Navier-Cauchy-Gleichungen

Die Navier-Cauchy-, Navier- oder Lamé-Navier-Gleichungen (nach Claude Louis Marie Henri Navier, Augustin-Louis Cauchy und Gabriel Lamé) sind ein mathematisches Modell der Bewegung – inklusive Deformation – von elastischen Festkörpern. Bei der Herleitung der Modellgleichungen wird sowohl geometrische- als auch physikalische Linearität (lineare Elastizität) vorausgesetzt. Die Gleichungen lauten:

$\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=G[\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}+\frac{1}{1-2\nu }\mathrm{grad}(\mathrm{div}(\overrightarrow{u})\left)\right]+\rho \overrightarrow{k}\iff \rho \frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2}=G\sum _{k=1}^3[\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_k^2}+\frac{1}{1-2\nu }\frac{{\partial }^2{u}_k}{\partial x_i\partial x_k}]+\rho k_i,i=1,2,3.$

Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems. Es handelt sich um ein partielles Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung in drei unbekannten Verschiebungen $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{x},t),$ die im Allgemeinen sowohl vom Ort $\overrightarrow{x}$ als auch von der Zeit t abhängen. Verschiebungen sind die Wege, die die Partikel eines Körpers bei einer Bewegung – inklusive Deformation – zurücklegen. Die Materialparameter ρ, G und ν sind die Dichte, der Schubmodul und die Querkontraktionszahl, grad, div und Δ der Gradienten-, Divergenz- und Laplace-Operator und $\rho \overrightarrow{k}$ repräsentiert eine volumenverteilte Kraft, wie die Schwerkraft eine ist.

Jedes Material im festen Aggregatzustand hat einen mehr oder weniger ausgeprägten linear-elastischen Bereich, zumindest bei kleinen und langsamen Verformungen, die bei vielen Anwendungen, vor allem im technischen Bereich, vorliegen.

Historisches

Claude Louis Marie Henri Navier leitete diese, nach ihm benannte Gleichung 1821 aus einem molekularen Modell ab, dass auf Materialien mit identischen ersten und zweiten Lamé-Konstanten beschränkt ist. Die allgemeinere, hier vorgestellte Gleichung mit zwei verschiedenen Elastizitätskonstanten, erschien erstmals in einer Arbeit von Cauchy 1828.

Herleitung

Ausgangspunkt ist das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz bei kleinen Verschiebungen

$\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=\mathrm{div}(\mathit{\sigma })+\rho \overrightarrow{k},$

das der Impulsbilanz entspricht. Zusätzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt hier der in Folge der Drehimpulsbilanz symmetrische Spannungstensor $\mathit{\sigma }$ auf. Dessen Abhängigkeit von den Verschiebungen ergibt sich mit dem linearisierten Verzerrungstensor

$\mathit{\epsilon }=\frac{1}{2}(\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }})$

aus dem Hooke’schen Gesetz:

$\begin{array}{rl}\mathit{\sigma }=& 2G[\mathit{\epsilon }+\frac{\nu }{1-2\nu }\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathit{\epsilon })\mathbf{𝐈}]=G[\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }}+\frac{\nu }{1-2\nu }\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }})\mathbf{𝐈}]\\ =& G[\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }}+\frac{2\nu }{1-2\nu }\mathrm{div}(\overrightarrow{u})\mathbf{𝐈}]\end{array}$

Das Superskript $\mathrm{\top }$ steht für die Transposition, I für den Einheitstensor und der Operator Sp extrahiert die von der Transposition unbeeinflusste Spur, die bei einem Gradient eines Vektorfeldes gleich der Divergenz des Vektorfeldes ist. Die im ersten Cauchy-Eulerschen Bewegungsgesetz auftretende Divergenz wird bereitgestellt:

$\begin{array}{rl}\mathrm{div}(\mathit{\sigma })=& G[\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{u}))+\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }})+\frac{2\nu }{1-2\nu }\mathrm{div}(\mathrm{div}(\overrightarrow{u})\mathbf{𝐈})]\\ =& G[\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}+\frac{1}{1-2\nu }\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))]\end{array}$

In Kombination mit dem obigen Bewegungsgesetz $(\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=\mathrm{div}(\mathit{\sigma })+\rho \overrightarrow{k})$ führt das auf die Navier-Cauchy-Gleichungen:

$\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=G[\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}+\frac{1}{1-2\nu }\mathrm{grad}(\mathrm{div}(\overrightarrow{u})\left)\right]+\rho \overrightarrow{k}=\mu \mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}+(\lambda +\mu )\mathrm{grad}(\mathrm{div}(\overrightarrow{u}))+\rho \overrightarrow{k}.$

In der rechten Gleichung wurden alternativ die erste und zweite Lamé-Konstante λ und μ eingesetzt. Gelegentlich ist es bequem noch die Identität $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}=\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))-\mathrm{rot(rot}(\overrightarrow{u}))$ auszunutzen:

$\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=(\lambda +2\mu )\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))-\mu \mathrm{rot(rot}(\overrightarrow{u}))+\rho \overrightarrow{k}.$

Der Operator rot bildet die Rotation eines Vektorfeldes.

Randbedingungen

Im konkreten Berechnungsfall der Navier-Cauchy-Gleichungen sind Randbedingungen zu definieren. Als geometrische oder Dirichlet-Randbedingungen werden in den Auflagern die Verschiebung vorgegeben, oftmals ganz unterdrückt. Die dynamischen oder Neumann-Randbedingungen entsprechen flächenverteilten Kräften $\overrightarrow{t}$ (Vektoren mit der Dimension Kraft pro Fläche), die auf Oberflächen des Körpers wirken.

Lösungsmethoden

Für einfache Fälle, siehe das Beispiel unten, gerade Stäbe und ebene Scheiben können analytische Lösungen angegeben werden. Bei unregelmäßig geformten Körpern bietet sich als numerisches Werkzeug die Verschiebungsmethode in der Finite-Elemente-Methode an.

Spezialfälle

Harmonische Schwerkraft

Im Gleichgewicht schreiben sich die Navier-Cauchy-Gleichungen

$\overrightarrow{0}=(\lambda +2\mu )\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))-\mu \mathrm{rot(rot}(\overrightarrow{u}))+\rho \overrightarrow{k}.$

Die Divergenz und Rotation dieser Gleichung liefern:

$\begin{array}{rl}(\lambda +2\mu )\mathrm{\Delta }\mathrm{div}(\overrightarrow{u})=(\lambda +2\mu )\mathrm{div}(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u})=& -\mathrm{div}(\rho \overrightarrow{k})\\ \mu \mathrm{rot}(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u})=& -\mathrm{rot}(\rho \overrightarrow{k})\end{array}$

Wenn die Schwerkraft $\rho \overrightarrow{k}$ sowohl divergenz- als auch rotationsfrei ist, dann resultiert

$\mathrm{div}(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u})=0\text{und}\mathrm{rot}(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}.$

Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwinden, ist harmonisch, so dass im Gleichgewicht von $\mathrm{div}(\rho \overrightarrow{k})=0$ und $\mathrm{rot}(\rho \overrightarrow{k})=\overrightarrow{0}$ auf

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

geschlossen werden kann. Letzteres ist die sogenannte biharmonische Differentialgleichung.

Inkompressibilität

Bei Inkompressibilität verschwindet die Spur des Verzerrungstensors, denn sie gibt die Volumendehnung an:

$\mathrm{Sp}(\mathit{\epsilon })=\frac{1}{2}\mathrm{Sp}(\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }})=\mathrm{Sp}(\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}))=\mathrm{div}(\overrightarrow{u})=0.$

Bei Inkompressibilität ist der Kugel-Anteil des Spannungstensors unbestimmt und wird zum Drucktensor zusammengefasst:

$\mathit{\sigma }=-p\mathbf{𝐈}+2G\mathit{\epsilon }=-p\mathbf{𝐈}+G\mathrm{grad}(\overrightarrow{u})+G\mathrm{grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }}.$

Der Skalar p ist der Druck, der sich erst im konkreten Berechnungsfall aus den Randbedingungen und Naturgesetzen ergibt. Für die Divergenz des Spannungstensors hat dies die Konsequenz (siehe die obigen Anmerkungen):

$\begin{array}{rl}\to \mathrm{div}(\mathit{\sigma })=& -\mathrm{div}(p\mathbf{𝐈})+G\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{u}))+G\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{u}{)}^{\mathrm{\top }})\\ =& -\mathrm{grad}(p)+G\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))+G\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}\\ =& -\mathrm{grad}(p)+G\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}\end{array}$

Das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz schreibt sich dann

$\rho \ddot{\overrightarrow{u}}=\mathrm{div}(\mathit{\sigma })+\rho \overrightarrow{k}=-\mathrm{grad}(p)+G\mathrm{\Delta }\overrightarrow{u}+\rho \overrightarrow{k}.$

Zu diesen drei Gleichungen in den vier Unbekannten $\{p,\overrightarrow{u}\}$ wird noch $\mathrm{div}(\overrightarrow{u})=0$ zum Abschluss benötigt.

Wellengleichungen

Gemäß dem Helmholtz-Theorem lässt sich jedes Vektorfeld eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen:

$\overrightarrow{u}={\overrightarrow{u}}_l+{\overrightarrow{u}}_t\text{mit}\mathrm{rot}({\overrightarrow{u}}_l)=\overrightarrow{0}\text{und}\mathrm{div}({\overrightarrow{u}}_t)=0.$

Dies in die Navier-Cauchy-Gleichung eingesetzt und Division durch die Dichte ergibt bei vernachlässigbarer Schwerkraft:

$\ddot{\overrightarrow{u}}=\frac{\lambda +2\mu }{\rho }\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{u}))-\frac{\mu }{\rho }\mathrm{rot(rot}(\overrightarrow{u}))=:c_l^2\mathrm{grad(div}({\overrightarrow{u}}_l))-c_t^2\mathrm{rot(rot}({\overrightarrow{u}}_t)),$

Die Faktoren c_l und c_t haben die Dimension einer Geschwindigkeit. Für den rotationsfreien Anteil gibt es ein Skalarpotential, dessen Gradientenfeld er ist, und für den divergenzfreien Anteil existiert ein Vektorfeld, dessen Rotation er ist:

${\overrightarrow{u}}_l=\mathrm{grad}(\phi ),{\overrightarrow{u}}_t=\mathrm{rot}(\overrightarrow{a}).$

Mit $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{\circ }\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\circ }\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}-\mathrm{\Delta }$ zeigt sich so:

$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{grad}(\phi )+\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{rot}(\overrightarrow{a})=& c_l^2\mathrm{grad(div(grad}(\phi )))-c_t^2\mathrm{rot(rot(rot}(\overrightarrow{a})))\\ =& c_l^2\mathrm{grad}(\mathrm{\Delta }\phi )-c_t^2\mathrm{grad(div(rot}(\overrightarrow{a})))+c_t^2\mathrm{\Delta }\mathrm{rot}(\overrightarrow{a})\\ =& c_l^2\mathrm{grad}(\mathrm{\Delta }\phi )+c_t^2\mathrm{rot}(\mathrm{\Delta }\overrightarrow{a})\end{array}$

oder

$\mathrm{grad}(\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-c_l^2\mathrm{\Delta }\phi )+\mathrm{rot}(\frac{{\partial }^2\overrightarrow{a}}{\partial t^2}-c_t^2\mathrm{\Delta }\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}.$

Diese Gleichung wird gewiss erfüllt, wenn die in den Klammern stehenden Terme verschwinden, die Wellengleichungen darstellen:

$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}-c_l^2\mathrm{\Delta }\phi =& 0\\ \frac{{\partial }^2\overrightarrow{a}}{\partial t^2}-c_t^2\mathrm{\Delta }\overrightarrow{a}=& \overrightarrow{0}.\end{array}$

Die obere Gleichung beschreibt Longitudinalwellen, die sich mit der Geschwindigkeit

$c_l=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }}$

ausbreiten und die untere Transversalwellen, die sich mit der Geschwindigkeit

$c_t=\sqrt{\frac{\mu }{\rho }}$

ausbreiten. Wegen $c_l>c_t$ werden Longitudinalwellen als P-Wellen (Primärwellen) und die Transversalwellen als S-Wellen (Sekundärwellen) bezeichnet, denn diese treffen später ein.

Beispiel

Longitudinalwelle eines elastischen Stabes im zweiten Mode

Bei der Longitudinalwelle des geraden Stabes, der in 1-Richtung liegt (im Bild senkrecht), bewegen sich alle Querschnittsflächen parallel zur 1-Richtung und Schubverzerrungen treten nicht auf. Das Verschiebungsfeld liege in der Form

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1(x_1,t)\\ u_2(x_2,t)\\ u_3(x_3,t)\end{array}\right)$

vor. Unter Vernachlässigung der Schwerebeschleunigung lauten die Navier-Cauchy-Gleichungen:

$\begin{array}{rlr}\rho \frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial t^2}& =& G[\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_3^2}+\frac{1}{1-2\nu }(\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_1\partial x_1}+\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_1\partial x_3})]\\ \rho \frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial t^2}& =& G[\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_3^2}+\frac{1}{1-2\nu }(\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_2\partial x_1}+\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_2\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_2\partial x_3})]\\ \rho \frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial t^2}& =& G[\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_3^2}+\frac{1}{1-2\nu }(\frac{{\partial }^2{u}_1}{\partial x_3\partial x_1}+\frac{{\partial }^2{u}_2}{\partial x_3\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{u}_3}{\partial x_3\partial x_3})].\end{array}$

Mit dem obigen Verschiebungsansatz leitet sich in allen drei Raumrichtungen eine Gleichung der Form

$\rho \frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}=G(1+\frac{1}{1-2\nu })\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}=(\lambda +2\mu )\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial x^2}$

ab. Mit der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit

$c=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{\rho }}$

entsteht die Schwingungsgleichung für den geraden Stab:

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}u(x,t)=c^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}u(x,t).$

Der Produktansatz $u(x,t)=aT(t)U(x)+C$ mit freien Parametern a und C, die in der Gleichung oben harausfallen und der Anpassung an Randbedingungen dienen, sowie zwei noch zu bestimmenden Funktionen T und U ergibt:

$\ddot{T}U=c^{2}T{U}^{″}\to \frac{\ddot{T}}{T}=c^2\frac{U^{″}}{U}$

Der Strich ( )' gibt wie üblich die Ableitung nach der x-Koordinate wieder. Weil die Funktionen auf der linken Seite der letzten Gleichung nur von der Zeit und die auf der rechten Seite nur von der x-Koordinate abhängen, sind die Brüche Konstanten:

$\begin{array}{rlrl}\frac{\ddot{T}}{T}=& -{\omega }^2& \to T(t)=& \sin (\omega t+\alpha )\\ \frac{U^{″}}{U}=& -{\lambda }^2& \to U(x)=& u\sin (\lambda x+\beta )\\ -{\omega }^2=& -c^2{\lambda }^2& \to \omega =& c\lambda .\end{array}$

Die Amplitude der Funktion T und der Faktor a werden der Amplitude u der Funktion U zugeschlagen. Werte für die Kreisfrequenz ω mit umgekehrten Vorzeichen sind zwar möglich, führen aber auf gleichwertige Lösungen. Die Amplitude u, die Verschiebung C, die Kreisfrequenzen ω und λ sowie die Phasenwinkel α und β müssen an die Anfangs- und Randbedingungen angepasst werden.

Bei fester Einspannung ist

$U(x_0)=u\sin (\lambda x_0+\beta )=0\to \beta =-\lambda x_0.$

Andere Werte für β sind zwar möglich, führen aber auf gleichwertige Lösungen und Translationen werden mit dem Parameter C realisiert. An einem freien Ende bei x=x₀ wird die Normalkraft $N=EA{U}^{\prime }(x_0)$ vorgegeben, wo der Faktor E der Elastizitätsmodul und A die Querschnittsfläche des Stabes ist. So wird mit der Kraft die Ableitung der Funktion U am freien Ende festgelegt:

$U^{\prime }(x_0)=u\lambda \cos (\lambda x_0+\beta )=\frac{N}{EA}$

Im konkreten Fall hier, wird anfänglich maximale Auslenkung mit

$T(0)=\sin (\alpha )=1\to \alpha =\frac{\pi }{2}\to T(t)=\cos (\omega t),$

feste Einspannung in C=x=0, ein unbelastetes freies Ende bei x=L und anfängliche Auslenkung am freien Ende um R angenommen:

$\begin{array}{rl}U(0)=& 0\to \beta =0\\ U^{\prime }(L)=& u\lambda \cos (\lambda L)\equiv 0\to \lambda =\frac{(2n-1)\pi }{2L}=\frac{\omega }{c}\\ U(L)=& R=u\sin \left(\frac{(2n-1)\pi }{2}\right)=(-1{)}^{n+1}u.\end{array}$

Der Zähler $n=1,2,\dots$ beziffert den Schwingungsmode. Die finale Form der Bewegungsfunktion ist somit:

$u(x,t)=(-1{)}^{n+1}R\cos \left(\frac{(2n-1)\pi }{2}\frac{ct}{L}\right)\sin \left(\frac{(2n-1)\pi }{2}\frac{x}{L}\right).$

Das Bild zeigt die mit den Parametern aus der Tabelle berechnete Lösung.

Parameter	Länge L	Endverschiebung R	Mode n	Wellengeschw. c
Einheit	mm	mm	-	mm/s
Wert	100	10	2	1

Siehe auch

• Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik)
• Navier-Stokes-Gleichungen
• Formelsammlung Tensoranalysis
• Formelsammlung Tensoralgebra

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5. 

Weblinks

• Lamé-Navier’sche Gleichungen. (html) Abgerufen am 30. Oktober 2015 (deutsch).