Kramers-Moyal-Entwicklung: Unterschied zwischen den Versionen
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:<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math> | :<math>\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\partial^n}{\partial x^n}\Big[a_n(x) p(x,t)\Big]</math> | ||
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:<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n | :<math>a_n(x) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} (\Delta x)^n W(x,\Delta x) \,\mathrm{d}(\Delta x)</math> | ||
Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math> | Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort <math>x</math> abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit <math>p</math>. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum <math>\Delta x=x-x'</math> und Zeit <math>\Delta t</math> betrachtet. <math>W(x,\Delta x):=W(x'|x)</math> ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die [[Fokker-Planck-Gleichung]]. | ||
Die Entwicklung ist nach [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[José Enrique Moyal]] benannt. | Die Entwicklung ist nach [[Hendrik Anthony Kramers]] und [[José Enrique Moyal]] benannt. | ||
Das [[Pawula-Theorem]] besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge<ref>The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70, | |||
https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false</ref>. | |||
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Aktuelle Version vom 18. Mai 2020, 16:37 Uhr
Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße :[1][2]
mit
Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit . Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum und Zeit betrachtet. ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.
Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.
Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge[3]. .
Einzelnachweise
- ↑ Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel: Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, 2013, ISBN 3-319-00327-5, S. 47 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ Jochen Veith: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. Springer, 2006, ISBN 3-8350-0419-0, S. 28 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- ↑ The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70, https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false
