Hohmann-Transfer

Datei:Hohmann transfer orbit.svg

Die Hohmann-Bahn (gelb) verbindet zwei Kreisbahnen, z. B. eine erdnahe Bahn (grün, $r_e=R$) mit dem geostationären Orbit (rot, $r_a=R^{\prime }$, nicht maßstäblich).

Der Hohmann-Transfer ist ein energetisch günstiger Übergang zwischen zwei Bahnen um einen dominierenden Himmelskörper. Die Transfer-Ellipse (Hohmann-Bahn) verläuft sowohl zur Ausgangsbahn als auch zur Zielbahn tangential; dort ist jeweils ein Kraftstoß () nötig um die Geschwindigkeit anzupassen ($\mathrm{\Delta }{v}_e$ bzw. $\mathrm{\Delta }{v}_a$). Eine solche Skizze findet sich bereits um 1911 bei Ziolkowski. 1925 wurde dieser Transfer von Walter Hohmann als optimal angesehen. Für koplanare, kreisförmige Ausgangs- und Zielbahnen mit einem Radiusverhältnis unter 11,94 ist er das auch, für extremere Verhältnisse und stark gegeneinander geneigte oder gar gegenläufige Bahnen ist ein bi-elliptischer Transfer energetisch günstiger.

Den idealisierenden Voraussetzungen nahe kommt die Aufgabe, Satelliten aus einer erdnahen in eine geostationäre Umlaufbahn zu bringen, siehe geostationäre Transferbahn. Für Flüge zum Mond oder benachbarten Planeten ist die Zentralfeld-Näherung weniger gut – mit Swing-by-Manövern und zeitraubenden Umwegen lässt sich gegenüber dem analytisch gefundenen Hohmann-Transfer Treibstoff sparen.

Berechnung am Beispiel des Transfers auf die geostationäre Bahn

→ Hauptartikel: Geostationäre Transferbahn

Um Satelliten geostationär zu positionieren, werden diese oft zunächst auf eine kreisförmige, niedrige Umlaufbahn gebracht, (LEO), siehe (1) in der Grafik. Ein erster Kraftstoß ($\mathrm{\Delta }{v}_e$) bringt den Satelliten auf die elliptische Hohmann-Bahn (2), deren Apogäum im Bereich des Zielorbits (3) liegt. Dort erhöht ein weiterer Kraftstoß ($\mathrm{\Delta }{v}_a$) auch das Perigäum der Bahn, die damit wieder kreisförmig ist.

Geschwindigkeiten

Datei:Total energy during Hohmann transfer.png

Gesamtenergie-Bilanz beim Hohmann-Übergang zwischen zwei Kreisbahnen mit den Anfangsradius $r_e$ und Endradius $r_a$. Die schwarze Linie gibt die Energie für Kreisbahnen mit dem jeweiligen Radius an.

Nach der Vis-Viva-Gleichung beträgt die Geschwindigkeit v(r) eines Körpers am Ort r auf einer Ellipsenbahn mit der großen Halbachse a um die Erde:

(1) $v=\sqrt{\mu \cdot (\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$

mit $\mu =M\cdot \gamma$, wobei $M$ die Erdmasse und $\gamma$ die Gravitationskonstante sind. Bezeichnen $r_{\mathrm{e}}$ den Perigäums- bzw. LEO-Radius, $r_{\mathrm{a}}$ den Apogäums- bzw. GEO-Radius und $a=\frac{r_{\mathrm{e}}+r_{\mathrm{a}}}{2}$ die große Halbachse der Transferellipse, so gelten für die Ausgangsgeschwindigkeit v_LEO, Perigäumsgeschwindigkeit v_e, Apogäumsgeschwindigkeit v_a sowie Endgeschwindigkeit v_GEO die folgenden Gleichungen:

(2) $v_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}=\sqrt{\frac{\mu }{r_{\mathrm{e}}}}$

(3) $v_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{\mu }{r_{\mathrm{e}}}\cdot \frac{r_{\mathrm{a}}}{a}}=v_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}\cdot \sqrt{\frac{r_{\mathrm{a}}}{a}}>v_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}$

(4) $v_{\mathrm{a}}=\sqrt{\frac{\mu }{r_{\mathrm{a}}}\cdot \frac{r_{\mathrm{e}}}{a}}=v_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}\cdot \sqrt{\frac{r_{\mathrm{e}}}{a}}<v_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}$

(5) $v_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}=\sqrt{\frac{\mu }{r_{\mathrm{a}}}}$.

Zahlen

Folgende Werte seien gegeben:

$r_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}=r_{\mathrm{e}}=6.678\mathrm{k}\mathrm{m}$

gemessen vom Erdmittelpunkt bei einer Anfangsflughöhe von 300 km

$r_{\mathrm{a}}=r_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}=42.164\mathrm{k}\mathrm{m}$

$\mu =398.600{\mathrm{k}\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$

Dann betragen die gemäß obigen Gleichungen berechneten Bahngeschwindigkeiten:

(6) $v_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}=7,73\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

(7) $v_{\mathrm{e}}=10,2\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

(8) $v_{\mathrm{a}}=1,61\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

(9) $v_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}=3,07\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Daraus ergeben sich die beiden benötigten Geschwindigkeitsänderungen.

Für den Übergang vom LEO zur Transferellipse: $\mathrm{\Delta }{v}_e=v_{\mathrm{e}}-v_{\mathrm{L}\mathrm{E}\mathrm{O}}=2,47\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Für den Übergang von der Transferellipse zum GEO: $\mathrm{\Delta }{v}_a=v_{\mathrm{G}\mathrm{E}\mathrm{O}}-v_{\mathrm{a}}=1,46\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Energieaufwand in Abhängigkeit vom Radiusverhältnis

Datei:Hohmannbahn-Geschwindigkeitsänderung.jpg

die für den Hohmann-Transfer nötige Geschwindigkeitsänderung in Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsverhältnis von Ausgangs- und Zielorbit

Die Ellipse des Hohmann-Transfers wird durch die Geschwindigkeiten der Ausgangs- und Zielkreisbahn beschrieben. Um von einer Ausgangskreisbahn $r_e$ in die Ellipse überzugehen sowie am Ziel wieder in eine Kreisbahn $r_a$ zu gelangen, sind zwei Impulsstöße bzw. zwei Geschwindigkeitsänderungen $\mathrm{\Delta }{v}_e$, $\mathrm{\Delta }{v}_a$ notwendig. Zur Betrachtung des benötigten Energieaufwandes kann dann auch noch die gesamte Differenz $\mathrm{\Delta }v=\mathrm{\Delta }{v}_a+\mathrm{\Delta }{v}_e$ betrachtet werden. Die Transferellipse ist durch die Halbachse $\frac{r_a+r_e}{2}\text{ mit }{r}_a>r_e>0$ beschrieben.

$\mathrm{\Delta }{v}_e=v_e(\sqrt{\frac{2r_a}{r_e+r_a}}-1)$,

$\mathrm{\Delta }{v}_a=v_a(1-\sqrt{\frac{2r_e}{r_a+r_e}})$

Zur weiteren Diskussion ist es zweckmäßig die dimensionslose Größe $\frac{\mathrm{\Delta }v}{v_e}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_e}{v_e}+\frac{\mathrm{\Delta }{v}_a}{v_e}=\frac{\mathrm{\Delta }{v}_e}{v_e}+\frac{r_e}{r_a}\frac{\mathrm{\Delta }{v}_a}{v_a}$ zu betrachten. Mit der Hilfsgröße $R=\frac{r_a}{r_e}>0$ ergibt sich dann:

$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v_e}=(1-\frac{1}{R}){\left(\frac{2R}{1+R}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\frac{1}{R}\right)}^{\frac{1}{2}}-1$

Wann sich der Hohmann-Transfer als brauchbar erweist, lässt sich durch genauere Diskussion der Geschwindigkeitsänderung ermitteln. Durch Ableitung und Gleichsetzung mit Null kann ein Extremwert der Formel im letzten Abschnitt ermittelt werden:

$\frac{d(\mathrm{\Delta }v/v_e)}{dR}=\frac{1}{R^2}{\left[\frac{2R}{1+R}\right]}^{\frac{1}{2}}+\frac{R-1}{R(1+R{)}^2}{\left[\frac{2R}{1+R}\right]}^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2R^{\frac{3}{2}}}=0$

$\iff R^3-15R^2-9R-1=0$

Die einzige sinnvolle Lösung ergibt sich für $R=15,582$. Das Verhältnis $r_a/r_e$ für ein Maximum ist also durch den Zusammenhang: $r_e\cdot 15,582=r_a$ gegeben. Weiter ist die Ableitung für jedes $R>15,582$ streng monoton steigend. D. h., dass sich für jedes größere Verhältnis $r_a/r_e$ der Energieaufwand wieder verringert.

Beispiel

Transferbahn zum Mars

Datei:Hohmann transfer orbit2.jpg

Transfer Erde→Mars

Datei:MRO Transfer Orbit.png

Transferbahn einer Mars-Sonde

Der Mars ist der Erde in Oppositionsstellung am nächsten. Ein Satellit aber kann diese geometrische Nähe nur unter hohem Aufwand nutzen, da er in diesem Fall gegen die Bahnbewegung der Erde anfliegen muss.

Nach Hohmann dagegen ist der energetisch günstigste Transfer derjenige, bei dem der Satellit den Mars in Konjunktion zu der Position der Erde erreicht, von der aus der Satellit gestartet wurde. In der Abbildung links startet die Sonde auf der Erde bei (1) und erreicht den Mars bei Position (3), während die Sonne die ganze Zeit über in einem der Brennpunkte der Transferbahn (gelb) steht. Die doppelte Halbachse der Transferellipse ist die Summe aus der Entfernung Erde-Sonne und Sonne-Mars. Daraus ergibt sich nach dem dritten Keplerschen Gesetz eine halbe Umlaufzeit von achteinhalb Monaten.

Das Bild rechts zeigt die Transferbahn des Mars Reconnaissance Orbiters, die zwar einen höheren Energieaufwand als die Hohmann-Bahn erfordert (die Übergangsbahn führt über die Marsbahn hinaus), die Sonde dafür allerdings nur 7 Monate unterwegs ist.

Weak Stability Boundary

Soll der Zielplanet mit einer möglichst geringen Geschwindigkeit angeflogen werden, bietet das sogenannte Weak Stability Boundary-Verfahren einen weiteren Energiegewinn. Die Sonde wird abgebremst, indem sie entlang von Librationspunkten manövriert wird. Eine erste brauchbare Bahnberechnung erfolgte 1986. Die ESA-Sonde SMART-1 näherte sich nach dieser Methode dem Mond.

Siehe auch

• Hillsche Gleichungen

Literatur

• Pedro Ramon Escobal: Methods of astrodynamics. John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-24528-5. 
• Palmore: An Elementary Proof of the Optimality of Hohmann Transfer. Journal of Guidance, 1984. 

Weblinks

• Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries (PDF; 9,3 MB)
• Herleitung der Formel für die Bahngeschwindigkeit v eines sich in einem Kraftfeld auf elliptischer Bahn bewegenden Körpers
• Interplanetary Trajectories-Hohmann Transfer Orbits, jpl.nasa.gov, abgerufen am 4. November 2011