Relativistischer Impuls

Bei Stößen und anderen Wechselwirkungen von Teilchen erweist sich der Impuls als additive Erhaltungsgröße: Die Summe der anfänglichen Impulse stimmt mit der Summe der Impulse nach der Wechselwirkung überein.

In der speziellen Relativitätstheorie hängt der Impuls $\mathbf{𝐩}$ eines Teilchens der Masse $m$ nichtlinear von der Geschwindigkeit $\mathbf{𝐯}$ ab:

$\mathbf{𝐩}=\gamma m\mathbf{𝐯}=\frac{m\mathbf{𝐯}}{\sqrt{1-\frac{{\mathbf{𝐯}}^2}{c^2}}}$

Dabei ist $\gamma$ der Lorentzfaktor.

Für nicht-relativistische Geschwindigkeiten $(v\ll c)$ ist $\gamma$ gleich 1. So erhält man für kleine Geschwindigkeiten annähernd den klassischen Impuls wie in der Newtonschen Mechanik:

${\mathbf{𝐩}}_{\text{Newton}}=m\mathbf{𝐯}$

Nach dem Noether-Theorem gehört zur Impulserhaltung die Symmetrie der Wirkung unter räumlichen Verschiebungen.

Wird durch eine Kraft $\mathbf{𝐅}$ Impuls im Laufe der Zeit auf ein Teilchen übertragen, so ändert sich dadurch sein Impuls. Kraft ist Impulsübertrag pro Zeit:

$\mathbf{𝐅}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{𝐩}}{\mathrm{d}t}$

Herleitung

Wie der Impuls und die Energie eines Teilchens der Masse $m$ in relativistischer Physik von der Geschwindigkeit $\mathbf{𝐯}$ abhängen, folgt daraus, dass diese Größen für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sind.

Es ergibt sich auch aus der Wirkung

$S[\mathbf{𝐗}]=\int {ℒ}(t,\mathbf{𝐱}(t),\frac{\mathrm{d}\mathbf{𝐱}}{\mathrm{d}t}(t))\mathrm{d}t$

mit der Lagrangefunktion

${ℒ}(t,\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐯})=-m{c}^2\sqrt{1-\frac{{\mathbf{𝐯}}^2}{c^2}}.$

Da die Lagrangefunktion nicht vom Ort $\mathbf{𝐱}$ abhängt, (das heißt, die Komponenten $x^i,i=1,2,3,$ sind zyklisch), ist die Wirkung invariant unter räumlichen Verschiebungen. Die nach dem Noether-Theorem zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß der Impuls. Im vorliegenden Fall ist dies der zu $\mathbf{𝐱}$ konjugierte Impuls mit Komponenten

$p_i=\frac{\partial {ℒ}}{\partial v^i}=\frac{m{v}^i}{\sqrt{1-{\mathbf{𝐯}}^2/c^2}},$ also

$\mathbf{𝐩}=\frac{m\mathbf{𝐯}}{\sqrt{1-{\mathbf{𝐯}}^2/c^2}}.$

Da die Lagrangefunktion nicht von der Zeit $t$ abhängt, ist nach dem Noether-Theorem die Energie

$E=v^i\frac{\partial {ℒ}}{\partial v^i}-{ℒ}=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-{\mathbf{𝐯}}^2/c^2}}$

erhalten. Fassen wir hier die Geschwindigkeit als Funktion des Impulses auf,

$\mathbf{𝐯}=\frac{\mathbf{𝐩}}{\sqrt{m^2+{\mathbf{𝐩}}^2/c^2}},$

wie sie sich umgekehrt aus $\mathbf{𝐩}(\mathbf{𝐯})$ ergibt, so erhalten wir die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, die Hamilton-Funktion

$H(t,\mathbf{𝐱},\mathbf{𝐩})=\sqrt{m^2{c}^4+{\mathbf{𝐩}}^2{c}^2}.$

Die Energie und der Impuls erfüllen also die Energie-Impuls-Beziehung und liegen auf der Massenschale.