Oszillatormodell

Das Oszillatormodell ist ein Modell zur Beschreibung der Streuung von Licht an Atomen.

Dazu geht man von einem externen harmonischen elektrischen Feld aus:

$\overrightarrow{E}(t)={\overrightarrow{E}}_0\cdot e^{-i\omega t}$

Auf ein Elektron im Atom wirkt dann die Kraft

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{F}& =q\cdot \overrightarrow{E}(t)\\ & =-e\cdot \overrightarrow{E}(t)\end{array}$

mit der Elementarladung $e$.

Als Bewegungsgleichung setzt man die eines gedämpften harmonischen Oszillators an:

$m_e\cdot \ddot{\overrightarrow{r}}+m_e\cdot \mathrm{\Gamma }\cdot \dot{\overrightarrow{r}}+m_e\cdot {\omega }_0^2\cdot \overrightarrow{r}=-e\cdot \overrightarrow{E}(t)$

mit

• der Masse $m_e$ des Elektrons
• der Dämpfung $\mathrm{\Gamma }$ (Atomstöße, Strahlungsverluste etc.)
• der Eigenfrequenz ${\omega }_0$.

Nach einiger Zeit sind die Einschwingprozesse abgeklungen und die Elektronen schwingen mit der Kreisfrequenz $\omega$ des erregenden externen Feldes. Für diese inhomogene Lösung machen wir den Ansatz:

${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}}(t)=\overrightarrow{a}\cdot e^{-i\omega t}$

mit der (konstanten) komplexen Amplitude $\overrightarrow{a}$.

Setzt man dies in die Bewegungsgleichung ein, so erhält man für das atomare Dipolmoment:

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{p}(t)& ={\alpha }_e(\omega )\cdot \overrightarrow{E}(t)\\ & =\frac{e^2/m_e}{{\omega }_0^2-{\omega }^2-i\mathrm{\Gamma }\omega }\cdot \overrightarrow{E}(t)\end{array}$

mit der elektrischen Polarisierbarkeit ${\alpha }_e$.

Wirkungsquerschnitte

Aus diesen Überlegungen erhält man den differentiellen Wirkungsquerschnitt für die Streuung von Licht:

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}={\left(\frac{e^2}{m_e{c}^2}\right)}^2\cdot \frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2{\omega }^2}\cdot {\sin }^2\theta$

Hierbei ist $\theta$ der Winkel zwischen Dipolmoment und Beobachtungspunkt. Dies hat die Form einer Resonanzkurve.

Daraus ergibt sich der totale Wirkungsquerschnitt zu:

$\sigma (\omega )=\frac{8\pi }{3}\cdot {\left(\frac{e^2}{m_e{c}^2}\right)}^2\cdot \frac{{\omega }^4}{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+{\mathrm{\Gamma }}^2{\omega }^2}$

Daraus ergeben sich folgende Grenzfälle:

• $\omega \gg {\omega }_0$: Thomson-Streuung
• $\omega ={\omega }_0$: Resonanzfluoreszenz
• $\omega \ll {\omega }_0$: Rayleigh-Streuung.

Siehe auch

• Lorentz-Oszillator