Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\mathrm{\Psi }$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\mathrm{\Psi }⟩$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\widehat{\mathbf{𝐱}}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$, so dass

$E({\hat{x}}_j)={⟨{\hat{x}}_j\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi }⟩}_{\mathrm{H}},j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat{x}}_j$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat{p}}_k$ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

$[{\hat{x}}_j,{\hat{p}}_k]=\mathrm{i}\hslash {\delta }_{jk},[{\hat{x}}_j,{\hat{x}}_k]=0=[{\hat{p}}_j,{\hat{p}}_k],j,k\in \{1,2,3\}$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum ${\mathbb{ℝ}}^3$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $H=L^2({\mathbb{ℝ}}^3;\mathbb{ℂ})$ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums ${\mathbb{ℝ}}^3$, jeder Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (\mathbf{𝐱})$ gegeben.

Die Ortsoperatoren $\widehat{\mathbf{𝐱}}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator ${\hat{x}}_j$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (\mathbf{𝐱})$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_j$

$({\hat{x}}_j\psi )(\mathbf{𝐱})=x_j\cdot \psi (\mathbf{𝐱})$

Dieser Operator ${\hat{x}}_j$ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $D=\{\psi \in H|x\cdot \psi \in H\}$ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$E({\hat{x}}_j)={⟨{\hat{x}}_j\mathrm{\Psi },\mathrm{\Psi }⟩}_{L^2}=\underset{{\mathbb{ℝ}}^3}{\int }{x}_j\psi (\mathbf{𝐱})\overline{\psi (\mathbf{𝐱})}\mathrm{d}x=\underset{{\mathbb{ℝ}}^3}{\int }{x}_j|\psi (\mathbf{𝐱}){|}^2\mathrm{d}x$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

$\left({\hat{p}}_k\psi \right)(\mathbf{𝐱})=-\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial x_k}\psi (\mathbf{𝐱})$

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

$(\hat{x}{\psi }_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}})(\mathbf{𝐱})={\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}\cdot {\psi }_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}}(\mathbf{𝐱})$

erfüllen, wobei ${\psi }_{{\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}}(\mathbf{𝐱})$ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert ${\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}$ darstellt.

Die Eigenfunktionen $\psi ({\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}})$ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: $\widehat{\mathbf{𝐱}}\delta (\mathbf{𝐱}-{\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}})={\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}}\delta (\mathbf{𝐱}-{\mathbf{x}}_{\mathbf{𝟎}})$

mit der Identität: $f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)\delta (x-x_0)$

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $\tilde{\psi }(\mathbf{𝐩})$

$({\hat{p}}_k\tilde{\psi })(\mathbf{𝐩})=p_k\cdot \tilde{\psi }(\mathbf{𝐩})$

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

$({\hat{x}}_j\tilde{\psi })(\mathbf{𝐩})=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial p_j}\tilde{\psi }(\mathbf{𝐩})$

Literatur

• Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6, doi:10.1007/978-3-642-25227-3.