu einer starken Zunahme der Nutzung der faserverstärkten Kunststoffe geführt. Durch Schädigung verlieren diese Werkstoffe im Allgemeinen ihre transversale Isotropie.

Symmetriegruppe

Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) ist gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials: Bei der transversalen Isotropie sind dies beliebige Drehungen um die Vorzugsrichtung oder 180-Grad-Drehungen senkrecht zur Vorzugsrichtung. Diese Drehungen bilden die Symmetriegruppe des transversal isotropen Materials.

Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen zwei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung. Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst beliebig parallel zur Vorzugsrichtung oder um 180 Grad senkrecht dazu. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei transversal isotropem Material wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten.

Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten Experiment um einen anderen Winkel als 180 Grad senkrecht zur Vorzugsrichtung dreht. Wenn nicht der Spezialfall der Isotropie vorliegt, wird man nun immer eine andere Verformung messen als im ersten Experiment.

Transversal isotrope Elastizität

Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff zeichnet sich dadurch aus, dass in seiner Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix die Koppelterme nicht besetzt sind. Schubspannungen in Ebenen parallel oder senkrecht zur Vorzugsrichtung führen nicht zu Normaldehnungen. In einem solchen Material existiert eine Orthonormalbasis ${\hat{e}}_{1,2,3}$ in der die Spannungs-Dehnungs-Beziehung

$\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{33}\\ 2{\epsilon }_{23}\\ 2{\epsilon }_{31}\\ 2{\epsilon }_{12}\end{array}\right]=\underset{=:S}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E_1}& -\frac{{\nu }_{21}}{E_2}& -\frac{{\nu }_{31}}{E_3}& & & \\ -\frac{{\nu }_{12}}{E_1}& \frac{1}{E_2}& -\frac{{\nu }_{32}}{E_3}& & & \\ -\frac{{\nu }_{13}}{E_1}& -\frac{{\nu }_{23}}{E_2}& \frac{1}{E_3}& & & \\ & & & \frac{1}{G_{23}}& & \\ & & & & \frac{1}{G_{13}}& \\ & & & & & \frac{1}{G_{12}}\end{array}\right]}}\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]$

mit der gezeigten Nachgiebigkeitsmatrix $S$ zwischen den Spannungen ${\sigma }_{ij}$ und den Dehnungen ${\epsilon }_{ij}$ vorliegt. Die Dimensionen der Elastizitätsmoduln $E_1,E_2,E_3$ und Schubmoduln $G_{12},G_{23},G_{13}$ sind Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen ${\nu }_{ij}$ dimensionslos sind. Die Indizes der Querkontraktionszahlen sind sorgfältig definiert durch das negative Verhältnis der Normaldehnung ${\epsilon }_{jj}$ in j-Richtung (Wirkung) zu derjenigen ${\epsilon }_{ii}$ in i-Richtung bei Zug in i-Richtung (Ursache):

${\nu }_{ij}=\frac{-{\epsilon }_{jj}}{{\epsilon }_{ii}}$

Materialparameter

Die zwölf in der obigen Nachgiebigkeitsmatrix vorkommenden Kennwerte ergeben sich bei transversal isotroper, linearer Elastizität aus nur fünf Materialparametern, die in Versuchen an makroskopischen Proben ermittelt werden können:

Formelzeichen	Bedeutung
$E_{\Vert }$	Elastizitätsmodul in Vorzugsrichtung
$E_{\mathrm{\perp }}$	Elastizitätsmodul senkrecht zur Vorzugsrichtung
$\nu$	Querkontraktionszahl bei Zug in Vorzugsrichtung
$G_{\Vert }$	Schubmodul in Ebenen parallel zur Vorzugsrichtung
$G_{\mathrm{\perp }}$	Schubmodul in der isotropen Ebene

Aufgrund der transversalen Isotropie sind die folgenden Ausdrücke im 1-2-3-System identisch:

$\begin{array}{lcl}{E}_1& =& E_{\Vert }\\ E_2=E_3& =& E_{\mathrm{\perp }}\\ G_{12}=G_{13}& =& G_{\Vert }\\ G_{23}& =& G_{\mathrm{\perp }}\\ {\nu }_{12}={\nu }_{13}& =& \nu \\ {\nu }_{21}={\nu }_{31}& & \\ {\nu }_{23}={\nu }_{32}& & \end{array}$

Aus thermodynamischen Gründen (vergleiche Cauchy-Elastizität und Hyperelastizität) ist die Nachgiebigkeitsmatrix symmetrisch und legt so

$\frac{{\nu }_{21}}{E_2}=\frac{{\nu }_{12}}{E_1}\leftrightarrow {\nu }_{21}={\nu }_{31}=\frac{E_{\mathrm{\perp }}}{E_{\Vert }}\nu$

fest. Die Querkontraktionszahl in der Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung ist schließlich durch die Isotropieannahme gebunden:

$G_{\mathrm{\perp }}=\frac{E_{\mathrm{\perp }}}{2(1+{\nu }_{23})}\to {\nu }_{23}={\nu }_{32}=\frac{E_{\mathrm{\perp }}}{2G_{\mathrm{\perp }}}-1.$

So sind alle zwölf Kennwerte auf die fünf Materialparameter zurückgeführt. Isotropie stellt sich mit

$\begin{array}{lcl}{E}_1& =& E_2=E\\ G_{12}& =& G_{23}=G=\frac{E}{2(1+\nu )}\end{array}$

als Spezialfall ein.

Spannungs-Dehnungs-Beziehung

Damit lautet das Elastizitätsgesetz bei tranversal isotroper, linearer Elastizität:

$\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{33}\\ 2{\epsilon }_{23}\\ 2{\epsilon }_{31}\\ 2{\epsilon }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}\frac{1}{E_1}& -\frac{{\nu }_{12}}{E_1}& -\frac{{\nu }_{12}}{E_1}& 0& 0& 0\\ & \frac{1}{E_2}& -\frac{{\nu }_{23}}{E_2}& 0& 0& 0\\ & & \frac{1}{E_2}& 0& 0& 0\\ & & & \frac{1}{G_{23}}& 0& 0\\ & \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}& & & \frac{1}{G_{12}}& 0\\ & & & & & \frac{1}{G_{12}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]$

zwischen den Spannungen ${\sigma }_{ij}$ und den Dehnungen ${\epsilon }_{ij}$. Durch Invertierung der Nachgiebigkeitsmatrix erhält man die Steifigkeitsmatrix:

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{33}\\ {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{C}_{1111}& 2{\nu }_{12}(\lambda +G_{23})& 2{\nu }_{12}(\lambda +G_{23})& 0& 0& 0\\ & \lambda +2G_{23}& \lambda & 0& 0& 0\\ & & \lambda +2G_{23}& 0& 0& 0\\ & & & G_{23}& 0& 0\\ & \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}& & & G_{12}& 0\\ & & & & & G_{12}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{33}\\ 2{\epsilon }_{23}\\ 2{\epsilon }_{13}\\ 2{\epsilon }_{12}\end{array}\right]$

mit

$\begin{array}{lcl}\lambda & =& \frac{{\nu }_{12}{\nu }_{21}+{\nu }_{23}}{(1-{\nu }_{23}-2{\nu }_{12}{\nu }_{21})(1+{\nu }_{23})}{E}_2\\ C_{1111}& =& \frac{1-{\nu }_{23}}{1-{\nu }_{23}-2{\nu }_{12}{\nu }_{21}}{E}_1\end{array}$.

Diese für kleine Dehnungen in voigtscher Notation geschriebene lineare Matrizengleichung zwischen Spannungen und Dehnungen lässt sich mit Hyperelastizität auf nichtlinear elastisches transversal isotropes Verhalten verallgemeinern.

Stabilitätskriterien

Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen. Dies führt auf die Bedingungen:

• Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und
• die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).

Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten. Die Stabilitätskriterien lauten:

$\begin{array}{l}{E}_1,E_2,G_{12},G_{23}>0\\ |{\nu }_{23}|<1\\ |{\nu }_{12}|<\sqrt{\frac{E_1}{E_2}}\to 1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}>0\\ 1-{\nu }_{23}-2{\nu }_{12}{\nu }_{21}>0\end{array}$

Wenn die linke Seite der letzten Ungleichung gegen null geht, setzt das Material einer hydrostatischen Kompression zunehmend Widerstand entgegen. Aus der Symmetrie-Beziehung folgt ergänzend:

$|{\nu }_{21}|<\sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.

Beispiel

Zug einer transversal isotropen Materialprobe mit einer Kraft $\mathrm{F}$ in einem Winkel $\alpha$ zur Vorzugsrichtung

Beispiel für die Richtungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls und der Querdehnzahlen bei transversaler Isotropie

Ein transversal isotroper linear elastischer Werkstoff habe die Kennwerte

$\begin{array}{lcl}{E}_1& =& 2000\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\\ E_2& =& 1000\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\\ G_{12}& =& 700\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\\ G_{23}& =& 350\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}\\ {\nu }_{12}& =& 0,25\end{array}$

Die Stabilitätskriterien werden erfüllt:

$\begin{array}{l}{E}_1,E_2,G_{12},G_{23}>0\\ |{\nu }_{23}|={\nu }_{23}=\frac{E_2}{2G_{23}}-1=0,4285\dots <1\\ |{\nu }_{12}|=0,25<\sqrt{\frac{E_1}{E_2}}=1,4142\dots \\ |{\nu }_{21}|={\nu }_{12}\frac{E_2}{E_1}=0,125<\sqrt{\frac{E_2}{E_1}}=0,7071\dots \\ 1-{\nu }_{12}{\nu }_{21}=0,96875>0\\ 1-{\nu }_{23}^2=0,8163\dots >0\\ (1-{\nu }_{23}-2{\nu }_{12}{\nu }_{21})(1+{\nu }_{23})=0,7270\dots >0\end{array}$.

Wird eine Probe dieses Materials wie im oberen Bild in einem Winkel $\alpha$ zur Vorzugsrichtung einaxial belastet, würde man den Elastizitätsmodul und die Querdehnzahlen, wie im unteren Bild gezeigt, messen. Bei Isotropie wären die Kurven konzentrische Kreise.

Siehe auch

• Werkstoffeigenschaften
• Materialmodell
• Kontinuumsmechanik

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik: Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer, 2012, ISBN 3-642-24119-0. 
• H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996, ISBN 3-342-00681-1. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X. 

Weblinks

Wiktionary: transversal – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: isotrop – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen