Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. auch Mie-Gruneisen equation of state), benannt nach Gustav Mie und Eduard Grüneisen, ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte $\rho$, dem Druck $p$ und der absoluten Temperatur $T$ darstellt. Sie wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken sowie zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" $t$ auftreten darf:

$t(T,\rho )=\frac{T}{TD(\rho )},$

wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" $TD(\rho )$ pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert und üblicherweise mehrere Materialparameter enthält.

Spezielle Form der Gleichung

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperaturunabhängigen Teil dar:

$p=p_0\cdot (1-\mathrm{\Gamma }\cdot \eta )+\frac{{\rho }_0\cdot C_0^2\cdot \eta }{{(1-s\cdot \eta )}^2}\cdot (1-\frac{\mathrm{\Gamma }\cdot \eta }{2})+\mathrm{\Gamma }\cdot {\rho }_0\cdot (e-e_0)$

mit

$\eta =1-\frac{{\rho }_0}{\rho }$.

Hierbei bezeichnet

• ${\rho }_0$ die Dichte im Normalzustand
• $C_0$ die Schallgeschwindigkeit im Normalzustand
• $\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_0$ den dimensionslosen Grüneisenkoeffizienten im Normalzustand
• $s$ den linearen Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient), eine dimensionslose Materialkonstante
• $e-e_0$ die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von der skalierten Temperatur $t$ (s. o.) abhängen darf.

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: ${\rho }_0=1000$ kg/m³ ; $C_0=1489$ m/s ; $s=1,79$ ; $\mathrm{\Gamma }=1,65$

Stahl: ${\rho }_0=7850$ kg/m³ ; $C_0=4500$ m/s ; $s=1,49$ ; $\mathrm{\Gamma }=2,17$

Kupfer: ${\rho }_0=8930$ kg/m³ ; $C_0=3940$ m/s ; $s=1,48$ ; $\mathrm{\Gamma }=1,96$

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d. h. bei konstanter Entropie $S$) gegeben durch:

$c_S=\sqrt{{\frac{\partial p}{\partial \rho }|}_S}=\sqrt{\frac{p}{\rho }\cdot \gamma }$

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent $\gamma$ ergibt sich aus:

$\gamma =-\frac{V}{p}\cdot {\frac{\partial p}{\partial V}|}_S$

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

$\mathrm{\Gamma }=-\frac{V}{T}\cdot {\frac{\partial T}{\partial V}|}_S=\frac{\beta }{\kappa \cdot \rho \cdot c_V}$

wobei die Maxwell-Relation ${\frac{\partial S}{\partial V}|}_T={\frac{\partial p}{\partial T}|}_V$ und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

$\beta =\frac{1}{V}\cdot {\frac{\partial V}{\partial T}|}_p=-\frac{1}{\rho }\cdot {\frac{\partial \rho }{\partial T}|}_p$

Isotherme Kompressibilität:

$\kappa =-\frac{1}{V}\cdot {\frac{\partial V}{\partial p}|}_T$

Isochore spezifische Wärmekapazität:

$c_V=\frac{T}{\rho \cdot V}\cdot {\frac{\partial S}{\partial T}|}_V$

Literatur

• Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
• Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
• Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
• G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
• M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
• W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488