Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung (mit englischer Transkription im Deutschen gelegentlich auch Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung genannt) beschreibt in der Elektrodynamik das Verhalten der magnetischen Momente eines ferromagnetischen Materials in einem effektiven magnetischen Feld ${\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$. Benannt ist sie nach Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz und T. L. Gilbert. Es handelt sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung, aus der allerdings durch Berücksichtigung der nichtlokalen Natur dieses Effektivfeldes bezüglich der Wechselwirkung der Magnetisierungsdipole eine komplizierte Integro-Differentialgleichung entsteht.

Landau-Lifschitz-Gleichung

Die ursprüngliche Landau-Lifschitz-Gleichung wurde im Jahr 1935 aufgestellt. Sie beschreibt sowohl die Präzession der Magnetisierung $\text{M}$ als auch die auftretende Dissipation. ${\mathrm{M}}_S$ ist der konstante Betrag des Vektors $\text{<mi fromhbox="1">M</mi>},$ die sogenannte „Sättigungsmagnetisierung“.

$\frac{\partial \text{M}}{\partial t}=-\gamma \text{M}\times {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-\frac{\lambda }{{\mathrm{M}}_S}\text{M}\times (\text{M}\times {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}})$

mit dem gyromagnetischen Verhältnis $\gamma$ und dem phänomenologischen Dämpfungsparameter $\lambda$. Jedoch versagt diese Formel für den Fall großer Dämpfung ($\lambda \to \mathrm{\infty }$).

Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung

1955 ersetzte Gilbert den Dämpfungsterm und führte eine Art zähflüssige Kraft ein. Es ergab sich die sog. Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung:

$\frac{\partial \text{M}}{\partial t}=-\frac{\gamma }{1+{\alpha }^2}\text{M}\times {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-\frac{\gamma \alpha }{(1+{\alpha }^2){\mathrm{M}}_S}\text{M}\times (\text{M}\times {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}),$

die sich in äquivalenter Form auch einfacher schreiben lässt (exakt!):

$\frac{\partial \text{<mi fromhbox="1">m</mi>}}{\partial t}=-{\gamma }_G\text{<mi fromhbox="1">m</mi>}\times {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}+g\text{<mi fromhbox="1">m</mi>}\times \frac{\partial \text{<mi fromhbox="1">m</mi>}}{\partial t},$

mit ${\gamma }_G=\frac{\gamma }{1+{\alpha }^2}$, dem Gilbert-Dämpfungsparameter $g=|{\gamma }_G|\alpha$ und der Identifikation $\text{<mi fromhbox="1">m</mi>}=\frac{\text{<mi fromhbox="1">M</mi>}}{{\mathrm{M}}_S}$ (Einheitsvektor). Man kann zeigen, dass die zuletzt resultierende Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung mit der im vorigen Unterkapitel zitierten originalen Landau-Lifschitz-Gleichung identisch ist, wenn man $g|\gamma |$ mit λ identifiziert; der entscheidende Unterschied ist aber, außer der größeren formalen Einfachheit, dass in "fits" jetzt nicht $\gamma$ und $\lambda ,$ sondern ${\gamma }_G$ und $\alpha$ benutzt werden. Formal wird nur $\gamma {\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ durch ${\gamma }_G{\text{H}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-g\frac{\partial \text{<mi fromhbox="1">m</mi>}}{\partial t}$ ersetzt; der letzte Term enthält alle Dämpfungsterme.

Im Gegensatz zur Landau-Lifschitz-Gleichung richtet sich das magnetische Moment nun asymptotisch für $t\to \mathrm{\infty }$ in Richtung des Feldes aus, wobei sich nun wie in der Mechanik beim „gedämpften Oszillator“   die Dämpfung auch auf die Präzessionsfrequenz auswirkt. Für den Fall kleiner Dämpfung geht die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung in die Landau-Lifschitz-Gleichung über.

Das „effektive Feld“

Landau und Lifschitz haben 1935 noch angegeben, wie der Vektor ${\text{<mi fromhbox="1">H</mi>}}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$ von allen vier beteiligten Wechselwirkungen (der „magnetischen Austauschenergie“, der „Dipol-Dipol-Energie“, der „Anisotropieenergie“ und der „Zeeman-Energie“) abhängt. Auf Einzelheiten kann hier nicht eingegangen werden.

Spinwellen u. ä.

Eine sog. Spinwelle in einem ferromagnetischen Festkörper

Mit den Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichungen können u.a. auch dynamische Zustände (z. B. Spinwellen, wie im nebenstehenden Bild) realistisch behandelt werden, wobei alle relevanten Geometrien (beispielsweise auch Dünnschicht-Geometrien) und Wechselwirkungen (u.a. auch die sehr langreichweitige magnetische Dipol-Dipol-Wechselwirkung) voll berücksichtigt werden können, wenn man bei den Computersimulationen hohen Speicherbedarf und entsprechende Rechenzeiten in Kauf nimmt.

Die Dispersionsrelationen in diesen Systemen – das sind die Beziehungen zwischen Frequenz und Wellenlänge der Anregungszustände – sind wegen der hohen Zahl der charakteristischen Längen des Systems und der beteiligten Winkel sehr komplex.