Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion $\sigma$ in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

$L\propto {\sigma }^{\gamma }$

Der Exponent $\gamma$ liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung wird vielfach verwendet, um von der Leuchtkraft auf die Geschwindigkeitsdispersion einer elliptischen Galaxie zu schließen.

Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu $\gamma =4$. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie einer selbstgravitierenden Masseverteilung von Radius R und Masse M ist

$U=-\frac{3}{5}\frac{G{M}^2}{R}$

Die gesamte kinetische Energie ist

$T=\frac{1}{2}M{\sigma }^2$

Mit dem Virialtheorem ($2T+U=0$) folgt

${\sigma }^2=\frac{3}{5}\frac{GM}{R}$.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, $M\propto L$, kann M ersetzt werden und hat noch

$L\propto \frac{{\sigma }^{2}R}{G}$,

eine Beziehung zwischen R und der Geschwindigkeitsdispersion:

$R\propto \frac{LG}{{\sigma }^2}$.

Mit einer konstanten Oberflächenhelligkeit

$B=\frac{L}{4\pi R^2}$

folgt

$L=4\pi R^{2}B$,

$L\propto 4\pi {\left(\frac{LG}{{\sigma }^2}\right)}^{2}B$,

und schlussendlich der gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft und Geschwindigkeitsdispersion:

$L\propto \frac{{\sigma }^4}{4\pi G^{2}B}\propto {\sigma }^4$,

Quellen

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F

Siehe auch

• Tully-Fisher-Relation