Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

$(q,p)\to (q^{\prime },p^{\prime })$

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

$\tilde{H}(q^{\prime },p^{\prime },t)=0$

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten $q^{\prime }$, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten $p^{\prime }$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

$\begin{array}{rl}\frac{\partial \tilde{H}}{\partial p{\text{'}}_k}& =\dot{q}{\text{'}}_k=0\iff q{\text{'}}_k=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\\ -\frac{\partial \tilde{H}}{\partial q{\text{'}}_k}& =\dot{p}{\text{'}}_k=0\iff p{\text{'}}_k=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.\end{array}$

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden $S$. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

$\tilde{H}(q^{\prime },p^{\prime },t)=H(q,p,t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion $S(q,p^{\prime },t)$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten $q$ und den neuen (konstanten) Impulsen $p^{\prime }$ abhängt, so dass

$p_k=\frac{\partial S(q_k,p{\text{'}}_k,t)}{\partial q_k},q{\text{'}}_k=\frac{\partial S(q_k,p{\text{'}}_k,t)}{\partial p{\text{'}}_k}.$

Eingesetzt in $\tilde{H}=0$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S$:

$H(q_k,\frac{\partial S}{\partial q_k},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen $q_k$ und $t$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $S$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

$S[q](t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}L(s,q(s),\dot{q}(s))ds$

mit der Lagrange-Funktion $L$. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

$\frac{dS}{dt}=L$.

Sieht man $S$ jedoch als Funktion der Koordinaten $q$ und $t$ an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

$\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\frac{d{q}_k}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum \frac{\partial S}{\partial q_k}\dot{q_k}$.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

$\frac{\partial S}{\partial q_k}=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{\partial L}{\partial q_k}ds=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d}{ds}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}ds=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}=p_k$

mit den kanonischen Impulsen $p_k$. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von $S$ erhält man somit

$\frac{dS}{dt}=L=\frac{\partial S}{\partial t}+\sum p_k\dot{q_k}$,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. $H$ nicht explizit zeitabhängig: $H(q,p)\ne H(t)$) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion $S(q,p^{\prime })$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

$H(q,p)\Rightarrow \tilde{H}(p^{\prime })$

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

${\dot{p}}^{\prime }=-\frac{\partial \tilde{H}(p^{\prime })}{\partial q^{\prime }}=0\iff p^{\prime }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

${\dot{q}}^{\prime }=\frac{\partial \tilde{H}(p^{\prime })}{\partial p^{\prime }}=C\iff q^{\prime }=Ct+b$ mit $C,b=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}.$

Für $S(q,p^{\prime })$ muss gelten

$p=\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial q},$

$q^{\prime }=\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial p^{\prime }}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für $S(q,p^{\prime })$ für konservative Systeme:

$H(q,p)\Rightarrow H(q,\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial q})=\tilde{H}(p^{\prime }).$

Zur Veranschaulichung von $S$ wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p^{\prime })& =\frac{\partial S}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial S}{\partial p^{\prime }}{\dot{p}}^{\prime }\\ & =p\dot{q}+q^{\prime }{\dot{p}}^{\prime }\\ & =p\dot{q}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}{\dot{p}}^{\prime }=0.\end{array}$

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion $L=T-V$, wobei $T$ die kinetische Energie ist, $V(q)$ das Potential):

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}S(q,p^{\prime })=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}\dot{q}=2T$.

Die zeitliche Integration liefert

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}2T\mathrm{d}t=W,$

also ist $S(q,p^{\prime })$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei $U=U(q)$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

$H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+U(q),$

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial q}\right)}^2+U(q)=\tilde{H}=E.$

Beim eindimensionalen Oszillator ist $\tilde{H}$ die einzige Konstante der Bewegung. Da $p^{\prime }$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man $p^{\prime }=\tilde{H}=E$, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

${\left(\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial q}\right)}^2+2mU(q)=2m{p}^{\prime }$

Durch Integrieren folgt

$S(q,p^{\prime })=\sqrt{2m}\underset{q_0}{\overset{q}{\int }}\sqrt{(p^{\prime }-U(\tilde{q}))}\mathrm{d}\tilde{q},$

mit $q^{\prime }=\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial p^{\prime }}$

$q^{\prime }=\frac{m}{\sqrt{2m}}\underset{q_0}{\overset{q}{\int }}\frac{\mathrm{d}\tilde{q}}{\sqrt{p^{\prime }-U(\tilde{q})}}.$

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

${\dot{q}}^{\prime }=\frac{\partial \tilde{H}(p^{\prime })}{\partial p^{\prime }}=\frac{\partial E}{\partial p^{\prime }}=\frac{\partial p^{\prime }}{\partial p^{\prime }}=1,$

$\Rightarrow q^{\prime }=t-t_0.$

Um die Bewegung in $p(t)$ und $q(t)$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

$p(t)=\frac{\partial S(q,p^{\prime })}{\partial q}=\sqrt{2m(p^{\prime }-U(q))},$

$q^{\prime }=t-t_0=\frac{m}{\sqrt{2m}}\underset{q_0}{\overset{q}{\int }}\frac{\mathrm{d}\tilde{q}}{\sqrt{E-U(\tilde{q})}}.$

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit $U(q)=\frac{1}{2}a{q}^2$

$p(t)=\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}a{q}^2)},$

$q^{\prime }=t-t_0=\frac{m}{\sqrt{2m}}\underset{q_0}{\overset{q}{\int }}\frac{\mathrm{d}\tilde{q}}{\sqrt{E-\frac{1}{2}a{\tilde{q}}^2}}.$

Somit (für den Fall $q_0=0$)

$t-t_0=\sqrt{\frac{m}{a}}\arcsin \sqrt{\frac{a}{2E}}q$

und letztlich

$q(t)=\sqrt{\frac{2E}{a}}\sin \sqrt{\frac{a}{m}}(t-t_0),$

$p(t)=\sqrt{2mE}\cos \sqrt{\frac{a}{m}}(t-t_0).$

Literatur

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.