Formelsammlung Tensoralgebra

\sqrt[n]{x}

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.

Allgemeines

Notation

Operatoren wie $I_{1}$ werden nicht kursiv geschrieben.
Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
- $i, j, k, l, m, n \in {1, 2, 3}$ .
  Ausnahme:
  Die imaginäre Einheit $i^{2} = - 1$ und die #Vektorinvariante $\vec{i}$ werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben.
- $p, q, r, s \in {1, 2, \dots, 9}$
- $u, v \in {1, 2, \dots, 6}$
Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen.
Vektoren:
- Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum $𝕍$ .
- Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
- Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in $\hat{e}$ mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von $𝕍$ ist ${\hat{e}}_{1, 2, 3}$ .
- Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in $\vec{a}$ mit einem Pfeil versehen.
- Dreiergruppen von Vektoren wie in ${\vec{h}}_{1}, {\vec{h}}_{2}, {\vec{h}}_{3}$ oder ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$ bezeichnen eine rechtshändige Basis von $𝕍$ .
- Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$ ist dual zu ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$ .
Tensoren zweiter Stufe werden wie in $𝐀$ mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit $ℒ : = L i n (𝕍, 𝕍)$ bezeichnet. Tensoren vierter Stufe werden mit einer hochgestellten vier wie in $\overset{4}{𝐂}$ geschrieben und sind Elemente der Menge $\overset{4}{ℒ} : = L i n (ℒ, ℒ)$ .
Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
- Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in $c = a_{i} b^{i}$ wird über diesen Index summiert:
  $c = a_{i} b^{i} = \sum_{i = 1}^{3} a_{i} b^{i}$ .
- Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in $c = A_{p q} B_{q}^{p}$ wird über diese summiert:
  $c = A_{p q} B_{q}^{p} = \sum_{p = 1}^{9} \sum_{q = 1}^{9} A_{p q} B_{q}^{p}$ .
- Ein Index, der nur einfach vorkommt wie $u$ in $a_{u} = A_{u v} b_{v}$ , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
  $a_{u} = A_{u v} b_{v} \leftrightarrow a_{u} = \sum_{v = 1}^{6} A_{u v} b_{v} \forall u \in {1, \dots, 6}$ .

Glossar

Reservierte und besondere Symbole

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$𝐈$	#Einheitstensor	Einheitstensor
$𝐐, 𝐑$	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
$δ_{i j}$	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
$ϵ_{i j k}$	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
$\overset{3}{𝐄}$	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
$[\vec{a}]_{\times}$	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix, #Schiefsymmetrische Tensoren	Kreuzprodukt
$\vec{i}, 𝐀_{\times}$	#Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor, #Schiefsymmetrische Tensoren, #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt

Zeichen für Operatoren

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot) \cdot (\cdot)$	Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation mit Dyaden, #Vektortransformation, #Tensorprodukt von Dyaden und #Tensorprodukt	Skalarprodukt
$(\cdot) \times (\cdot)$	#Kreuzprodukt von Vektor und Dyade, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor	Kreuzprodukt
$(\cdot) : (\cdot)$	#Skalarprodukt von Dyaden, #Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
$(\cdot) \otimes (\cdot)$	#Dyadisches Produkt	Dyadisches Produkt
$(\cdot) \cdot \times (\cdot)$	#Skalarkreuzprodukt von Dyaden, #Skalarkreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot) \times \times (\cdot)$	#Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden, #Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
$(\cdot) # (\cdot)$	#Äußeres Tensorprodukt von Dyaden, #Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
$∥ (\cdot) ∥$	#Norm eines Tensors, #Invarianten	Frobeniusnorm

Tensorfunktionen

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
${Sp,tr,I}_{1}$	#Spur einer Dyade, #Spur, #Invarianten	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
$I_{2}$	#Invarianten	Hauptinvariante
${det,I}_{3}$	#Determinante, #Invarianten	Determinante, Hauptinvariante
$sym$	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
$skw, skew$	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
$adj$	#Adjungierter Tensor	Adjunkte
$cof$	#Kofaktor eines Tensors	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
$dev$	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
$sph$	#Kugelanteil	Kugeltensor

Indizes

Formelzeichen	Abschnitt in der Formelsammlung	Wikipedia-Artikel
$(\cdot)_{i j}, (\cdot)^{i j}, (\cdot)_{j}^{i}$	#Tensorkomponenten
$(\cdot)^{⊤}$	#Transposition einer Dyade, #Transposition	Transponierte Matrix
$(\cdot)^{\overset{m n}{⊤}}$	Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
$(\cdot)^{- 1}$	#Inverse eines Tensors	Inverse Matrix
$(\cdot)^{- ⊤}, (\cdot)^{⊤ - 1}$	Transponierte des inversen Tensors
$(\cdot)^{S}$	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
$(\cdot)^{A}$	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
$(\cdot)^{D}$	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
$(\cdot)^{K}$	#Kugelanteil	Kugeltensor
$\overset{n}{(\cdot)}$	Tensor n-ter Stufe

Mengen

Formelzeichen	Elemente
$ℝ$	Reelle Zahlen
$𝕍$	Vektoren
$ℒ = L i n (𝕍, 𝕍)$	Tensoren zweiter Stufe
$\overset{4}{ℒ} = L i n (ℒ, ℒ)$	#Tensoren vierter Stufe

Kronecker-Delta

δ_{i j} = δ^{i j} = δ_{i}^{j} = δ_{j}^{i} = {\begin{cases} 1 & f a l l s i = j \\ 0 & s o n s t \end{cases}

Für Summen gilt dann z. B.

v_{i} δ_{i j} = v_{j}

A_{i j} δ_{i j} = A_{i i}

Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.

Permutationssymbol

ϵ_{i j k} = {\hat{e}}_{i} \cdot ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) = {\begin{cases} 1 & bei gerader Permutation (i, j, k) \in {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)} \\ - 1 & bei ungerader Permutation (i, j, k) \in {(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1)} \\ 0 & sonst, d.h. bei doppeltem Index \end{cases}

ϵ_{i j k} ϵ_{l m n} = | \begin{matrix} δ_{i l} & δ_{j l} & δ_{k l} \\ δ_{i m} & δ_{j m} & δ_{k m} \\ δ_{i n} & δ_{j n} & δ_{k n} \end{matrix} |

\begin{array}{rcl} ϵ_{i j k} ϵ_{k l m} & = & δ_{i l} δ_{j m} - δ_{i m} δ_{j l} \\ ϵ_{i j k} ϵ_{j k l} & = & 2 δ_{i l} \\ ϵ_{i j k} ϵ_{i j k} & = & 6 \end{array}

Kreuzprodukt:

a_{i} {\hat{e}}_{i} \times b_{j} {\hat{e}}_{j} = ϵ_{i j k} a_{i} b_{j} {\hat{e}}_{k} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k} {\hat{e}}_{i} = ϵ_{i j k} a_{k} b_{i} {\hat{e}}_{j}

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

\vec{a} = a_{i} {\hat{e}}_{i} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

Drei Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ können spaltenweise in einer 3×3-Matrix $M$ arrangiert werden:

M = (\begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix})

Die Determinante der Matrix

| M | = | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} |

ist

ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet $| \begin{array}{ccc} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{array} | > 0$ , dass die Vektoren $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

M^{⊤} M = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

worin $M^{⊤}$ die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich $| M | = + 1$

Vektoralgebra

Basis und Duale Basis

Basisvektoren ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

{\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j} = δ_{i}^{j}

{\vec{g}}^{1} = \frac{{\vec{g}}_{2} \times {\vec{g}}_{3}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}, g^{2} = \frac{{\vec{g}}_{3} \times {\vec{g}}_{1}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}, g^{3} = \frac{{\vec{g}}_{1} \times {\vec{g}}_{2}}{({\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3})}

{\vec{g}}_{1} = \frac{{\vec{g}}^{2} \times {\vec{g}}^{3}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}, g_{2} = \frac{{\vec{g}}^{3} \times {\vec{g}}^{1}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}, g_{3} = \frac{{\vec{g}}^{1} \times {\vec{g}}^{2}}{({\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3})}

mit dem Spatprodukt

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) : = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \det (\begin{array}{ccc} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{array})

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der transponiert Inversen:

(\begin{array}{ccc} {\vec{g}}^{1} & {\vec{g}}^{2} & {\vec{g}}^{3} \end{array}) = (\begin{array}{ccc} {\vec{g}}_{1} & {\vec{g}}_{2} & {\vec{g}}_{3} \end{array})^{⊤ - 1}

mit der transponiert inversen $()^{⊤ - 1}$

In der Standardbasis ${\hat{e}}_{1}, {\hat{e}}_{2}, {\hat{e}}_{3}$ sind die Basisvektoren zu sich selbst dual:

{\hat{e}}_{i} = {\hat{e}}^{i} .

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren:

({\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{k}) ({\vec{g}}^{j} \cdot {\vec{g}}^{k}) = {\vec{g}}_{i} \cdot ({\vec{g}}^{j} \cdot {\vec{g}}^{k}) {\vec{g}}_{k} = {\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j} = δ_{i}^{j}

({\vec{g}}^{i} \cdot {\vec{g}}^{k}) ({\vec{g}}_{j} \cdot {\vec{g}}_{k}) = {\vec{g}}^{i} \cdot ({\vec{g}}_{j} \cdot {\vec{g}}_{k}) {\vec{g}}^{k} = {\vec{g}}^{i} \cdot {\vec{g}}_{j} = δ_{j}^{i}

Berechnung von Vektorkomponenten

\vec{v} = v_{i} {\hat{e}}_{i} \to v_{i} = \vec{v} \cdot {\hat{e}}_{i}

\vec{v} = v^{i} {\vec{g}}_{i} \to v^{i} = \vec{v} \cdot {\vec{g}}^{i}

\vec{v} = v_{i} {\vec{g}}^{i} \to v_{i} = \vec{v} \cdot {\vec{g}}_{i}

Wechsel der Basis bei Vektoren

Wechsel von

Basis ${\vec{g}}^{1}, {\vec{g}}^{2}, {\vec{g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec{g}}_{1}, {\vec{g}}_{2}, {\vec{g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec{h}}^{1}, {\vec{h}}^{2}, {\vec{h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec{h}}_{1}, {\vec{h}}_{2}, {\vec{h}}_{3}$ :

\vec{v} = v_{i} {\vec{g}}^{i} = v_{i}^{*} {\vec{h}}^{i} \to v_{i}^{*} = ({\vec{h}}_{i} \cdot {\vec{g}}^{j}) v_{j}

Matrizengleichung:

(\begin{matrix} v_{1}^{*} \\ v_{2}^{*} \\ v_{3}^{*} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{1} \cdot {\vec{g}}^{3} \\ {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{2} \cdot {\vec{g}}^{3} \\ {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{1} & {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{2} & {\vec{h}}_{3} \cdot {\vec{g}}^{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})

Dyadisches Produkt

Definition der Dyade

Abbildung $𝕍 \times 𝕍 \to ℒ$

Dyade: $\vec{a} \otimes \vec{g} \in ℒ$

a_{i} {\hat{e}}_{i} \otimes g_{j} {\hat{e}}_{j} = a_{i} g_{j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}

(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \otimes (\begin{matrix} g_{1} \\ g_{2} \\ g_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} g_{1} & a_{1} g_{2} & a_{1} g_{3} \\ a_{2} g_{1} & a_{2} g_{2} & a_{2} g_{3} \\ a_{3} g_{1} & a_{3} g_{2} & a_{3} g_{3} \end{matrix})

Distributivität

\vec{a} \otimes (\vec{g} + \vec{h}) = \vec{a} \otimes \vec{g} + \vec{a} \otimes \vec{h}

(\vec{a} + \vec{b}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \otimes \vec{g} + \vec{b} \otimes \vec{g}

Multiplikation mit einem Skalar

x \in ℝ \to x (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (x \vec{a}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \otimes (x \vec{g}) = x \vec{a} \otimes \vec{g}

Transposition einer Dyade

{(\vec{a} \otimes \vec{g})}^{⊤} : = \vec{g} \otimes \vec{a}

Spur einer Dyade

Abbildung $ℒ \to ℝ$

Sp (\vec{a} \otimes \vec{g}) = Sp (\vec{g} \otimes \vec{a}) : = \vec{a} \cdot \vec{g}

Vektortransformation mit Dyaden

Abbildung $ℒ \times 𝕍 \to 𝕍$ oder $𝕍 \times ℒ \to 𝕍$

\begin{array}{lcl} (\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \vec{h} & : = & (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \\ \vec{b} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) & : = & (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{g} \\ (\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \vec{h} & = & \vec{h} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} \\ \vec{b} \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) & = & (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} \cdot \vec{b} \end{array}

Kreuzprodukt von Vektor und Dyade

Abbildung $𝕍 \times ℒ \to ℒ$ oder $ℒ \times 𝕍 \to ℒ$

\begin{array}{lcl} \vec{a} \times (\vec{b} \otimes \vec{g}) & = & (\vec{a} \times \vec{b}) \otimes \vec{g} = \vec{a} \times \vec{b} \otimes \vec{g} \\ (\vec{a} \otimes \vec{g}) \times \vec{h} & = & \vec{a} \otimes (\vec{g} \times \vec{h}) = \vec{a} \otimes \vec{g} \times \vec{h} \end{array}

\begin{array}{rcl} \vec{a} \times \vec{b} \otimes \vec{g} & = & - [(\vec{b} \otimes \vec{g})^{⊤} \times \vec{a}]^{⊤} \\ \vec{a} \otimes \vec{g} \times \vec{h} & = & - [\vec{h} \times (\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤}]^{⊤} \end{array}

Tensorprodukt von Dyaden

Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot (\vec{h} \otimes \vec{u}) : = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \otimes \vec{u}

Skalarprodukt von Dyaden

Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℝ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) : (\vec{b} \otimes \vec{h}) : = Sp ((\vec{a} \otimes \vec{g})^{⊤} \cdot (\vec{b} \otimes \vec{h})) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) (\vec{g} \cdot \vec{h})

Skalarkreuzprodukt von Dyaden

Abbildung $ℒ \times ℒ \to 𝕍$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \cdot \times (\vec{h} \otimes \vec{u}) = - (\vec{u} \otimes \vec{h}) \cdot \times (\vec{g} \otimes \vec{a}) : = (\vec{g} \cdot \vec{h}) \vec{a} \times \vec{u}

Doppeltes Kreuzprodukt von Dyaden

Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \times \times (\vec{h} \otimes \vec{b}) : = (\vec{g} \times \vec{h}) \otimes (\vec{a} \times \vec{b})

(\vec{a} \otimes \vec{g}) \times \times (\vec{h} \otimes \vec{b}) = (\vec{g} \otimes \vec{a}) # (\vec{h} \otimes \vec{b})

Äußeres Tensorprodukt von Dyaden

Abbildung $ℒ \times ℒ \to ℒ$

(\vec{a} \otimes \vec{g}) # (\vec{b} \otimes \vec{h}) : = (\vec{a} \times \vec{b}) \otimes (\vec{g} \times \vec{h}) = (\vec{g} \otimes \vec{a}) \times \times (\vec{b} \otimes \vec{h})

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird $ℒ$ zu einem Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis dargestellt werden.

Tensorkomponenten

𝐀 = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}

mit Komponenten $A^{i j} \in ℝ$

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) \to A_{i j} = {\hat{e}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\hat{e}}_{j}

𝐀 = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \to A^{i j} = {\vec{a}}^{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}^{j}

𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \to A_{i j} = {\vec{a}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}_{j}

𝐀 = A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{j} \to A_{j}^{i} = {\vec{a}}^{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}_{j}

𝐀 = A_{i}^{j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{j} \to A_{i}^{j} = {\vec{a}}_{i} \cdot 𝐀 \cdot {\vec{g}}^{j}

Operatoren

Transposition

\begin{array}{rcl} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j})^{⊤} & = & A_{i j} ({\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{i}) = A_{j i} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \\ (A_{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j})^{⊤} & = & A_{i j} ({\vec{g}}_{j} \otimes {\vec{a}}_{i}) = A_{j i} ({\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{a}}_{j}) \\ (𝐀 + 𝐁)^{⊤} & = & 𝐀^{⊤} + 𝐁^{⊤} \\ (𝐀 \cdot 𝐁)^{⊤} & = & 𝐁^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤} \end{array}

Vektortransformation

\begin{array}{lcl} A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \cdot \vec{v} & = & A_{i j} (\vec{v} \cdot {\hat{e}}_{j}) {\hat{e}}_{i} \\ A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) \cdot \vec{v} & = & A_{i j} ({\vec{g}}_{j} \cdot \vec{v}) {\vec{a}}_{i} \\ \vec{v} \cdot A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) & = & A_{i j} (\vec{v} \cdot {\hat{e}}_{i}) {\hat{e}}_{j} \\ \vec{v} \cdot A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) & = & A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \cdot \vec{v}) {\vec{g}}_{j} \end{array}

\begin{array}{lcl} 𝐀 \cdot \vec{v} & = & \vec{v} \cdot 𝐀^{⊤} \\ 𝐀^{⊤} \cdot \vec{v} & = & \vec{v} \cdot 𝐀 \end{array}

Tensorprodukt

(A_{i k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{k}) \cdot (B_{l j} {\hat{e}}_{l} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i k} B_{k j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j})

(A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j})) \cdot (B_{k l} ({\vec{h}}_{k} \otimes {\vec{u}}_{l})) = A_{i j} ({\vec{g}}_{j} \cdot {\vec{h}}_{k}) B_{k l} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{u}}_{l}

Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor

(\vec{a} \times 𝐀) \cdot \vec{g} = \vec{a} \times (𝐀 \cdot \vec{g}) = \vec{a} \times (\vec{g} \cdot 𝐀^{⊤})

(\vec{a} \times 𝐈) \cdot \vec{g} = \vec{a} \times (𝐈 \cdot \vec{g}) = \vec{a} \times \vec{g}

\vec{a} \cdot (𝐀 \times \vec{g}) = (\vec{a} \cdot 𝐀) \times \vec{g} = (𝐀^{⊤} \cdot \vec{a}) \times \vec{g}

\vec{a} \cdot (𝐈 \times \vec{g}) = (\vec{a} \cdot 𝐈) \times \vec{g} = \vec{a} \times \vec{g}

\vec{a} \times 𝐀 = - {(𝐀^{⊤} \times \vec{a})}^{⊤}

𝐀^{⊤} \times \vec{a} = - {(\vec{a} \times 𝐀)}^{⊤}

\begin{array}{lcl} a_{j} {\hat{e}}_{j} \times (A_{k l} {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l}) & = & a_{j} A_{k l} ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes {\hat{e}}_{l} = ϵ_{i j k} a_{j} A_{k l} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{l} \\ (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \times a_{k} {\hat{e}}_{k} & = & A_{i j} a_{k} {\hat{e}}_{i} \otimes ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) = ϵ_{j k l} A_{i j} a_{k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{l} \end{array}

Meistens ist aber:

\vec{a} \times (\vec{g} \cdot 𝐀^{⊤}) \neq (\vec{a} \times \vec{g}) \cdot 𝐀^{⊤}

(𝐀^{⊤} \cdot \vec{a}) \times \vec{g} \neq 𝐀^{⊤} \cdot (\vec{a} \times \vec{g})

siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Skalarkreuzprodukt von Tensoren

Siehe auch #Vektorinvariante

A_{i k} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{k}) \cdot \times [B_{l j} ({\hat{e}}_{l} \otimes {\hat{e}}_{j})] : = A_{i k} B_{k j} ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j})

Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:

𝐈 \cdot \times ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{i}) = {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{i}

\begin{array}{rcrclcr} 𝐈 \cdot \times 𝐀 & = & 𝐀 \cdot \times 𝐈 & = & - 𝐈 \cdot \times 𝐀^{⊤} & = & - 𝐀^{⊤} \cdot \times 𝐈 \\ 𝐈 \cdot \times (𝐀 \cdot 𝐁) & = & 𝐀 \cdot \times 𝐁 = (𝐀 \cdot 𝐁) \cdot \times 𝐈 & = & - 𝐈 \cdot \times (𝐁^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤}) = - 𝐁^{⊤} \cdot \times 𝐀^{⊤} & = & - (𝐁^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤}) \cdot \times 𝐈 \end{array}

Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren

A_{i j} ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) \times \times [B_{k l} ({\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l})] : = A_{i j} B_{k l} ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{l})

\begin{array}{rcl} 𝐀 \times \times 𝐁 & = & (𝐀^{⊤} \times \times 𝐁^{⊤})^{⊤} = 𝐀^{⊤} # 𝐁 \\ = & [Sp (𝐀) Sp (𝐁) - 𝐀 : 𝐁] 𝐈 + 𝐀 \cdot 𝐁^{⊤} + 𝐁^{⊤} \cdot 𝐀 - Sp (𝐀) 𝐁^{⊤} - Sp (𝐁) 𝐀 \end{array}

Äußeres Tensorprodukt

(A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) # (B_{k l} {\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{e}}_{l}) = A_{i j} B_{k l} ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{l}) = ϵ_{i k m} ϵ_{j l n} A_{i j} B_{k l} {\hat{e}}_{m} \otimes {\hat{e}}_{n}

Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:

𝐀 # 𝐁 = [Sp (𝐀) Sp (𝐁) - Sp (𝐀 \cdot 𝐁)] 𝐈 + [𝐀 \cdot 𝐁 + 𝐁 \cdot 𝐀 - Sp (𝐀) 𝐁 - Sp (𝐁) 𝐀]^{⊤}

Eigenschaften:

\begin{aligned} (𝐀 # 𝐁) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = & (𝐀 \cdot \vec{u}) \times (𝐁 \cdot \vec{v}) - (𝐀 \cdot \vec{v}) \times (𝐁 \cdot \vec{u}) \\ \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = & (𝐀 \cdot \vec{u}) \times (𝐀 \cdot \vec{v}) \\ 𝐀 # 𝐁 = & 𝐁 # 𝐀 = (𝐀^{⊤} # 𝐁^{⊤})^{⊤} \\ 𝐀 # (𝐁 + 𝐂) = & 𝐀 # 𝐁 + 𝐀 # 𝐂 \\ (𝐀 # 𝐁) \cdot (𝐂 # 𝐃) = & (𝐀 \cdot 𝐂) # (𝐁 \cdot 𝐃) + (𝐀 \cdot 𝐃) # (𝐁 \cdot 𝐂) \\ 𝐈 # 𝐈 = & 2 𝐈 \\ 𝐀 # 𝐈 = & Sp (𝐀) 𝐈 - 𝐀^{⊤} \\ (𝐀 # 𝐁) : 𝐂 = & (𝐁 # 𝐂) : 𝐀 = (𝐂 # 𝐀) : 𝐁 \\ Sp (𝐀 # 𝐁) = & Sp (𝐀) Sp (𝐁) - Sp (𝐀 \cdot 𝐁) \\ \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐈) : 𝐈 = & Sp (𝐀) \\ \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) : 𝐈 = & I_{2} (𝐀) \\ \frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀 = & \det (𝐀) \end{aligned}

Aber meistens:

(𝐀 # 𝐁) # 𝐂 \neq 𝐀 # (𝐁 # 𝐂)

Siehe auch #Hauptinvarianten, #Kofaktor eines Tensors.

Spur

Sp (A^{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A^{i i}

Sp (A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}) = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{j}

Sp (A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j}) = A_{i}^{i}

Sp (A_{i}^{j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{a}}_{j}) = A_{i}^{i}

Sp (𝐀) = Sp (𝐀^{⊤})

Sp (𝐀 \cdot 𝐁) = Sp (𝐁 \cdot 𝐀)

Sp (𝐀 \cdot 𝐁 \cdot 𝐂) = Sp (𝐂 \cdot 𝐀 \cdot 𝐁) = Sp (𝐁 \cdot 𝐂 \cdot 𝐀)

Determinante

\begin{array}{lcl} \det (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) & = & | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix} | \\ = & A_{11} (A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32}) + A_{12} (A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33}) + A_{13} (A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31}) \\ \det (A_{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}) & = & | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{g}}_{1} & {\vec{g}}_{2} & {\vec{g}}_{3} \end{matrix} | \\ \det (𝐀^{⊤}) & = & \det (𝐀) \end{array}

Determinantenproduktsatz:

\det (𝐀 \cdot 𝐁) = \det (𝐀) \det (𝐁)

\det (𝐀^{- 1}) = \frac{1}{\det (𝐀)}

Multiplikation mit Skalaren $x \in ℝ$ :

| \begin{matrix} x \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \vec{a} & x \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} | = | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & x \vec{c} \end{matrix} | = x | \begin{matrix} \vec{a} & \vec{b} & \vec{c} \end{matrix} |

\det (x 𝐀) = x^{3} \det (𝐀)

Charakteristische Gleichung:

\det (𝐀 + x 𝐈) = x^{3} + Sp (𝐀) x^{2} + I_{2} (𝐀) x + \det (𝐀)

mit der Hauptinvariante $I_{2}$ . Spezialfall:

\det (\vec{b} \otimes \vec{c} + a 𝐈) = a^{2} (a + \vec{b} \cdot \vec{c})

Zusammenhang mit dem Spatprodukt:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐀 \cdot \vec{b}) \times (𝐀 \cdot \vec{c})] = \det (𝐀) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Zusammenhang mit dem äußeren Tensorprodukt:

\det (𝐀) = \frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀

\det (𝐀 + 𝐁) = \frac{1}{6} [(𝐀 + 𝐁) # (𝐀 + 𝐁)] : (𝐀 + 𝐁)

Zusammenhang mit dem Kofaktor $cof (\cdot)$ :

\det (𝐀 + 𝐁) = \det (𝐀) + cof (𝐀) : 𝐁 + 𝐀 : cof (𝐁) + \det (𝐁)

Skalarprodukt von Tensoren

𝐀 : 𝐁 : = Sp (𝐀^{⊤} \cdot 𝐁)

𝐀 : 𝐁 = 𝐁 : 𝐀 = 𝐀^{⊤} : 𝐁^{⊤} = 𝐁^{⊤} : 𝐀^{⊤}

𝐀^{⊤} : 𝐁 = 𝐀 : 𝐁^{⊤}

𝐀 : (𝐁 \cdot 𝐂) = (𝐁^{⊤} \cdot 𝐀) : 𝐂 = ({𝐀 \cdot 𝐂}^{⊤}) : 𝐁

(𝐀 \cdot 𝐁) : 𝐂 = 𝐁 : (𝐀^{⊤} \cdot 𝐂) = 𝐀 : ({𝐂 \cdot 𝐁}^{⊤})

Norm eines Tensors

∥ 𝐀 ∥ : = \sqrt{𝐀 : 𝐀}

∥ A^{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{A_{i j} A_{i j}}

∥ A^{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} ∥ = \sqrt{A_{i k} A_{l j} ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{l}) ({\vec{g}}_{k} \cdot {\vec{g}}_{j})}

Produkte von Tensoren, Dyaden und Vektoren

𝐀 \cdot (\vec{a} \otimes \vec{g}) = (𝐀 \cdot \vec{a}) \otimes \vec{g}

\vec{g} \otimes (𝐀 \cdot \vec{a}) = (\vec{g} \otimes \vec{a}) \cdot 𝐀^{⊤}

\vec{g} \cdot 𝐀 \cdot \vec{a} = \vec{g} \cdot (\vec{a} \cdot 𝐀^{⊤}) = (𝐀^{⊤} \cdot \vec{g}) \cdot \vec{a} = 𝐀 : (\vec{g} \otimes \vec{a})

Spatprodukt und #Determinante eines Tensors:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐀 \cdot \vec{b}) \times (𝐀 \cdot \vec{c})] = \det (𝐀) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor eines Tensors:

\begin{array}{rcl} (𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b}) & = & cof (𝐀) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \\ 𝐀^{⊤} \cdot [(𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b})] & = & \det (𝐀) \vec{a} \times \vec{b} \end{array}

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

(\vec{u} \times 𝐈) \cdot \vec{v} = \vec{u} \times (𝐈 \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (𝐈 \times \vec{v}) = (\vec{u} \cdot 𝐈) \times \vec{v} = \vec{u} \times \vec{v}

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

𝐈 \cdot \times (\vec{u} \otimes \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{v}

Wechsel der Basis

𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}^{i} \otimes {\vec{a}}^{j} = A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j}

Die Komponenten $A_{i j}^{*}$ ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit der Transformationsmatrix

𝐈 = {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}_{i},

die ein #Einheitstensor ist:

\begin{array}{rcl} 𝐀 = {𝐈 \cdot 𝐀 \cdot 𝐈}^{⊤} & = & ({\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}_{i}) \cdot (A_{k l} {\vec{a}}^{k} \otimes {\vec{a}}^{l}) \cdot ({\vec{b}}_{j} \otimes {\vec{b}}^{j}) \\ = & A_{k l} ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) ({\vec{a}}^{l} \cdot {\vec{b}}_{j}) {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} = : A_{i j}^{*} {\vec{b}}^{i} \otimes {\vec{b}}^{j} \\ \to A_{i j}^{*} & = & ({\vec{b}}_{i} \cdot {\vec{a}}^{k}) A_{k l} ({\vec{a}}^{l} \cdot {\vec{b}}_{j}) \end{array}

Bilinearform und Identität von Tensoren

Definition für einen Tensor $𝐀$ :

⟨ \vec{u}, \vec{v} ⟩ : = \vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v}

Zwei Tensoren $𝐀$ und $𝐁$ sind identisch wenn gilt:

\vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot 𝐁 \cdot \vec{v} \forall \vec{u}, \vec{v} \in 𝕍

Kofaktor eines Tensors

Definition

cof (𝐀) : = 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀^{⊤} - I_{1} (𝐀) 𝐀^{⊤} + I_{2} (𝐀) 𝐈 = \frac{1}{2} 𝐀 # 𝐀

#Invarianten:

Wenn λ_1,2,3 die Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₂λ₃, λ₃λ₁, λ₁λ₂.

#Hauptinvarianten:

\begin{aligned} I_{1} (cof (𝐀)) = & I_{2} (𝐀) \\ I_{2} (cof (𝐀)) = & I_{1} (𝐀) I_{3} (𝐀) \\ I_{3} (cof (𝐀)) = & I_{3} (𝐀)^{2} \end{aligned}

Betrag: $‖ cof (𝐀) ‖ = \sqrt{I_{2} (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{‖ 𝐀 ‖^{4} - ‖ 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀 ‖^{2}}$

Eigenschaften:

\det (𝐀) \neq 0 \to cof (𝐀) = \det (𝐀) 𝐀^{⊤ - 1}

𝐀^{⊤} \cdot cof (𝐀) = cof (𝐀) \cdot 𝐀^{⊤} = \det (𝐀) 𝐈

cof (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \frac{1}{2} (A_{k l} A_{m n} ϵ_{k m i} ϵ_{l n j}) ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} & A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} & A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} \\ A_{32} A_{13} - A_{33} A_{12} & A_{33} A_{11} - A_{31} A_{13} & A_{31} A_{12} - A_{32} A_{11} \\ A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} & A_{13} A_{21} - A_{11} A_{23} & A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{matrix})

cof (𝐀 \cdot 𝐁) = cof (𝐀) \cdot cof (𝐁)

cof (𝐀^{⊤}) = cof (𝐀)^{⊤}

Kreuzprodukt und Kofaktor:

(𝐀 \cdot \vec{a}) \times (𝐀 \cdot \vec{b}) = cof (𝐀) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

Adjungierter Tensor

Definition:

adj (𝐀) : = 𝐀^{2} - I_{1} (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝐈 = cof (𝐀)^{⊤}

#Hauptinvarianten:

\begin{aligned} I_{1} (adj (𝐀)) = & I_{2} (𝐀) \\ I_{2} (adj (𝐀)) = & I_{1} (𝐀) I_{3} (𝐀) \\ I_{3} (adj (𝐀)) = & I_{3} (𝐀)^{2} \end{aligned}

Betrag: $‖ adj (𝐀) ‖ = \sqrt{I_{2} (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{‖ 𝐀 ‖^{4} - ‖ 𝐀^{⊤} \cdot 𝐀 ‖^{2}}$

Eigenschaften:

\det (𝐀) \neq 0 \to adj (𝐀) = \det (𝐀) 𝐀^{- 1}

𝐀 \cdot adj (𝐀) = adj (𝐀) \cdot 𝐀 = \det (𝐀) 𝐈

adj (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = \frac{1}{2} (A_{k l} A_{m n} ϵ_{k m j} ϵ_{l n i}) ({\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = (\begin{matrix} A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32} & A_{32} A_{13} - A_{33} A_{12} & A_{12} A_{23} - A_{13} A_{22} \\ A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33} & A_{33} A_{11} - A_{31} A_{13} & A_{13} A_{21} - A_{11} A_{23} \\ A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31} & A_{31} A_{12} - A_{32} A_{11} & A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} \end{matrix})

adj (𝐀 \cdot 𝐁) = adj (𝐁) \cdot adj (𝐀)

adj (𝐀^{⊤}) = adj (𝐀)^{⊤}

Inverse eines Tensors

Definition

𝐀^{- 1} : 𝐀^{- 1} \cdot 𝐀 = {𝐀 \cdot 𝐀}^{- 1} = 𝐈

Die Inverse ist nur definiert, wenn $\det (𝐀) \neq 0$

Zusammenhang mit dem adjungierten Tensor $adj (𝐀)$ :

𝐀^{- 1} = \frac{1}{\det (𝐀)} adj (𝐀)

Werden die Spalten von $𝐀$ mit Vektoren bezeichnet

𝐀 = (\begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix})

dann gilt:

𝐀^{- 1} = {(\begin{matrix} {\vec{a}}^{1} & {\vec{a}}^{2} & {\vec{a}}^{3} \end{matrix})}^{⊤} = \frac{1}{\det (𝐀)} {(\begin{matrix} {\vec{a}}_{2} \times {\vec{a}}_{3} & {\vec{a}}_{3} \times {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{1} \times {\vec{a}}_{2} \end{matrix})}^{⊤}

Satz von Cayley-Hamilton:

𝐀^{- 1} = \frac{1}{I_{3} (𝐀)} (𝐀^{2} - I_{1} (𝐀) 𝐀 + I_{2} (𝐀) 𝐈)

worin $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ die drei Hauptinvarianten sind.

Inverse des transponierten Tensors:

(𝐀^{⊤})^{- 1} = (𝐀^{- 1})^{⊤} = 𝐀^{⊤ - 1} = 𝐀^{- ⊤}

Inverse eines Tensorprodukts:

(𝐀 \cdot 𝐁)^{- 1} = 𝐁^{- 1} \cdot 𝐀^{- 1}

Spezialfälle:

(a 𝐈 + \vec{b} \otimes \vec{c})^{- 1} = \frac{1}{a} (𝐈 - \frac{1}{a + \vec{b} \cdot \vec{c}} \vec{b} \otimes \vec{c})

(a 𝐈 + \vec{b} \otimes \vec{c} + \vec{d} \otimes \vec{e})^{- 1} = \frac{1}{a D} (D 𝐈 + \vec{b} \otimes (q \vec{c} + r \vec{e}) + \vec{d} \otimes (s \vec{c} + t \vec{e}))

\begin{array}{rclrcl} q & = & a + \vec{d} \cdot \vec{e}, & r & = & - \vec{c} \cdot \vec{d} \\ s & = & - \vec{b} \cdot \vec{e}, & t & = & a + \vec{b} \cdot \vec{c} \end{array}

D = r s - q t

Eigensystem

Eigenwertproblem

𝐀 \cdot \hat{v} = λ \hat{v}

mit Eigenwert $λ$ und Eigenvektor $\hat{v}$ . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Jeder Tensor hat drei Eigenwerte und drei dazugehörige Eigenvektoren. Mindestens ein Eigenwert und Eigenvektor sind reell. Die beiden anderen Eigenwerte und -vektoren können reell oder komplex sein.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

\det (𝐀 - λ_{i} 𝐈) = - λ_{i}^{3} + I_{1} (𝐀) λ_{i}^{2} - I_{2} (𝐀) λ_{i} + I_{3} (𝐀) = 0

Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten:

I_{1} (𝐀) : = Sp (𝐀) = λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}

I_{2} (𝐀) : = \frac{1}{2} [I_{1} {(𝐀)}^{2} - I_{1} (𝐀^{2})] = λ_{1} λ_{2} + λ_{2} λ_{3} + λ_{3} λ_{1}

I_{3} (𝐀) : = \det (𝐀) = λ_{1} λ_{2} λ_{3}

Satz von Cayley-Hamilton:

- 𝐀^{3} + I_{1} (𝐀) 𝐀^{2} - I_{2} (𝐀) 𝐀 + I_{3} (𝐀) 𝐈 = 𝟎

Eigensystem symmetrischer Tensoren

Sei $𝐀 = 𝐀^{⊤}$ symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Die Eigenvektoren werden so nummeriert, dass die ein Rechtssystem bilden.

Hauptachsentransformation mit Eigenwerten $λ_{i}$ und Eigenvektoren ${\hat{a}}_{i}$ des symmetrischen Tensors $𝐀$ :

\begin{array}{lcl} 𝐀 & = & \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} = ({\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i}) \cdot (\sum_{j = 1}^{3} λ_{j} {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{j}) \cdot ({\hat{e}}_{k} \otimes {\hat{a}}_{k}) \\ = & (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{array}{ccc} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{array})^{⊤} \end{array}

bzw.

{(\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix})}^{⊤} \cdot 𝐀 \cdot (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix})

Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren

Sei $𝐀 = - 𝐀^{⊤}$ schiefsymmetrisch.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von $𝐀$ ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen #Vektorinvariante $\vec{i} (𝐀)$ ist. Siehe auch #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Eigensystem allgemeiner auch unsymmetrischer Tensoren

Sei $a, b, c \in ℝ$ und ${\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, {\vec{a}}_{3} \in ℝ^{3}$ eine Basis und ${\vec{a}}^{1}, {\vec{a}}^{2}, {\vec{a}}^{3}$ die dazu duale Basis.

Drei reelle Eigenwerte

Der Tensor

𝐓 = a {\vec{a}}_{1} \otimes {\vec{a}}^{1} + b {\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{2} + c {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{3}

hat die Eigenwerte

λ_{1} = a, λ_{2} = b, λ_{3} = c

und Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}_{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}_{2}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}_{3}

Ein reeller und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte

Der Tensor

𝐓 = c {\vec{a}}_{1} \otimes {\vec{a}}^{1} + a ({\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{2} + {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{3}) + b ({\vec{a}}_{2} \otimes {\vec{a}}^{3} - {\vec{a}}_{3} \otimes {\vec{a}}^{2})

hat die Eigenwerte

λ_{1} = c, λ_{2} = a + i b, λ_{3} = a - i b

und Eigenvektoren

{\vec{v}}_{1} = {\vec{a}}_{1}, {\vec{v}}_{2} = {\vec{a}}_{2} + i {\vec{a}}_{3}, {\vec{v}}_{3} = {\vec{a}}_{2} - i {\vec{a}}_{3}

Spezielle Tensoren

Dyade

Definition

𝐀 : = \vec{a} \otimes \vec{b}

Invarianten:

Sp (𝐀) = \vec{a} \cdot \vec{b}

I_{2} (𝐀) = 0

\det (𝐀) = 0

∥ 𝐀 ∥ = | \vec{a} | | \vec{b} |

Eigensystem:

\begin{array}{lcllcl} λ_{1} & = & \vec{a} \cdot \vec{b}, & {\vec{v}}_{1} & = & \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} \\ λ_{2} & = & 0, & {\vec{v}}_{2} & = & \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{| \vec{a} \times \vec{b} |} \\ λ_{3} & = & 0, & {\vec{v}}_{3} & = & \frac{(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{| (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b} |} \end{array}

Einheitstensor

𝐈 = {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{i} = δ_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

𝐈 = {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}^{i} = {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}_{i} = g^{i j} {\vec{g}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j} = g_{i j} {\vec{g}}^{i} \otimes {\vec{g}}^{j}

mit $g_{i j} = {\vec{g}}_{i} \cdot {\vec{g}}_{j}, g^{i j} = {\vec{g}}^{i} \cdot {\vec{g}}^{j}$

Allgemein:

𝐈 = ({\vec{a}}^{i} \cdot {\vec{g}}^{j}) {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{g}}_{j}

Es gilt:

𝐈 = 𝐈^{⊤} = 𝐈^{- 1} = 𝐈^{⊤ - 1}

Vektortransformation

𝐈 \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot 𝐈 = \vec{v}

Tensorprodukt

𝐀 \cdot 𝐈 = 𝐈 \cdot 𝐀 = 𝐀

Skalarprodukt

𝐀 : 𝐈 = Sp (𝐀)

Invarianten:

\begin{array}{rcl} Sp (𝐈) & = & 𝐈 : 𝐈 = 3 \\ I_{2} (I) & = & 3 \\ \det (I) & = & 1 \\ ∥ 𝐈 ∥ & = & \sqrt{3} \end{array}

Eigenwerte:

λ_{1, 2, 3} = 1

Jeder Vektor ist Eigenvektor.

Unimodulare Tensoren

Definition

𝐇 : \det (𝐇) = 1

Determinantenproduktsatz:

\det (𝐀 \cdot 𝐇) = \det (𝐇 \cdot 𝐀) = \det (𝐀)

Orthogonale Tensoren

Definition

𝐐 : 𝐐^{- 1} = 𝐐^{⊤} oder {𝐐 \cdot 𝐐}^{⊤} = 𝐐^{⊤} \cdot 𝐐 = 𝐈

Invarianten ( $α$ ist der Drehwinkel):

\begin{aligned} Sp (𝐐) = & \det (𝐐) + 2 \cos (α) \\ I_{2} (𝐐) = & \det (𝐐) \cdot Sp (𝐐) \\ \det (𝐐) = & \pm 1 \end{aligned}

Eigentlich orthogonaler Tensor $\det (𝐐) = + 1$ , entspricht einer Drehung.

Uneigentlich orthogonaler Tensor $\det (𝐐) = - 1$ , entspricht einer Drehspiegelung.

Spatprodukt:

(𝐐 \cdot \vec{a}) \cdot [(𝐐 \cdot \vec{b}) \times (𝐐 \cdot \vec{c})] = \det (𝐐) \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

Kreuzprodukt und #Kofaktor eines Tensors:

(𝐐 \cdot \vec{a}) \times (𝐐 \cdot \vec{b}) = \det (𝐐) 𝐐 \cdot (\vec{a} \times \vec{b})

Gegeben ein Einheitsvektor $\hat{n}$ und Drehwinkel $α$ . Dann sind die folgenden Tensoren $𝐐$ orthogonal und drehen um die Achse $\hat{n}$ mit Winkel $α$ :

\begin{array}{lcl} \vec{α} = α \vec{n} & \to & 𝐐 = 𝐈 + \frac{\sin (α)}{α} \vec{α} \times 𝐈 + \frac{1 - \cos (α)}{α^{2}} (\vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝐈) \\ Drehspiegelung : & 𝐐 = - 𝐈 + \frac{\sin (α)}{α} \vec{α} \times 𝐈 - \frac{1 + \cos (α)}{α^{2}} (\vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝐈) \\ \vec{α} = 2 \tan (\frac{α}{2}) \vec{n} & \to & 𝐐 = 𝐈 + \frac{1}{1 + \frac{\vec{α} \cdot \vec{α}}{4}} (\vec{α} \times 𝐈 + \frac{1}{2} \vec{α} \otimes \vec{α} - \frac{\vec{α} \cdot \vec{α}}{2} 𝐈) \\ \vec{α} = \tan (\frac{α}{2}) \vec{n} & \to & 𝐐 = 𝐈 + \frac{2}{1 + \vec{α} \cdot \vec{α}} (\vec{α} \times 𝐈 + \vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝐈) \\ \vec{α} = \sin (α) \vec{n} & \to & 𝐐 = 𝐈 + \vec{α} \times 𝐈 + \frac{1}{1 + \cos (α)} (\vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝐈) \\ \vec{α} = \sin (\frac{α}{2}) \vec{n} & \to & 𝐐 = 𝐈 + 2 \cos (\frac{α}{2}) \vec{α} \times 𝐈 + 2 (\vec{α} \otimes \vec{α} - (\vec{α} \cdot \vec{α}) 𝐈) \end{array}

Drehung von Vektorraumbasis ${\vec{u}}_{1, 2, 3} nach {\vec{v}}_{1, 2, 3}$ mit Drehachse $\hat{n}$ :

𝐐 \cdot {\vec{u}}_{i} = {\vec{v}}_{i} \to 𝐐 \cdot {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i} \to 𝐐 = {\vec{v}}_{i} \otimes {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i} \otimes {\vec{u}}_{i} \to \hat{n} ≃ {\vec{v}}_{i} \times {\vec{u}}^{i} = {\vec{v}}^{i} \times {\vec{u}}_{i}

Gegeben Orthonormalbasis ${\hat{v}}_{1, 2, 3}$ , Drehwinkel $α$ und ${\hat{v}}_{1}$ sei die Drehachse:

𝐐 = \pm {\hat{v}}_{1} \otimes {\hat{v}}_{1} + \cos (α) ({\hat{v}}_{2} \otimes {\hat{v}}_{2} + {\hat{v}}_{3} \otimes {\hat{v}}_{3}) + \sin (α) ({\hat{v}}_{3} \otimes {\hat{v}}_{2} - {\hat{v}}_{2} \otimes {\hat{v}}_{3}) = {(\begin{matrix} \pm 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (α) & - \sin (α) \\ 0 & \sin (α) & \cos (α) \end{matrix})}_{{\hat{v}}_{i} \otimes {\hat{v}}_{j}}

$+ 1$ : Drehung, $- 1$ : Drehspiegelung um ${\hat{v}}_{1}$

Wenn ${\hat{v}}_{1, 2, 3}$ ein Rechtssystem (Mathematik) bilden, dann dreht Q gegen den Uhrzeigersinn, sonst im Uhrzeigersinn um die Drehachse.

Eigensystem:

\begin{array}{lcllcl} λ_{1} & = & \det (𝐐), & {\vec{q}}_{1} & = & {\hat{v}}_{1} \\ λ_{2} & = & e^{i α}, & {\vec{q}}_{2} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{v}}_{2} - i {\hat{v}}_{3}) . \\ λ_{3} & = & e^{- i α}, & {\vec{q}}_{3} & = & \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{v}}_{2} + i {\hat{v}}_{3}) \end{array}

Drehwinkel:

\cos (α) = \frac{1}{2} (Sp (𝐐) - \det (𝐐))

Drehachse $\hat{n}$ :

\hat{n} ≃ \vec{i} (𝐐) = 𝐈 \cdot \times 𝐐

𝐐 = {\vec{s}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{z}}_{i} \to \hat{n} ≃ {\vec{s}}_{i} \times {\vec{e}}_{i} = {\vec{e}}_{i} \times {\vec{z}}_{i}

\frac{1}{2} (𝐐 - 𝐐^{⊤}) = \sin (α) \hat{n} \times 𝐈 = \sin (α) (\begin{matrix} 0 & - n_{3} & n_{2} \\ n_{3} & 0 & - n_{1} \\ - n_{2} & n_{1} & 0 \end{matrix}), \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}} = 1

Positiv definite Tensoren

Definition

𝐀 : \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} > 0 \forall \vec{v} \in 𝕍 ∖ {\vec{0}}

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

\det (𝐀) > 0

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \to A_{11}, A_{22}, A_{33} > 0

𝐀 = A_{j}^{i} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{a}}^{j} \to A_{1}^{1}, A_{2}^{2}, A_{3}^{3} > 0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle Eigenwerte von $𝐀$ sind größer als null.

Immer positiv definit falls $\det (𝐀) \neq 0$ :

{𝐀 \cdot 𝐀}^{⊤}

𝐀^{⊤} \cdot 𝐀

Schiefsymmetrische Tensoren

Definition

𝐀 : 𝐀 = - 𝐀^{⊤}

In kartesischen Koordinaten:

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} 0 & A_{12} & A_{13} \\ - A_{12} & 0 & A_{23} \\ - A_{13} & - A_{23} & 0 \end{matrix})

Invarianten:

Sp (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{12}^{2} + A_{13}^{2} + A_{23}^{2}

\det (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{2} \sqrt{A_{12}^{2} + A_{13}^{2} + A_{23}^{2}}

Bilinearform:

\begin{aligned} \vec{u} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = & - \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{u} \forall \vec{u}, \vec{v} \in 𝕍 \\ \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} = & 0 \forall \vec{v} \in 𝕍 \end{aligned}

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Dualer axialer Vektor:

𝐀_{\times} : = - \frac{1}{2} 𝐈 \cdot \times 𝐀 = - \frac{1}{2} \vec{i} (𝐀) \to 𝐀 \cdot \vec{v} = 𝐀_{\times} \times \vec{v} \forall \vec{v} \in 𝕍

mit #Vektorinvariante $\vec{i} (𝐀)$ . Der zum Eigenwert null gehörende Eigenvektor ist proportional zum dualen axialen Vektor $𝐀_{\times}$ denn

{𝐀 \cdot 𝐀}_{\times} = 𝐀_{\times} \times 𝐀_{\times} = \vec{0}

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \to 𝐀_{\times} = - \frac{1}{2} A_{i j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = (\begin{array}{c} - A_{23} \\ A_{13} \\ - A_{12} \end{array})

𝐀 = A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j} - {\vec{b}}_{j} \otimes {\vec{a}}_{i}) \to 𝐀_{\times} = - A_{i j} {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{j}

Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix

Kreuzproduktmatrix $[\vec{u}]_{\times}$ eines Vektors $\vec{u}$ :

\begin{array}{rcl} \vec{u} = u_{i} {\hat{e}}_{i} & = & (\begin{array}{c} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}) \\ \to [\vec{u}]_{\times} & = & \vec{u} \times 𝐈 = (\vec{u} \times {\hat{e}}_{i}) \otimes {\hat{e}}_{i} = - \overset{3}{𝐄} \cdot \vec{u} = (\begin{matrix} 0 & - u_{3} & u_{2} \\ u_{3} & 0 & - u_{1} \\ - u_{2} & u_{1} & 0 \end{matrix}) \in ℒ \end{array}

Invarianten:

\begin{array}{rcl} I_{1} & = & 0 \\ I_{2} & = & \vec{u} \cdot \vec{u} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} \\ I_{3} & = & 0 \\ ‖ \vec{u} \times 𝐈 ‖ & = & \sqrt{2 \vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{2} \sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}} \end{array}

Eigensystem:

\begin{array}{rclrcl} λ_{1} & = & 0, & {\vec{v}}_{1} & = & \vec{u} \\ λ_{2, 3} & = & \mp i | \vec{u} |, & {\vec{v}}_{2, 3} & ≃ & \frac{u_{1}}{| \vec{u} |} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix}) \pm i (\begin{matrix} \pm i | \vec{u} | \\ - u_{3} \\ u_{2} \end{matrix}) \end{array}

Eigenschaften:

\vec{u} \times 𝐈 = 𝐈 \times \vec{u}

(\vec{u} \times 𝐈)^{⊤} = (𝐈 \times \vec{u})^{⊤} = - \vec{u} \times 𝐈 = - 𝐈 \times \vec{u}

(\vec{u} \times 𝐈) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (𝐈 \times \vec{v}) = \vec{u} \times \vec{v}

- \frac{1}{2} 𝐈 \cdot \times (\vec{u} \times 𝐈) = \vec{u}

Potenzen von $𝐗 : = \vec{u} \times 𝐈$

𝐗 \cdot 𝐗 = \vec{u} \otimes \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{u}) 𝐈, 𝐗 \cdot 𝐗 \cdot 𝐗 = - (\vec{u} \cdot \vec{u}) 𝐗

Symmetrische Tensoren

Definition

𝐀 : 𝐀 = 𝐀^{⊤}

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{12} & A_{22} & A_{23} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{matrix})

Alle Eigenwerte sind reell.

Alle Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar.

I_{1} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{12}^{2} - A_{13}^{2} - A_{23}^{2}

I_{3} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{11} (A_{22} A_{33} - A_{23}^{2}) + A_{12} A_{23} A_{31} - A_{12}^{2} A_{33} + A_{13} A_{12} A_{23} - A_{13}^{2} A_{22}

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} + 2 A_{12}^{2} + 2 A_{13}^{2} + 2 A_{23}^{2}}

Symmetrische Tensoren haben keine #Vektorinvariante:

\vec{i} (𝐀^{S}) = \vec{0}

Symmetrische und positiv definite Tensoren

Definition

𝐀 : 𝐀 = 𝐀^{⊤} und \vec{v} \cdot 𝐀 \cdot \vec{v} > 0 \forall \vec{v} \in 𝕍 ∖ {\vec{0}}

Mit den Eigenwerten $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ , den Eigenvektoren ${\hat{a}}_{1}, {\hat{a}}_{2}, {\hat{a}}_{3}$ und einer reellwertigen Funktion $f (x) \in ℝ$ eines reellen Argumentes $x \in ℝ$ definiert man über die Hauptachsentransformation

𝐀 = \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} = (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{array}{ccc} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{array})^{⊤}

den Funktionswert des Tensors:

f (𝐀) : = \sum_{i = 1}^{3} f (λ_{i}) {\hat{a}}_{i} \otimes {\hat{a}}_{i} = (\begin{matrix} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} f (λ_{1}) & 0 & 0 \\ 0 & f (λ_{2}) & 0 \\ 0 & 0 & f (λ_{3}) \end{matrix}) \cdot (\begin{array}{ccc} {\hat{a}}_{1} & {\hat{a}}_{2} & {\hat{a}}_{3} \end{array})^{⊤}

Insbesondere mit dem Deformationsgradienten $𝐅$ :

Rechter Strecktensor

𝐔 = + \sqrt{𝐅^{⊤} \cdot 𝐅}

Linker Strecktensor

𝐯 = + \sqrt{{𝐅 \cdot 𝐅}^{⊤}}

Henky-Dehnung

𝐄_{H} : = \ln (𝐔) = \frac{1}{2} \ln (𝐅^{⊤} \cdot 𝐅)

Voigt-Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe

Die Tensoren

\begin{array}{l} 𝐄_{1} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{1} \\ 𝐄_{2} = {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{2} \\ 𝐄_{3} = {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{3} \\ 𝐄_{4} = {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{3} + {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{2} \\ 𝐄_{5} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{3} + {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{1} \\ 𝐄_{6} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{2} + {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{1} \end{array}

bilden eine Basis im Vektorraum $sym (𝕍, 𝕍) \subset ℒ$ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in Voigt'scher Notation dargestellt werden:

𝐀 \in sym (𝕍, 𝕍) \to 𝐀 = A_{r} 𝐄_{r} = [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \\ A_{5} \\ A_{6} \end{matrix}]

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Beim Skalarprodukt muss

𝐀 : 𝐁 = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + 2 A_{4} B_{4} + 2 A_{5} B_{5} + 2 A_{6} B_{6}

berücksichtigt werden.

Deviatorische Tensoren

Definition

𝐀 : Sp (𝐀) = 0

𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & - A_{11} - A_{22} \end{matrix})

Sp (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = 0

I_{2} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = - A_{11}^{2} - A_{22}^{2} - A_{11} A_{22} - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}

\det (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = - A_{11}^{2} A_{22} - A_{11} A_{22}^{2} - A_{11} A_{23} A_{32} + A_{12} (A_{23} A_{31} + A_{21} A_{11} + A_{21} A_{22}) + A_{13} (A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31})

∥ A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} ∥ = \sqrt{2 A_{11}^{2} + 2 A_{22}^{2} + 2 A_{11} A_{22} + A_{12}^{2} + A_{21}^{2} + A_{13}^{2} + A_{31}^{2} + A_{23}^{2} + A_{32}^{2}}

Kugeltensoren

Definition

𝐀 : 𝐀 = a 𝐈 = (\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix})

Sp (𝐀) = 3 a

I_{2} (𝐀) = 3 a^{2}

\det (𝐀) = a^{3}

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{3} | a |

Dekompositionen eines Tensors

Gegeben ein beliebiger Tensor $𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}$

Symmetrischer Anteil

𝐀^{S} = sym (𝐀) : = \frac{1}{2} (𝐀 + 𝐀^{⊤})

𝐀^{S} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 2 A_{11} & A_{12} + A_{21} & A_{13} + A_{31} \\ A_{12} + A_{21} & 2 A_{22} & A_{23} + A_{32} \\ A_{13} + A_{31} & A_{23} + A_{32} & 2 A_{33} \end{matrix})

Sp (𝐀^{S}) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

I_{2} (𝐀^{S}) = A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - \frac{1}{4} (A_{12} + A_{21})^{2} - \frac{1}{4} (A_{13} + A_{31})^{2} - \frac{1}{4} (A_{23} + A_{32})^{2}

\begin{array}{lcl} \det (𝐀^{S}) & = & A_{11} A_{22} A_{33} + \frac{1}{4} (A_{12} + A_{21}) (A_{23} + A_{32}) (A_{13} + A_{31}) \\ - \frac{1}{4} A_{11} (A_{23} + A_{32})^{2} - \frac{1}{4} (A_{12} + A_{21})^{2} A_{33} - \frac{1}{4} (A_{13} + A_{31})^{2} A_{22} \end{array}

∥ (𝐀^{S}) ∥ = \sqrt{A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} + \frac{1}{2} [(A_{12} + A_{21})^{2} + (A_{13} + A_{31})^{2} + (A_{23} + A_{32})^{2}]}

Schiefsymmetrischer Anteil

𝐀^{A} = skw (𝐀) : = \frac{1}{2} (𝐀 - 𝐀^{⊤})

𝐀^{A} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 0 & A_{12} - A_{21} & A_{13} + A_{31} \\ A_{21} - A_{12} & 0 & A_{23} - A_{32} \\ A_{31} - A_{13} & A_{32} - A_{23} & 0 \end{matrix})

Sp (𝐀^{A}) = 0

I_{2} (𝐀^{A}) = \frac{1}{4} ((A_{12} - A_{21})^{2} + (A_{13} - A_{31})^{2} + (A_{23} - A_{32})^{2})

\det (𝐀^{A}) = 0

∥ 𝐀^{A} ∥ = \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{(A_{12} - A_{21})^{2} + (A_{13} - A_{31})^{2} + (A_{32} - A_{23})^{2}}

Deviator

𝐀^{D} = dev (𝐀) : = 𝐀 - \frac{1}{3} Sp (𝐀) 𝐈

𝐀^{D} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} A_{11} - \frac{1}{3} A_{22} - \frac{1}{3} A_{33} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & \frac{2}{3} A_{22} - \frac{1}{3} A_{11} - \frac{1}{3} A_{33} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & \frac{2}{3} A_{33} - \frac{1}{3} A_{11} - \frac{1}{3} A_{22} \end{matrix})

Sp (𝐀^{D}) = 0

I_{2} (𝐀^{D}) = \frac{1}{3} (A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{11}^{2} - A_{22}^{2} - A_{33}^{2}) - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}

\begin{array}{lcl} \det (𝐀^{D}) & = & \frac{1}{27} [12 A_{11} A_{22} A_{33} + 2 (A_{11}^{3} + A_{22}^{3} + A_{33}^{3}) \\ - 3 A_{11}^{2} (A_{22} + A_{33}) - 3 A_{22}^{2} (A_{11} + A_{33}) - 3 A_{33}^{2} (A_{11} + A_{22})] \\ - \frac{1}{3} [(2 A_{11} - A_{22} - A_{33}) A_{23} A_{32} + (2 A_{33} - A_{11} - A_{22}) A_{12} A_{21} + (2 A_{22} - A_{11} - A_{33}) A_{13} A_{31}] \\ + A_{13} A_{32} A_{21} + A_{12} A_{23} A_{31} \end{array}

∥ 𝐀^{D} ∥ = \sqrt{\frac{2}{3} (A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} - A_{11} A_{22} - A_{11} A_{33} - A_{22} A_{33}) + A_{12}^{2} + A_{21}^{2} + A_{13}^{2} + A_{31}^{2} + A_{23}^{2} + A_{32}^{2}}

Kugelanteil

𝐀^{K} = sph (𝐀) : = \frac{1}{3} Sp (𝐀) 𝐈

𝐀^{K} = \frac{1}{3} (A_{11} + A_{22} + A_{33}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Sp (𝐀^{K}) = A_{11} + A_{22} + A_{33} = Sp (𝐀)

I_{2} (𝐀^{K}) = \frac{1}{3} (A_{11} + A_{22} + A_{33})^{2}

\det (𝐀^{K}) = \frac{1}{27} (A_{11} + A_{22} + A_{33})^{3}

∥ 𝐀^{K} ∥ = \frac{1}{\sqrt{3}} | A_{11} + A_{22} + A_{33} |

Beziehung zwischen den Anteilen des Tensors

𝐀 = 𝐀^{S} + 𝐀^{A} = 𝐀^{D} + 𝐀^{K}

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

𝐀^{S} : 𝐁^{A} = 0

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

𝐀^{D} : 𝐁^{K} = 0

Projektionen

Punkt auf Gerade

Gegeben sei die Gerade durch den Punkt $\vec{x}$ mit Richtungsvektor $\vec{g}$ und ein beliebiger anderer Punkt $\vec{p}$ .

Dann ist

\begin{array}{rcl} \vec{p} & = & \vec{x} + \vec{a} + \vec{b} mit \vec{a} ‖ \vec{g} und \vec{b} ⊥ \vec{g} \\ 𝐆 & = & \frac{\vec{g} \otimes \vec{g}}{\vec{g} \cdot \vec{g}} \to 𝐆 \cdot \vec{g} = \vec{g}, (𝐈 - 𝐆) \cdot \vec{g} = \vec{0} \\ \vec{n} \cdot \vec{g} = 0 \to 𝐆 \cdot \vec{n} = \vec{0}, (𝐈 - 𝐆) \cdot \vec{n} = \vec{n} \\ \vec{a} & = & 𝐆 \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \frac{\vec{g} \cdot (\vec{p} - \vec{x})}{\vec{g} \cdot \vec{g}} \vec{g} \\ \vec{b} & = & (𝐈 - 𝐆) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \vec{p} - \vec{x} - \vec{a} \end{array}

Der Punkt $\vec{x} + \vec{a}$ ist die senkrechte Projektion von $\vec{p}$ auf die Gerade. Der Tensor G extrahiert den Anteil eines Vektors in Richtung von $\vec{g}$ und I-G den Anteil senkrecht dazu.

Punkt oder Gerade auf Ebene

Gegeben sei die Ebene durch den Punkt $\vec{x}$ und zwei die Ebene aufspannende Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v} ‖ \vec{u}$ sowie ein beliebiger anderer Punkt $\vec{p}$ . Dann verschwindet die Normale

\vec{n} = \frac{\vec{u} \times \vec{v}}{| \vec{u} \times \vec{v} |}

nicht. Dann ist

\begin{array}{rcl} \vec{p} & = & \vec{x} + \vec{a} + \vec{b} mit \vec{a} ⊥ \vec{n} und \vec{b} ‖ \vec{n} \\ 𝐏 & = & \frac{(\vec{v} \cdot \vec{v}) \vec{u} \otimes \vec{u} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) (\vec{u} \otimes \vec{v} + \vec{v} \otimes \vec{u}) + (\vec{u} \cdot \vec{u}) \vec{v} \otimes \vec{v}}{(\vec{u} \cdot \vec{u}) (\vec{v} \cdot \vec{v}) - (\vec{u} \cdot \vec{v})^{2}} \\ \to 𝐏 \cdot \vec{u} = \vec{u}, 𝐏 \cdot \vec{v} = \vec{v}, 𝐏 \cdot \vec{n} = \vec{0}, (𝐈 - 𝐏) \cdot \vec{n} = \vec{n} \\ \to 𝐏 \cdot (x \vec{u} + y \vec{v}) = x \vec{u} + y \vec{v} und (𝐈 - 𝐏) \cdot (x \vec{u} + y \vec{v}) = \vec{0} \forall x, y \in ℝ \\ \vec{a} & = & 𝐏 \cdot (\vec{p} - \vec{x}) \\ \vec{b} & = & (𝐈 - 𝐏) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = \vec{p} - \vec{x} - \vec{a} \end{array}

Der Punkt $\vec{x} + \vec{a}$ ist die senkrechte Projektion von $\vec{p}$ auf die Ebene^[1]. Der Tensor P extrahiert den Anteil eines Vektors in der Ebene und I-P den Anteil senkrecht dazu.

Die Projektion der Geraden, die durch die Punkte $\vec{x}$ und $\vec{p}$ verläuft, liegt in der Ebene in Richtung des Vektors $\vec{a}$ .

Falls $| \vec{u} | = | \vec{v} | = 1$ und $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ folgt:

\begin{array}{rcl} \vec{n} & = & \vec{u} \times \vec{v} mit | \vec{n} | = 1 \\ 𝐏 & = & \vec{u} \otimes \vec{u} + \vec{v} \otimes \vec{v} = 𝐈 - \vec{n} \otimes \vec{n} \\ \vec{a} & = & (\vec{u} \otimes \vec{u} + \vec{v} \otimes \vec{v}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = (𝐈 - \vec{n} \otimes \vec{n}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) \\ \vec{b} & = & (𝐈 - \vec{u} \otimes \vec{u} - \vec{v} \otimes \vec{v}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) = (\vec{n} \otimes \vec{n}) \cdot (\vec{p} - \vec{x}) \end{array}

Invarianten

Eigenwerte

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

Hauptinvarianten

\begin{array}{lclclcl} I_{1} (𝐀) & : = & Sp (𝐀) & = & \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐈) : 𝐈 & = & λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} \\ I_{2} (𝐀) & : = & \frac{1}{2} [I_{1} {(𝐀)}^{2} - I_{1} (𝐀^{2})] & = & \frac{1}{2} (𝐀 # 𝐀) : 𝐈 & = & λ_{1} λ_{2} + λ_{2} λ_{3} + λ_{3} λ_{1} \\ I_{3} (𝐀) & : = & \det (𝐀) & = & \frac{1}{6} (𝐀 # 𝐀) : 𝐀 & = & λ_{1} λ_{2} λ_{3} \end{array}

I_{2} (𝐀) = Sp(cof (𝐀)) = Sp(adj (𝐀))

\begin{array}{lcl} I_{3} (𝐀) & = & \frac{1}{6} [I_{1} (𝐀)^{3} - 3 I_{1} (𝐀) I_{1} (𝐀^{2}) + 2 I_{1} (𝐀^{3})] \\ = & \frac{1}{3} [I_{1} (𝐀^{3}) + 3 I_{1} (𝐀) I_{2} (𝐀) - I_{1} (𝐀)^{3}] \end{array}

Falls $𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}$ :

I_{1} (𝐀) = A_{11} + A_{22} + A_{33}

I_{2} (𝐀) = A_{11} A_{22} + A_{11} A_{33} + A_{22} A_{33} - A_{12} A_{21} - A_{13} A_{31} - A_{23} A_{32}

I_{3} (𝐀) = A_{11} (A_{22} A_{33} - A_{23} A_{32}) + A_{12} (A_{23} A_{31} - A_{21} A_{33}) + A_{13} (A_{21} A_{32} - A_{22} A_{31})

Falls $𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}$ :

Sp (𝐀) = A_{i j} ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{j})

I_{2} (𝐀) = \frac{1}{2} A_{i j} A_{k l} [({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{j}) ({\vec{a}}_{k} \cdot {\vec{b}}_{l}) - ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{b}}_{l}) ({\vec{a}}_{k} \cdot {\vec{b}}_{j})]

\det (𝐀) = | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{a}}_{1} & {\vec{a}}_{2} & {\vec{a}}_{3} \end{matrix} | | \begin{matrix} {\vec{b}}_{1} & {\vec{b}}_{2} & {\vec{b}}_{3} \end{matrix} |

Betrag

∥ 𝐀 ∥ : = \sqrt{𝐀 : 𝐀} = \sqrt{Sp (𝐀^{⊤} \cdot 𝐀)} = \sqrt{λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} + λ_{3}^{2}}

Falls $𝐀 = 𝐀^{⊤}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{I_{1}^{2} (𝐀) - 2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{I_{1} (𝐀^{2})}

Falls $𝐀 = - 𝐀^{⊤}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{2 I_{2} (𝐀)} = \sqrt{- I_{1} (𝐀^{2})}

Falls $𝐀 = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{A_{11}^{2} + A_{22}^{2} + A_{33}^{2} + A_{12}^{2} + A_{21}^{2} + A_{13}^{2} + A_{31}^{2} + A_{23}^{2} + A_{32}^{2}}

Falls $𝐀 = A_{i j} {\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j}$ :

∥ 𝐀 ∥ = \sqrt{A_{i k} A_{l j} ({\vec{a}}_{i} \cdot {\vec{a}}_{l}) ({\vec{b}}_{k} \cdot {\vec{b}}_{j})}

Vektorinvariante

\vec{i} (𝐀) : = 𝐈 \cdot \times 𝐀 = 𝐀 \cdot \times 𝐈 = - 𝐈 \cdot \times 𝐀^{⊤} = - 𝐀^{⊤} \cdot \times 𝐈 = \overset{3}{𝐄} : 𝐀 = - \overset{3}{𝐄} : (𝐀^{⊤})

\vec{i} (A_{i j} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j}) = A_{i j} {\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j} = (\begin{array}{c} A_{23} - A_{32} \\ A_{31} - A_{13} \\ A_{12} - A_{21} \end{array})

\vec{i} (A^{i j} ({\vec{a}}_{i} \otimes {\vec{b}}_{j})) = A^{i j} {\vec{a}}_{i} \times {\vec{b}}_{j}

Für #Orthogonale Tensoren Q gilt:

{𝐈 \cdot \times (𝐐 \cdot 𝐀 \cdot 𝐐}^{⊤}) = \det (𝐐) 𝐐 \cdot \vec{i} (𝐀)

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: $\vec{i} (𝐀^{S}) = \vec{0}$

Fundamentaltensor 3. Stufe

Definition:

\begin{aligned} \overset{3}{𝐄} : = & ϵ_{i j k} {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{k} \\ = & ({\hat{e}}_{j} \times {\hat{e}}_{k}) \otimes {\hat{e}}_{j} \otimes {\hat{e}}_{k} \\ = & {\hat{e}}_{i} \otimes ({\hat{e}}_{k} \times {\hat{e}}_{i}) \otimes {\hat{e}}_{k} \\ = & {\hat{e}}_{i} \otimes {\hat{e}}_{j} \otimes ({\hat{e}}_{i} \times {\hat{e}}_{j}) \end{aligned}

Kreuzprodukt von Vektoren:

\vec{u} \times \vec{v} = \overset{3}{𝐄} : (\vec{u} \otimes \vec{v}) = - \overset{3}{𝐄} : (\vec{v} \otimes \vec{u}) = - \vec{v} \times \vec{u}

{\vec{e}}_{i} \times {\vec{e}}_{j} = ϵ_{i j k} {\hat{e}}_{k}

#Vektorinvariante:

\overset{3}{𝐄} : 𝐀 = 𝐀 : \overset{3}{𝐄} = - \overset{3}{𝐄} : (𝐀^{⊤}) = - (𝐀^{⊤}) : \overset{3}{𝐄} = 𝐈 \cdot \times 𝐀 = \vec{i} (𝐀)

#Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

\begin{array}{rcl} 𝐀 \cdot \times 𝐁 & = & \overset{3}{𝐄} : (𝐀 \cdot 𝐁) \\ (A_{i k} {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{k}) \cdot \times (B_{l j} {\vec{e}}_{l} \otimes {\vec{e}}_{j}) & = & A_{i k} B_{k j} {\vec{e}}_{i} \times {\vec{e}}_{j} = ϵ_{i j k} A_{j l} B_{l k} {\vec{e}}_{i} \end{array}

#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix:

\overset{3}{𝐄} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \overset{3}{𝐄} = - \vec{u} \times 𝐈 = - 𝐈 \times \vec{u}

Tensoren vierter Stufe

Tensoren zweiter Stufe sind ebenfalls Elemente eines Vektorraums $ℒ$ wie im Abschnitt Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

\overset{4}{𝐀} = A_{p q} (𝐀_{p} \otimes 𝐆_{q})

mit Komponenten $A_{p q}$ und die Tensoren $𝐀_{1}, 𝐀_{2}, \dots, 𝐀_{9} \in ℒ$ sowie $𝐆_{1}, 𝐆_{2}, \dots, 𝐆_{9} \in ℒ$ bilden eine Basis von $ℒ$ .

Standardbasis in $ℒ$ :

𝐄_{1} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{1}, 𝐄_{2} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{2}, 𝐄_{3} = {\vec{e}}_{1} \otimes {\vec{e}}_{3}, 𝐄_{4} = {\vec{e}}_{2} \otimes {\vec{e}}_{1}, \dots, 𝐄_{9} = {\vec{e}}_{3} \otimes {\vec{e}}_{3}

Tensortransformation:

\overset{4}{𝐀} : 𝐇 = A_{p q} (𝐀_{p} \otimes 𝐆_{q}) : 𝐇 : = A_{p q} (𝐆_{q} : 𝐇) 𝐀_{p}

Tensorprodukt:

[A_{p q} (𝐀_{p} \otimes 𝐆_{q})] : [B_{r s} (𝐇_{r} \otimes 𝐔_{s})] : = A_{p q} (𝐆_{q} : 𝐇_{r}) B_{r s} 𝐀_{p} \otimes 𝐔_{s}

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

\overset{4}{𝐀} = 𝔸 = A_{i j k l} {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}

Transpositionen

Transposition:

(𝐀 \otimes 𝐁)^{⊤} = 𝐁 \otimes 𝐀

(A_{i j k l} {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l})^{⊤} : = A_{i j k l} {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l} \otimes {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j}

Spezielle Transposition $\overset{4}{𝐀}^{\overset{m n}{⊤}}$ vertauscht $m$ -tes mit $n$ -tem Basissystem.

Beispielsweise:

\overset{4}{𝐀}^{\overset{13}{⊤}} : = A_{i j k l} {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{l}

\overset{4}{𝐀}^{\overset{24}{⊤}} : = A_{i j k l} {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{l} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{j}

\overset{4}{𝐀}^{⊤} = (\overset{4}{𝐀}^{\overset{13}{⊤}})^{\overset{24}{⊤}} = A_{i j k l} {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l} \otimes {\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j}

Symmetrische Tensoren vierter Stufe

Definition: $\overset{4}{𝐀} = \overset{4}{𝐀}^{⊤}$

Dann gilt: $\overset{4}{𝐀} : 𝐁 = 𝐁 : \overset{4}{𝐀}$

Einheitstensor vierter Stufe

\overset{4}{𝐈} : = 𝐄_{p} \otimes 𝐄_{p} = (𝐈 \otimes 𝐈)^{\overset{23}{⊤}} = ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j}) \otimes ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j}) = δ_{i k} δ_{j l} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) = \overset{4}{𝐈}^{⊤}

Spezielle Tensoren vierter Stufe

Für beliebige Tensoren zweiter Stufe $𝐀$ gilt:

\begin{array}{lclclclcl} \overset{4}{𝐂} & = & 𝐄_{p}^{⊤} \otimes 𝐄_{p} & = & δ_{i l} δ_{j k} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐀 & = & 𝐀^{⊤} \\ \overset{4}{𝐂} & = & \frac{1}{3} 𝐈 \otimes 𝐈 & = & \frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐀 & = & 𝐀^{K} \\ \overset{4}{𝐂} & = & \overset{4}{𝐈} - \frac{1}{3} 𝐈 \otimes 𝐈 & = & (δ_{i k} δ_{j l} - \frac{1}{3} δ_{i j} δ_{k l}) ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐀 & = & 𝐀^{D} \\ \overset{4}{𝐂} & = & \frac{1}{2} (\overset{4}{𝐈} + 𝐄_{p}^{⊤} \otimes 𝐄_{p}) & = & \frac{1}{2} (δ_{i k} δ_{j l} + δ_{i l} δ_{j k}) ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐀 & = & 𝐀^{S} \\ \overset{4}{𝐂} & = & \frac{1}{2} (\overset{4}{𝐈} - 𝐄_{p}^{⊤} \otimes 𝐄_{p}) & = & \frac{1}{2} (δ_{i k} δ_{j l} - δ_{i l} δ_{j k}) ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐀 & = & 𝐀^{A} \end{array}

Diese fünf Tensoren sind sämtlich symmetrisch.

Mit beliebigen Tensoren zweiter Stufe $𝐀, 𝐁$ und $𝐆$ gilt:

\begin{array}{lclclclcl} \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀 \otimes 𝐁^{⊤})^{\overset{23}{⊤}} & = & A_{i k} B_{l j} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & 𝐀 \cdot 𝐆 \cdot 𝐁 \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀^{⊤} \otimes 𝐁^{⊤})^{\overset{23}{⊤}} & = & A_{k i} B_{l j} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & 𝐀^{⊤} \cdot 𝐆 \cdot 𝐁 \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀 \otimes 𝐁)^{\overset{23}{⊤}} & = & A_{i k} B_{j l} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & {𝐀 \cdot 𝐆 \cdot 𝐁}^{⊤} \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀^{⊤} \otimes 𝐁)^{\overset{23}{⊤}} & = & A_{k i} B_{j l} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & 𝐀^{⊤} \cdot {𝐆 \cdot 𝐁}^{⊤} \end{array}

In dem in diesen Formeln im Tensor vierter Stufe $𝐁$ durch $𝐁^{⊤}$ und die Transpositionen $\overset{23}{⊤}$ durch $\overset{24}{⊤}$ ersetzt werden, entstehen die Ergebnisse mit transponiertem $𝐆$ :

\begin{array}{lclclclcl} \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀 \otimes 𝐁)^{\overset{24}{⊤}} & = & A_{i l} B_{k j} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & {𝐀 \cdot 𝐆}^{⊤} \cdot 𝐁 \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀^{⊤} \otimes 𝐁)^{\overset{24}{⊤}} & = & A_{l i} B_{k j} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & 𝐀^{⊤} \cdot 𝐆^{⊤} \cdot 𝐁 \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀 \otimes 𝐁^{⊤})^{\overset{24}{⊤}} & = & A_{i l} B_{j k} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & {𝐀 \cdot 𝐆}^{⊤} \cdot 𝐁^{⊤} \\ \overset{4}{𝐂} & = & (𝐀^{⊤} \otimes 𝐁^{⊤})^{\overset{24}{⊤}} & = & A_{l i} B_{j k} ({\vec{e}}_{i} \otimes {\vec{e}}_{j} \otimes {\vec{e}}_{k} \otimes {\vec{e}}_{l}) & \to & \overset{4}{𝐂} : 𝐆 & = & 𝐀^{⊤} \cdot 𝐆^{⊤} \cdot 𝐁^{⊤} \end{array}

Invertierungsformel

{(a \overset{4}{𝐈} + 𝐁 \otimes 𝐂)}^{- 1} = \frac{1}{a} (\overset{4}{𝐈} - \frac{1}{a + 𝐁 : 𝐂} 𝐁 \otimes 𝐂)

Hooke'sches Gesetz

Mit den Spannungen $𝐓$ und den Dehnungen $𝐄$ im Hooke'schen Gesetz gilt:

\overset{4}{𝐂} : = 2 μ \overset{4}{𝐈} + λ 𝐈 \otimes 𝐈 \to \overset{4}{𝐂} : 𝐄 = 𝐓

mit den Lamé-Konstanten $λ$ und $μ$ . Dieser Elastizitätstensor ist symmetrisch.

Invertierungsformel mit $a = 2 μ$ , $𝐁 = λ 𝐈$ und $𝐂 = 𝐈$ :

\overset{4}{𝐒} : = \overset{4}{𝐂}^{- 1} = \frac{1}{2 μ} (\overset{4}{𝐈} - \frac{λ}{2 μ + 3 λ} 𝐈 \otimes 𝐈) = \frac{1}{2 μ} \overset{4}{𝐈} - \frac{ν}{E} 𝐈 \otimes 𝐈 \to \overset{4}{𝐒} : 𝐓 = 𝐄

mit der Querdehnzahl $ν$ und dem Elastizitätsmodul $E$ .

Voigt'sche Notation von Tensoren vierter Stufe

Aus der Basis $𝐄_{1}, \dots, 𝐄_{6}$ des Vektorraums $𝒮 = sym (𝕍, 𝕍)$ der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe kann eine Basis des Vektorraums $\overset{4}{𝒮} = L i n (𝒮, 𝒮)$ der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus $\overset{4}{𝒮}$ können als Voigt'scher Notation in eine 6×6-Matrix einsortiert werden:

\overset{4}{𝐀} = A_{u v} 𝐄_{u} \otimes 𝐄_{v} = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} & A_{15} & A_{16} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} & A_{25} & A_{26} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} & A_{35} & A_{36} \\ A_{41} & A_{42} & A_{43} & A_{44} & A_{45} & A_{46} \\ A_{51} & A_{52} & A_{53} & A_{54} & A_{55} & A_{56} \\ A_{61} & A_{62} & A_{63} & A_{64} & A_{65} & A_{66} \end{matrix}]

Die Vektoren und Matrizen in Voigt'scher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden. Das Matrizenprodukt von Matrix und Vektor ist ebenfalls möglich. Beim Skalarprodukt muss

𝐀 : 𝐁 = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3} + 2 A_{4} B_{4} + 2 A_{5} B_{5} + 2 A_{6} B_{6}

berücksichtigt werden.

Einzelnachweise

↑ J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org., S. 4f

Literatur

Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
Philippe G. Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-dimensional Elasticity (= Studies in Mathematics and its Applications. 20). North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8.
Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen, Technische Mechanik und Höhere Mechanik. 2014 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 28. Februar 2015]).
Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1.

[1] J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. Bei: arxiv.org., S. 4f

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Schiefsymmetrischer Anteil

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