Spannungsfunktion

Spannungsfunktionen sind ein Ansatz für die analytische Lösung von Randwertaufgaben der linearen Elastostatik. Die lokale Impulsbilanz ist in der Statik eine Gleichung in der nur die Spannungen und die Schwerkraft vorkommen. Indem die Spannungen mit Spannungsfunktionen ausgedrückt werden, die die Impulsbilanz automatisch einhalten, reduziert sich die Lösung eines Randwertproblems auf das Auffinden von Spannungsfunktionen, die die vorliegenden Randbedingungen und die Kompatibilitätsbedingungen erfüllen. Letztere Bedingungen stellen sicher, dass sich aus den Spannungen ein Verschiebungsfeld ableiten lässt. Die Kompatibilität kann nur bei kleinen Verformungen und linearer Elastizität mit vertretbarem Aufwand sichergestellt werden. Diese Voraussetzungen - Statik, kleine Verformungen und lineare Elastizität - sind in vielen Anwendungen, vor allem im technischen Bereich, gegeben.

Geschichte

Chronologische Abfolge bei der Entwicklung der Spannungsfunktionen <timeline> DateFormat = yyyy ImageSize = width:1000 height:auto barincrement:30 PlotArea = left:10 right:10 bottom:30 top:10 AlignBars = justify

Colors =

 id:canvas value:rgb(0.97,0.97,0.97)
 id:gelb   value:rgb(1,1,0.6)

Period = from:1850 till:1960 TimeAxis = orientation:horizontal format:yyyy ScaleMajor = unit:year increment:10 start:1850

BackgroundColors = canvas:canvas bars:canvas

BarData=

 bar:KBV
 bar:kirchhoff
 bar:stvenant
 bar:beltramiKBV
 bar:SpgFkt
 bar:airy
 bar:maxwell
 bar:morea
 bar:beltramiOg
 bar:schaefer
 bar:KBS
 bar:beltramiKBS
 bar:donati
 bar:michell
 bar:moisil

PlotData=

 color:gelb width:30 fontsize:M

 bar:KBV from:start till:end align:center text:"Kompatibilitätsbedingungen für die Verzerrungen (KBV)" anchor:middle align:center fontsize:L shift:(0,-5)

 bar:kirchhoff
 from:start till:end
 bar:kirchhoff at:1859 mark:(line,black) width:10
 at:1860 align:left text:"Kirchhoff leitet drei der sechs KBV her"

 bar:stvenant
 from:start till:end
 bar:stvenant at:1864 mark:(line,black)
 at:1865 align:left text:"St. Venant formuliert alle sechs KBV"

 bar:beltramiKBV
 from:start till:end
 bar:beltramiKBV at:1886 mark:(line,black)
 at:1887 align:left text:"Beltrami beweist Gültigkeit der KBV"

 color:skyblue width:30 fontsize:M

 bar:SpgFkt from:start till:end align:center text:"Konzept der Spannungsfunktionen" anchor:middle align:center fontsize:L shift:(0,-5)

 bar:airy
 from:start till:end
 bar:airy at:1863 mark:(line,black)
 at:1864 align:left text:"Airy ersinnt Spannungsfunktion für Randwertprobleme (RWP) in der Ebene"

 bar:maxwell
 from:start till:end
 bar:maxwell at:1870 mark:(line,black)
 at:1871 align:left text:"Maxwell findet die nach ihm benannten Spannungsfunktionen für räumliche RWP"

 bar:morea
 from:start till:end
 bar:morea at:1892 mark:(line,black)
 at:1893 align:left text:"Morea findet die nach ihm benannten Spannungsfunktionen für räumliche RWP"

 bar:beltramiOg
 from:start till:end
 bar:beltramiOg at:1892 mark:(line,black)
 at:1893 align:left text:"Im selben Jahr stellt Beltrami die allgemeine Lösung für RWP ohne Schwerkraft dar"

 bar:schaefer
 from:start till:end
 bar:schaefer at:1952 mark:(line,black)
 at:1951 align:right text:"Schäfer führt Schwerkraft in Beltramis Lösung ein"

 color:dullyellow width:30 fontsize:M

 bar:KBS from:start till:end align:center text:"Kompatibilitätsbedingungen für die Spannungen (KBS)" anchor:middle align:center fontsize:L shift:(0,-5)

 bar:beltramiKBS
 from:start till:end
 bar:beltramiKBS at:1892 mark:(line,black)
 at:1893 align:left text:"Beltrami formuliert KBS für Randwertprobleme ohne Schwerkraft"

 bar:donati
 from:start till:end
 bar:donati at:1894 mark:(line,black)
 at:1895 align:left text:"Donati beschreibt KBS für Randwertprobleme mit Schwerkraft"

 bar:michell
 from:start till:end
 bar:michell at:1900 mark:(line,black)
 at:1901 align:left text:"Michell beschreibt auch KBS für Randwertprobleme mit Schwerkraft"

 bar:moisil
 from:start till:end
 bar:moisil at:1952 mark:(line,black)
 at:1951 align:right text:"Moisil formuliert KBS für transversal isotrope Medien"

</timeline>

Die Geschichte der Spannungsfunktionen ist eng mit der Geschichte der Formulierung der Kompatibilitätsbedingungen in der linearen isotropen Elastizität verbunden. Kirchhoff leitete 1859 drei der sechs Kompatibilitätsbedingungen für die Verzerrungen (KBV) her und zeigte, wie aus den Verzerrungen die Verschiebungen berechnet werden können. Der Lösungsansatz mit Spannungsfunktionen wurde dann vier Jahre später von George Biddell Airy 1863 ersonnen. Mit der heute nach ihm benannten Airy’schen Spannungsfunktion können Randwertaufgaben in der Ebene gelöst werden. Alle sechs KBV wurden erstmals von St. Venant 1864 vorgelegt, der aber nicht gezeigt hat, dass sie auch hinreichend sind. Von Maxwell und Morea wurden um 1870 bzw. 1892 Spannungsfunktionen für Probleme in drei Dimensionen gefunden. Zwischenzeitlich konnte Beltrami 1886 nachweisen, dass die KBV von St. Venant tatsächlich auch hinreichend sind. Die Kompatibilitätsbedingungen für die Spannungen (KBS) bei isotroper Elastizität in Abwesenheit einer Schwerkraft fand Beltrami 1892 und Donati formulierte den allgemeineren Fall inklusive Schwerkraft 1894. Trotzdem wird diese allgemeinere Gleichung als Beltrami-Michell Gleichung bezeichnet. Beltrami erkannte 1892, dass die bis dahin vorliegenden Spannungsfunktionen von Airy, Maxwell und Morea Spezialfälle eines allgemeineren Ansatzes sind. Allerdings kann Beltramis Lösung kein Schwerefeld berücksichtigen. Schäfer hat 1953 Beltramis Ansatz auf Probleme mit Schwerefeld erweitert. Die KBS für transversal isotrope lineare Elastizität formulierte Moisil 1952.

In Kürze

Die Kompatibilitätsbedingungen für die Verzerrungen lauten

$\mathfrak{\Re }(\mathit{\epsilon }):=\sum _{i,j,k,l=1}^3{\epsilon }_{ij,kl}({\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j)\otimes ({\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i)=\mathbf{𝟎}.$

Die Vektoren ${\hat{e}}_{1,2,3}$ bilden die zu den kartesischen Koordinaten $x_{1,2,3}$ gehörende Standardbasis, „$\otimes$“ ist das dyadische- und „$\times$“ das Kreuzprodukt, ${\epsilon }_{ij}$ sind die Komponenten des linearisierten Verzerrungstensors $\mathit{\epsilon }$ und ein Index nach einem Komma bezeichnet die Ableitung nach der entsprechenden Koordinate:

$(\cdot {)}_{,k}=\frac{\partial }{\partial x_k}.$

Der Differenzialoperator $\mathfrak{\Re }$ liefert bei symmetrischen Argumenten divergenzfreie, symmetrische Tensoren, zu denen auch die Spannungstensoren in der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft gehören. So lassen sich mit diesem Differenzialoperator in einfacher Weise die Impulsbilanzen erfüllende Spannungstensoren $\mathit{\sigma }$ finden:

$\mathbf{𝐀}={\mathbf{𝐀}}^{\mathrm{\top }}\to \mathit{\sigma }=\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀})={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}\wedge \mathrm{div}(\mathit{\sigma })=\overrightarrow{0}.$

Die Komponenten des dabei verwendeten, symmetrischen Arguments $\mathbf{𝐀}$ sind Beltramis Spannungsfunktionen. Im Fall der linearen isotropen Elastizität kann die obige Kompatibilitätsbedingung für die Verzerrungen in den Spannungen ${\sigma }_{ij}$ ausgedrückt werden:

$\sum _{k=1}^3({\sigma }_{ij,kk}+\frac{1}{1+\nu }{\sigma }_{kk,ij})=0,i,j=1,2,3$

Diese Gleichung ist als Beltrami-Michell Gleichung bekannt. Der Materialparameter $\nu$ ist die Querkontraktionszahl.

Die Lösung einer Randwertaufgabe ist nun darauf zurückgeführt, Spannungsfunktionen zu finden, die Spannungen ergeben, die die geforderten Randbedingungen und die Kompatibilitätsbedingungen einhalten.

Die von Airy, Maxwell und Morea gefundenen Spannungsfunktionen passen sich hier als Spezialfälle ein:

Autor	Jahr	Spannungsfunktionen	Spannungstensor
Airy	1863	$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ & 0& \\ & & \phi \end{array}\right)$	$\mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}{\phi }_{,yy}& -{\phi }_{,xy}& 0\\ & {\phi }_{,xx}& 0\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & 0\end{array}\right)$
Maxwell	1870	$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right)$	$\mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{2,33}+a_{3,22}& -a_{3,12}& -a_{2,13}\\ & a_{1,33}+a_{3,11}& -a_{1,23}\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & a_{1,22}+a_{2,11}\end{array}\right)$
Morea	1892	$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}0& {\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& {\omega }_1\\ {\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)$	$\mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}-2{\omega }_{1,23}& ({\omega }_{1,1}+{\omega }_{2,2}-{\omega }_{3,3}{)}_{,3}& ({\omega }_{1,1}-{\omega }_{2,2}+{\omega }_{3,3}{)}_{,2}\\ & -2{\omega }_{2,13}& (-{\omega }_{1,1}+{\omega }_{2,2}+{\omega }_{3,3}{)}_{,1}\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & -2{\omega }_{3,12}\end{array}\right)$
Beltrami	1892	$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{12}& A_{22}& A_{23}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right)$	:$\begin{array}{rcl}{\sigma }_{11}& =& A_{33,22}+A_{22,33}-2A_{23,23}\\ {\sigma }_{22}& =& A_{33,11}+A_{11,33}-2A_{13,13}\\ {\sigma }_{33}& =& A_{22,11}+A_{11,22}-2A_{12,12}\\ {\sigma }_{12}& =& (-A_{12,3}+A_{23,1}+A_{13,2}{)}_{,3}-A_{33,12}\\ {\sigma }_{13}& =& (+A_{12,3}+A_{23,1}-A_{13,2}{)}_{,2}-A_{22,13}\\ {\sigma }_{23}& =& (+A_{12,3}-A_{23,1}+A_{13,2}{)}_{,1}-A_{11,23}\end{array}$

Definition

Die lokale Impuls- und Drehimpulsbilanz lauten in Abwesenheit einer Schwerkraft:

$\mathrm{div}(\mathit{\sigma })=\mathbf{𝟎},\mathit{\sigma }={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}.$

Der Differenzialoperator „div“ gibt die Divergenz des Spannungstensors $\mathit{\sigma }$, der aufgrund der Drehimpulsbilanz mit seiner transponierten ${\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}$ identisch ist. Der Spannungstensor ist also aufgrund der Drehimpulsbilanz symmetrisch.

Wenn $\mathbf{𝐀}$ ein Tensorfeld und $\mathfrak{𝔇}$ ein Differenzialoperator für symmetrische Argumente ist, dann ist

$\mathit{\sigma }=\mathfrak{𝔇}(\mathbf{𝐀})$

eine Lösung der Bilanzgleichungen, wenn

$\mathrm{div}(\mathfrak{𝔇}(\mathbf{𝐀}))=\mathbf{𝟎},\mathfrak{𝔇}(\mathbf{𝐀})=\mathfrak{𝔇}(\mathbf{𝐀}{)}^{\mathrm{\top }}$

ist. Ein Feld $\mathbf{𝐀}$ mit diesen Eigenschaften heißt Spannungsfunktion.

Beltramis Spannungsfunktionen

Gegeben sei der Differenzialoperator

$\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀}):=\mathrm{rot(rot}(\mathbf{𝐀}{)}^{\mathrm{\top }}):=-{\hat{e}}_l\times {\mathbf{𝐀}}_{,kl}^{\mathrm{\top }}\times {\hat{e}}_k=A_{ij,kl}({\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j)\otimes ({\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i).$

Angewendet auf einen beliebigen, symmetrischen Tensor $\mathbf{𝐀}$ zeigt:

$\begin{array}{rcl}\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀}{)}^{\mathrm{\top }}& =& A_{ij,kl}({\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i\otimes {\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j)\stackrel{\begin{array}{c}i\leftrightharpoons j\\ k\leftrightharpoons l\end{array}}{=}{A}_{ji,lk}({\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j\otimes {\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i)\\ & =& A_{ij,kl}({\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j\otimes {\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i)=\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀})\\ \mathrm{div}(\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀}))& =& {\hat{e}}_m\cdot A_{ij,klm}({\hat{e}}_l\times {\hat{e}}_j\otimes {\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i)={\hat{e}}_j\cdot ({\hat{e}}_m\times {\hat{e}}_l)A_{ij,klm}{\hat{e}}_k\times {\hat{e}}_i=\overrightarrow{0}\end{array}$

weil Komponenten mit vertauschten Indizes l und m gleich groß sind aber umgekehrtes Vorzeichen besitzen und im Fall l=m verschwinden. Der Tensor $\mathbf{𝐀}$ ist also eine Spannungsfunktion. In der Statik in Abwesenheit einer Schwerkraft liefert also

$\begin{array}{rcl}\mathit{\sigma }& =& \mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀})=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ & {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & {\sigma }_{33}\end{array}\right)\\ {\sigma }_{11}& =& A_{33,22}+A_{22,33}-2A_{23,23}\\ {\sigma }_{22}& =& A_{33,11}+A_{11,33}-2A_{13,13}\\ {\sigma }_{33}& =& A_{22,11}+A_{11,22}-2A_{12,12}\\ {\sigma }_{12}& =& -A_{12,33}+A_{23,13}+A_{13,23}-A_{33,12}& =& (-A_{12,3}+A_{23,1}+A_{13,2}{)}_{,3}-A_{33,12}\\ {\sigma }_{13}& =& +A_{12,23}+A_{23,12}-A_{13,22}-A_{22,13}& =& (+A_{12,3}+A_{23,1}-A_{13,2}{)}_{,2}-A_{22,13}\\ {\sigma }_{23}& =& +A_{12,13}-A_{23,11}+A_{13,12}-A_{11,23}& =& (+A_{12,3}-A_{23,1}+A_{13,2}{)}_{,1}-A_{11,23}\end{array}$

einen zulässigen Spannungszustand, denn es ist $\mathrm{div}(\mathit{\sigma })=\overrightarrow{0}$. Der Spannungstensor muss aber noch die Kompatibilitätsbedingungen

$\mathrm{\Delta }\mathit{\sigma }+\frac{1}{1+\nu }\mathrm{grad(grad(Sp}(\mathit{\sigma })))=\mathbf{𝟎}\leftrightarrow {\sigma }_{ij,kk}+\frac{1}{1+\nu }{\sigma }_{kk,ij}=0,i,j=1,2,3$

einhalten, damit er im Einklang mit einem Verschiebungsfeld ist. Die Komponenten $A_{ij}$ des Tensors $\mathbf{𝐀}$ sind als Beltramis Spannungsfunktionen bekannt. Von anderen Autoren vorher gefundene Spannungsfunktionen erweisen sich als Spezialfälle von Beltramis Lösung.

Airys Spannungsfunktion

→ Hauptartikel: Airysche Spannungsfunktion

Die Spannungsfunktion $\phi$, die George Biddell Airy 1863 fand, ist der Spezialfall

$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ & 0& \\ & & \phi \end{array}\right)\to \mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}{\phi }_{,yy}& -{\phi }_{,xy}& 0\\ & {\phi }_{,xx}& 0\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & 0\end{array}\right).$

Die Kompatibilitätsbedingung lässt sich für homogenes, isotropes, elastisches Material folgendermaßen

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }\phi =0$

schreiben, was $\phi$ zu einer biharmonischen Funktion macht.

Maxwells Spannungsfunktionen

Die von Maxwell 1868 und 1870 beschriebenen Spannungsfunktionen gliedern sich hier mit

$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right)\to \mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{2,33}+a_{3,22}& -a_{3,12}& -a_{2,13}\\ & a_{1,33}+a_{3,11}& -a_{1,23}\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & a_{1,22}+a_{2,11}\end{array}\right)$

ein.

Moreas Spannungsfunktionen

Morea fand 1892 Spannungsfunktionen, die sich hier als der Spezialfall

$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{ccc}0& {\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& {\omega }_1\\ {\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right)\to \mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}-2{\omega }_{1,23}& ({\omega }_{1,1}+{\omega }_{2,2}-{\omega }_{3,3}{)}_{,3}& ({\omega }_{1,1}-{\omega }_{2,2}+{\omega }_{3,3}{)}_{,2}\\ & -2{\omega }_{2,13}& (-{\omega }_{1,1}+{\omega }_{2,2}+{\omega }_{3,3}{)}_{,1}\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & -2{\omega }_{3,12}\end{array}\right)$

herausstellen.

Beltrami-Schäfer Spannungsfunktionen

Die Beltrami Spannungsfunktionen oben können wegen $\mathrm{div}(\mathit{\sigma })=\overrightarrow{0}$ keine Schwerkraft darstellen. Die Beltrami-Schäfer Lösung,

$\mathit{\sigma }=\mathfrak{\Re }(\mathbf{𝐀})+\mathfrak{𝔥}(\overrightarrow{h}),\mathfrak{𝔥}(\overrightarrow{h})=\mathrm{grad}(\overrightarrow{h})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{h}{)}^{\mathrm{\top }}-\mathrm{div}(\overrightarrow{h})\mathbf{𝐈}$

die Schäfer 1953 fand, kann auch Randwertaufgaben mit Schwerkraft der Form

$\overrightarrow{b}=-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{h}$

lösen. Der Tensor A ist wie immer symmetrisch. Dann ist

$\mathrm{div}(\mathit{\sigma })=-\overrightarrow{b}\wedge \mathit{\sigma }={\mathit{\sigma }}^{\mathrm{\top }}$

denn wegen $\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{h}{)}^{\mathrm{\top }})=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{h},\mathrm{div}(p\mathbf{𝐈})=\mathrm{grad}(p),\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{h}))=\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{h}))$ ist

$\begin{array}{rcl}\mathfrak{𝔥}(\overrightarrow{h}{)}^{\mathrm{\top }}& =& \mathrm{grad}(\overrightarrow{h}{)}^{\mathrm{\top }}+\mathrm{grad}(\overrightarrow{h})-\mathrm{div}(\overrightarrow{h})\mathbf{𝐈}=\mathfrak{𝔥}(\overrightarrow{h})\\ \mathrm{div}(\mathfrak{𝔥}(\overrightarrow{h}))& =& \mathrm{div}[\mathrm{grad}(\overrightarrow{h})+\mathrm{grad}(\overrightarrow{h}{)}^{\mathrm{\top }}-\mathrm{div}(\overrightarrow{h})\mathbf{𝐈}]=\mathrm{div(grad}(\overrightarrow{h}))+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{h}-\mathrm{grad(div}(\overrightarrow{h}))\\ & =& \mathrm{\Delta }\overrightarrow{h}=-\overrightarrow{b}\end{array}$

nach Voraussetzung. Der Tensor A muss so gewählt werden, dass die Kompatibilitätsbedingung

$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }\mathit{\sigma }+\frac{1}{1+\nu }\mathrm{grad(grad(Sp}(\mathit{\sigma })))+\frac{\nu }{1-\nu }\mathrm{div}(\overrightarrow{b})\mathbf{𝐈}+2\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\overrightarrow{b})& =& \mathbf{𝟎}\\ \leftrightarrow {\sigma }_{ij,kk}+\frac{1}{1+\nu }{\sigma }_{kk,ij}+\frac{\nu }{1-\nu }{b}_{k,k}{\delta }_{ij}+b_{i,j}+b_{j,i}& =& 0,i,j=1,2,3\end{array}$

und die vorgegebenen Randbedingungen eingehalten werden.

Airy’sche Spannungsfunktion mit Schwerefeld

Mit der Airy’schen Spannungsfunktion kann auch eine Schwerkraft in der Form $\overrightarrow{b}=-\mathrm{grad}(V)$ berücksichtigt werden:

$\mathit{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}{\phi }_{,yy}+V& -{\phi }_{,xy}& 0\\ & {\phi }_{,xx}+V& 0\\ \text{<mrow data-mjx-texclass="ORD">sym</mrow>}& & 0\end{array}\right)$

Dies passt sich mit $\overrightarrow{h}=\mathrm{grad}(g)$ und $V=\mathrm{div}(\overrightarrow{h})=\mathrm{\Delta }g$ und einer zu bestimmenden Funktion g in die Beltrami-Schäfer Lösung ein:

$-\overrightarrow{b}=\mathrm{grad}(V)=\mathrm{grad}(\mathrm{\Delta }g)=\mathrm{\Delta }\mathrm{grad}(g)=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{h}.$

Die Kompatibilitätsbedingung lässt sich hier

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }\phi =-\kappa \mathrm{\Delta }V=-\kappa \mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }g$

schreiben, worin der Materialparameter

lautet.

Beispiel

Randbedingungen und Verformung (beige) bei der Biegung des geraden Balkens (gestrichelt).

Auf einen in x-Richtung ausgerichteten, linear elastischen Balken wirke ausschließlich eine zur z-Koordinate proportionale Spannung

${\sigma }_{xx}=\overrightarrow{t}\cdot {\hat{e}}_x=-mEz$

mit Proportionalitätsfaktor $-m$ und Elastizitätsmodul $E$ des Materials des Balkens, siehe Abbildung rechts. Diesen Vorgaben zufolge lautet der Spannungstensor also:

$\begin{array}{rcl}\mathit{\sigma }& =& \left(\begin{array}{c}-mEz\\ & 0\\ & & 0\end{array}\right)=\mathfrak{\Re }\left(\left(\begin{array}{c}0\\ & -\frac{mE}{6}{z}^3\\ & & 0\end{array}\right)\right)\end{array}.$

Die Spannungsfunktion ergibt sich demnach zu

$\mathbf{𝐀}=\left(\begin{array}{c}0\\ & -\frac{mE}{6}{z}^3\\ & & 0\end{array}\right).$

Die Kompatibilitätsbedingung

${\sigma }_{ij,kk}+\frac{1}{1+\nu }{\sigma }_{kk,ij}=0,i,j=1,2,3$

wird erfüllt, weil alle zweiten Ableitungen der Normalspannung in x-Richtung verschwinden. Es gibt also ein Verschiebungsfeld, das mit diesen Spannungen kompatibel ist. Mit den im Bild skizzierten Randbedingungen lauten diese Verschiebungen

$\begin{array}{lcl}u& =& -mxz\\ v& =& \nu myz\\ w& =& \frac{m}{2}(x^2-\nu y^2+\nu z^2)\end{array}$

Zusätzlich zum Beispiel auf der Seite Kompatibilitätsbedingung zeigt sich hier, dass dieses Verschiebungsfeld im Gleichgewicht ist.

Siehe auch

• Poisson-Gleichung
• Integrabilitätsbedingung
• Formelsammlung Tensoranalysis
• Formelsammlung Tensoralgebra

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. E. Gurtin: The Linear Theory of Elasticity. In: S. Flügge (Hrsg.): Handbuch der Physik. Band VI2/a, Bandherausgeber C. Truesdell. Springer, 1972, ISBN 3-540-05535-5.