Streuamplitude

Die Streuamplitude $f$ ist eine Größe der Streutheorie, die die Richtungsabhängigkeit der Streuwelle beschreibt, wenn eine ebene Welle an einem Streuzentrum gestreut wird. Sie hat die Dimension Länge und verbindet die S-Matrix mit dem Wirkungsquerschnitt.

Definition

Die Streuamplitude $f(p\to p^{\prime })$ ist über den S-Operator $S$ definiert:

$⟨p^{\prime }|S|p⟩={\delta }^{(3)}({\overrightarrow{p}}^{\prime }-\overrightarrow{p})+\frac{\mathrm{i}}{2\pi m}\delta (E^{\prime }-E)f(p\to p^{\prime })$

Dabei sind

• $|p⟩$ der Anfangszustand und $|p^{\prime }⟩$ der Endzustand mit definiertem Impuls, also Eigenzustände des Impulsoperators,
• $\overrightarrow{p},{\overrightarrow{p}}^{\prime }$ die Impulse der Zustände,
• $E,E^{\prime }$ die Energie der Zustände,
• $m$ die Masse (Physik) der Zustände und
• $\delta$ die Dirac-Distribution.

Alternativdefinition

Im Folgenden wird eine alternative Darstellung vorgestellt, die vielfach auch als Definition benutzt wird. In ihr kann die Streuamplitude als Funktion der Energie des eingehenden Zustands sowie des Winkels $\theta$ zwischen $\overrightarrow{p}$ und ${\overrightarrow{p}}^{\prime }$ geschrieben werden, da der S-Operator und damit auch die Streuamplitude invariant unter Rotationen sind:

$\begin{array}{rl}{\psi }_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}({\overrightarrow{p}}^{\prime })& =⟨p^{\prime }|{\psi }_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}⟩=⟨p^{\prime }|S|{\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}⟩=\int {\mathrm{d}}^3\overrightarrow{p}⟨p^{\prime }|S|p⟩⟨p|{\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}⟩=\int {\mathrm{d}}^3\overrightarrow{p}⟨p^{\prime }|S|p⟩{\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(p)\\ & ={\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}({\overrightarrow{p}}^{\prime })+\frac{\mathrm{i}}{2\pi m}\int {\mathrm{d}}^3\overrightarrow{p}\delta (E^{\prime }-E)f(p\to p^{\prime }){\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(\overrightarrow{p})\\ & ={\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}({\overrightarrow{p}}^{\prime })+\frac{\mathrm{i}}{2\pi m}f(E^{\prime },\theta )\int {\mathrm{d}}^3\overrightarrow{p}\delta (E^{\prime }-E){\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}(\overrightarrow{p})\end{array}$

Wenn für die eingehende Welle ${\psi }_{\mathrm{i}\mathrm{n}}$ eine ebene Welle parallel zur z-Achse angenommen wird, ergibt dies:

${\psi }_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}(p^{\prime })=e^{\mathrm{i}{p}^{\prime }z}+f(E^{\prime },\theta )\frac{e^{\mathrm{i}{p}^{\prime }r}}{r}$

Wirkungsquerschnitt

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt ist gegeben durch:

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\vartheta ){|}^2.$

Zum totalen Wirkungsquerschnitt existiert eine Verbindung über das optische Theorem:

${\sigma }_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\underset{4\pi }{\int }\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}\cdot d\mathrm{\Omega }=\frac{4\pi }{k}\mathrm{I}\mathrm{m}f(0)$

mit der Wellenzahl $k$ und dem Imaginärteil $\mathrm{I}\mathrm{m}f(0)$ der Streuamplitude für den Streuwinkel Null.

Partialwellenentwicklung

In der Partialwellenentwicklung wird die Streuamplitude durch eine Summe über Partialwellen ausgedrückt:

$f(\vartheta )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)f_{\ell }(k)P_{\ell }(\cos \vartheta )$

wobei

• $f_{\ell }(k)$ die partielle Streuamplitude
• $P_{\ell }(\cos \vartheta )$ das Legendre-Polynom
• $\ell$ der Index für den Drehimpuls ist.

Die partielle Streuamplitude kann durch das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}$ und die Streuphase ${\delta }_{\ell }$ ausgedrückt werden:

$f_{\ell }=\frac{S_{\ell }-1}{2ik}=\frac{e^{2i{\delta }_{\ell }}-1}{2ik}=\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}=\frac{1}{k\cot {\delta }_{\ell }-ik}.$

Es ist zu beachten, dass die partielle Streuamplitude $f_{\ell }$, das S-matrix Element $S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}$ und die Streuphase ${\delta }_{\ell }$ implizit Funktionen der Streuenergie bzw. des Impulses $k$ sind (hier in Form des Wellenvektors k, wobei gilt $\overrightarrow{p}=\hslash \overrightarrow{k}$).

Damit lässt sich der totale Streuquerschnitt ausdrücken als:

${\sigma }_{\text{total}}=\frac{4\pi }{k^2}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(2l+1){\sin }^2{\delta }_l.$

Die Streulänge $a_{\ell }$ kann mit Hilfe der partiellen Streuamplitude definiert werden:

$f_{\ell }(p)\underset{p\to 0}{\overset{}{\to }}-a_{\ell }\cdot p^{2\ell }$

Gewöhnlich wird aber nur die Streulänge $a_0$ der s-Wellen $(\ell =0)$ als Streulänge bezeichnet.

Literatur

• John R. Taylor: Scattering Theory - The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions, 1983.