Deformationsinvarianten

Die Deformationsinvarianten $I_1,I_2,I_3$ bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ ausdrücken:

$\begin{array}{lclcl}{I}_1& =& \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathbf{𝐛})& =& {\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2\\ I_2& =& \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}({\mathbf{𝐛}}^{-1})\det (\mathbf{𝐛})& =& {\lambda }_1^2{\lambda }_2^2+{\lambda }_1^2{\lambda }_3^2+{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\\ I_3& =& \det (\mathbf{𝐛})& =& {\lambda }_1^2{\lambda }_2^2{\lambda }_3^2\end{array}$

mit

• $\mathbf{𝐛}$ der Deformationstensor
• $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(\mathbf{𝐛})$ der Spur des Deformationstensors,
• $\det (\mathbf{𝐛})$ der Determinante des Deformationstensors,
• ${\mathbf{𝐛}}^{-1}$ der Inversen des Deformationstensors und
• ${\lambda }_{1,2,3}^2={\eta }_{1,2,3}$ der Eigenwerte des Deformationstensors.

Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor $\mathbf{𝐛}:=\mathbf{𝐅}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}$ und den rechten Cauchy-Green Tensor $\mathbf{𝐂}:={\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐅}$, denn beide Tensoren haben wegen

$\mathbf{𝐛}\cdot \overrightarrow{v}=\eta \overrightarrow{v}\iff {\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐛}\cdot \overrightarrow{v}={\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐅}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=\mathbf{𝐂}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}{\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})=\eta ({\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})$

Veranschaulichung der Polarzerlegung

dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß

$\mathbf{𝐅}=\mathbf{𝐑}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐔}=\mathbf{𝐯}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐑}.$

aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften R^T · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen

$\mathbf{𝐯}\cdot \overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}\iff \mathbf{𝐛}\cdot \overrightarrow{v}=\mathbf{𝐅}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐅}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=\mathbf{𝐯}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐑}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐯}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=\lambda \mathbf{𝐯}\cdot \overrightarrow{v}={\lambda }^2\overrightarrow{v}$

die Hauptstreckungen λ_1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:

${\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐯}\cdot \overrightarrow{v}={\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐯}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐑}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}={\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐑}\mathbf{\cdot }\mathbf{𝐔}\mathbf{\cdot }{\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}=\mathbf{𝐔}\mathbf{\cdot }\mathbf{(}{\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v})=\lambda ({\mathbf{𝐑}}^{\mathrm{\top }}\cdot \overrightarrow{v}).$

Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.

Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses $J:=\det (\mathbf{𝐅})$ dar:

$I_3(\mathbf{𝐛})=I_3(\mathbf{𝐂})=J^2=I_3^2(\mathbf{𝐯})=I_3^2(\mathbf{𝐔}).$

Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten ($J=1$) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.