Bogoliubov-Ungleichung: Unterschied zwischen den Versionen
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Betrachtet wird ein [[physikalisches System]], beschrieben mittels eines [[Hamiltonoperator]]s H. Dann gilt für zwei Operatoren A und C (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind): | Betrachtet wird ein [[physikalisches System]], beschrieben mittels eines [[Hamiltonoperator]]s <math>H</math>. Dann gilt für zwei Operatoren <math>A</math> und <math>C</math> (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind): | ||
:<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{ | :<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_\mathrm B T}</math> | ||
wobei <math>[A,C]</math> als [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als [[Kommutator (Mathematik)#Antikommutator|Anti-Kommutator]] zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X als | wobei <math>[A,C]</math> als [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als [[Kommutator (Mathematik)#Antikommutator|Anti-Kommutator]] zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators <math>X</math> als | ||
:<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math> | :<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math> | ||
gegeben ist. <math> | gegeben ist. <math>k_\mathrm B</math> ist die [[Boltzmann-Konstante]]. Der (ursprüngliche) Beweis des [[Mermin-Wagner-Theorem]]s, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.<ref>Mermin, Wagner ''Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models'', Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.</ref> | ||
== Beweisidee == | == Beweisidee == | ||
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über | Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über | ||
<math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math> | : <math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math> | ||
ein positiv semi-definites [[Skalarprodukt]] definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die [[Schwarzsche Ungleichung]]: | ein positiv semi-definites [[Skalarprodukt]] definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die [[Schwarzsche Ungleichung]]: | ||
:<math>|(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B)</math> | : <math>|(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B)</math> | ||
Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung. | Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung. | ||
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:<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math> | :<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math> | ||
wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist | wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der [[Zustandssumme]], <math>F=-\beta^{-1} \ln {\rm{Spur}\,\,e^{-\beta\mathcal H}}\,.</math> Das Multiplikationszeichen, <math>\cdot \,,</math> ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (<math>\ln a\cdot b =\ln a + \ln b</math>). | ||
Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen. | Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen. | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* Nolting: ''Quantentheorie des Magnetismus'', Teubner, Bd.2 | * Nolting: ''Quantentheorie des Magnetismus'', Teubner, Bd. 2 | ||
== Quellen == | == Quellen == | ||
Aktuelle Version vom 15. Dezember 2020, 15:50 Uhr
Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).
Inhalt der Variante 1
Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators . Dann gilt für zwei Operatoren und (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):
wobei als Kommutator bzw. als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators als
gegeben ist. ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]
Beweisidee
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über
ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:
Betrachtet man nun so erhält man die Ungleichung.
Variante 2
Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator des Systems durch eine Näherung ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung
wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der Zustandssumme, Das Multiplikationszeichen, ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist ().
Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.
Literatur
- Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd. 2
Quellen
- ↑ N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).
- ↑ Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.
- ↑ siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality.
