Wirbelfreies Vektorfeld

Als wirbelfrei bzw. konservativ wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld $\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})$ bezeichnet, in dem das Kurvenintegral

${\oint }_S\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{s}=0$

für beliebige in sich geschlossene Randkurven S stets den Wert null liefert. Deutet man $\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})$ als Kraftfeld, so ist das Ringintegral die gesamte längs der Randkurve S gegen die Kraft $\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})$ verrichtete Arbeit.

Wirbelfrei sind z. B. das ruhende elektrische Feld und das Gravitationsfeld, aber auch Felder wie das Geschwindigkeitsfeld einer Potentialströmung.

Ist $\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})$ wirbelfrei, dann gilt

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{0}$, d. h. die Rotation des Vektorfeldes ist gleich null (Namensgebung).

Ist der Definitionsbereich einfach zusammenhängend, so gilt auch die Umkehrung.

Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich stets als Gradient eines zugrundeliegenden skalaren Felds $\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$ formulieren:

$\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r})$,

so dass außerdem gilt:

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }(\overrightarrow{r}))=\overrightarrow{0}$.

Siehe auch

• Quellfrei
• Satz von Stokes
• Poincaré-Lemma

Einzelnachweise

ca:Irrotacional en:Irrotational pl:Pole bezwirowe ru:Потенциальное векторное поле