Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung dieser Dichte nach der Zeit verschwindet:

$\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^N[\frac{\partial \rho }{\partial q_i}{\dot{q}}_i+\frac{\partial \rho }{\partial p_i}{\dot{p}}_i]=0$

wobei

• $q_i$ die kanonischen Ortskoordinaten
• $p_i$ die kanonischen Impulskoordinaten

bezeichnen, jeweils des $i$-ten Teilchens im Phasenraum.

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man ${\dot{q}}_i$ und ${\dot{p}}_i$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial t}\rho (\tau ,t)& =-\{\rho (\tau ,t),H\}\\ & =+\{H,\rho (\tau ,t)\}\end{array}$

wobei

• H die Hamilton-Funktion
• $\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Bei Einführung des Liouvilleoperators

$L=\sum _{i=1}^n[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i}]=\{\cdot ,H\}$

kann die Liouvillegleichung auch wie folgt geschrieben werden:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-L\rho$

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{i}{\hslash }[\rho ,H]$

Hier bezeichnet

• $i$ die imaginäre Einheit
• $\hslash$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
• $\rho$ die Dichtematrix
• $H$ den Hamilton-Operator
• die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator $L$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $A$:

$LA=\frac{i}{\hslash }[A,H]$

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=L\rho$

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

$\lim {}_{\hslash \to 0}\frac{i}{\hslash }[\hat{A},\hat{B}]=\{A_w,B_w\}$

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004