Coulomb-Eichung

Die Coulomb-Eichung (aufgrund des Zusammenhangs mit dem Coulomb Potential (s. u.); auch Strahlungseichung oder transversale Eichung) ist eine mögliche Eichung der Elektrodynamik, beschreibt also eine Einschränkung der elektrodynamischen Potentiale.

Eichfreiheit der Elektrodynamik

Um die Lösung der Maxwell-Gleichungen zu erleichtern, führt man für das elektrische und das magnetische Feld das Skalarpotential $\mathrm{\Phi }$ und das Vektorpotential $\overrightarrow{A}$ ein, die die klassisch beobachtbaren Felder durch

$\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$

$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-{\partial }_t\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)$

beschreiben.

Diese Definition erlaubt sogenannte Eichfreiheiten in der Wahl von skalarem Potential und Vektorpotential, die keine Auswirkungen auf messbare Größen haben, insbesondere nicht auf elektrisches Feld und magnetische Flussdichte.

Die Coulomb-Eichung

Diese Eichfreiheit wird in der Coulomb-Eichung dazu genutzt, die Divergenzfreiheit des Vektorpotentials zu fordern:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=0$

Wegen $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$ und $\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }=\mathrm{\nabla }\frac{\partial }{\partial t}$ folgen daraus die im nächsten Paragraphen notierten Resultate.

Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen in der Coulomb-Eichung

Setzt man mit dieser Eichung die Potentiale in die sog. inhomogenen Maxwell-Gleichungen (das gaußsche Gesetz und das erweiterte Induktionsgesetz) ein, erhält man

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$ und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{j}+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }{\partial }_t\mathrm{\Phi }(=:-{\mu }_0{\overrightarrow{j}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}})$.

Die erste Gleichung wird durch

$\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{x},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({\overrightarrow{x}}^{\prime },t)}{|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }$

gelöst, also ist in dieser Eichung das Skalarpotential $\mathrm{\Phi }$ identisch mit dem Coulomb-Potential.

Die zweite Gleichung ist eine inhomogene Wellengleichung mit der durch die Methode des retardierten Potentials gewonnenen Lösung:

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{{\overrightarrow{j}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}({\overrightarrow{x}}^{\prime },t^{\prime })}{|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }$.

Dabei ist die retardierte Zeit gegeben durch $t^{\prime }:=t-\frac{|\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{x}}^{\prime }|}{c}$ .  Physikalisch entspricht die zuletzt angegebene Differenz der Zeitspanne, die ein Licht- oder Radarsignal braucht, um die Strecke vom Ausgangspunkt (dem Integrationpunkt) ${\overrightarrow{x}}^{\prime }$ der Signale zum Ankunftspunkt $\overrightarrow{x}$ zu durchlaufen.

In der Nutzung zweier unterschiedlicher Zeiten im Integral - beim skalaren Potential t, beim Vektorpotential t'  - besteht der Hauptvorteil bzw. Hauptnachteil der angegebenen Eichung. Die konkurrierende Lorenz-Eichung hat diesen Nachteil nicht, sondern ist explizit relativistisch invariant, indem sie durchgehend die Retardierung berücksichtigt.

Sind keine Quellen (Ladungen und Ströme) vorhanden, vereinfachen sich die Gleichungen zu

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$ und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{A}-\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\overrightarrow{A}=0$,

das Vektorpotential erfüllt also die homogene Wellengleichung.

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Walter de Gruyter Berlin New York, 2006, ISBN 978-3-11-018970-4. 

en:Gauge fixing#Coulomb gauge