XY-Modell

Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall $n=2$ des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit $n=1$ und das Heisenberg-Modell mit $n=3$).

Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension. Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.

Das XY-Modell besteht aus $N$ Spins $\overrightarrow{s_i}$, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall $n=2$.

Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:

$H=-J\sum _{⟨i,j⟩}{\overrightarrow{s}}_i\cdot {\overrightarrow{s}}_j-\overrightarrow{H}\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{s}}_i$

wobei

• über die nächsten Nachbarspins summiert wird
• „$\cdot$“ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
• $J$ die Kopplungskonstante
• $\overrightarrow{H}$ ein externes Magnetfeld ist.

Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung $\overrightarrow{M}=(M_x,M_y)$ und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.

Siehe auch

• Hexatische Phase

Weblinks

• Java-Applet zur Visualisierung des Ising- und XY-Modells