Kugeltensor

Lineare Abbildung eines Vektors $\overrightarrow{v}$ durch einen Tensor $\mathbf{𝐓}$.

Abbildung eines Vektors $\overrightarrow{v}$ durch einen Kugeltensor $\mathbf{𝐊}$.

Kugeltensoren, Axiatoren oder sphärische Tensoren sind in der Kontinuumsmechanik Tensoren, die proportional zum Einheitstensor zweiter Stufe sind. Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe die obere Abbildung rechts. Kugeltensoren sind die speziellen Abbildungen, die eine reine, homogene Streckung in alle drei Raumrichtungen ohne Drehung bewirken wie im unteren Bild rechts. Der Kugel- oder sphärische Anteil eines Tensors ist der Kugeltensor, der dieselbe Spur wie der Tensor besitzt.

Kugeltensoren treten in der Kontinuumsmechanik bei allseitigem, hydrostatischem Druck oder bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf. Sie werden daher zur Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen benutzt.

Definition

Kugeltensoren sind Tensoren zweiter Stufe $\mathbf{𝐓}$, die das $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ fache des Einheitstensors $\mathbf{𝐈}$ sind:

$\mathbf{𝐓}:\mathbf{𝐓}=\lambda \mathbf{𝐈}$.

Der Kugelanteil eines Tensors $\mathbf{𝐓}$ wird mit einem hochgestellten "K" oder "sph" bezeichnet:

${\mathbf{𝐓}}^{\mathrm{K}}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{h}(\mathbf{𝐓}):=\frac{\mathrm{Sp}(\mathbf{𝐓})}{\mathrm{Sp}(\mathbf{𝐈})}\mathbf{𝐈}=\frac{\mathrm{Sp}(\mathbf{𝐓})}{3}\mathbf{𝐈}$.

Die Spur "Sp" des Einheitstensors $\mathbf{𝐈}$ ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

Expansion und Kompression

Expansion einer Kugel

Wie eingangs erwähnt treten Kugeltensoren bei in allen drei Raumrichtungen gleichförmiger Expansion oder Kompression eines Körpers auf, die wie folgt beschrieben werden kann. Sei

$\overrightarrow{X}=\sum _{i=1}^3{X}_i{\overrightarrow{e}}_i\in {\mathbb{𝕍}}^3$

der Ortsvektor eines Partikels eines Körpers $K$ in der undeformierten Ausgangslage. Die Zahlen $X_{1,2,3}\in \mathbb{ℝ}$ heißen materielle Koordinaten des Partikels und sind auf die Standardbasis ${\overrightarrow{e}}_{1,2,3}$ des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums ${\mathbb{𝕍}}^3$ bezogen. In der Momentankonfiguration hat das Partikel zur Zeit $t$ die Position

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{\chi }(\overrightarrow{X},t)=\sum _{i=1}^3{x}_i{\overrightarrow{e}}_i\in {\mathbb{𝕍}}^3$

mit räumlichen Koordinaten $x_{1,2,3}\in \mathbb{ℝ}$ nach der Deformation in Folge der Bewegung $\overrightarrow{\chi }$. Bei reiner Expansion oder Kompression ohne Rotation gibt es ein Zentrum der Expansion $\overrightarrow{o}\in {\mathbb{𝕍}}^3$ und einen Streckfaktor $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ so, dass

$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{o}=\lambda (\overrightarrow{X}-\overrightarrow{o})$

für alle Partikel gilt, siehe Abbildung rechts. Bildung des Gradienten nach den materiellen Koordinaten $X_{1,2,3}$ liefert den Deformationsgradient

$\mathbf{𝐅}:=\mathrm{GRAD}(\overrightarrow{x}):=\sum _{i,j=1}^3\frac{\mathrm{d}{x}_i}{{\mathrm{d}X}_j}{\overrightarrow{e}}_i\otimes {\overrightarrow{e}}_j=\sum _{i,j=1}^3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{X}_j}[\lambda (X_i-o_i)]{\overrightarrow{e}}_i\otimes {\overrightarrow{e}}_j=\sum _{i,j=1}^3\lambda {\delta }_{ij}{\overrightarrow{e}}_i\otimes {\overrightarrow{e}}_j=\lambda \mathbf{𝐈}$,

der hier also ein Kugeltensor ist. Das Rechenzeichen $\otimes$ ist das dyadische Produkt und ${\delta }_{ij}$ bezeichnet das Kronecker-Delta. Die Determinante des Deformationsgradienten ist das Volumenverhältnis vor und nach der Expansion:

$\det (\mathbf{𝐅})={\lambda }^3$.

Inkompressibilität

→ Hauptartikel: Inkompressibilität

Für ein inkompressibles Material ist die im vorigen Abschnitt beschriebene volumenändernde Deformation unmöglich, denn Inkompressibilität zeichnet sich durch ein konstantes Volumenverhältnis von eins aus. Mathematisch wird dies durch die Nebenbedingung

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(\mathbf{𝐅})\equiv 1$

an die Bewegungsfunktion $\overrightarrow{\chi }$ ausgedrückt. Eine solche Nebenbedingung wird mit einem Lagrangeschen Multiplikator sichergestellt, der hier dem Druck $p$ im Material entspricht. Die zugehörige Reaktionsspannung ist der Drucktensor

$-p\mathbf{𝐈}$,

der ein Kugeltensor ist. Beispiele für diese Beschreibungsweise finden sich in der Hyperelastizität.

Ort im Eigenwertraum

Hydrostatische Achse im Eigenwertraum

Als Vielfaches des Einheitstensors hat jeder Kugeltensor drei identische Eigenwerte ${\lambda }_{1,2,3}=\lambda$ die im Eigenwertraum auf der hydrostatischen Achse ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3$ liegen, siehe Abbildung rechts. Diese Achse wird, sofern nur symmetrische Tensoren betrachtet werden, von den Kugeltensoren gebildet.

Invarianten von Kugeltensoren

Die drei Hauptinvarianten eines Kugeltensors lauten

$\begin{array}{rclcl}{\mathrm{I}}_1(\lambda \mathbf{𝐈})& =& \mathrm{Sp}(\lambda \mathbf{𝐈})& =& 3\lambda \\ {\mathrm{I}}_2(\lambda \mathbf{𝐈})& =& \frac{1}{2}[\mathrm{Sp}{(\lambda \mathbf{𝐈})}^2-\mathrm{Sp}(\lambda \mathbf{𝐈}\cdot \lambda \mathbf{𝐈})]& =& 3{\lambda }^2\\ {\mathrm{I}}_3(\lambda \mathbf{𝐈})& =& \det (\lambda \mathbf{𝐈})& =& {\lambda }^3\end{array}$

Der Betrag ist die Frobeniusnorm, die sich mit dem Frobenius-Skalarprodukt "$:$" zu

$\parallel \lambda \mathbf{𝐈}\parallel =\sqrt{\lambda \mathbf{𝐈}:\lambda \mathbf{𝐈}}=\sqrt{\mathrm{Sp}(\lambda \mathbf{𝐈}\cdot \lambda \mathbf{𝐈})}=\sqrt{3}|\lambda |$

berechnet.

Siehe auch

• Deviator
• Strecktensor
• Verzerrungstensor
• Formelsammlung Tensoralgebra

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.